Дифференцирования и автоморфизмы в алгебре измеримых комплекснозначных функций

Юрию Федоровичу Коробейнику к его семидесятипятилетию

Устанавливается, что в алгебре (классов эквивалентности) всех комплекснозначных измеримых функций над локально сепарабельным пространством с мерой имеются существенно нетривиальные комплексные дифференцирования и нерасширяющие автоморфизмы, отличные от тождественного.

Настоящая заметка является продолжением работ [1, 2]. В ней устанавливается, что если пространство с мерой локально сепарабельно, то в соответствующей алгебре (классов эквивалентности) всех комплекснозначных измеримых функций имеются существенно нетривиальные дифференцирования и существенно нетривиальные нерасширяющие автоморфизмы. Напомним соответствующие определения.

Как обычно [3, 4], под пространством с мерой подразумевается тройка (Q, S,р) , удовлетворяющая условиям: (a) если A С Q и A П К Е S для каждого К Е S , удовлетворяющего условию р(К ) < + го , то A Е S ; (b) если A Е S и р(A) = + то , то существует A o Е S такой, что A o С A и 0 < р^ б ) < + ^ ; (c) если A Е S , р(A) = 0 и A o С A , то A o Е S .

Положим N := N (р) := { A Е S : р(A) = 0 } . Фактор-алгебра B(Q, S, р) := S/ N является σ -алгеброй, которую именуют алгеброй измеримых множеств по модулю множеств меры нуль. Функция р : ЗВ ^ R U { + го} , определяемая равенством р = р ◦ у , где у : S ^ ИЗ — фактор-гомоморфизм, счетно аддитивна, существенно положительна и локально конечна, см. [3, гл. 1, § 6; 4, 2.1.10].

Пару (ИЗ , р ) называют нормированной булевой алгеброй , если ИЗ — булева ст -алгебра и µ — конечная строго положительная счетно аддитивная мера на . Нормированную булеву алгебру (ИЗ, р) наделяют метрикой рДх, y) := р(х M у) и несложно проверить, что метрическое пространство (ИЗ , р ^ ) полно, см. [5].

Говорят, что пространство мерой (Q, S, р) локально сепарабельно , если S содержит семейство (Q ^ ) g _e= попарно непересекающихся множеств конечной меры, удовлетворяющих следующим двум требованиям:

• (1)    для каждого измеримого подмножества A Е S конечной меры существуют счетное множество индексов 0 С Е и множество нулевой меры A o Е N такие, что

• A = Ao U

(A П Q _e ));

(с) 2005 Кусраев А. Г.

• (2)    для каждого индекса £ £ Е пространство с мерой Bg := B(Q g , В g , ^) , где В g : = { A П Q g : A £ Q } и ^ g — ограничение ^ на Q g , сепарабельно.

Если выполнено только условие (1), то говорят, что (Q, В, ^) обладает свойством прямой суммы, и в этом случае является полной булевой алгеброй.

Пусть L 0 := L ⁰> (Q, В, ^) (соответственно, L 0 := L 0 (Q, В, ^) ) — пространство классов эквивалентности всех измеримых вещественнозначных (комплекснозначных) функций на Q .

Допустим, что L — алгебра (ниже — одна из алгебр L 0 , L ⁰., L ^ и L ^ ). Линейный оператор D : L ^ L называют дифференцированием , если для любых f,g £ L выполнено условие D(fg) = D(f )g +fD(g) . Эндоморфизм алгебры — линейный мультипликативный оператор в ней. Биективный эндоморфизм называют автоморфизмом . Подчеркнем, что дифференцирование и автоморфизм в комплексных алгебрах (D-линейны, а в вещественных алгебрах В-линейны.

Ненулевое дифференцирование, а также отличный от тождественного отображения автоморфизм принято называть нетривиальными. Дифференцирование (авторморфизм) S в L назовем существенно нетривиальным , если для любого порядкового проектора п £ P(L) из nS = 0 (соответственно nS = nl L ) следует п = 0 . Основной результат заметки сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема. Пусть (Q, В,^ ) — локально сепарабельное пространство с безатомной мерой. Тогда справедливы утверждения:

• (1)    в L 0 (Q, В, ^) имеются существенно нетривиальные дифференцирования;

• (2)    в L ⁰ ,(Q, В, ^) имеются существенно нетривиальные дифференцирования;

• (3)    в L 0 (Q, В,^) имеется единственный нерасширяющий автоморфизм — тождественное отображение;

• (4)    в L 0 (Q, В, ^) имеются существенно нетривиальные нерасширяющие автоморфизмы.

C Утверждение (3) верно для произвольного пространства с мерой со свойством прямой суммы без предположения локальной сепарабельности. В самом деле, автоморфизм S алгебры L ⁰ должен быть положительным оператором, так как при 0 6 f £ L ⁰ выполняется S(f ) = S(Vf ) = (S(v7)) 2 >  0 . Но нерасширяющий положительный оператор имеет вид Sf = gf (f £ L ⁰ ) для некоторого 0 6 g £ L°, причем g ² = g ввиду мультипликативности S . Тем самым, g — функция, тождественно равная единице и S = I l o . Оставшаяся часть устанавливается ниже в леммах 1–6. B

Булеву σ -алгебру называют σ -дистрибутивной, если для любой двойной последовательности (b n,m ) _n,mES в В выполнено условие:

• V /\ ^b n,m = /\ У b n,^ ( n ) - nG^ " mGN       ^eN^N n€N

Другие эквивалентные определения имеются в [6]. Скажем, что разбиение единицы B ⊂ вписано в разбиение единицы C ⊂  , если для каждого b ∈ B найдется такой c ∈ C , что b 6 c.

Лемма 1. Полная булева алгебра σ -дистрибутивна в том и только в том случае, если в каждую последовательность двухэлементных разбиений единицы в можно вписать разбиение единицы.

C Можно показать (см. [6, п. 19.1], что булева σ-алгебра   будет σ-дистрибутивной в том и только в том случае, если для любой последовательности (Ьп)пел. в В выполнено условие:

_ A ^e(n)bn = ^

eG{-1,1p' nG^

где 1b = b и ( — 1)b := b * : = 1 — b , а 1 : = 1b — единица алгебры ИЗ. Но в силу принципа исчерпывания это условие равносильно требуемому, см. также [7]. B

Лемма 2. Декартово произведение полных булевых алгебр σ-дистрибутивно в том и только в том случае, если каждый сомножитель — σ-дистрибутивная булева алгебра.

C Необходимость очевидна; докажем достаточность. Если — декартово произведение семейства булевых полных алгебр (ИЗ _a ) _{a G}A и 1_а — единица алгебры ПЗ_а, то можем считать, что ПЗ_а служит главным идеалом в ИЗ, порожденным элементом 1_а. Возьмем произвольную последовательность (b n ) _nGy в ИЗ и последовательность двухэлементных разбиений единицы ( { b n Л l_a , b n Л l_a } ) _nGA. в ПЗ_а. Согласно лемме 1 в ПЗ_а существует разбиение единицы (a * ) *G S( _a ) , вписанное в указанную последовательность двухэлементных разбиений единицы. Если B := { a * : £ G H(a), а Е A } , то B — разбиение единицы в ИЗ, вписанное в последовательность двухэлементных разбиений единицы ( { b n , b n } ) _nGA.". B

Лемма 3. Пространство с мерой (Q, Х,^) будет локально сепарабельным в том и только в том случае, если булева алгебра U3(Q, Х, ^) изоморфна декартову произведению сепарабельных нормированных булевых σ -алгебр.

C Следует из определений в силу [4, теорема 1.2.11]. B

Лемма 4. Сепарабельная нормированная булева σ -алгебра σ -дистрибутивна в том и только в том случае, если она атомна или, что то же самое, изоморфна булеану P (A) для некоторого непустого множества A .

C Неочевидная часть леммы утверждает, что σ -дистрибутивная сепарабельная нормированная булева алгебра атомна. Докажем это пользуясь леммой 1. Возьмем счетное плотное в ИЗ множество B С ИЗ. В силу леммы 1 существует разбиение единицы (a * ) * _G= в ИЗ такое, что для любого £ Е е существует b * Е B, для которого либо a * 6 b * , либо a * 6 b * . Возьмем теперь произвольный элемент b Е ИЗ и подберем последовательность (b n ) С B , сходящуюся по метрике к b . Для фиксированного £ Е е положим N 1 (£) := { n Е IN : a * 6 b n } и N 2 (£) := { n Е IN : a * 6 b n } . Так как N 1 (£) U N 2 (£) = IN, то по крайней мере одно из множеств N i (£) и N 2 (£) бесконечно. Если N i (£) бесконечно, то имеется подпоследовательность (b n k ) , для которой a * 6 b n k ( k Е IN). Переход к метрическому пределу с учетом непрерывности решеточных операций в нормированной булевой алгебре дает a * 6 b . Если же бесконечно множество N 2 (£) , то по аналогичной причине a * 6 b * , следовательно, a * — атом алгебры ИЗ. Положим A := { a * : £ Е е } \ {©} . Так как A — разбиение единицы, то для любого ненулевого элемента b Е будет

_{b Л a : a Е A} = b, следовательно, b Л a = (D для некоторого a Е A. Отсюда видно, что a 6 b. Теперь ясно, что булева алгебра ИЗ атомна и изоморфна булеану P(A). B

В связи с установленной леммой важно подчеркнуть, что существуют и базатомные σ -дистрибутивные полные булевы алгебры (см. [4, 5.1.8]).

В следующих двух леммах L — расширенное K -пространство (вещественное или комплексное) с фиксированной единицей. Тогда в L имеется единственная мультипликативная структура, превращающая L в f -алгебру, в которой порядковая единица служит кольцевой единицей. Базу L (т. е. булеву алгебру всех порядковых проекторов в L ) обозначим символом P(L) . О комплексификации вещественных K -пространств и соответствующих понятий см. [8].

Лемма 5. Предположим, что для любого ненулевого порядкового проектора п £ P(L) существует ненулевой порядковый проектор р G P(L), р 6 п , такой, что в алгебре pL имеется нетривиальное дифференцирование ( нетривиальный нерасширяющий автоморфизм ). Тогда в алгебре L имеется существенно нетривиальное дифференцирование ( существенно нетривиальный нерасширяющий автоморфизм ).

C Если S — нетривиальное дифференцирование в L, то для проектора п о := \/{ п £ P(L) : пS = 0 } будет ^S = 0 и п о = I l. Тем самым, дифференцирование п 0 S существенно нетривиально в полосе ^(L) . Отсюда видно, что при соблюдении условий леммы в каждой ненулевой полосе пространства L имеется полоса с существенно нетривиальным дифференцированием. В силу принципа исчерпывания для булевых алгебр существуют разбиение единицы (р ^ ) С P(L) и семейство (S ^ ) такие, что р ^ S ^ — существенно нетривиальное дифференцирование в полосе р ^ (L) . Оператор S : = о-^^ р ^ S ^ будет искомым существенно нетривиальным дифференцированием в алгебре L . Утверждение относительно автоморфизмов устанавливается теми же рассуждениями. B

Лемма 6. Существует порядковый проектор п G P(L) такой, что булева алгебра P(пL) является ст -дистрибутивной и для любого ненулевого проектора р G P(L), р 6 п * , в f -алгебре pL имеется нетривиальное дифференцирование ( нетривиальный нерасширяющий автоморфизм ) .

C В силу леммы 2 и принципа исчерпывания существует наибольший проектор п G P(L) , для которого булева алгебра P(пL) ст -дистрибутивна, в то время как в Р(п * L) нет σ -дистрибутивных компонент. Тем самым, требуемое вытекает из установленного в [2] факта, что если P(pL) не является ст -дистрибутивной, то в pL имеются нетривиальное дифференцирование и нетривиальный нерасширяющий автоморфизм. B

Замечания. (1) Понятно, что нетривиальные дифференцирования и автоморфизмы, о которых идет речь в установленной теореме, не могут быть порядково ограниченными, а значит, и регулярными. Следовательно установленный результат дает пример расширенного K -пространства, в котором имеются квалифицированные нерасширяющие нерегулярные операторы — дифференцирования и автоморфизмы. Первый пример нерегулярного нерасширяющего линейного оператора в расширенном K -пространстве был построен в [9, 10].

• (2)    Задача об описании расширенных пространств Канторовича, в которых всякий нерасширяющий линейный оператор автоматически порядково ограничен, была поставлена в [11] и решена в [7, 12]. Булевозначный подход к этому кругу вопросов см. в [1]. Дальнейшие подробности можно найти в [4, 13].

• (3)    Если мера ^ атомна, то пространство L 0 := L0, (Q, S,^) дискретно, стало быть, изоморфно E := M^M для некоторого непустого множества M . В этом случае нетривиальных дифференцирований и нерасширяющих автоморфизмов в E нет. В то же время в E имеются существенно нетривиальные кольцевые (т. е. не являющиеся С-однородными) дифференцирования и автоморфизмы. В самом деле, если δ и α — соответственно нетривиальные дифференцирование и автоморфизм в О (см. [14]), то существенно нетривиальные дифференцирование и нерасширяющий автоморфизм E можно определить путем сопоставления комплекснозначной функции x : M ^ С' композиций 6 о x и а о x соответственно.

• (4)    Для сравнения с основным результатом отметим, что в пространстве (классов эквивалентности) существенно ограниченных измеримых функций L “ (Q, S,^) нет нетривиальных дифференцирований и нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.