Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок
Автор: Голуб М.А., Досколович Л.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И.
Журнал: Компьютерная оптика @computer-optics
Рубрика: Численные методы компьютерной оптики
Статья в выпуске: 12, 1992 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрен метод расчета фокусатора лазерного излучения в отрезок, основанный на дифракционной аппроксимации оператора распространения света, полученной из асимптотического разложения интеграла Кирхгофа в параксиальном приближении. Рассмотрен численный метод дифракционного расчета поля от фокусатора в отрезок. Приведены результаты численного расчета светового поля от фокусаторов пучков круглого сечения с постоянным и гауссовым распределением интенсивности.
Короткий адрес: https://sciup.org/14058260
IDR: 14058260
Текст научной статьи Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок
В работе [1] приведен алгоритм расчета фокусатора в кривую, основанный на геометрооптической аппроксимации оператора распространения комплексной амплитуды света. В этом приближении фокальная кривая представляет собой полосу, имеющую нулевую ширину. Распределение интенсивности в фокальной плоскости характеризуется в этом случае линейной плотностью. Фокальная кривая представляет собой каустику, и поэтому большое значение имеют дифракционные эффекты, которые не учитываются в решении обратной задачи фокусировки. В данной статье предлагается метод расчета фазовой функции фокусатора в отрезок, использующий геометрооптическое приближение вблизи фокусатора, но учитывающий волновые поправки вблизи фокального отрезка.
-
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть лазерное излучение с комплексной амплитудой Wo(u)=vl^(55exp[ik^o(u)], где Iq(u) - интенсивность освещающего пучка, ^0(и) — эйконал пучка, k = ^-, X — длина волны падает на фокусатор с апертурой G, расположенной в плоск ости o ’ = (u, v) при z = 0 (рис. 1), который преобразует падающее излучение в поле Wfu) = = WQ(u)exp [ik^(u)] =\^(3)exp[ikV/1(T)], где ф(и) — эйконал фокусатора, Ф1(и) = Ф0(и) + ф(и) - эйконал непосредственно за плоскостью фокусатора. Задача состоит в отыскании эйконала фокусатора ф(и) , обеспечивающего при z = f в плоскости х = (х, у) формирование светового поля с интенсивностью 1(х), удовлетворяющей условию
/l(x,y)dy = e(x), txl< К(1)
-е2
соответствующему заданному распределению количества энергии 0 (х) в е - окрестности отрезка длины L, лежащего на оси х. При этом корректное задание I0(u), 1(х) требует выполнения условия нормировки
Т I(x)d2x =/L(u)d2u. _ ООG
Рис. 1. Геометрия задачи фокусировки
Введем Д — дифракционную ширину отрезка. При 2е » Д функция 6 (х) представляет собой линейную плотность [ 1 ] энергии вдоль отрезка. При 2е « Д функция 6 (х) пропорциональна значению интенсивности 1(х, 0) на геометрическом отрезке. Будем искать такое решение ф(и), при котором все лучи, проведенные из произвольной "фокусирующей кривой” u = const пересекают плоскость фокусировки в одной точке фокального отрезка, имеющей координаты:
Г х = к (и)
[у = 0. (2)
"Фокусирующая кривая" может наглядно интерпретироваться как узкая светящаяся полоска на фокусаторе, видимая из точки наблюдения (х, о, f).
Так как уравнение эйконала выполнено в окрестности фокусатора, то в параксиальном приближении нетрудно получить уравнение наклонов dik к(и) — и дф. v
Г-'э7 = -у позволяющее записать эйконал фокусатора ф(и) в виде
^(u.v) = - I / к (£) d £ - (u, v).(4)
ZI I Uq vv
В работе [1] вид фокусирующей кривой однозначно связывался с выполнением геометрической оптики и наличием одного геометрооптического эйконала как вблизи фокусатора, так и в фокальной плоскости. Это приводило лишь к частному случаю "фокусирующей кривой", названной "слоем” и имеющей вид гиперболы. Обобщенное определение (2)-(4) описывает случай, когда геометрооптическая оптика действует в окрестности фокусатора, но переста- ет действовать вблизи фокальной плоскости, например при длине отрезка порядка нескольких Д или наличии всплеска функции 8 (х) на длине порядка Д. При больших фокальных отрезках и плавной функции 8 (х) фокусирующие кривые переходят в слои [1]. Кроме того, геометрооптический подход ограничивается лишь случаем е -*«>, в то время как прикладной интерес представляет фокусировка в отрезок заданной, например, дифракционной ширины.
-
3. АППРОКСИМАЦИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
В ПАРАКСИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В параксиальном приближении интеграла Кирхгофа комплексная амплитуда w(x) в плоскости фокусировки имеет вид:
w(x) _ kexp(ikf) j T/Lt^expliki^tu)] ехр[^-(х - u)2] d2u, 2 л i f G 2 f
где ^(tt) — эйконал пучка сразу за фокусатором
^1^ = " 4^+ 7 ;“ K^)d^ (6) 2f ' “о
Пусть апертура фокусатора G ограничена кривыми v = gj(u), v = g2(u) и отрезками прямых и = а, и = Ь, параллельных оси v (рис. 1). Согласно методу дифракционного расчета [2] при фокусировке в отрезок может быть получена дифракционная аппроксимация интеграла (6), основанная на использовании метода стационарной фазы при интегрировании поперек фокусирующей кривой, то есть по переменной и, причем
1(х) = iV^r ^ Х x/l0(u . v)(-^) Иехр(- ^yv)dv|2
*1<“х> du f где ux — решение уравнения (2) относительно и.
Формула (7) хорошо описывает дифракционные эффекты в поперечном сечении фокального отрезка, но не вблизи концов, то есть лишь частично уточняет геометрооптические соотношения.
-
4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ФОКУСИРОВКИ В ОТРЕЗОК
Решение обратной задачи фокусировки в отрезок будем строить на основе дифракционного соотношения, полученного в п. 3. Согласно уравнениям (1), (7) функция 6 (х) должна удовлетворять следующему соотноше-
НИЮ
€ /--- 82^ /------
Л\^т / V Io (u, v)exp(- ^yv)dv|2dy = 0[к(и)] ,
-е 2яГ gi(u) f du которое является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка для функции к (и) с граничными условиями: к(а) = - ^ , к(Ь) = ^ . Эйконал фокусатора определяется через функцию к (и) согласно (4). Заметим, что полученный эйконал ^(и ) имеет вид (4), сходный с эйконалом геометрооптического фокусатора, но с существенно другой, не геометрооптической функцией к (и), учитывающей дифракционные поправки.
+ 00
Для сравнения отметим, что в геометрооптическом случае, то есть при в(х) = f 1(х, y)dy, 1х| < = уравнение имеет вид - ” 2
dx 1 82 ’
— = —!— J In(u, £)d$ du У[к(и)] gi(u) °
к(а)= - b, x(b)= k.
В этом случае дифференциальное уравнение для к (и) имеет вид
■ du = Сф^ l^M-BiWD^W-K/u)]
к(а)=- р к(Ь) = | ,(И)
где ФОТ = 2[Si(2^)-Sinc2y)](
SiG?) = / ^^ dx, Sine (0) = Sinffi . ох
Подставляя к(и) в (4), получим выражение для эйконала фокусатора.
-
6. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДИФРАКЦИОННОГО РАСЧЕТА
Для вычисления поля в фокальной области от фокусатора в отрезок уже недостаточно грубой аппроксимации, рассмотренной в п. 3, однако использование даже параксиального приближения интеграла Кирхгофа (5) не позволяет провести аналитические расчеты.
Численный метод расчета комплексной амплитуды при фокусировке в отрезок основывается на методике вычисления интеграла (5):
W(x) = - exp£ikf) /х/ь (u)exp [ikV*. (u)] expp^-G? - u)2) d2?. 2mj g 2f
Предлагаемый метод численного расчета W(x) состоит в приближении апертуры фокусатора С набором определенного вида апертурных областей Ppi = 1, N, аппроксимации эйконала ^(и) при if е Pj простым аналитическим выражением и последующей заменой интеграла (5) суммой легко вычисляемых интегралов по областям Р.. Рассмотрим подробную реализацию численного метода.
Введем разбиение u., i = 1, N, u0 = a, uN = b отрезка (а, Ь] и приблизим апертуру фокусатора G набором областей Р; = [Uj ], uj х [g^Uj-j), g2(ui_1)] • • = LN- Введем соответствующее разбиение фокального отрезка х; = к(и;), i = О, N, х0 = - t xN = L, где к(и) - функция, описывающая соответствие между точками отрезка фокусировки и "фокусирующими кривыми" на апертуре фокусатора. Для функции х = к(и) используется локальная линейная аппроксимация на сетке up i = О, N. При и е [им, uj полагаем х = к^и), где
Kj(u) = X. + —--------(и - и ) - t.
(ui~ui-l) 2
Тогда эйконал ^(и) при if £ Р. можно считать определенным согласно формуле
U
♦'^ . -- .
(Uj-Uj.,) " 2f Lu + (*i-i - 2> f + \- 1 i-1
где
ф
= 1
f
K(()d$.
1 f a Полагая I0(u.v)= l^.v), ^,(u ) = ^p.(u) при u e Pp запишем W(x) в виде «й-^..,^..,^^ где 1 (x) = ? exp[l(5Z25tLti(u_„ } 2 I 1 +u(y,-x - b))jdu
1 uH f 2(Uj-«,_,) «2^) ______
LW = f V Io(Uj,v)exp[y yv)dv. g,(Uj) f Вычисление интеграла Ij (x) сводится к интегралу
*2 . *
I = J exp(ioxz+i^x)dx, причем 1 = (С [Vka(x + -)] +iSign(a)S[V^i(x +^)])Г=Х2, Vial 2a 2a x=Xj где С (x), S(x) — интегралы Френеля C(x) = / Cos($2)d{, S(x) = J Sin(t2)d$ ° f ° l,x>0 Sign(x) = 0, x = 0 —l,x<0. Интеграл Ij (у) вычисляется на основе метода кусочно-постоянной аппроксимации функции I0(Uj,v) на сетке Vp 1 = 0, k; vQ = g1(Uj),vk = 82^):
L (У) = 2Wuj.v,) / exp[^yv]dv = 1
VIq^.v,)
(v, - v, ^Sinc^ (v,-Ум))ехр[^.(у, +v^)]. vl-l
В общем случае расчет поля при фокусировке в отрезок производится по формулам (13)—(17). Для оптимизации по скорости вычислений можно учесть, что на поле в точке
х
= (х, у), лежащей на фокальном отрезке или на одном из перпендикуляров к нему, влияют лишь точки апертуры, лежащие в окрестности соответствующей "фокусирующей кривой” и = к""1 (х), и, следовательно, суммирование в формуле (13) можно выполнять лишь с учетом некоторой окрестности фокусирующей кривой.
7. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
В вычислительном эксперименте проводилось сравнение результатов фокусировки пучка круглого сечения радиуса R в отрезок при использовании геометрооптического эйконала ф(и^ и эйконала с дифракционными поправками ф(и). Эйконал ф(и) рассчитывался для случая 2е«Д, гдеД=^- - ширина дифракционного пятна в центре отрезка фокусировки, соответствующего фокусировке в отрезок с постоянным распределением интенсив ности. Для характеристики качества фокального отрезка используются следующие величины: значение энергетиче У /l(x)d2x Д L
A L
"И
____
ской эффективности -Ей среднеквадратичного отклонения - 6. Величина Е = rVr2-u2 У У „А^и -RVR2-u2 характеризует долю энергии освещающего пучка, попавшую в окрестность фокального отрезка дифракционной ширины. Величина 6 = з [— / [I(x, 0) - 1 ]2 dx]% характеризует близость распределения интенсивности на отрезке фо-I L LL кусировки к постоянной величине, где 1 = -У 1(х, 0)dx - среднее значение интенсивности на отрезке фокуси-ровки.- В таблице 1 для фокусаторов с эйконалами ф(и) и Ф(и) приведены значения энергетической эффективности Е и среднеквадратичного отклонения 6 в зависимости от соотношения длины L отрезка фокусировки с дифракционным размером Д в центре отрезка при фокусировке плоского пучка, WQ(u) = 1 и следующих параметрах: Х = 0,63 мкм, f = 250 мм, R = 3 мм. Данные таблицы 1 наглядно показывают, что при практически одинаковой Таблица 1 Рис. 2. Распределение нормированной интенсивности вдоль отрезка фокусировки от геометрооптического фокусатора Рис. 3. Распределение нормированной интенсивности вдоль отрезка фокусировки от фокусатора с дифракционными поправками В таблице 2 приведены результаты, полученные при фокусировке гауссового пучка, W„(u)- exp(-—-») при 2 о тех же физических параметрах и а = 1,98 мм. Данные таблицы 2 показывают, что при фокусировке гауссового пучка фокусатор с дифракционным эйконалом ф(и) также обеспечивает более близкое к равномерному распределение, однако уменьшение среднеквадратичного отклонения интенсивности вдоль отрезка фокусировки менее значительно, чем при фокусировке плоского пучка. Таблица 2
L (мм)
фД
?(и)
Е(%)
6 (%)
Е(%)
8 (%)
5Д
89,6
20,6
90,5
25,8
10Д
91,4
15,4
923
21,6
20Д
92,8
12,5
93 Д
18,7
5 ОД
93,5
13,4
93,6
16,2
L (мм)
Ф<»^
$(u)
Е(%)
6 (%)
Е(%)
6 (%)
5Д
81,1
24,6
82^
3sa
10Д
83,4
19,7
84,1
30,1
20Д
83,9
15^
85,4
2?a
50Д
84,1
11,9
85,7
23,7
энергетической эффективности фокусатор с дифракционным эйконалом ^(и) позволяет почти в два раза уменьшить среднеквадратичное отклонение интенсивности вдоль отрезка фокусировки. На рисунках 2, 3 приведены графики нормированного распределения интенсивности вдоль отрезка фокусировки с длиной L = ЗОД » 1,6 мм, полученные для фокусаторов с эйконалами ^(и) и V'fu) соответственно. Сравнение рис. 2 и рис. 3 показывает, что геометрооптический эйконал реально дает снижение интенсивности по краям, а эйконал с дифракционными поправками обеспечивает более близкое к равномерному распределение.