Conditional Bases in the Matrix Space with the Cut-Norm
Автор: Astashkin S.V., Bakhtin V.I., Lykov, K.V.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
In the paper we consider the space L0,1 of infinite matrices (aij)∞ i,j=1, where aij ∈ R, equipped with a cut-norm. The cut-norm of a matrix appears naturally in various areas of discrete mathematics, and is also used in functional analysis. It is equivalent to the operator norm of a matrix considered as a mapping from the space c0 of sequences converging to zero (or from l∞) to l1. It is proved that the set of matrix units {Eij}∞ i,j=1 forms a system of random unconditional convergence (RUC) in the space L0,1, but is not a system of unconditional convergence. This system is linearly full in L0,1 and, being enumerated in a certain order, may turn out to be a conditional basis. We obtain both necessary and sufficient conditions for a bijection ℓ : N → N2, under which the sequence (Eℓ(k)) forms a basis in L0,1. In particular, any successive filling of the corner squares leads to a basis, while the triangular filling not. It is shown that random permutations of the sequence (Eℓ(k)) almost surely do not form a basis. The problem of a complete characterization of all bijections ℓ : N → N2 that lead to the basis (Eℓ(k)) is set up, and it is constructively shown that the proposed necessary and sufficient conditions do not provide a complete answer to this problem.
Conditional basis, RUC system, infinite matrix space, operator norm, cut-norm
Короткий адрес: https://sciup.org/143185851
IDR: 143185851 | УДК: 517.518.12 | DOI: 10.46698/p4223-2689-0800-t
Условные базисы в пространстве матриц с кат-нормой
В работе рассматривается пространство L0,1 бесконечных матриц вида (aij )∞ i,j=1, где aij ∈ R, снабженное кат-нормой. Кат-норма матрицы естественным образом появляется в разных разделах дискретной математики, но используется и в функциональном анализе. Она эквивалентна операторной норме матрицы, рассматриваемой как отображение из пространства c0 сходящихся к нулю последовательностей (или из l∞) в l1. В работе доказано, что множество матричных единиц {Eij}∞ i,j=1 образует систему случайной безусловной сходимости в пространстве L0,1, но при этом не является системой безусловной сходимости. Эта система полна в L0,1, и при некотором упорядочивании может претендовать на роль условного базиса. В работе получены как необходимое, так и достаточное условия на биекцию ℓ : N → N2, при выполнении которых последовательность (Eℓ(k)) образует базис в L0,1. В частности, любое последовательное заполнение угловых квадратов приводит к базису, в то время как треугольное заполнение нет. Показано, что случайные перестановки последовательности (Eℓ(k)) почти наверное не образуют базис. Поставлена проблема полной характеризации тех биекций ℓ : N → N2, которые приводят к базису (Eℓ(k)), и конструктивно показано, что предложенные необходимое и достаточное условия не дают полного ответа на эту проблему.
