Декомпозиция задач управляемости и наблюдаемости двухтемповых систем

РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Исследование нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений приводит к решению широкого класса прикладных задач. Использование быстрых и медленных интегральных многообразий позволяет построить преобразование, осуществляющее декомпозицию системы на независимую медленную подсистему и быструю подсистему, описывающую затухающие колебания, что дает понижение размерности моделей и избавляет от вычислительной жесткости. С помощью невырожденного преобразования система сводится к эквивалентной сингулярно возмущенной системе с разделенными переменными, – к системе блочно-диагонального вида, в случае линейных систем, – к системе блочно-треугольного вида, если исходная система нелинейная. С задачами управляемости и наблюдаемости тесно связаны задачи идентифицируемости и стабилизи-руемости. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости, наблюдаемости, стаби-лизируемости двухтемповой нелинейной неавтономной системы.

Цель работы:

. Понижение размерности задачи управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости нелинейной двухтемповой неавтономной системы так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.

. Получение достаточных условий, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости сингулярно возмущенных систем.

Рассмотрим модель сингулярно возмущенной системы вида ex — a(t,x,i,s) = b(t,x,£)u,w = ф(1,х,х,в), (1) где хЕХ с Г,и El/сГ – управляющие воздействия, wEV a – измеряемая координата, а.фЕ R”, – матричная функция размерности Функции a, b, ф равномерно непрерывные и ограниченные вместе с достаточным числом частных производных по всем аргументам, t E H Обозначим y = x. Модель (1) примет вид x = y,sy = a(t,x,y,c) + b^t.x.E^u.w = Ф(1,Х,У,е\ (2)

Пусть система (2) удовлетворяет следующим условиям [1]:

Уравнение a(t, x, y, 0) = 0 имеет изолированное решение у = ^(t,x).

В области П = {(t,X,y,E): lly — fc0(t,x)|| < p,E E (0,Efl]} функции a, h0 имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным.

Собственные значения X_t = Aj(t,x),i = l,n матрицы ^ (t,x, h_Q(_t, x),0) удовлетворяют неравенству Re X_t<-p <  0.

В системе (2) произведем замену переменной x(t) = v(t) + sH(t, v(t),z(t), E),H(t, V, 0, e) = 0,y(t) = z(t) + /l(t,x(t),£). В ре -зультате получим систему блочно-треугольного вида v = h(t,v, e) + b(t, v,eH, e^u, ez = Z(t,v,z,s) + b(t, v, eH, e^u, w = фг (t, V, z, e),          (3)

где 7 7    7.7 7   = - —- 7 7 : 7_z' 7 ■ Г 7

v, еН ,z, е) = a(t, v + еН, z+K,e)- a(t, v +еН, h, s) — s |^ (t, v + eH, s)z, ф_±{£, v, z, Функции

7 7    77 E Л 7 '7 Z 5 • МОЖНО искать В виде асимптотического разложения [2] 7 7 /7 _- ■ = ^^.^ - е" z:. 7 77 ■ из уравнения £ + £ ^ Mt, х, е) = a(t, х, Mt, х, е), е), и л 7 / : 7 ■ = L-:i ■ _-" .4.. 7 / z ■ из уравнения ан    ан, ,     .   ан  ,       . _

Е --Ь £--п( t, Е ) 4-- Z ( V, Z, Е ) = at     dv ^{v      v}    dz  ^х        '

z + h^t, v + еН, е) — Mt> v, е)

УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ

Для исследования свойств управляемости и наблюдаемости блочно-треугольной системы (3), Мф, 0,0,е) = O,Z(t, 0,0, е) = 0, линеаризуем ее по переменным состояния вдоль v = 0, z = 0: v = ^ (t, О, s)v +

b(t, 0,0, s)u + Mt, 0, s) + a_t(t, v,z,u, e), ez = ^ (t, 0,0, s)v + ^ (t, 0,0, s)z + b(t, 0,0, e^u + Z (t, 0,0, s) + a₂ (t, v, z, u, s), w = ^ (t, 0,0, e) v + ^ (t, 0,0, e^z + a₃ (t, v, z, e).

Обозначим,

наблюдаемости динамических систем по линейному приближению [3], получаем условия управляемости и наблюдаемости системы (3). Так как система (1) получена из системы (3) с помощью невырожденной замены переменных, то исходная система (1) вполне управляема и вполне наблюдаема.

Пример. Рассмотрим модель системы математических маятников с трением [4], подвешенных к несущему телу ? перемещающемуся горизонтально с ускорением ./:

Еф, + 2y_t

t

+ ( a>2--^La>2 cosaijtj sin^

= a^,to^= j^,i = T?n;p = Е”=1с;^р где .' - длина :' маятника, _- :- 2 - малый положительный параметр, '.' > 2 „ - частота малых колебаний 7. маятника, z /7 - коэффициенты, отличные от нуля, :. < 1. Обозначим, ■_ = _■ тогда система примет вид:

ф, = ф^Еф^ = (”О)2 COSCOjt — SO)?) Sin ф, —

- ^Yt^i + “i^.i = Vn;p ='Ei=lci

Произведем замену переменных следующего вида:

,         , a;tu? coB

*'=z'+

■ siny, + £(а;О>? sino,^ — ^^t ^“t1-^ ™S ^ = )t^ + °(£2X

c(0 = (^(0 c₂(t)), c^t) =    (t, o,o

£),C₂(t) = ^^ (t, 0,0, E),p(t,U, s) =

/ ^-(ii(t, 0,0, e)iz) y-(b(t,0,0,E)u)

\-^-(b(t, 0,0,e)u) (bit, 0,0, s)ti)

\E 3v v v              E dzv xJ

(а;ш? совы,Г-у)2 f2>

—----(1 — cos 2v,) )и + О ( е ) :

le^i^i vv

■            - g-a^\coBGitt\

£Zi = (-2^ +e------cosv^z, +

a(U + O(f2);p = £?₌₁С; (v, - s^ + O(e²)

Запишем линеаризованную систему в матричном виде:

+ o(||(v z)'||)p1(t,u,s),w =

= C^(z) +аз(^^^£)' Используя теоремы об управляемости и

Используя теоремы об управляемости и наблюдаемости динамических систем по линейному приближению, получим, что система блоч- но-треугольного вида вполне управляемая и вполне наблюдаемая, так как система нулевого приближения вполне управляема, а система первого приближения вполне наблюдаема. Так как система блочно-треугольного вида получена из данной с помощью обратимой замены пере- менных, то данная система является вполне управляемой и вполне наблюдаемой.