Дифференцирования со значениями в идеальных F-пространствах измеримых функций

Известно, что любое дифференцирование на C *-алгебре B всегда непрерывно по норме [11, 4.1.3], и в случае, когда алгебра B коммутативна, на ней нет ненулевых дифференцирований. В частности, для коммутативных алгебр фон Неймана L_ro(Q, A, Д) всех комплексных существенно ограниченных измеримых функций, заданных на. измеримом пространстве с мерой (Н, A,Д). любое дифферешщровапие на. L^(Q, A, Д) тождественно равно нулю. В то же время, на коммутативных *-алгебрах L₀(H, A, Д всех комплексных измеримых функций, заданных на неатомическом пространстве с мерой (Q, A, д) существует не менее континуума, попарно различных ненулевых дифференцирований [1, 2].

В случае коммутативных AW *-алгебр B = C (Q(V), C) критерием существования ненулевых дифференцирований 5 : B ^ CLQ(V), C) служит отсутствие свойства ст-дистрибутивности у п<:>лиой булевой алгебры V всех проекторов из B [9] (злеев Q(V) — стоуновский компакт, отвечающий полной булевой алгебре V и C(Q(V), C) (соответственно, CLQ(V), C)) — комплексификация алгебры C (Q(V), R) всех непрерывных действительных функций f : Q(V) ^ R (соответственно, комплексификация алгебры всех непрерывных функций f : Q(V) ^ [-то, +то], принимающих значения ±то лишь на нигде не плотных множествах)).

Следующим шагом в изучении свойств дифференцирований, заданных на алгебре L»(Q, A , ц) и принимающих значения в алгебре L0 (Q, A , ц), стало исследование существования ненулевых дифференцирований, у которых область значений содержится в нормируемых идеальных подпространствах (НИП) X С L₀(Q, A,ц\ В работе [5] доказано, что любое такое дифференцирование обязательно является нулевым. Затем в работе [3] аналогичный результат был получен уже для квазинормируемых идеальных подпространств X С L0 (Q, A,ц).

Каждое квазинормируемое пространство является метризуемым топологическим векторным пространством, имеющим ограниченную окрестность нуля (см., например, [7, гл. 1, §3]). В то же время имеются важные примеры идеальных подпространств X С L0 (Q, A,ц) с метризуемой векторной топологией, не имеющих ограниченную окрестность нуля. Таковыми, в частности, являются F-нормируемые идеальные подпространства в L0(Q, A,ц). т. с. идеальные простраиства. снабженные монотонной F-нормой. Примерами таких пространств служат сами алгебры L0 (Q, A,ц) наделенные F-нормой kf ||q = /^ 1++lf । dц, порождающей топологию сходимости по мере [7, гл. 2, §2], а также алгебры log-интегрируемых измеримых функций

Log (Q, A ,ц) =

f е L0(Q, A,

*4

log(1 + |f |) dц < то

c F-нормой ||f ||iog = J^ log(1 + |f |)dц [6]. Это означает, что в случае неатомического пространства с мерой (Q, A, ц) существуют ненулевые дифференцирования, заданные на алгебре L^(Q, A, ц) и принимающие значения в F-нормируемом идеальным подпространстве (L₀(Q, A,ц), k • |q) [1]. Как уже выше упоминалось, для таких пространств с мерой и НИП X С L₀(Q, A,ц) уже не существует ненулевых дифференцирований ^{5 : L}L^Q, A^,ц) ^ X.

Вопрос о нахождении критерия для существования ненулевых дифференцирований, определенных на L^(Q, A, ц) и принимающих значения в F-нормируемых идеальных пространствах, до сих пор оставался открытым. В настоящей работе устанавливаются необходимые и достаточные условия для полных F-нормируемых идеальных пространств X С L₀(Q, A,ц), обеспечивающие наличие ненулевых дифференцирований 5 : L^(Q, A, ц) ^ X.

2.    Предварительные сведения

Пусть K — поле комплексных чисел C либо действительных чисел R. Пусть (Q, A,ц) — Магарамское пространство с мерой, т. е. (Q, A, ц) есть такое пространство с мерой, что

• (1)    ц — счетно аддитивная функция. определенная на. ст-алгебре A подмножеств множества, Q со значениями в расширенной полупрямой [0; то];

• (11)    если F С E е Ai i ц(Е ) = 0. т о F е A;

• (iii)    для любого множества E Е A ненулевой меры существует такое множество F Е A. что F С Ei i 0 < ^(F) < то;

• (iv)    булева, алгебра. V_p всех к.тассов щпочти всюду равпых множеств ч:з A порядково полна.

В этом случае полная булева алгебра V_p имеет разделяющее семейство конечных вполне аддитивных мер (такие булевы алгебры называются мультинормированны-ми [8, 1.2.10]). В мультинормированной булевой алгебре V_p всегда существует разбиение {ei }_ieI едшшпы 1. для которого каж,тая булева, алгебра, ei • V_p = {g Е V_p : g 6 ei} имеет строго положительную конечную счетно аддитивную меру, i Е I [8, 1.2.1].

Обозначим через L₀(K) = L₀(K)(V_p) = L0 (Q, A , ц)(К) *-алгебру всех классов эквивалентности равных ц-почти всюду комплексных (действительных) функций, определенных на. (Q, A , ц). а чсрез L_o(K) = L_o(K)(V_p) = L_o(Q, A , ц)(К) — коммутативную банахову *-алгебру всех комплексных (действительных) существенно ограниченных измеримых функций, заданных на (Q, A , ц), снабженную равномерной нормой. Ясно, что самосопряженная часть L₀h(C) = {f Е L0 (C) : f = f} *-алгебры L₀(C) (соответственно, Loh (C) = L^(C') ОL₀h(C)) совпадает с L₀(R) (соответствешю. с L_o(R)). При этом булева. алгебра. V_p отождествляется с полной булев*:>й алгеброй всех идемпотентов в L0 (K).

При естественном определении частичного порядка в L0(R) алгебра L0(R) является расширенной порядково полной векторной решеткой [8, 1.4.2]. Для любого элемента, f Е L0(K) определим его носитель с помощью равенства

s(f) = 1 - sup {e ЕVp : e • f = 0}.

Ясно, что s(f) Е V_p 11 s(q) = q для любого q Е V_p. Кроме того, идемпотент q Е V_p является носителем для f Е L₀(K) в том и только в том случае, когда q • f = f, и из равенств e • f = f.e Е V_p. следует. что e >  q.

Для произвольного непустого подмножества M С L0 (K) его носитель s(M) определяется равенством s(M) = sup{s(f): f Е M }.

Ненулевое линейное подпространство X в L0 (K) называется идеальным пространством (сокращенно ИП), если из f Е X, g Е L0 (K) и неравенства |g| 6 |f | следует, что g Е X. Если X — ИП в L₀(K) и s(X) = 1, то X называют фундаментальным идеальным пространством в L0 (K).

Нетрудно видеть, что ненулевое линейное подпространство X в L0 (K) является идеальным пространством тогда и только тогда, когда L_o • X = X.

Пусть X — произвольное линейное' пространство над полем K. Фуикипя k • k : X ^ R называется F-нормой, если верны следующие свойства:

• (i)    ||xk > 0 для всех x = 0;

• (ii)    ЦахЦ 6 ||x| Для всех x Е X ii всех скаляров а Е K с• |а| 6 1:

• (iii)    lim_a^0 ЦахЦ = 0 для всех x Е X:

3.    Дифференцирования на L^ со значениями в F-нормированных идеальных пространствах

Г⁴ kx + yk ⁶ kxk + ||y||.™ _rxx,y ^Е X.......

Если || • || ecть F-норма на X, то функция d(x,y) = |x — yk определяет трансляци-онно инвариантную метрику на линейном пространстве X, порождающую метрическую топологию на X, относительно которой X есть топологическое линейное пространство (см., например, [7, гл. 1, §2]). Если (X, | • ||) является полным метрическим пространством. то пара. (X, || • |) пазывастся F-прострапством.

Говорят, что F-iioj:>ма || • || на. идеальном пространстве X С L0(K) монотонна, если из соотношений f,g Е X, |g| 6 |f | следует, что |g| 6 kf k- F-нормированным идеальным пространством (идеальным F-npocTpaiытвом) в L0(K) называется идеальное проетрап- ство в L0(K), снабженное монотонной F-нормой (соответственно, полной монотонной F-нормой).

Линейный оператор 5 : L^ ^ L_o(K) называется дифференцированием, если

5(xy) = 5(x)y + x5(y) при всех x,y Е L^.

Носитель дифференцирования 5 есть идемпотент s(5) = sup{s(5(f )) : f Е L^}. В случае, когда образ дифференцирования 5 содержится в идеальном пространстве X, всегда верно неравенство s(5) 6 s(X ) (ср. [5. теорема 3.4]).

Отметим также, что из [1, §2, предложение 2.3] вытекает справедливость следующих равенств: 5(e) = 0 ii 5(e • f) = e • 5(f ) для лтобых e Е V_p. f Е L^.

Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие для существования ненулевых дифференцирований из L^ в L_o(K) (^см- [Ф 9]).

Теорема 3.1. Для булевой алгебры V_p следующие условия эквивалентны:

• (i)    существует ненулевое ,тиффереиппроваппе из L^ в L_o(K);

• (ii)    мультинормируемая булева алгебра V_p не является атомической.

Следует заметить, что существуют фундаментальные идеальные пространства X в L_o(K), не совпадающие с L_o(K), для которых имеются ненулевые дифференцирования 5 : L^ ^ L_o(K) с образом, лежащим в X (см. [5. пример -5.1]).

Пусть e — ненулевой идемпотент из алгебры L_o (K). т. с. e Е V_p. Будем говорить, что 11П X в L_o(K) яв.тяется в-расширснным. если e • X = e • L_o(K). В этом случае всегда справедливо включение e Е X. В ситуации, когда булева алгебра V_p является непрерывной, т. е. не имеет атомов, идеальное пространство X = L^ не является e-расширенным для любого ненулевого e Е V_p.

Согласно [5, теорема 3.3], имеет место следующее утверждение:

Утверждение 3.2. Если X — ИП в L_o(K) и 5: L^ ^ L_o(K) — ненулевое дифференцирование с образом 5(L^ ), лежа щим в X, то s(5) • X = s(5) • L_o(K).

Из теоремы 3.1 и утверждения 3.2 вытекает

Следствие 3.3. Пусть X — идеальное иространство в L_o(K). Если существует ненулевое дифференцирование 5: L^ ^ X, то X является в^-расширенным, при этом булева алгебра s(5) • V_p не является атомической.

C Согласно утверждепшю 3.2 имеем, что s(5) • X = s(5) • L_o(K). в частности, e := s(5) Е X. Ясно, что сужение 5_е днфференпирования 5 на. e • L^ = L^(e • V_p) есть ненулевое дифференцирование со значениями в e • X = e • L_o (K) = L_o (K)(e • V_p). В силу теоремы 3.1 булева алгебра e • V_p не является атомической. B

Обозначим через v меру Лебег?i на отрезке [0,1] н нрез A_v — a-алгебру всех измеримых по Лебегу подмножеств из [0,1]. Пусть V_v — полная булева алгебра всех классов v-почти всюду равных множеств из A_v. Ес ли V_p — непрерывная булева алгебра (т. е. не имеет атомов), то в силу [4, гл. 2, следствие 7.6] существуют такие ненулевой элемент e Е V_p. ^(e) = 1. правильная бу.тева. подалгебра. V_o(e) в булево!1 алгебре e • V_p ii изоморфизм ^ из булево!1 алгебры V_v па. бу.тевз" алгебру V_o(e). пто д(^(д)) = v(g) для всех g Е V_v (напомним, что оутева. подалгебра. V_o(e) в булево!1 алгебре e • V_p называется правильной, если точные верхние и нижние грани любого подмножества из V_o (e) одинаковые в V_o(e) ii Be • V_pE

Заметим, что в случае, когда V^ — неатомическая булева алгебра, всегда существует такой ненулевой элемент e G V^, что булев а алгебра e • V^ непрерывна [12, гл. 3, § 2, теорема 8]. Это означает, что для любой неатомической булевой алгебры V всегда найдутся такие ненулевой элемент e G V^ и правильная булева подалгебра V0 в булевой алгебре e • V^. нто e • VM есть непрерывная булева, а.тгеира. а. булева, подалгебра. V0 изоморфна булевой алгебре Vv.

Пусть 0 = e G V_M и V₀ — правильная булева под алгебра в булевой алгебре e • V^. Обозначим через S (K)(V₀) множеств о всех тех f G L₀(K)(e • V^), для которых спектральные идемпотенты {Re f 6 A}. {Im f 6 Л} принадлежат V₀ для всех Л G R. Известно, что S (K)(Vo) ееть *-подалгебра в Lo(K)(e • V^) 11 S (K)(Vo) = L_o (K)(Vo).

Следствие 3.4. Если X — идеальное иространство в L₀ (K) и 5 : L^ — L₀(K) — ненулевое дифференцирование с образом, лежащим в X, то существуют такие ненулевой идемпотент e G X и правильная бплева подалгебра V₀ в булево!1 алгебре e • V^. н то e • V есть непрерывная булева алгебра, S (K)(V₀) = L₀(K)(V₀) С X и *-алгебра S (K)(V₀) *-изоморфиа *-алгебре L₀(K)(V_v).

C Доказательство вытекает из следствия 3.3. B

С помощью следствия 3.3 устанавливается также следующее достаточное условие, обеспечивающее отсутствие ненулевых дифференцирований на L^(K), принимающих значения в F-нормированных идеальных пространствах.

Теорема 3.5. Пусть (X, I • [|х) — F-нормированное идеальное пространство в L₀(K), в котором In • f IIX fro щ ж n - 'X. для каждого 0 < f G X. Тогда любое дифференцирование 5 : L^ — X является пулевым.

C Предположим, что существует ненулевое дифференцирование 5: L^ — X. В силу следствия 3.3 найдется такой ненулевой идемпотент e G X, что ИП X e-расширенно и булева алгебра e • V не является атомической, в частности, существует счетное дизъюнктное разбиение {en}n=1 идемпотента e, для которого en = 0 при всех n. Используя сходимость Ik • en|X f ro щ)ii k — ro. выборем номер kn так. тгтооы |kn • enIX > n. Так как e• X = e• L0(K). то найдется такое 0 < f G e• L0(K) С X. для которого en • f = kn • en. Имеем n < Ikn • enIx = Ien • f Ix 6 If Ix для всех натуральных чисел n, что невозможно. Из полученного противоречия вытекает отсутствие дифференцирований 5: L^ — X. B

Дадим иллюстрацию к теореме 3.5 на примере F-нормированного идеального пространства log-интегрируемых измеримых функций

Log(П, A,p) = ff G L(n, A,p) : j log(1 + |f |) dp <  roj> c F-nop мой If Ilog = f_Q log(1 + |f |) dp [6]. Если 0 < f G Liog(n, A ,p). to ||n • f ||_log = j log(1 + |n • f |) dp — ro щ)ii n — ro.

Ω

Следовательно, в силу теоремы 3.5, любое дифференцирование 5 : L^ — Liog (П, A, p) является нулевым.

В то же время, если рассмотреть F-нормированное идеальное пространство L0(П, A,p) наделенное F-нормой If Iq = f^ 1_+^^। dp, то согласно теореме 3.1, в случае атомического пространства с мерой (Q, A, ц), не существуют ненулевые дифференцирования на. алгебре L^(Q, A, ц). принимающие значения в (L0(Q, A, ц), || • ||q). При этом ||n • f |q = Jn i+nff | d^ 6 1 ^ля лт°бых элементов f E L0(Q, A, ц) и натуралт>пых чисел n. Это означает, что достаточное условие ||n • f ||X f от пр и n щ от для каждого 0 < f E X из теоремы 3.5 не является необходимым для отсутствия ненулевых дифференцирований 5: L^ ^ L0(K), принимающих значения в F-нормированных идеальных пространствах.

Выделим класс F-пормпроваппых идеальных пространств (X, || • |_X) С L₀(K). для которых верна теорема 3.5. Говорят, что F-нормированное идеальное пространство (X, || • ||_х) имеет порядково полунепрерывную F-норму, если из условий

0 6 fn 6 fn+1, fn E X, n E N, sup |fn|x < от n>1

следует существование такого 0 6 f E X, что f_n f f.

Если F-нормированное идеальное пространство (X, || • ||_X) имеет порядково полунепрерывную норму, 0 < f E X и sup_n>₁ In • f ||_X< от, то существует такое 0 6 g E X, что n • f f g, что влечет равенства g = 0 и f = 0. Из полученного противоречия вытекает, что любое F-нормированное идеальное пространство (X, || • |_х) с порядково полунепрерывной нормой удовлетворяет условиям теоремы 3.5. Поэтому верна следующая

Теорема 3.6. Если (X, || • |_х) — F-нормированное идеальное пространство в L₀(K), имеющее порядково полунепрерывную F-норму то любое дифференцирование 5 : L^ ^ X является нулевым.

4.    Критерий существования ненулевых дифференцирований со значениями в идеальных F-пространствах

В этом разделе устанавливается основной результат настоящей работы, дающий необходимые и достаточные условия для идеальных F-пространств X С L₀ (K), обеспечивающие существование ненулевых дифференцирований 5 : L^ ^ X.

Напомним определение (о)-топологии в частично упорядоченном множестве (Z, 6). Говорят, что сеть {z_a }_a^A С Z (o)-cxodumca iт элементу z E Z (обозыа^тleiiiie: z_a —^ z). если существуют такие сети {x_a}_aGA и {y_a }_aGA в Z, что x_a 6 z_a 6 y_a для всех a E A ii x^{a f} z- y^{a 4} z

Сильнейшая из топологий t в Z, для которых (о)-сходимость сетей влечет их сходимость в топологии t, называется (офтопологией в (Z, 6), которая обозначается через t_o(Z ). Ес ли Z = L₀ (R), ц(П) < от, то (о)-топол огия t_o(L₀(R)) метризуема и сходимость последовательностей в этой топологии совпадает со сходимостью по мере [7, гл. 3, §9].

Пусть (X, || • |_х) С L₀(K) — иде;мыюс F-пространство. Обозначим норе:;: t(Xh) векторную топологию в Xh = {f E X : f = f }, порождаемую F-нормой || • |_X. Дословно повторяя доказательство теоремы VII.2.1 из [7, гл. 7, §2], получим, что сходимость по F-норме If_n — f ||_X ^ 0, f_n,f E X h, влечет существование подпоследовательности {fnk }fc=₁, (о)-сходящейся к f. Следовательно, верно следующее сравнение топологий t(Xh) 11 to(X h).

Утверждение 4.1. Если X — идеальное F-пространство в L₀(K), т о to (Xh) 6 t(Xh).

Нам понадобится следующее свойство топологии t(Xh).

C Пусть fn,f G X 11 kfn — f ||x ^ 0. Тогда

||fn   f llx = ll|fn   f Wx = ll|fn   fIУх = ||fn   f llx ^ 0.

Это означает, что Xh есть замкнутое подмножество в (X, || • ||х). и поэтому (Xh, || • ||х) является полным метрическим пространством. Следовательно, для полноты e • Xh С Xh достаточно установить t(X^h) -замкнутость множества e • Xh.

Если e • fn = fn G e • Xh, f G Xh и ||f_n — f |_X ^ 0, то, как отмечалось выше, существует подпоследовательность {fnk J^Lp которая (о)-сходится к f. Следовательно, fnk = e • fnk —-^ e • f ■ что влечет равенство f = e • f. ii поэтому f G e • Xh. B

Для идемпотента e = [E] G X П V^, p(E ) < то, обозначим через t(e • Xh) топологию в e^Xh, индуцируемуго топологией t(X h) из Xh, а через t^(eX h) — топологию сходимости по мере в идеальном пространстве e • Xh, индуцируемуто из L₀(K)(e • V^).

Следующая теорема дает критерий существования ненулевых дифференцирований со значениями в идеальных F-пространствах.

Теорема 4.3. Для идеального F-пространства (X, || • |_х) в L₀(K) следующие условия эквивалентны:

• (i)    существует ненулевое ,тпфферешшроваппе из L^ в X:

• (ii)    существует такой из 'нулевой идемпотент e = [E] G X. ц(Е) < то. что булева алгебра e • V_M не является атомической и топология t(e • Xh) совпадает с топологией сходимости по мере t^(e • X ^h).

C (i) =^ (ii): Если существует пепулевoe дифференцирование из L^ в X. то согласно следствию 3.3 найдется такой ненулевой идемпотент e = [E] G X, ц(Е) < то, что e• Xh = L₀ (R)(e• V^). В силу утвсрждс!шя 4.1 имеем, что t_o(e• Xh) 6 t(e• X ^h ). Поскольку ц(Е) < то, то (о)-топология t_o(e • Xh) = t_o(L₀(R)(e • V^) метризуема и сходимость последовательностей в (о)-топологии t_o(e• Xh) совпадает со сходимостью по мере [7, гл. 3, §9]. Это означает, что t^(e • Xh) 6 t(e • Xh). Так как топологические векторные пространства (Lo(R)(e • V), k • ||_х) и (Lo(R)(e• V), || • |_e ) являются F-пространствами, то из [10, ч. 1, гл. 2, следствие 2.12 (d)] следует, что t^(e • Xh) = t(e • Xh).

• (ii)    =^ (i): Предположим, что сущеетвует такой ненулевой идемпотент e = [E] G X. ц(Е) < то, для которого булева алгебра e • V не является атомической и топология t(e • Xh) совпадает с топологией сходимости по мере t^(e • Xh). Поскольку метризуемое топологическое векторное пространство (e • Xh,t(e • Xh)) полно (см. утверждение 4.2), то e • Xh есть 'замкнутое подпростраиство в (L₀(R)(e • V^). t^(L₀(R)(e • V^))). Осталось заметить, что ц(Е) < то. e • V С e • X ^h ii. в силу идсалык:>сти пространства, e • Xh. верно включение L^(R)(e• V) С e • Xh. Следовательно, t^(e • X^-замыкание подпространства e • X^h eonejзжит t^(e • X^h [-замыкание по,тпроетраиетва L^(R)(e •V^). Последнее замыкание совпадает c L₀(R)(e • V^). Это озпачает, что e • X^h = L_o (R)(e • V^) (соответственно, e • X = Lo(C)(e • V^)). т. e. идсальное F-прострапство X является e-расшнреппым.

Так как булева алгебра e • V^ не является атомической, то согласно теореме 3.1 существует ненулевое дифференцирование 51 из L^(K)(e •V^) со значениями в L₀(K)(e • V^). Определим линейное отображение 5 : L^(K) ^L₀(K), полагая 5(f) = 51 (e^f), f G L^(K). Ясно, что 5 есть непутевое дшрферепцировашге из L^(K) в L₀(K)(e • V^) СX. в