Классификация динамических систем в окрестности косимметричного равновесия

В окрестности косимметричного равновесия построена локальная классификация дифференциальных уравнений с обратимой косимметрией и векторным параметром в предположении, что ядро матрицы линеаризации на косимметричном равновесии двумерно, а весь ее спектр устойчивости, за исключением двукратного нуля, устойчив. Уравнения с такими свойствами имеют коразмерность 1 среди четномерных систем с косимметричным равновесием. Во всех рассмотренных случаях такая система обладает спрямляемым семейством некосимметричных равновесий вблизи косимметричного. Классификация проведена по следующим свойствам: тип косимметричного равновесия (узел, фокус, седло); взаимное расположение косимметричного равновесия и семейства (включая случай принадлежности косимметричного равновесия семейству); число граничных равновесий этого семейства, разделяющих его области устойчивости и неустойчивости (⩽3); число пересечений каждой из сепаратрис косимметричного седлового равновесия с семейством (⩽3). Каждое из этих свойств определяется полиномиальными условиями. Таким образом, классификация сведена к выделению тех наборов условий, пересечение которых не пусто. Для каждого найденного класса приведены определяющие его полиномиальные условия и соответствующий фазовый портрет. В неочевидных случаях, существование каждого непустого класса устанавливается предъявлением масштабируемого примера, а пустота остальных классов доказывается отдельными утверждениями. Данная статья продолжает работы [1, 2] Куракина Л. Г. и Юдовича В. И., где были проведены аналогичные исследования в окрестности некосимметричного равновесия.