Дифференциально-разностные уравнения второго порядка с опережением в весовых пространствах Соболева

В настоящей работе исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного дифференциально-разностного уравнения второго порядка вида

U tt (t) = £ u(t) + /(t), t> 0,                                   (1)

где £ — разностный оператор, сопоставляющий функции и : Д ₊ = [0, + то ) ^ C функцию £ и : R + ^ C , определяемую равенством

£ u(t) = — a ² u(t) + bu(t + h), t E [0, + to ) .

Здесь коэффициенты a, b Е R — вещественные числа, Һ > 0 , / — заданная числовая функция на области (0, + то ) , а и — неизвестная числовая функция, областью определения которой является полуось (0, + то ) .

Областью определения оператора ℒ , действующего в гильбертовом пространстве — 2 ,7 (0, + то ) , является гильбертово пространство

D( £ ) = W^ (0, + го )

( [2], [3] и ниже), на котором оператор ℒ определен согласно формуле (2). Ставится задача определить функцию и : (0, + то ) ^ R , которая в области (0, + то ) удовлетворяет уравнению (1) , а при t ^ +0 удовлетворяет начальному условию следующего вида:

и(+0) = у, и‘(+0) = ф,                              (3)

где (у, ф) Е R² — начальное значение функции и ее первой производной.

Для каждого числа 7 >  0 через — 2 ,7 (R + ) обозначим пространство классов эквивалентности измеримых отображений и : R + ^ C , для которых выполняется условие е - ⁷ и Е - 2 (R + ) , наделенное нормой

H ^u H l ₂ , ₇ ( R ₊ ) = ІІ^е —⁷Мі.ЫЯ) .

Через W27(a, b) при каждом I Е N обозначим пространство числовых функций на интервале (a, b) со значениями в комплексной плоскости C таких, что и1 (t) Е —2,7(a,b), 3 =0,1, I = 1, 2,..., с нормой

II ^и H w 2,₇ ( а,Ь ) = ^{( |}        H l 2, ₇ ( а,Ь ) ^{+ ( | и} H l 2, ₇ ( a,b ) ^{) 1/2} ,7 >  ^{0 .}

Определение. Функцию и Е W^(0, + то ) назовем решением задачи (1), (2), (3) в весовом пространстве Соболева, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) в пространстве — 2 ,7 (0, + то ) и начальному условию (3).

В статье будет исследован вопрос о корректности задач (1), (2), (3) в весовых пространствах Соболева из шкалы W^ (R + ), 7 Е R . То есть решается следующий вопрос -при заданных коэффициентах a, b, Һ существуют ли такие значения параметра 7 Е R , что при любых начальных данных (3) и при любых / Е — 2 ,7 (0, + то ) задача (1), (2), (3) имеет единственное решение из пространства W^ (0, + то ) , и при этом W^-норма решения допускает оценку через / Е — 2 ,7 -норму функции / и норму начальных данных в евклидовом пространстве R ² :

• " И < с [|| / ||_L2,₇ ⁺ ^ ⁺ | ^ф | ].

В работах [8], [7] было установлено, что при достаточно малых коэффициентах при слагаемом с отклонениями аргумента существует такой интервал (а, 3) Е (0, + то ) , что для любого 7 Е (а,3) и любого / Е — 2 ,7 (R + ) существует единственное решение задачи (1) - (3) из пространства W 2 7 (R + ) . В тех же работах установлено, что если коэффициенты при слагаемом с отклонениями аргумента малы в определенном смысле (см. [8] или теорему 1 ниже), то при достаточно больших 7 > 3 задача (1) - (3) имеет в пространстве W 2 7 (R + ) более одного решения, а при достаточно малых 7 < а существуют такие начальные данные задачи (1) – (3), при которых она не имеет решения.

Остается неисследованным вопрос о корректной разрешимости задачи (1) – (3) при нарушении условия малости коэффициентов при слагаемом с опережением. В настоящей работе установлено, что если b > a , то при достаточно малых значениях Һ > 0 задача (1) – (3) имеет единственное решение. При этом условия теоремы 1 являются нарушенными. Таким образом, в работе найдена новая область в пространстве R ³ коэффициентов (a, b, Һ) , в которой имеет место корректность задачи (1) – (3).

Будет установлено, что в зависимости от коэффициентов уравнения, точнее, в зависимости от расположения корней характеристического квазимногочлена дифференциальноразностного оператора (2), реализуются различные возможности корректной постановки задачи (1), (2), (3), а также возможность однозначной разрешимости задачи с одним начальным условием (13) для однородного уравнения (1) (см. Следствие 3 ниже).

Ключевую роль в выборе корректной постановки задачи для дифференциальноразностного уравнения (1), (2) играет множество корней характеристического квазимногочлена оператора (2):

A ² = - a ² + be ^Xh . (4)

Множество E комплексных корней уравнения (4) является счетным множеством в комплексной плоскости C (см. [1], [10]), которое симметрично относительно вещественной оси при условии a,b,h Е R . Спецификой опережающего типа дифференциально-разностного оператора (2) является то, что в любой полуплоскости Re(A) < 7 плоскости C находится не более чем конечное множество точек Е . Поэтому существует конечное подмножество точек множества Е , на которых достигается величина 7 * = inf(ReE) .

Свойства множества характеристического квазимногочлена

Характеристическое уравнение (4) эквивалентно следующей системе из двух уравнений для пары вещественных переменных (ж, у) Е R ² :

2жу = bexh еіп(уһ).(5)

ж2 — у2 = -a2 + be$h cos(yh).(6)

Значит, из системы (5) – (6) (из уравнения (4)) следует, что

(ж2 + a2 - у2)2 + 4ж2у2 = b2e2hx.(7)

кроме того, для всех корней уравнения (4) с ненулевой мнимой частью выполняется равен-

ство	2жу             , , х 2.2   2 = ИуҺ)                        (8) ж 2 + a 2 — у 2

Из уравнения (7) выходит, что a2 + ж2 + у2 = V 4a2у2 + b2e2hx,

из которого следует, что при достаточно больших значениях переменной | у | (при у² >  | b | + a ² ) вещественные части комплексных корней уравнения (4) положительны.

Лемма 1. Если у² >  2 | a || у | + | b | (то есть | у | >  | a | + ^ | b | + a ² ), то множество точек, удовлетворяющих уравнению (9), лежит в полуплоскости ж > 0 .

Действительно, если у2 > 2|a||у| + |b|, то a2 + ж2 + у2 > a2 + |b| + 2|a||у| > V4a2у2 + b2, поэтому уравнение (9) не может быть выполненно при ж < 0.

Из леммы 1 следует, что для заданной неявно уравнением (9) функции ж(у), у Е О( то ), выполняется асимптотическое равенство

■        ■■ ^ln ( b ) ⁽¹⁺ ° ⁽¹⁾⁾

при | у | ^ + то .

Множеством вещественных корней уравнения (4) является совокупность корней урав нения

Уравнение (10) не имеет вещественных корней при условии b <  0 ; в этом случае минимум действительной части множества Е достигается на конечном множестве комлексно-сопряженных корней, в случае общего положения – на двух комплексно-сопряженных корнях.

Если же b >  0 , то:

• 1)    при условии 0 < b <  а ² уравнение (10) может иметь от одного до трех вещественных корней, каждый из которых положителен;

• 2)    при условии а ² < b уравнение (10) имеет один отрицительный корень х 1 и от нуля до двух положительных корней. Исследуем асимптотическое поведение корней уравнения (10) при условиях b > а ² и һ ^ +0 .

Лемма 2. Если b > а², то существует такое һ о >  0 , что при всех һ Е (0, һ о ) уравнение (4) имеет три вещественных корня х 1 ,х ₂ ,х з , для которых справедливы неравенства х 1 <  0 < х ₂ < х з , причем х 1 = — Vb — а ² + о(1) при һ ^ 0, х ₂ = Vb — а ² + о(1) при һ ^ 0, и х з ^ + то при һ ^ +0.

Первая часть утверждения леммы 2 следует из того, что вершина параболы и = х ² + а ² лежит ниже графика экспоненты и = be ^hx , а при достаточно малых һ >  0 парабола дважды пересекает график экспоненты в полуплоскости х > 0 . Асимптотическое поведение при һ ^ +0 точек пересечения графиков параболы и экспоненты следует из свойств элементарных функций.

Лемма 3. Если b > 2а ² , то существует такое һ о >  0 , что при всех һ Е (0, һ о ) все комплексные корни характеристического многочлена (4) имеют вещественную часть, большую, чем максимальный вещественный корень х з уравнения (4).

Все корни уравнения (4) лежат на кривой Г = { х = х(у ² ), у Е R } , заданной неявно уравнением (9), которая состоит из двух связных компонент:

Г 1 = { (х, у) Е R² : у² = а ² — х ² ± V b ² e ^2h:r — 4х ² а ² , х Е [х 1 , х ₂ ] }

и

Г ₂ = { (х, у) Е R ² : у ² = а ² — х ² ± V b ² e ^2h:r — 4х ² а ² , х >  х _з } .

Все вещественные корни лежат на пересечении кривой Г с вещественной осью: х і ,х 2 Е Г 1 , х з Е Г 2 .

Кроме того, все корни уравнения (4) с ненулевой вещественной частью лежат на кривой 7 , задаваемой уравнением (8) и состоящей из счетного множества связных компонент, задаваемых уравнениями:

• ^х = у cW ±   ^2^) — “2, у ^{Е R} \ { "т, ^{т Е} Z } .

Через 7 о обозначим множество точек плоскости, определяемое уравнениями

• ^х = у ct^N) ± J . ^{у    —} “ ² , у ^Е f ^—", о ) U f ^{0 ,} " ) ,

• У 8Ш ² (һу)           V һ )    \ һ/

а через 7т, т Е N, - кривые, определяемые уравнениями х=у ctg(h^) ±;—“2- у е (—^-—=) и (= "(т^) •

Все точки пересечения кривой 7 с кривой Г 2 лежат, как и сама кривая Г 2 , в полуплоскости х >  х з .

Лемма 3 будет доказана, если показать, что кривая 7 не имеет пересечения с кривой Г 1 .

Заметим, что при достаточно малых значениях һ >  0 кривая Г 1 лежит в полосе | у | <  22 ^ , и, следовательно, все кривые 7 _т , т Е N , не пересекаются с кривой Г 1 .

Покажем, что точки пересечения кривой 7 0 с кривой Г і не являются решениями системы уравнений (5), (6).

Ветви 7+о кривой 70, определяемые уравнением ж = ■ у [cos(M + V1 — °2 sinT^^)], у Е (—, °) U (°, 57) , 8іп(һу)             у           у2           2 2Һ 7    \ 2Һ/ лежат в полуплоскости у > ^'52 ^2, которая при достаточно малых Һ > ° не пересекается с кривой Г1 (лежит правее кривой Гі).

Ветви 7—о кривой 70, определяемые уравнением ж =      [cos(hy) - V1 - о2^], у е (- -°) и (°, 2L) , sin(hy)             у           у2           2 2Һ 7    \ 2Һ7

лежат в полуплоскости ж < ° при | у | >  | о | , а при | у | < | о | лежат в прямоугольнике { (ж,у) : ° <  ж <  o?h, | у | <  | о |} .

Заметим, что в силу уравнения (6) для любых у Е ( — ⁷ , °) U(°, 2 77 ) выполняется равенство 2ж = be¹™ sin^) > ° , поэтому точки пересечения кривой 7 - 0 с кривой Г і , лежащие в полуплоскости ж < ° , не могут быть решениями системы (5), (6).

А для точек прямоугольника { (ж,у) : ° <  ж <  о ² Һ, | у | <  | о |} из условия b > о ² следует, что при достаточно малых значениях Һ > ° выполняется неравенство о ² +ж ² + у ² <  л/ 4о ² у ² + Ь ² е ^2һж , то есть не выполнено равенство (9). Поэтому точки пересечения кривой 7 - 0 с кривой Г і , лежащие в полуплоскости ж > ° , не могут быть решениями системы (5), (6).

Таким образом, лемма 3 дает достаточные условия того, что вещественные части невещественных точек множества Е превосходят максимальный из корней уравнения (10).

Корни характеристического многочлена и разрешимость в пространстве Соболева с экспоненциальным весом

Заметим, что если при некотором 7 Е R множество { £ Е е : £ < 7 } = { £ — і ,...,£ _т } состоит из m(7) Е N элементов, то пространство W^ ₇ (°, + то ) содержит m -мерное подпространство решений однородного уравнения (1)

т

Л ₇ =  £с, е ^ ^t .

⁽ , =і

Замечание. Матрица Вронского системы функций е ^ ^{3 t} , j Е °,m — 1 , невырождена, поскольку все числа £ , , j Е °, m — 1 , различны.

Следствие 1. Пусть при некотором 7 Е R выполняется условие m(7) Е N. Тогда для любого набора чисел (и0, иі,..., ит(7)-і) Е СтМ дифференциально-разностное уравнение (1) имеет хотя бы одно решение и Е W27 №+), удовлетворяющее начальному условию и^') (+°) = и,, j Е °,m — 1.

Таким образом, следствие 1 устанавливает достаточные условия существования в пространстве W ^ ₇ (^ + ) решения задачи с начальными условиями (1), (2), (11). Единственность решения задачи с начальными условиями (1), (2), (11) требует дополнительного исследования. Планируется применить для этой цели принцип сжимающих отображений. Следствие 1 показывает, как размерность пространства начальных данных задачи с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения (1) – (2) зависит от весового параметра 7 пространства Соболева и от расположения корней характеристического многочлена.

Условия корректной разрешимости задачи (1), (2), (3), основанные на малости коэффициентов

В случае, когда коэффициенты при слагаемом с опережением достаточно малы, принцип сжимающих олтображений позволяет установить результат о существовании и единственности решения задачи с начальными условиями (см. [2], [4]).

Положим

-7) =   T^L , 7 е Я.                      (12)

7V а ² + 7 2

В работах [8] было установлено следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть w(7) < 1 на некотором промежутке (а, 3) С Я и пусть f е ^2,70 (0, +<х>) при некоторых 70 е (а,3)- Тогда при любом 7 е [70,3) задача Коши (1), (2), (3) имеет единственное решение и в пространстве W27(0, +то), причем справедлива оценка llullw227(0,+^) 3 С[|у| + |3| + ||/Hl2,7(0,+^)]

с константой, не зависящей от y,3,f .

Характеристическое уравнение (4) имеет счетное множество Е комплексных корней Е = { A fe , к е N } , причем при каждом к е N функция exp (A ^ t), t >  0, является решением уравнения (1).

b = inf { ReA : A е E, ReA > 3 } .

Как установлено в работе [8], справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть ^(7) < 1 на интервале (а,3) С Я . Тогда в полосе комплексной плоскости а < ReA < 3 нет точек множества Е .

При этом если 7 > b , то однородная задача (1) - (3) имеет нетривиальное решение и е W 2 7 (Һ, + то ) . Если 7 < а , то не при всех начальных данных (у, 3) е Я* ² однородное уравнение и = 3 u(t), t > 0 , имеет решение из пространства W 2 7 (Һ, + то ) .

Следствие 2. Если выполняется условие 0 <  — b < а ² и условие 3 7 >  0 : ш(7) < 1 , то величина 7 * = inf ReE достигается на некоторой паре комплексно-сопряженных корней A ± i = ж і ± гу _і , где ж і = 7 * и у _і > 0 . Если при этом 7 * = inf Re£ : £ е Е, £ > 7 * , то (а,3) С (7 * ,7 * ) . Тогда если 7 е (а,3) , то для любых (у, 3) е Я ² задача (1), (2), (3) с однородным уравнением (1) имеет единственное решение

u(t) = [A cos(yit) + В sin(y1t)]еЖ1£, t > 0, где А = у и В = ^(3 — жіу).

Условия корректной разрешимости задачи (1), (2), (3) с большими коэффициентами при слагаемых с отклонением аргумента

Исследуем корректность задачи (1), (2), (3) при нарушении условия (12) на коэффициенты уравнения. Предположим, что выполняется условие b > а2 > 0, и при этом величина Һ > 0 мала настолько (см. лемму 1), что уравнение (4) имеет три различных вещественных корня жі,Ж2,жз таких, что жі < 0 < Ж2 < жз, и для любого невещественного корня Aj уравнения (4) выполняется условие ReA^ > ж2. Согласно лемме 2, ж2 = Vb — а2 + о(1) при Һ ^ 0, а для любого невещественного корня Aj уравнения (4)

его вещественная часть Re(A j ) является бесконечно большой величиной при Һ ^ 0 (см. лемму 3).

Лемма 4 . Если ж Е R и 7 > ж , то для любой функции z Е L^ (R + ) функция

t

w

^{( t )}=/

e ^$(t s' ) z(s)ds, t >  0,

принадлежит пространству    ^2 7 (R + ) ,     причем линейный оператор

A : L 2 ,7 (R + ) ^ ^2 7 (R + ), действующий по правилу A z = w, ограничен и выполнены неравенства

1                                   7

ІМІКм ( R + ) <  7 — ж IHL,. ( R + ) ^; ^h^¹,. ( R + ) <  7 — ж IMk,-, ( R + ) ^.

Доказательство леммы 4 можно найти в работе [7].

Для каждого z Е L 2 , 7 (R + ) и c i , C 2 Е C определим функцию

n(t) = ^e^

+ C 2 e ^$2t +

t

[      ¹    (_e ^a i ^(t - ? )

J Ж 1 - Ж2^к

- e '^(t-s) )z(q)dq.

То есть n(t) = u ₁ (t) + n ₂ (t), t > 0 , где

и

n ₁ (t) = c₁e^x"^vt

t

⁺ / ж і

-

— e^^{t - s} z(q)dq ж 2

U 2 (t) = C 2 e ^{$ 2 t}

-

t

ˆ

J ж і

-

Лемма 5. Если ж і ,ж 2 Е R, ж і функция

<

ж ₂ и 7 >

— e ^{$ 2 (t-s)} z(q)dq. ж 2

Ж 2 , то для любой функции z

∈

L 2 ,7 (R + )

y ^{( t )} = — ж 2

— жі

t j (e:r2(t-s)

-

e ^ i ^(t-s )z(s)ds, t >  0,

принадлежит Л : L 2 ,7 (R + ) ны неравенства

пространству

W 2 7 (R + ) ,     причем линейный

→

^ 2 7 (R + ), действующий по правилу Л z = ж , ограничен

и

оператор выполне-

ІЫІ-Кж.(R+) ^

⁽ 7 ^-ж 1 ⁾⁽ 7 ^{— ж} 2 )

ll^zlk₇ (R + ) ^;

^ж 117. ( R + ) <  C ^і^ІИ^,-,( R + ) .

Заметим, что t

» ж « 1 2„ ( R + ) = H e - ^7, «lk, ( R + ) = l —1—    (e‘^»‘-> — e ' ' > - ⁷ )l'- )z(_S)d _S| |_{il (}R + ) .

^ж 2 ^ж 1 J

Определим функцию g(t) = e ^{($ 2 -7)t} — e ^{($ 1 -7)t} , t >  0 . Продолжим функции z , ж и g нулем на отрицательную полуось до функций Z , V и G соответственно и применим к продолженным функциям преобразование Фурье. Поскольку ж 1 — 7 < 0 и ж 2 — 7 < 0 , то функция V y (t) = e-^V (t), t Е R , т.е.

V 7 (t) =

ж ₂ — ж ₁

t

I (_e ⁽^ 2 ^-7^)(t-s⁾

— e ^{(r i -7)(t-s} )z(s)ds, t >  0; V 7 (t) = 0, t < 0,

представляет собой свертку функции Z G L₂(R3 с функцией G Е L 2 (R) , определяемой равенством G(t) = e ^{(o 2}'d — e ^(x 1 —^2t , t >  0; G(t) = 0, t < 0 . Поэтому для преобразования Фурье функции V . Е L 2 (R) получим

^ (V . Ж) =       ( ---1—71-^7) *«) =

X 2 — Ж1\7 — X 2 + < 7 — X 1 + ^г? /

=  --------^Z(e), е G R.

Ж — X 1 + 7)Ж — X 2 + 7)

Следовательно, и^, 2< ..          ..." "'   = (7 — ^   .Мі“'

Аналогично можно показать, что d2                                            е2

¹¹■ ^V "^ «)² w^ Ж=е — X 1 +7)(« — X 2 +7)¹²

c „ „

~ ⁽ 7 ^{— х} 1 ⁾⁽ 7 ^— Ж ² ‘ 2’⁷ .

Поскольку "(0) = 0 и "‘(0) = 0, то и d2                    d2                       d                   2||тг

II d _t 2 " " ‘ 2-7 ( ^R + ) ² "  dt 2 ^V . " ‘ 2 ’7 ( ^K ) ⁺ 2⁷ H _dj^V" " ‘ 2’ 7 ^{(Д) + 7} l^V " ‘ 2’⁷ ' ^Z'

и существует С > 0 такое, что d2                  С

" dt 2 " " ‘ 2’7 < « + ) ² (7 — І 1 )(7 — . 2 ) " ^£ " ‘ 2’7 ^{( R} + > '

Из этих оценок следуют утверждения леммы.

Следствие 3. При произвольном z G L 2 ,. и С 1 ,С 2 Е C функция (13) принадлежит пространству W ^ ₇ , причем существует такая константа С >  0 , что

" ^ " W 2₇ ^{2 С} [ І ^С 1 І ⁺ І ^С 2 І ⁺ " ^z " ‘ 2 ,7 ]•                                  ⁽¹⁴⁾

Тогда для произвольной функции u Е W2.(R+), представленной в виде (13), имеют место равенства u' = Х1С1 ex1t

+ X2C2e^E'2^t

t

+ f —¹— (X 1 e^r1^

J X 1 — X 2

— X₂e ^o 2 ^(t-s) )z(₉)d₉,

u" = X ² u 1 (t) + X 2 u ₂ (t) + z(t),                                 (16)

u(t + h) = e^c^U 1 (f) + e ^{0 2 h} U 2 (t) +

X 1 — X 2

t + Л

I (_e ° 1 ^(t+h-9 )

— e°^2HR-^{4 )} )z(q)dq.

t

Лемма 6. Пусть X 1 ,X ₂ Е R, X 1 <  x₂ . Тогда существует такое 7 > 0 и такое 6 >  0 , что для любого 7 >  7 и любого g Е L 2 ,. (R + ) уравнение

t

---¹--- e^{x2t - 2} z(q)dq + х2 /---¹--- e^^{t - 2} z(q)dq + z(t) = g(t), t >  0,

X 1 — X 2                    J X 1 — X 2

относительно неизвестной функции z имеет единственное решение z Е L^ (R + ) , причем H ² H l ₂ , ₇ ( R + ) - ⁷ H 5 H l ₂ , ₇ ( R ₊ ) -

Действительно, уравнение (18) представляет собой операторное уравнение

(I + A1 + A2)z = 9, где в силу леммы 4 операторы Ai, A2 Е B (L2,y (R+)) допускают оценку

^X 2

II^A3 H b ( L ₂ , ₇ ( r + )) ^- -—7, ³ = ¹²

I ^X 3

Тогда утверждение леммы 6 справедливо, если

2x 2        2x 2

— +    2   < 1.

7 - x i    7 - X 2

Из леммы 6 и равества (16) вытекает

Следствие 4. Пусть b > а ² и пусть X i ,X 2 Е R, X i < X 2 — два наименьших корня уравнения (10). Тогда существует такое 7 > 0 и такое С > 0 , что для любого 7 > 7 и любого п Е W^ (R + ) существуют единственные функция z Е L ₂,₇ (R + ) и константы c i , С 2 Е C такие, что функция п представима в виде (13), причем

| C 1 | ^{+ |c} 2 | ⁺ РН^ ( R + ) ^{- 7} Н ^{п |}И' ₂ ² _-7 ( R + ) .

Действительно, если п Е W 2 ₇ (R + ) , то положим 9 = п ’’ , тогда 9 Е L 2 ,₇ (R + ) и

IMIw^ ( R + ) ^- 1Ы1ту²₇ ( R + ) .

Тогда, применяя к функции 9 лемму 6, получаем утверждение следствия 4.

Поскольку X i ,X 2 — корни уравнения (4), то с учетом равенств (15) - (17) и следствия 4 уравнение (1) эквивалентно уравнению

z(t) = b— X _i

— X2

t+h j (^c^+h-j) — e^h—y)z(q)aq + /(t), t > 0, t

а начальные условия (4) – системе уравнений

^ = Ci + С2,  ^ = XiCi + X2C2, которая имеет единственное решение. Поэтому задача (1), (2), (3) эквивалентна операторному уравнению z — Bz = /,                                   (20)

где

B z(t) = b—

X _i

— X2

t + h

I (^rn-,) ^{— e}^^+h-_w ._t> 0. t

Следовательно,

B z(t) = b—

X _i

— X2

h

J (_е ^{Ж 1 (һ-9)}

— е ^{Ж 2 (һ-,)} )z(q + t)dq, t >  0.

При этом, как и в доказательстве леммы 5,

Х2Һ

= b  ---е------(1 - -7-^+<)һ)е------(1 - -7-^+<)һ) г(П(21)

Ж2 - ж \7 - Ж2 + -Е               7 - Ж + -Е/

Заметим, что в выражении (21) от параметра 7 зависят только величины Х 1 , Х 2 . Поскольку (см. лемму 2) при К ^ 0 величины Ж 1 ,Ж 2 имеют конечные пределы - V b - а ² , V- - а ² , то при фиксированном 7 >  Vb - а ² справедлива оценка

„ Ж2Һ sup |---е-----(1 - е^-ж^^)1 = О(К)

£eR 7 - ж2 + -У при К ^ 0. Аналогично,

Ж1Һ sup |----е------(1 - е7-Ж1+^)Һ)| = О(К) ^er 7 - ж1 + -Е при К ^ 0.

Тогда при фиксированном 7 >  Vb - а ² имеет место асимптотика при К ^ 0 нормы оператора ||^B| _B ( _L 2,₇ ( R + )) = ^{О ( К )} при ^К ^ 0 .

Следовательно, для каждого 7 >  Vb - а ² существует такое К д > 0 , что при всех К Е (0,К д ) выполняется условие | В | _В ( £ 2₇ ( r ₊ )) < 1 .

Лемма 7. Для каждого 7 >  Vb - а ² существует такое К д > 0 , что если К Е (0, К д ) , то при всех / Е 7^ 2 ,7 (R + ) уравнение (20) имеет единственное решение г Е L 2 7 (R + ) , причем справедлива оценка

Н ^г| £ 2,₇ ( R + ) - ^{С (}7^{,к) |} /IIl2 , ₇ ( R + )

с константой С (7, К) , не зависящей от выбора J Е L 2 ,7 (R + ) .

Из лемм 5–7 следует

Теорема 3. Пусть b > а2. Тогда для каждого 7 > Vb - а2 существует такое Кд > 0, что если К Е (0,Кд), то при всех / Е L2,7(R+), ^<Ф Е C задача (1), (2), (4) имеет единственное решение и Е W^ (R+), причем справедлива оценка llullw227(R+) — С(7, К)[|/Һі2,7(R+) + М + М]                        (22)

с константой С (7, К) , не зависящей от выбора / Е L 2 ,7 (R + ) .

Действительно, в силу лем мы 2 существует такое К 1 > 0 , что при любом К Е (0, К 1 ) выполняется условие Ж 2 <  V b - а ² + 1 . Тогда согласно следствию 4 существует такое 7 1 >  Vb - а ² + 1 , что при любом 7 > 7 1 задача (1), (2), (3) для неизвестной функции и Е W 2 7 (R + ) эквивалентна уравнению (20) в пространстве L 2 ,7 (R + ) . А в силу леммы 7 существует такое К д Е (0, К 1 ] , что при любом К Е (0, К д ) и любом 7 > 7 1 уравнение (20) при всех / Е L 2 ,7 (R + ) имеет единственное решение / Е L 2 ,7 (R + ) , удовлетворяющее оценке (14). Тогда в силу следствия 3 функция и , определенная равенством (13) по функции г = ( I - B ) ^-1 / и постоянным С 1 = УУ^-^ , С 2 = ^^-—^ , является в силу равенств (15) - (17) решением задачи (1) – (3) и справедли ва оц енка (22).

Замечание. Если b > а ² и 7 >  V b - а ² , то при всех достаточно малых К > 0 выполняются неравенства Ж 1 < 0 < ж ₂ < 7 < ж д , поскольку Ж 2 ^ V b - а ² и ж д ^ то при К ^ 0 . Кроме того, согласно лемме 3, для всех невещественных корней X j , j Е N , уравнения (4) выполняется условие Re(X j ) > 7 , т.к. Re(X j ) ^ + то при К ^ 0 .

Замечание. Если b > а ² , то существуют такие 7 >  V b - а ² , что

, ,                     -7Һ-                b lim (^(7)) = lim --- = --- > 1.

^Һ ^ ^{+д         Һ} ^ ^+д 7 ^уа ² + 7 ²    7 л/а ² + 7 ²

Следовательно, теорема 3 определяет такие области изменения переменных (а, b, К, 7) Е R ⁴ , при которых задача (1) – (3) корректно разрешима и которые не удовлетворяют условию ш(7) < 1 теоремы 1.

Следствие 5. Пусть выполнено неравенство b >  а ² и величина Һ > 0 мала настолько, что величина 7 * = inf(ReE) достигается в единственной точке A i = Xi Е R множества Е . Тогда если выполнены условия 0 <7 ‘ < V b — а ² , то существует такое h i > 0 , что при всех Һ Е (0, h i ) и при любом начальном условии

«(+0) = у                                  (23)

однородное уравнение (1) имеет в пространстве W 2 y ‘ (R + ) единственное решение

«(t) = уе ^{Ж 1} * , t >  0.                                       (24)

Пусть 7 ‘ <  Vb — а² . Выберем некоторое 7 >  Vb — а ² . Тогда в силу теоремы 3 существует такое h o > 0 , что при всех Һ Е (0, h o ) однородное уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному усло вию (3), причем решение это имеет вид «(t) = c i e^X1t + С2е ^ж^ . Поскольку X 2 (h) ^ Vb — а ² при Һ ^ +0 , то существует такое Һ 1 Е (0,h o ) , что х ₂ > 7 ‘ , и поэтому e ^{$ 2 t} Е W 2_y‘ (R + ) . Следовательно, при h Е (0, h _i ) однородное уравнение (1) с начальным условием (23) имеет решение (24) из пространства W 2 у (R + ) . Если предположить, что в пространстве W 2 у (R + ) найдется другое решение однородного уравнения (1) с начальным условием (23), то тогда в пространстве W 2 у (R + ) однородное уравнение (1) с начальным условием (3) будет иметь более одного решения, что невозможно в силу теоремы 3.