Дифференцирования в банаховых *-идеалах алгебр фон Неймана

Известно, что любое дифференцирование δ:M→M на алгебре фон Неймана M является внутренним, т. е. δ(x):=δa(x)=[a,x]=ax-xa, x∈M, для некоторого a∈M. Если H сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство и K(H) есть C∗-подалгебра компактных операторов в C∗-алгебре B(H) всех ограниченных линейных операторов, действующих в H, то каждое дифференцирование δ:K(H)→K(H) есть специальное дифференцирование, т. е. существует такой оператор a∈B(H), что δ(x)=[x,a] для всех x∈K(H). В недавней работе А. Ф. Бера, В. И. Чилина, Г. Б. Левитиной, Ф. А. Сукочева (JMAA, 2013) установлено, что каждое дифференцирование δ:E→E на любом банаховом симметричном идеале компактных операторов E⊆K(H) также является пространственным. Мы показываем, что аналогичный результат верен и для произвольных банаховых ∗-идеалов в любой алгебре фон Неймана M. Более точно: Если M любая алгебра фон Неймана, E банаховый ∗-идеал в M и δ:E→E есть дифференцирование на E, то существует такой элемент a∈M, что δ(x)=[x,a] для всех x∈E, т. е. δ есть пространственное дифференцирование.