Дифференцирование интервальных элементарных функций и принятие решений

Проектирование и анализ свойств разнообразных систем требует соответствующего, адекватного рассматриваемой задаче, математического аппарата. Встречающиеся на практике системы часто характеризуются той или иной степенью неопределённости (недетерминирова-ны). Для исследования и построения таких систем обычно применяют специализированный математический аппарат - теорию вероятностей, нечёткие множества, интервальную математику [1-3].

В работах [4, 5] автором был предложен новый математический аппарат для проектирования и исследования недетерминированных систем - недетерминистское (интервальное) дифференциальное исчисление. Этот аппарат является аналогом классического дифференциального исчисления Ньютона-Лейбница [6]. Он позволяет переносить основные идеи классического дифференциального исчисления на неполностью определённые функции, задаваемые с точностью до интервалов возможных значений переменных. Однако, несмотря на сходство основных исходных идей двух исчислений, предложенное интервальное дифференциальное исчисление по форме не похоже на классическое дифференциальное исчисление Ньютона-

Лейбница, что является следствием неопределённости интервальных функций, обычно фигурирующих в интервальной математике. Кроме того, предложенное интервальное дифференциальное исчисление, по нашему мнению, более адекватно природным явлениям и процессам, чем классическое дифференциальное исчисление [7].

1    Постановка задачи

Согласно классическому дифференциальному исчислению [6], нахождение производной от любой функции базируется на: 1) представлении этой функции в виде соответствующей суперпозиции так называемых элементарных функций; 2) переходе в полученном представлении от функций к их производным, с использованием для этого основных теорем дифференциального исчисления (производная суммы функций, производная произведения функций и т.д.); 3) подстановке выражений производных элементарных функций.

Процедура, сходная с описанной, может быть полезна и при нахождении производных от интервальных функций, рассматриваемых в интервальном дифференциальном исчислении. При этом необходимо учитывать большое отличие свойств и форм представления обычных и интервальных функций и производных от них. Задачами статьи являются: 1) составление полного набора производных от всех интервальных элементарных функций; 2) выявление различий производных от интервальных элементарных функций и производных от детерминированных элементарных функций.

Интервальное дифференциальное исчисление может быть использовано для исследования поведения неполностью определённых функций, служащих характеристиками недетерминированных систем, при принятии решений на этапе проектирования таких систем. Эта ситуация аналогична использованию классического дифференциального исчисления при исследовании поведения функций, являющихся характеристиками детерминированных систем.

При решении задачи будем использовать в качестве вспомогательных сведений основные математические сведения из алгебры интервальных чисел [3, 4]. В этой алгебре оперируют интервальными числами (операндами), операциями над интервальными числами и интервальными функциями [4, 5, 7].

2    Математический аппарат

Базовое для данной статьи понятие интервальной функции [4, 5, 7] вводится как однозначное отображение множества { х } замкнутых вещественных интервалов х = [ х 1 ,x₂] на множество { у } замкнутых вещественных интервалов у = [ у 1 , у ₂] того же вида. Символически интервальная функция записывается в виде

• ^{(1)    у} = f^{(х) или у} = [ y i , у 2 ] = [ / _ ⁽ х),f , ^{( х} )^],

где х = [ х 1 , х 2 ] - интервальная независимая переменная, у = [у, у ₂] - интервальная зависимая переменная, f = [ f , f l — интервальная функция, с её нижней f _ и верхней f ₂ граничными функциями. Второе базовое понятие, используемое далее, - понятие предела интервальной функции.

Независимая интервальная переменная Х = [ х 1 , х ₂] интервальной функции (1) по определению неограниченно приближается к некоторому интервалу (пределу) Х° = [ х ( , х 2 ] , если в процессе указанного изменения Х 1 неограниченно приближается к х 1 , а х ₂ к х 2 . Символически это записывается в виде

• (2)    х ^ х ° = ( х 1 ^ х ( , х ₂ ^ х ₂ ) .

Аналогично определяется неограниченное приближение зависимой интервальной переменной у = [ у , , у ₂] интервальной функции (1) к интервалу (пределу) у ° = [ у ° , у 2 ] :

• (3)                 ^у ^ ^у ° = ⁽ У 1 ^ у ! , у 2 ^ у 2 ) .

Если независимая интервальная переменная X своим неограниченным приближением к интервалу-пределу X ° вызывает неограниченное приближение зависимой интервальной переменной у к интервалу-пределу у ° , то говорим, что предел интервальной функции (1) при X , стремящемся к X ° , равен у ° :

• (4)                lim у = у ° или lim f ( X ) = у ° .

~ > х°                         ~ > х°

Если интервальная функция f (1) непрерывна, т.е. её нижняя f ₍ и верхняя f ₂ граничные функции есть непрерывные функции нижней х 1 и верхней х ₂ границ независимой переменной X = [ х 1 , х ₂], то предел функции f равен её значению в предельной точке X ° аргумента X , или символически

• (5)                 lim f ( X ) = f ( X ° ).

x ^ X °

Основное понятие интервальной производной вводится аналогично понятию обычной производной функции [6]. Рассмотрим произвольную интервальную функцию f вида (1). Будем считать её непрерывной. Зафиксируем значение независимой переменной X = X° = [ X ° , X 2 ] . Этому значению, в силу непрерывности функции, соответствует фиксированное значение самой функции у = f(X °). Определим приращение независимой и зависимой переменных функции относительно этих фиксированных значений

• (6)                A X = X - ~ ° , А у = у - у ° = f ( X ) - f ( X ° )

и составим отношение второго приращения к первому

• (7)                 А у / A X = ( у - у ° )/( X - X ° ) = (f ( X ) - f ( X ° ))/( X - X ° ).

Предел отношения (7) при неограниченном приближении независимой переменной X к её фиксированному предельному значению X ° , если он существует, называется интервальной производной функцией от исходной интервальной функции f ( X ) (1) в точке X ° и обозначается у L или fL ( X ). Таким образом,

• (8)                 у ~ ° = f ' ° ( X ) = lim А у / A X , где A X , А у из (6).

^{X X}              °

X ^ X

Доказано [4, 5, 7], что для существования у непрерывной интервальной функции у = f ( X ) в точке X ° интервальной производной необходимо и достаточно, чтобы в этой точке и некоторой её окрестности как независимая X , так и зависимая у переменные были существенно интервальными (т.е. не вырождались в точку).

Как и в случае обычной производной, понятие интервальной производной можно обобщить путём повторного выполнения операции взятия производной. При этом из интервальной производной 1-го порядка уX получается интервальная производная 2-го порядка уX, а из последней - интервальная производная 3-го порядка у” и т.д. Согласно введённым определениям интервальной производной любого порядка, все интервальные производные, как и исходная интервальная функция, при любом численном значении аргумента X в виде интерва- ла возможных значений X = [x1, x2 ] также принимают численные значения в виде интервала возможных значений. Поэтому вычисление интервальной функции и интервальной производной от неё любого порядка состоит в вычислении нижних и верхних граничных функций соответствующих интервальных функций. Вычисление интервальной функции f выполняется согласно формуле (1), задающей эту функцию в виде пары «нижняя f( и верхняя f2 граничные функции». Вычисление интервальной производной любого n -го порядка yXn) = f(")(Х) от интервальной функции y = f (X) выполняется с помощью формулы [7]

• (9)                   y x ^{n 1} =. ~ ( ⁿ ) ( Х ) = [ 7g ) ( Х ),~ 2 ⁽ п ) ( Х )],

где f⁽ " ) и f 2 ⁽ - соответственно нижняя и верхняя граничные функции интервальной производной f X" ) n -го порядка от исходной интервальной функции y = f ( X ). Эти граничные функции в формуле (9) выражаются в виде

• (10)                 f < г ) (~) =- 2 ^{n - l}( y 2 - У 1 )/( Х 2 - Х 1 ) " , f 5 ’( Х ) = 2 ^{n - l}( y 2 - У 1 )/( Х 2 - Х 1 ) " ,

при этом x 1 , х ₂ - нижняя и верхняя границы интервальной независимой переменной ~ = [ х ц, х ,] в точке взятия производной от функции y = f (X), y 1 ,y₂ - нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной y = [ y 1 , y ₂] этой функции в той же точке. Как следует из выражений (9), (10), интервальная производная любого порядка имеет вид интервала, симметричного относительно нуля. Это позволяет записать выражение интервальной производной любого n -го порядка (9), (10) в более простой форме

• (11)                   у х " ( Х ) = ~ .) (~) = [ - f Xⁿ ) (~), f (n ) ( Х )] ,

где

• (12)                  f ( ^{n )} ( X ) = 2 " ^{- 1} ( y 2 - y 1 )/( x 2 - X 1 ) " ,

а значения x 1 , x ₂, y 1 , y ₂ раскрыты в пояснениях к формуле (10).

Формулы (11), (12) позволяют находить интервальные производные любого порядка от любых интервальных функций, в том числе от элементарных интервальных функций.

3    Производные от элементарных интервальных функций

По определению любая элементарная интервальная функция y = f ( X ) вида (1) получается из соответствующей элементарной вещественной функции y = f ( x ) путём преобразования в соответствующие интервальные формы независимой переменной X = [ x 1 , х ₂], зависимой переменной y = [ y 1 , y ₂] и интервальной функции f = [ f_Аf 2 ] . Определение производных от элементарных интервальных функций начнём с простейшей интервальной функции - интервальной константы.

Функция интервальная константа выражается в виде

• (13)                  y = с = [ c 1 , c₂], c 1 = const, c ₂ = const, c 1 < c₂.

Из сравнения выражений (13) и (1) видно, что интервальная константа - это интервальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют следующий вид

• ⁽¹⁴⁾                 y 1 = ^f(Х) = ^f 1 ^{( Х} 1 , ^Х 2 ) = ^c 1 , y 2 = ^f > ( ^{Х )} = ^f 2 ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^c 2 .

Подставив (14) в общие формулы интервальных производных (11), (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной константы y = ~ в виде

• (15)                 у " ) = - " ) = [ Х„ c 2 ] = [ -4 ' ⁾( Х ), c () (~)] ,

где

С Xn ) ( x ) = 2 ^{n 1} ( с 2 - ^С 1 ) ^/(х 2 ^{- х} ₁) ⁿ

Как видно из (15), интервальная производная любого n -го порядка от интервальной константы с (13) не равна нулю (точнее, нулевому интервалу 0=[0,0]), в отличие от классической производной от вещественной константы, равной нулю. Более того, эта производная не является постоянной величиной, а существенно зависит от аргумента X = [x1,х2]. Согласно формуле (15), она существует во всех точках X, в которых х1 * х2, и монотонно убывает при увели чении разности х2 - х1.

Интервальная степенная функция выражается в виде

• (16)                  у = [У 1 ,у 2 ] = с ^m = [ X 1 , X 2 ] ^m ,

где X = [х1, х2] - интервальная независимая переменная, у = [у1, у2] - интервальная зависимая переменная. Будем считать, исходя из физических соображений, что в пределах одной (любой!) решаемой задачи переменная величина X = [X1,х2] может быть только неотрицательной или только неположительной, т.е. выполняется условие

х 1 , х ₂ >  0 или х 1 , х ₂ <  0.

Тогда интервальную степенную функцию (16) можно записать в явном интервальном виде по

средством следующей формулы:

хт хП

(18)                  у = [ у , у ₂ ] = [      ]

^{12      т} т ^т 1

1 ^{[ х} 2 , ^х 1 ^]

при х 1 ,х₂ >  0 или х 1 ,х₂ <  0, т нечётно; при х 1 ,х₂ <  0, т чётно.

Из сравнения выражения (18) с (1) видно, что интервальная степенная функция есть интер вальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют такой вид:

П = ^{f ( X )} = ^{f ( X} 1 , ^X 2 ) =

у 2 = ^f ! ^{( X} ) = ^f > ⁽X, ^X 2 ⁾ =

X ,

.^х 2 ,

при х, х₂ >  0 или X 1 , х ₂ < 0, т нечётно; при х» х₂ <  0, т чётно;

' т х2 ’

т

I ^{х 5}

при х 1 ,х₂ > 0 или х> х₂ < 0, т нечётно; при х, х₂ <  0, т чётно

Подстановка (19) в (11) и (12) даёт выражение производной любого n -го порядка от интервальной степенной функции у = х ^т (16) в виде

• (20)                    у ^{( n )} = ( х ^т ) ^{( n} ) = ([ х 1 , х ₂] ^т ) ^{( n} ) = [ - f ^{( n} ) ( X ), f ^{( n} ) ( X )] ,

где

f ^{( n )}( X ) =

' 2 ^{n - 1}( х ₂ ^т - х^т )/( х ₂ - х 1 ) ⁿ ,

<2 ^{n - 1}( х^т - х ₂ ^т )/( х ₂ - x) ⁿ ,

при х» х₂ >  0 или х 1 ,х₂ <  0, т нечётно; при х ₁, х ₂ < 0, т чётно.

Как видно из формулы (20), в интервальной производной любого n -го порядка (хт)(n) от интервальной степенной функции хт (16) при увеличении n показатель степени т не уменьшается, приближаясь к нулю, в отличие от классической производной от вещественной степенной функции. Интервальная производная (хт)(n), согласно формуле (20), существует во всех точках х =[х1,х2], в которых х1 ^х2; она монотонно убывает с увеличением разности х2 - х1.

Интервальная показательная функция выражается в виде

• (21)                    у = [ у 1 , у 2 ] = a ^X = a ^{[ X 1, х 2]} , a >  0 ,

где х = [ х 1 ,х ₂] - интервальная независимая переменная, у = [у 1 ,у ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7] интервальная функция a^x определяется в виде

• (22)                 a ^x = { a ^x | х g X ) ,

здесь a ^x - исходная обычная показательная функция, которая монотонно возрастает. Это позволяет записать интервальную показательную функцию (21) в явном интервальном виде с помощью формулы

• (23)                   у = [ y i , у 2 ] = [a ^X1 ,a ^x ], a >  0 .

Сравнивая (23) с (1), устанавливаем, что интервальная показательная функция есть интервальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой принимают вид:

• ⁽²⁴⁾                  У 1 = ^f , ^{( X )} = ^f , ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^a\ У 2 = ^f 2 ^{( x )} = ^f 2 ^{( x} 1 , ^x 2 ) = a ^, ^a >  ^{0 .}

Подставив (24) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной показательной функции у = a ^x (21)

• (25)                    у ^{( n )} = ( a ^x ) ^{( n )} = ( a ^{[ x} 1 , ) ^{n )} = [ — f ^{( n )} ( X ), f ^{( n )} ( X )],

где

f ^{( n )} ( x ) = 2 ^{n — 1} ( a ^x 2 - a ^{X 1} )/( x ₂ - x 1 ) ⁿ .

Из (25) видно, что в интервальной производной любого n -го порядка ( a ^x ) ^{( n} ) от интервальной показательной функции a ^x (21) при увеличении n перед данной функцией не появляются дополнительные множители ln a , в отличие от классической производной от вещественной показательной функции, у которой указанные множители появляются. Интервальная производная ( a x ) ^{( n )} , согласно (25), существует во всех точках х = [ х 1 , х ₂], в которых х 1 ^ х ₂; она монотонно убывает с увеличением разности х ₂ — х 1 .

Интервальная экспоненциальная функция выражается в виде

• ^{(26)                   у} = ^[ У 1 , у 2 ] = e = ^{e [ Х 1,} ■ ,

где х = [ х 1 , х 2 ] - интервальная независимая переменная, у = [ у 1 , у ₂] - интервальная зависимая переменная. Из сравнения (21) и (26) видно, что интервальная экспоненциальная функция (26) есть частный случай интервальной показательной функции (21) при a = e . Таким образом, из выражения (25) производной любого n -го порядка от интервальной показательной функции, положив в нем a = e , получим следующее выражение производной любого n -го порядка от интервальной экспоненциальной функции

• (27)                    у ^{( n )} = ( e ~ ) ^{( n )} = ( e ^{[ х} 1 , ) ^{n )} = [ — f ^{( n )} ( X ), / ^{( n )} ( X )],

при этом

f ^{( n} ) ( X ) = 2 ^{n — 1} ( e ^x 2 — e ^{X 1} )/( x ₂ — x 1 ) ⁿ .

Из (27) видно, что в интервальной производной ( e ^x ) ^{( n} ) любого n -го порядка от интервальной экспоненты е ^х (26) при увеличении n изменяется множитель перед экспонентой, равный

• (28)                 M = 2 ^{n - 1} /( x ₂ — х 1 ) ⁿ ,

в отличие от классической производной от вещественной экспоненты, у которой такого множителя нет. Интервальная производная ( e ^x ) ^{( n )} , согласно формуле (27), существует во всех точках х = [ х 1 , х ₂], в которых х 1 ^ х ₂. Она монотонно убывает с увеличением разности ^{х 2 х} 1 .

Интервальная логарифмическая функция выражается в виде

• (29)                  у = [ У 1 , у 2 ] = log a X = log, [ X 1 , х 2 ] a >  0,

где x = [ x 1 ,x ₂] - интервальная независимая переменная, у = [у 1 ,у ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7] интервальная функция log _ax определяется в виде

• (30)       log _ax = {log _ax | x g x }, a > 0, a * 1,

при этом log _a x - исходная обычная логарифмическая функция, которая монотонно возрастает. Это позволяет записать интервальную логарифмическую функцию (29) в явном интервальном виде посредством формулы

• (31)                  у = [ У 1 , у 2 ] = [log a x i ,log a x 2 ], a >  0, a * 1.

Сравнивая (31) с (1), приходим к выводу, что интервальная логарифмическая функция - это интервальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой выглядят как

• ⁽³²⁾                  У 1 = ^f , ^{( x} ) = ^f , ^{( x} 1 , ^x 2 ) = log a ^x 1 , У 2 = f > ^{( x} ) = f 2 ^{( x} 1 , ^x 2 ) = log a ^x 2 , ^a >  ⁰ , ^a * ¹

Подставляя выражения (32) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной логарифмической функции у = log _a x (29) в виде

• (33)                  У ^{1 n )} = (log a x) ^{1 n )} = (log a [ x 1 , x 2 ]) ' n ) = [ - f " ' ( x ), f " ' ( x )],

где

f ^{( n)} (x) = 2 ^{n - 1} (log _ax₂ - log _ax 1 )/( x ₂ - x 1 ) ⁿ , a >  0, a * 1, или, после потенцирования,

f ^{( n)} (x) = 2 ^{n - 1} log _a ( x ₂/ x 1 )/( x ₂ - x 1 ) ⁿ , a >  0, a * 1.

Как видно из (33), в интервальной производной (log _ax ) ^{( n} ) любого n -го порядка от интервальной функции логарифм log _a x исходная логарифмическая функция остаётся логарифмической, в отличие от классической производной от вещественной логарифмической функции log _ax , которая равна 1/ x ln a , т.е. является рациональной функцией. Интервальная производная (log x )^{( n )} существует во всех точках x = [ x 1 , x ₂], в которых x 1 * x ₂, и монотонно убывает с увеличением разности x ₂ - x 1 .

Интервальная натуральная логарифмическая функция выражается в виде

• (34)                  у = [ У 1 , у 2 ] = ln x = ln[ x 1 , x 2 ],

где x = [ x 1 , x ₂] - интервальная независимая переменная, у = [ у 1 , у ₂] - интервальная зависимая переменная. Из сравнения (29) и (34) видно, что интервальная натуральная логарифмическая функция (34) есть частный случай интервальной логарифмической функции (29) при a = e . Производная любого n -го порядка от интервальной натурально-логарифмической функции представляется в виде

• (35)                    у ^{( n )} = (ln x ) ^{( n )} = (ln x 1 , x ₂]) ^{( n )} = [ - f ^{( n )} ( x ), f ^{( n )} ( x )] ,

где

f ^{( n )} ( x ) = 2 ^{n - 1} ln( x 2 / x 1 )/( x 2 - x 1 ) ⁿ .

Как видно из (35), интервальная производная любого n -го порядка (ln x ) ^{( n )} от интервальной натурально-логарифмической функции ln x является натурально-логарифмической, в отличие от производной от обычной натурально-логарифмической функции ln x , которая равна 1/ x и является рациональной функцией. Найденная интервальная производная (lr x ) ^{( n )} существует во всех точках x = [ x 1 , x 2 ], в которых x 1 * x ₂. Она монотонно убывает с увеличением разности x ₂ - x 1 .

Интервальная тригонометрическая функция синус выражается в следующем виде

• (36)                  у = [у 1 , у 2 ] = sin x = sinE x ! , x₂],

где x = [ x 1 ,x₂] - интервальная независимая переменная, у = [ у 1 ,у ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7] интервальная функция sin ~ определяется в виде

• (37)                 sin x = {sin x | x e x ) ,

здесь sin x - исходная обычная тригонометрическая функция синус, которая монотонно возрастает на интервале -л /2 <  x <  л /2 и принимает все возможные значения от -1 до 1. Последнее позволяет записать интервальную тригонометрическую функцию синус (37) в явном интервальном виде

• (38)                  у = [ у 1 , у ₂] = sin x = sin[ x 1 , x ₂] = [sin x 1 ,sin x ₂].

Сравнивая (38) с (1), заключаем, что интервальная тригонометрическая функция синус есть интервальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• ⁽³⁹⁾                 у = / . (~ = f ^{( x} i , ^x 2 ) = ^{sin x} 1 , у 2 = f > ^{( x )} = f > ( ^x 1 , ^x 2 ) = ^{sin x} 2 ^.

Подставляя (39) в (11) и (12), получаем выражение производной любого n -го порядка от интервальной тригонометрической функции у = sin x в виде

• (40)                    у ^{( n )} = (sin x ) ^{( n} ) = (sin[ x 1 , x ₂]) ^{( n )} = [ - f ^{( n )} ( x ), f ^{( n )} ( x )] ,

где

f ^{( n} ) ( x ) = 2 ^{n - 1} (sin x ₂ - sin x 1 )/( x ₂ - x 1 ) ⁿ .

Из формулы (40) видим, что в интервальной производной любого n -го порядка (sin x ) ^{( n} ) от интервальной тригонометрической функции sin x исходная тригонометрическая функция синус остаётся синусом, в отличие от производной от обычной тригонометрической функции sin x , которая равна cos x . Интервальная производная (sin x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x 1 , x 2 ], в которых x^x 2 . Она монотонно убывает с увеличением разности x 2 - x 1 .

Интервальная тригонометрическая функция косинус выражается в виде

• (41)                 у = [ у 1 , у 2 ] = cos x = cos[ x 1 , x 2 ],

где x = [ x 1 , x ₂] - интервальная независимая переменная, у = [ у 1 , у ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7] интервальная функция cos x определяется в виде

• (42)                cos x = {cos x | x e x ) ,

здесь cos x - исходная обычная тригонометрическая функция косинус, которая монотонно убывает на интервале 0 < x < л , принимая последовательно все свои возможные значения от 1 до -1. Это позволяет записать интервальную тригонометрическую функцию косинус в виде (43)                 у = [ у 1 , у ₂] = cos x = cos [ x 1 , x ₂] = [cos x ₂,cos x 1 ].

Сравнивая (43) с (1), получаем, что интервальная тригонометрическая функция косинус является интервальной функцией, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• (44)                 у 1 = ^f 1 ^{( x )} = ^f , ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^{cos x} 2 , у 2 = ^f 2 ^{( x )} = ^f 2 ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^cos x k

Подставляя (44) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной тригонометрической функции у = cos x в виде

• (45)                    у ^{( n )} = (cos x ) ^{( n )} = (cos [ x 1 ,% 2 ]) ^{( n} ) = [ - f ^{( n} ) ( x ), f ^{( n} ) ( x )] ,

где

f ^{( n )} ( x ) = 2 ^{n - 1} (cos x 1 - cos x ₂)/( x ₂ - x 1 ) ⁿ .

Согласно (45), в интервальной производной любого n -го порядка (cos x ) ^{( n} ) исходная тригонометрическая функция косинус остается косинусом, в отличие от производной от вещественной тригонометрической функции cos x , равной - sin x . Интервальная производная

(cos x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x 1 , x ₂], где x₁ ^ x₂. Она монотонно убывает с увеличением разности x ₂ — x 1 .

Интервальная тригонометрическая функция тангенс выражается в виде

• (46)                 У = [ У 1 , У 2 ] = tg x = tg[ x^ x 2 ],

где x = [ x 1 , x ₂] - интервальная независимая переменная, y = [ y 1 , y ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7], интервальная функция tg x определяется в виде

• (47)                 tg x = {tg x | x e x } ,

причём tg x - исходная обычная тригонометрическая функция тангенс, которая монотонно возрастает на интервале —я /2 < x <я /2, где она последовательно принимает все свои возможные значения от — го до + го . Это позволяет записать интервальную тригонометрическую функцию тангенс (47) в явном интервальном виде

• (48)                  ^y = ^[ У 1 , У 2 ] = tg x = tg| x i , x ₂| = [tg x ^tg x 2 ^].

Сравнив выражение (48) с (1), устанавливаем, что интервальная тригонометрическая функция тангенс есть интервальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• ⁽⁴⁹⁾                  У 1 = / 1 ^{( x )} = f , ^{( x} 1 , ^x 2 ) = tg ^x 1 , y 2 = f > ^{( x )} = f > ^{( x} 1 , ^x 2 ) = tg ^x 2 .

Подставляя (49) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной тригонометрической функции y = tg x в виде

• (50)                 у ^{( n )} = (tg x ) ^{( n} ) = (tg[ x^ x 2 ]) ^{( n )} = [ — f ^{( n} ) ( x ), f ^{( n} ^L

где

f ^{( n} ) ( x ) = 2 ^{n — 1} (tg x 2 — tg x 1 )/( x 2 — ^x 1 ) ⁿ .

Формула (50) показывает, что в интервальной производной любого n -го порядка (tg x ) ^{( n} ) от интервальной тригонометрической функции tg x исходная тригонометрическая функция тангенс остаётся тангенсом, в отличие от классической производной от вещественной тригонометрической функции tg x , равной 1/cos ² x . Интервальная производная (tg x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x 1 , x 2 ], где x 1 * x ₂. Она монотонно убывает с увеличением разности x ₂ — x 1 .

Интервальная тригонометрическая функция котангенс выражается в виде

• (51)                 ^у = ^[ У 1 , У 2 ] = ctg ^x = ^ctg^[ ^, x 2 ^],

где x = [ x 1 , x ₂] - интервальная независимая переменная, y = [ y 1 , у ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7], интервальная функция ctg x определяется в виде

• (52)                 ctg x = {ctg x | x e x } ,

здесь ctg x - исходная обычная тригонометрическая функция котангенс, которая монотонно убывает на интервале 0 <  x <  я , где она последовательно принимает все возможные значения от +го до —го . Это позволяет записать интервальную тригонометрическую функцию (52) в явном интервальном виде

• (53)                 У = [ У 1 , У 2 ] = ctg x = ctg[ x 1 , x 2 ] = [ctg x 2 ,ctg x j.

Сравнивая (53) с (1), видим, что интервальная тригонометрическая функция котангенс есть интервальная функция, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• ⁽⁵⁴⁾                  У 1 = f , ^{( x )} = f , ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^ctg ^x 2 , У 2 = f 2 ^{( x )} = f 2 ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^ctg ^x 1 .

Подставляя (54) в (11) и (12), получаем выражение производной любого n -го порядка от интервальной тригонометрической функции y = ctg x в виде

• (55)                  у™ = (ctg x )'” ) = (ctg[ x 1 , x 2 ]) ™ = [ — f < ^{n )} ( x ), f < ^{n )} ( x )] ,

где

.^{f (} n ^{) ( x )} = ² n ^{l (c}'tg X j - Ctg X 2 )/( ^x 2 ^- X) n .

Выражение (55) показывает, что в интервальной производной любого n -го порядка (ctg x ) ^{( n} ) от интервальной тригонометрической функции ctg x исходная тригонометрическая функция котангенс остаётся котангенсом, в отличие от классической производной от обычной тригонометрической функции ctg x , которая равна - 1/sin ² x . Интервальная производная (ctg X ) ^{( n )} существует во всех точках x = [ x ₁, x ₂], в которых x ₁ ^ x ₂. Она монотонно убывает с увеличени- x ₇ - x ем разности ^{2   1}.

Интервальная обратная тригонометрическая функция арксинус выражается в виде (56)                 y = [y1, y2 ]=arcsin x = arcsin [x1, x2 ], где x=[xx,] - интервальная независимая переменная, y =[y1,y2] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7], интервальная функция arcsin x определяется в виде (57)                arcsin x = {arcsin x | x ex}, в котором arcsin x есть исходная обычная обратная тригонометрическая функция арксинус. Последняя монотонно возрастает на интервале -1< x <1, проходя последовательно все возможные значения от — л / 2 до л / 2. Это позволяет записать интервальную обратную тригонометрическую функцию (57) в явном интервальном виде следующим образом

• (58)                  y = [ y ₁, y ₂ ] = arcsin x = arcsin [ x ₁, x ₂ ] = [arcsin x ₁, arcsin x ₂ ].

Сравнивая (58) с (1), устанавливаем, что интервальная обратная тригонометрическая функция арксинус является интервальной функцией, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• (59)                 y = f ( v ) = f ( x ₁, x ₂) = arcsin x ₁, y ₂ = f ₂( x ) = f > ( x ₁, x ₂) = arcsin x ₂.

Подставив (59) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной обратной тригонометрической функции y = arcsin x в виде

• (60)                   y ^{( n )} = (arcsin x ) ^{( n} ) = (arcsin [ x ₁, x ₂]) ^{( n} ) = [ - f ^{( n} ^ x ), f ^{( n} ) ( x )] ,

где

_f ^{( n} ) ( x ) = 2 ^{n - 1} (arcsin x ₂ - arcsin x ₁)/( x ₂ - x ₁) ⁿ .

Как видно из формулы (60), в интервальной производной любого n -го порядка (arcsin x ) ^{( n} ) от интервальной обратной тригонометрической функции arcsin x исходная обычная обратная тригонометрическая функция арксинус остаётся арксинусом, в отличие от производной от обычной обратной тригонометрической функции arcsin x , равной 1/71 - x ² . Производная (arcsin x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x ₁, x ₂], где x ₁ ^ x ₂ и монотонно убывает с увеличением разности x ₂ - x ₁.

Интервальная обратная тригонометрическая функция арккосинус выражается в виде (61)               y =[y{,y2]=arccos x=arccos[x^x2], где x =[x1, x2] - интервальная независимая переменная, y =[y,y2] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7], интервальная функция arccos x определяется в виде

• (62)                arccos x = {arccos x | x e x } ,

при этом arccos x - исходная обычная обратная тригонометрическая функция арккосинус, которая монотонно убывает на интервале - 1 < x < 1, проходя последовательно все возможные значения от л до 0. Это позволяет записать функцию арккосинус (62) в интервальном виде

• (63)                 y = [y₁,y ₂] = arccos x = arccos [ x₁,x ₂] = [arccos x ₂,arccos x ₁].

Сравнив выражение (63) с (1), видим, что интервальная обратная тригонометрическая функция арккосинус является интервальной функцией, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• (64)                 y ₁ = f(x) = f . ( x ₁, x ₂) = arccos x ₂, y ₂ = f , ( x ) = f , ( x ₁, x ₂) = arccos x ₁.

Подставив выражения (64) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной обратной тригонометрической функции y = arccos x в виде

• (65)                   y ^{( n )} = (arccos x ) ^{( n} ) = (arccos [ x ₁, x ₂]) ^{( n} ) = [ - f ^{( n} ) ( x ), f ^{( n} ) ( x )] ,

где

f ^{( n} ) ( x ) = 2 ^{n - 1} (arccos x ₁ - arccos x ₂)/( x ₂ - x ₁) ⁿ .

Формула (65) показывает, что в интервальной производной любого n -го порядка (arccos x ) ^{( n} ) от интервальной обратной тригонометрической функции arccos x исходная обычная обратная тригонометрическая функция арккосинус остаётся арккосинусом, в отличие от производной от обычной обратной тригонометрической функции arccos x , которая равна - 1/V1 - x ² . Интервальная производная (arccos x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x₁,x₂], в которых x ₁ ^ x ₂. Она монотонно убывает с увеличением разности x ₂ - x ₁.

Интервальная обратная тригонометрическая функция арктангенс выражается в виде

• (66)                 y = [ y 1 , y 2 ] = arctg x = arctg [ x , x 2 ],

где x = [ ^ 1 , x ₂] - интервальная независимая переменная, y = [у,y ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7] интервальная функция arctg x определяется в виде

• (67)                 arctg x = {arctg x | x e x ) ,

в котором arctg x - исходная обычная обратная тригонометрическая функция арктангенс. Последняя монотонно возрастает на интервале -да< x <« , проходя последовательно все возможные значения от - л /2 до л /2, что даёт возможность записать интервальную обратную тригонометрическую функцию арктангенс (67) в виде

• (68)                  y = [ y ₁, y ₂] = arctg x = arctg [ x ₁, x ₂] = [arctg x ₁,arctg x ₂].

Сравнив выражение (68) с (1), увидим, что интервальная обратная тригонометрическая функция арктангенс является интервальной функцией, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• (69)                 y 1 = f 1 ( x ) = f X x 1 , x 2 ) = arctg x 1 , y 2 = f , ( x ) = f , ( x 1 , x , ) = arctg x 2 .

Подставив (69) в (11) и (12), найдём выражение производной любого n -го порядка от интервальной обратной тригонометрической функции y = arctg x в виде

• (70)                   y ^{( n )} = (arctg x ) ^{( n} ) = (arctg[ x 1 , x ₂]) < ⁿ ) = [ - f ^{( n )} ( x ), f ^{( n )} ( x )] ,

где

f ^{( n )} ( x ) = 2 ^{n - 1} (arctg x ₂ - arctg x ₁)/( x ₂ - x ₁) ⁿ .

Формула (70) показывает, что в интервальной производной любого n -го порядка (arctg x ) ^{( n} ) от интервальной обратной тригонометрической функции arctg x исходная обратная тригонометрическая функция арктангенс остаётся арктангенсом, в отличие от производной от обычной обратной тригонометрической функции arctg x , которая равна 1/(1 + x ²). Интервальная производная (arctg x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x ₁, x ₂], в которых x ₁ ^ x ₂. Она монотонно убывает с увеличением разности x ₂ - x ₁.

Интервальная обратная тригонометрическая функция арккотангенс выражается в следующем виде

• (71)                У = [У 1 , У 2 ] = arcctg x = arcctg[ x 1 , x^,

где x = [ x 1 , x ₂] - интервальная независимая переменная, у = [y 1 ,у ₂] - интервальная зависимая переменная. Согласно [4, 5, 7] интервальная функция arcctg x определяется в виде

• (72)                 arcctg x = {arcctg x | x e x } ,

при этом arcctg x есть исходная обычная обратная тригонометрическая функция арккотангенс. Последняя монотонно убывает на интервале -да< x <^ и проходит последовательно все возможные значения от ^ до 0. Это позволяет записать интервальную обратную тригонометрическую функцию арккотангенс (72) в виде

• (73)                  у = [ у 1 , y ₂ ] = arcctg x = arcctg [ x 1 , x ₂ ] = [arcctg x ₂, arcctg x 1 ].

Сравнив (73) с (1), видим, что интервальная обратная тригонометрическая функция арккотангенс является интервальной функцией, нижняя и верхняя граничные функции которой имеют вид

• ⁽⁷⁴⁾                 У 1 = / 1 ^{( x )} = ^f(x 1 , ^x 2 ) = arcctg ^x 2 , У 2 = f > ^{( x )} = f 2 ^{( x} 1 , ^x 2 ) = ^arcctg ^x 1 .

Подставив (74) в (11) и (12), получим выражение производной любого n -го порядка от интервальной обратной тригонометрической функции у = arcctg x в виде

• (75)                  у ^{( n )} = (arcctg ~) ^{( n} ) = (arcctg [ x 1 , x ₂ ]) ^{( n} ) = [ - f ^{( n} ^ f ^{( n} ) ( x )] ,

где

f ^{( n )} (~) = 2 ^{n - 1} (arcctg x 1 - arcctg x ₂)/( x ₂ - x j ⁿ .

Формула (75) показывает, что в интервальной производной любого n -го порядка (arcctg x ) ^{( n} ) от интервальной обратной тригонометрической функции arcctg x исходная обратная тригонометрическая функция арккотангенс остаётся арккотангенсом, в отличие от производной от обычной обратной тригонометрической функции arcctg x , которая равна - 1/(1 + x ² ). Интервальная производная (arcctg x ) ^{( n} ) существует во всех точках x = [ x 1 , x ₂], в которых x 1 + x ₂. Она монотонно убывает с увеличением разности x ₂ - x 1 .

4 Обсуждение

Проблема вычисления производных от интервально-определённых функций существенно отличается от аналогичной проблемы для полностью определённых функций. Это отличие связано с известным отличием процесса вычисления полностью определённой функции от процесса вычисления интервальной функции - во втором случае приходится вычислять параллельно две независимые точно заданные функции - нижнюю и верхнюю граничные функции интервальной функции. В связи с этим отличием вычисление неполностью определённой - интервальной функции оказывается более сложным [8-13]. Эта сложность вычисления распространяется и на производные от интервальных функций, поскольку они также являются интервальными функциями. Поэтому предпринятое в статье детальное изучение производных элементарных функций, сопровождаемое получением простых формул для вычисления этих производных, является важным шагом на пути уменьшения сложности вычисления интервальных функций.

В процессе изучения выявлены различия между интервальными производными от интервальных элементарных функций и классическими производными от детерминированных элементарных функций. Главное различие состоит в том, что производная любого n -го

( n = 1,2,...) порядка от любой интервальной функции P(х ), в частности, элементарной функции, всегда представляет собой функцию класса P ( х )/ х ^п . Поэтому интервальную производную любого n -го порядка с полным правом можно интерпретировать как скорость n -го порядка изменения функции P ( х ) относительно её аргумента х . Известно, что классическая производная любого порядка n от любой детерминированной функции P ( х ) не обязательно представляет собой функцию класса P ( х )/ х^п . Поэтому такую производную в общем случае нельзя интерпретировать как скорость n -го порядка изменения функции P ( х ) относительно её аргумента. Это означает, в свою очередь, что классическая производная Ньютона-Лейбница, в отличие от интервальной производной, вообще говоря, не может считаться адекватной моделью динамики большинства природных объектов и процессов.

Заключение

В работе получен полный набор производных любых порядков от всех элементарных интервальных функций. Выявлены различия между интервальными производными от интервальных элементарных функций и классическими производными от обычных детерминированных элементарных функций. Показано, что учёт неопределённости исходных функций в форме интервальности их возможных значений делает производные от них адекватными моделями динамики природных процессов.