Детектирование топологического заряда вихревого пучка по картине дифракции на секторной апертуре

Оптические пучки, несущие орбитальный угловой момент (ОАМ) [1–3], широко используются в современной лазерной, информационной и сенсорной оптике [4–17]. Как было показано в работе Вуэрдманна в 1992 г. [1], свет может переносить дискретный ОАМ, связанный с азимутальной фазовой зависимостью вида exp ( im ф ) , где целое число m определяет топологический заряд пучка и соответствует фазовой дислокации волнового фронта. Наличие винтовой фазы приводит к формированию фазовой сингулярности с нулевой интенсивностью в центре пучка. Классическими примерами таких полей являются моды Лагер-ра – Гаусса (ЛГ) [18; 19], моды Бесселя [20; 21], а также другие типы вихревых пучков, включая гипергеометрические, Эйри и Пирси [22–27].

Моды Лагерра – Гаусса впервые были рассмотрены в классической работе Когельника и Ли как решения параксиального волнового уравнения для лазерных резонаторов [28]. Моды ЛГ [18; 19] характеризуются спиральной фазой и радиальной амплитудной зависимостью. Такие пучки несут собственный ОАМ [1–3], нормированная плотность которого равна топологическому заряду и сохраняется при распространении [29], что является существенным для задач передачи оптической информации. Дифракция вихревых пучков традиционно описывается в рамках теории Фраунгофера и Френеля, где дифракционная картина определяется преобразованием Фурье падающего поля с учетом функции пропускания апертуры. В отличие от плоской волны, для которой структура дифракционного поля зависит только от геометрии апертуры, при дифракции

мод Лагерра – Гаусса существенную роль играют фазово-амплитудные особенности падающего пучка [30].

В последние годы развитие численных подходов к моделированию дифракционных и апертурных систем связано с использованием итерационных методов фазового синтеза и обработки изображений, позволяющих восстанавливать заданные распределения поля в многоканальных и структурированных системах [31; 32]. Кроме того, совершенствование электродинамических моделей структурированных сред и решеток позволяет учитывать влияние сложной геометрии рассеивающих структур на формирование волновых полей [33].

Ранее было показано [30; 34], что при дифракции вихревых пучков на многоугольных и нерегулярных апертурах дифракционная картина отражает как симметрию апертуры, так и величину топологического заряда, что позволяет определять знак и модуль m по структуре интерференционных полос. В связи с этим активно развиваются дифракционные методы диагностики ОАМ, не требующие использования интерферометрических схем [30].

Особый интерес представляет прохождение вихревых    и    суперпозиционных    пучков через секторные апертуры [34–36]. Установлено, что для суперпозиций с симметричным спектром ОАМ нормированный топологический заряд сохраняется при прохождении через апертуры любого угла [34; 35], что может быть использовано для кодирования информации и устойчивой передачи данных в турбулентных средах.

Несмотря на возможную неустойчивость высокопорядковых фазовых сингулярностей при дифракции и их распад на элементарные вихри, полный топологический заряд сохраняется в линейных оптических системах, что подтверждено для свободного распространения, фокальных полей и турбулентных сред [38]. Для интерпретации тонких эффектов дифракции наряду с интегралом Френеля применяется теория краевой дифракционной волны, позволяющая учитывать вклад границы апертуры в формирование дифракционной картины [39].

В работе рассматривается применение фундаментальных принципов дифракции к анализу мод ЛГ в различных сценариях. Исследуются амплитудные распределения мод ЛГ после преобразования Фурье, влияние частичного маскирования пучка за счет сегментного экранирования.

Под сегментным экранированием понимается использование апертур, форма которых не сводится к угловым секторам. Маскирование нарушает исходную симметрию поля, и в соответствии с теорией дифракции приводит к модификации пространственного спектра, что непосредственно отражается в структуре Фурье-образа. Использование сегментных апертур позволяет изучать формирование интерференционных структур, чувствительных к топологическому заряду m .

1.    Теоретические основы

Оптические методы Фурье (OFT) – это мощный инструмент для манипуляции пространственными частотами двумерных изображений при помощи линз и оптических систем. В классической схеме OFT коллимированный лазерный пучок падает на объект (амплитудный или фазовый), и свет, несущий информацию об этом объекте, преобразуется при помощи собирающей линзы. При этом различные пространственные частоты объекта отображаются на разные точки в задней фокальной плоскости линзы.

Согласно Гудману [40], если входное поле расположено в передней фокальной плоскости тонкой линзы, то поле в ее задней фокальной плоскости пропорционально двумерному преобразованию Фурье этого входного поля. Математически это можно выразить как [38]:

+^да+^да       - ^ xu + yv )

F ( u , v ) = J J E ( x , У ) e ^ ' 0         dxdy ,                  (1)

-да-да где E (x, y) - комплексная амплитуда поля в плоскости объекта; л - длина волны света; f0 - фокусное расстояние линзы; (u, v) - координаты в фокальной плоскости, соответствующие пространственным частотам.

Формула (1) описывает именно оптическое преобразование Фурье: фокусирующая линза «переводит» пространственное распределение входного поля E ( x , y ) в частотно-пространственный спектр F ( u,v ), что лежит в основе многих систем оптической обработки и фильтрации [41; 42].

Далее переходим к полярным координатам x = r cos Q , y = sin Q , что позволяет упростить анализ азимутально-симметричных структур поля.

В работе используются моды ЛГ как базовые решения параксиального волнового уравнения, несущие орбитальный угловой момент (ОАМ) и фазовую сингулярность с топологическим зарядом m .

Для описания их поперечного распределения удобно использовать классическую форму, выра- женную через ассоциированные полиномы Лагер- ра. В плоскости перетяжки z = 0 комплексная амплитуда такой моды может быть записана в каноническом виде [18; 19]:

E ( r , p , z = 0 ) = exp

х

[ Л r <  m

° 0

m m 2 r 2 n „2

f r ² 1

х

< ^c 0 j

■ exp ( im p ) ,

l^c 0 J

где m e Z - азимутальный индекс, определяющий винтовую фазу e^{im p} и наличие темного центра при m ^ 0 ;

n >  0 - радиальный индекс (число радиальных колец); L nm – ассоциированный полином Лагерра; ст₀ - радиус перетяжки.

Выражение (2) задает радиальную амплитудную (гауссова огибающая и радиальные кольца при n > 0 ) и фазовую (eimp) структуру пучка: целое число m является топологическим зарядом и определяет орбитальный угловой момент света. При подстановке n = 0 получаем простейшую ЛГ- моду с центральным нулем интенсивности при m ^ 0. Под действием апертуры (маски) M(r, p) исходное распределение экранируется, а ее дифракционная картина в дальней зоне вычисляется с использованием Фурье-преобразова- ния полученного поля; в частном случае умножение на апертуру дает в спектральной области эффект свертки с Фурье-образом маски, что объясняет появление дополнительных интерферен- ционных структур.

В данной работе реализовано два способа экранирования мод ЛГ – секторное экранирование, которое реализуется с помощью угловой маски, и сегментное.

Секторное угловое экранирование осуществляется с помощью угловой (азимутальной) апертуры.

Функция пропускания апертуры задается выражением:

M ф ( r , ^ф) =

0, фе[ к Аф, (к + 1)Аф), k e К, ^ = 2п ^ 1, иначе,                 N где N - число секторов, К - множество непрозрачных секторов.

В обоих случаях экранирование реализуется на уровне комплексного поля и приводит к совместной модификации амплитуды и фазы.

2.    Исследование мод ЛГ с секторным экранированием

В табл. 1 представлены результаты исследования мод Лагерра – Гаусса с секторным экранированием (угловые сектора) для случаев кратности числа секторов и топологического заряда m . В строке 2 приведен пример сегментного экранирования, не сводящегося к угловому описанию. Также в табл. 1 приведена нормированная цветовая шкала, которая используется во всех последующих изображениях (темные области соответствуют минимальным значениям амплитуды поля, а светлые – максимальным).

Как следует из табл. 1, при кратности топологического заряда m числу секторов формируются устойчивые симметричные спектральные узоры, в которых максимумы интенсивности распределены равномерно по азимуту. В то же время при неполном секторном заполнении (например, при частичном отсечении кольцевой структуры) наблюдаются направленные интерференционные полосы, ориентированные вдоль границ экранированных областей. При увеличении числа секторов наблюдается рост азимутальной периодичности в частотной плоскости, проявляющийся в увеличении числа лепестков и более равномерном их распределении по углу. После применения преобразования Фурье сохраняется регулярная лепестковая структура, характерная для вихревых пучков с целым топологическим зарядом, при этом число и ориентация максимумов интенсивности определяются топологическим зарядом и порядком секторной симметрии маски.

При кратности m числу секторов формируются устойчивые симметричные спектральные узоры, тогда как при неполном секторном заполнении появляются направленные интерференционные полосы, ориентированные вдоль границ экранированных областей. При увеличении числа секторов наблюдается рост азимутальной периодичности в частотной плоскости. Одновременно формируются более выраженные многолепестковые структуры. В случаях половинного или частичного отсечения кольца спектр приобретает вытянутый характер с усилением пространственных частот вдоль направления разрыва. Это связано с резким амплитудным ограничением в исходной плоскости.

Таким образом, для целых значений m секторные маски не разрушают вихревую природу поля, а приводят к перераспределению энергии между

Таблица 1. Моды ЛГ с секторным экранированием при кратных значениях топологического заряда m и числа угловых секторов Table 1. LG modes with sectoral shielding for commensurate values of the topological charge m and the number of angular sectors

Тип апертуры	m	Распределение после экранирования			Амплитуда моды ЛГ после преобразования Фурье
1 сектор [суммарно секторов 2]	4	а 6 4 ■ 2 ■ 0 -2 -4 -б -8		8	15      10      5      0      -5     -10    -15 К
Частичное отсечение кольцевой структуры [1 сектор]	6	В 1 6 1 4 2 1 0 1 -2 1 -6 1 -в J S	0	-В	15      10      5       0      -5     -10     -15

угловыми гармониками, формируя спектральные структуры, симметрия которых определяется кратностью топологического заряда и числом экранированных секторов.

В табл. 2 представлены результаты анализа влияния соотношения между числом угловых секторов маски и величиной топологического заряда m на структуру поля.

В табл. 2 рассмотрено влияние секторного экранирования амплитуды моды ЛГ при целых значениях топологического заряда и различном числе секторов маски, как совпадающем с m , так и отличающемся от него. Для каждого значения m приведены случаи: с числом секторов, равным или близким к топологическому заряду, и с числом секторов, не согласованным с ним.

В случаях согласованной симметрии (m равно числу секторов), а именно при m = 2, наблюдается высокая степень согласованности между вихревой фазовой структурой поля и дискретной угловой симметрией маски. В исходной амплитуде форми- руются регулярные многолепестковые структуры с равномерным азимутальным распределением. После применения преобразования Фурье к ним в этих случаях возникают устойчивые симметричные узоры с четко выраженной азимутальной периодичностью. Основные максимумы интенсивности располагаются равномерно по азимуту, а спектр характеризуется высокой регулярностью и минимальным числом паразитных интерференционных искажений. Это указывает на эффективное согласование угловых гармоник вихревой моды с симметрией маски, а также на наличие пиков.

Важным фактом является наличие центрального пика при согласовании числа секторов с порядком вихревой сингулярности. Это обусловлено следующим.

Секторные апертуры с общим количеством N равномерных угловых секторов можно приближенно описать тригонометрической функцией фN У       . 2 Гф N или sin 2 )            I 2

вида cos ²

. Такая функция

Таблица 2. Моды ЛГ с секторным экранированием при совпадающих и различных значениях числа угловых секторов и топологического заряда m = 2

Table 2. LG modes with sectoral shielding for equal and different values of the number of angular sectors and the topological charge m = 2

имеет N угловых максимумов (пропускающих секторов) и N угловых минимумов (экранирующих секторов).

Воздействие такой функции на вихревой пучок, содержащий угловую фазовую зависимость exp ( im ф ) , описывается следующим образом:

E M ( r , ф) = E ( r , ф ) ^cos 2 ^{f фN} ^ =

Г / V                              (4)

i \ 11 + ^cos ( ^N ф ) 1

= A (r) exp (im ф)-------------, где E (r, ф)  - входное поле, например, моды

Лагерра – Гаусса (2).

Дальнейшее преобразование выражения (4) дает exp( im ф) [1 + cos( N ф)] = exp( im ф) +

Г exp( iN ф ) + exp( - iN ф ) ]

+ exp( im ф)----------------------- = exp( im ф ) +      (5)

+ 0 , 5 exp [ i ( m + N ) ф ) ] + 0 , 5 exp [ i ( m - N ) ф ) ] .

Из выражения (5) следует, что результирующее поле может быть представлено в виде суперпозиции вихревых мод с топологическими зарядами m, m + N и m - N. Следует отметить, что преобразование Фурье применяется ко всему полю E (r, ф) = A (r) exp (im ф),   включая радиальную часть A (r). Однако, поскольку преобразование Фурье является линейным оператором, представление (5) позволяет рассматривать выходное поле как суперпозицию указанных мод. Известно, что в фокальной плоскости линзы вихревые моды с ненулевым топологическим зарядом имеют нулевую интенсивность в центре, тогда как мода с нулевым зарядом дает ненулевой вклад. Поэтому при условии m = N в разложении (5) появляется компонент с нулевым зарядом m - N = 0, что приводит к возникновению ненулевой интенсивности в центре выходного поля. Это свойство может быть использовано для определения топологиче-

Таблица 3. Сравнение бинарного и гармонического секторного экранирования для мод ЛГ при m = 2

Table 3. Comparison of binary and harmonic sectoral apertures applied to LG modes at m = 2

ского заряда вихревого пучка с помощью точечного детектора, расположенного в центре фокальной плоскости.

Помимо бинарного секторного экранирования, характеризующегося резкими границами про пускания, представляет интерес рассмотрение гармонической (косинусной) угловой апертуры, обеспечивающей плавное изменение амплитуды по азимуту. Сравнение этих двух типов апертур позволяет оценить влияние резких границ маски на формирование пространственного спектра и проверить возможность использования гладких моделей для описания бинарного экранирования.

В табл. 3 приведено сравнение дифракции в дальней зоне для мод ЛГ с различными значениями топологического заряда при использовании бинарной и гармонической (косинусной) угловых апертур.

Полученные результаты показывают, что гармоническая модель секторной апертуры воспроизводит основные особенности спектральной картины, наблюдаемой при бинарном экранировании, включая число и расположение основных максимумов. Это позволяет использовать гармоническое описание для качественного анализа действия бинарных секторных масок.

Следует отметить, что аналогичное перераспределение энергии между угловыми гармониками и усложнение интерференционной структуры наблюдается при взаимодействии вихревых пучков с полями, имеющими цилиндрическую поляризацию высоких порядков [42; 43].

Случаи несогласованной симметрии (число секторов ≠ m) – при выборе числа секторов, отличающегося от топологического заряда, в исходной плоскости сохраняется вихревая природа поля, однако амплитудное распределение приобретает выраженную азимутальную модуляцию с нарушением регулярности лепестков. В преобразовании Фурье это приводит к усложнению спектральной картины:  появляются дополнительные  интерференционные структуры, увеличивается чис ло вторичных максимумов, а симметрия спектра становится менее выраженной. В ряде случаев наблюдается перераспределение энергии по радиальным кольцам и усиление мелкомасштабных интерференционных структур. Это свидетельствует о смешивании угловых гармоник вследствие несоответствия симметрий поля и маски.

Таким образом, можно сделать вывод, что структура Фурье-образа определяется не только величиной топологического заряда, но и степенью согласованности дискретной угловой симметрии секторной маски с вихревой фазовой структурой поля. При совпадении или кратности этих симметрий формируются устойчивые регулярные спектральные узоры, тогда как при их несоответствии наблюдается усложнение интерференционной картины и перераспределение интенсивности в частотной плоскости.

Таблица 4. Моды ЛГ с секторным экранированием при дробном топологическом заряде m = 4,5 и числе угловых секторов 2 и 5

Table 4. LG modes with sectoral nulling for a fractional topological charge m = 4.5 and the number of angular sectors equal to 2 and 5

Параметры моды ( m = 4,5, n = 0)

Тип апертуры

Распределение после экранирования

Амплитуда после преобразования Фурье

2 сектора [суммарно секторов 4]

8     6     4     2     0    -2    -4    -6    -8

15      10      5       0      -5     -10     -15

5 секторов [суммарно секторов

8     6     4     2 О -2    -4    -6    -8

15      10       5 О -5     -10     -15

В табл. 4 представлены результаты исследования мод ЛГ с дробным топологическим зарядом m = 4,5 при различных значениях числа угловых секторов.

Как следует из табл. 4, при увеличении дробного значения топологического заряда в картине дифракции усиливается азимутальная модуляция, что проявляется в увеличении контраста и числа локальных максимумов интенсивности по углу. Лепестковая структура усложняется: наблюдаются увеличение числа вторичных максимумов и появление мелкомасштабных интерференционных структур внутри основных лепестков. По сравнению со случаем, представленным в табл. 3, пространственный спектр характеризуется более развитой интерференционной структурой. Основные максимумы интенсивности остаются локализованными вблизи центра фокальной пло- скости. При увеличении количества секторов усиливается радиально-азимутальная модуляция спектра, что связано с наложением дискретной амплитудной маски на поле с дробным фазовым распределением [45].

Таким образом, для дробных значений топологического заряда секторное экранирование амплитуды приводит не к разрушению глобальной структуры Фурье-образа, а к локальному искажению интерференционной картины. В отличие от случаев с целыми топологическими зарядами, симметрия спектра определяется не только числом секторов маски, но и положением фазового сбоя дробной вихревой моды. Это приводит к асимметричному перераспределению интенсивности и смешиванию угловых гармоник, наиболее заметному при увеличении числа секторов.

Заключение

В результате анализа амплитудных распределений мод Лагерра – Гаусса и соответствующих им преобразований Фурье при различных вариантах амплитудного секторного маскирования установлены устойчивые закономерности формирования пространственных и спектральных структур вихревых световых пучков. Показано, что нарушение круговой симметрии исходного поля вследствие дискретной азимутальной модуляции приводит к перераспределению энергии между угловыми гармониками и формированию характерных лепестковых и интерференционных структур в частотной плоскости.

Для целых значений топологического заряда установлено, что при согласовании симметрии секторной маски с вихревой фазовой структурой поля (совпадение или кратность числа секторов и m) в преобразовании Фурье формируются регулярные, устойчивые спектральные узоры с выраженной азимутальной периодичностью. При этом формируется центральный максимум интенсивности, появление которого обосновано аппроксимацией секторной апертуры ее гармоническим аналогом. В случаях несогласованной симметрии наблюдается усложнение спектральной картины, проявляющееся в появлении вторичных максимумов и дополнительных интерференционных структур. Наличие и отсутствие центрального пика является удобным способом определения топологического заряда вихревого пучка, которое можно детектировать точечным детектором.

Для дробных значений топологического заряда установлено сохранение глобальной лепестковой структуры Фурье-образа, однако симметрия распределения интенсивности нарушается вследствие фазового ветвления дробной вихревой моды. Это приводит к асимметричному перераспределению интенсивности и формированию локальных интерференционных структур, чувствительных к числу и ориентации секторных границ маски.

Таким образом, структура пространственного и частотного распределений определяется совместным влиянием топологического заряда и дискретной угловой симметрии амплитудной маски. Наблюдаемые эффекты имеют детерминированный интерференционный характер и не связаны со случайными интерференционными структурами среды. Полученные результаты демонстрируют возможность управляемого формирования спектральных свойств вихревых пучков за счет выбора параметров амплитудного маскирования.