Динамическая модель управления индивидуальной траекторией обучения студента

В связи с переходом системы образования на компетентностно-ориентированный подход актуальной является проблема оценивания результатов обучения, а так же построения индивидуальной траектории обучения студента, решение которых требует применения современных информационных технологий. В соответствии с федеральными государственными стандартами высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) третьего поколения, определяющими требования к результатам освоения основных образовательных программ (ООП), до 50 % дисциплин имеет вариативный характер, т.е. зависят от выбора студента. Это значительно отражается на результатах формирования различных компетенций.

В статье рассматриваются модели, методы и алгоритмы нахождения оптимальной индивидуальной образовательной траектории студента. Разработан новый метод управления траекторией обучения в виде динамической модели, использующей бальные оценки по дисциплинам для формирования последовательности изучаемых дисциплин.

Рассмотрим подходы к решению проблемы формирования и выбора индивидуальной траектории обучения студента. Одним из примеров разработки информационных технологий для решения задач оценки компетентности студента является работа Г.И. Алгазина и О.В. Чудовой, в основе которой лежит гибридная экспертная система с учетом различных типов измерительных шкал [1]. Для структурирования информации использовался иерархический подход.

Анализ модели организации образовательного процесса в контексте формирования индивидуального подхода позволяет разработать систему поддержки принятия решений (СППР). Под СППР понимают комплекс взаимосвязанных программ и данных, используемых для анализа ситуации, формулирования альтернативных решений и выбора из них наиболее приемлемых. Пример такой СППР предложен в работе И.В. Добросоцкой и Л.Н. Крахт [2]. СППР часто используются при построении индивидуальной траектории обучения, т.к. эту задачу можно отнести к дискретной многокритериальной задаче, создающей значительную нагрузку на лицо, принимающее решение. СППР часто используются при построении индивидуальной траектории обучения, т.к. эту задачу можно отнести к дискретной многокритериальной задаче, создающей значительную нагрузку на лицо, принимающее решение. В статье [3] рас- смотрены и проанализированы три способа представления данных в СППР, используя объективные и субъективные показатели.

На основе экспертных оценок построена так же модель управления индивидуальной траекторией обучения студентов, предложенная авторами: А.В. Ткаченко, А.И. Ткаченко и В.В. Серебровский [4, 5]. В основе алгоритма управления обучением лежит оценка вероятности правильного применения на k-шаге обучения операции y, соответствующей состоянию обученности студента, с помощью формулы Байеса.

Алгоритм Байеса довольно часто применяется при обработке и анализе данных. В работе [6] данный метод применяется для классификации текстовой информации, снижая неопределенность и неоднозначность естественного языка.

Анализ научных работ по проблеме нашего исследования дал нам основания для разработки собственной динамической модели формирования индивидуальной траектории обучения студента при ограничениях.

Произведем постановку задачи. Обозначим через N , t = 1,..., T количество дисциплин, которые осваивает студент за семестр t . Здесь T – срок обучения (количество семестров).

Результатом освоения дисциплин является приобретение множества компетенций. В отличие от работы [1] структуру модели компетентности выпускника представим в виде трех уровней, так как это прописано в ФГОС-3:

• •    первый уровень — компетентность;

• •    второй уровень — общекультурные и профессиональные компетенции;

• •    третий уровень — частные компетенции.

Компетентность студента можно оценить на основании множества оценок, полученных T студентом в процессе изучения N = £ N t = 1 t дисциплин выбранной специальности.

Обозначим оценки по дисциплинам как V j ( t ), j = 1,..., N_t, где N - количество дисциплин, которые необходимо изучить в семестре t в соответствии с учебным планом.

Переменные V можно оценивать в баллах, например по 100-балльной шкале. При этом традиционная оценка, выставляемая в экзаменационную ведомость, в каждом конкретном вузе определяется по собственной шкале. Например, в НИ ТПУ (г. Томск) перевод балов в традиционные оценки осуществляется в соответствии с таблицей 1.

Т а б л и ц а 1

Перевод баллов в оценки НИ ТПУ

Оценка
Отлично	A+	96 – 100 баллов
	A	90 – 95 баллов
Хорошо	B+	80 – 89 баллов
	B	70 – 79 баллов
Удовлетворительно	C+	65 – 69 баллов
	C	55 – 64 баллов
Зачтено	D	больше или равно 55 баллов
Неуд. / незачет	F	менее 55 баллов

Интегральная оценка студента V ( t ) в мо-

Введем «эталонную» интегральную балльную оценку V ⁰( t ) и запишем уравнение эталонного студента следующим образом:

V ⁰( t + 1) = [1 + ц ₀( t )] V ⁰( t ),

Nt мент времени t равна V(t) = У wj Vj (t), t = 1,

■■■,

T ,

j = 1

где w – веса значимости дисциплины.

Динамику успеваемости студента в дискретном времени будем описывать уравнением:

Vj (t +1) = (1 + Mj (t) + nj (t))( Vj (t) + uj (t)), j = 1,■■■, Nt ■                                          (1)

Здесь m ( t ) — среднее значение трудоемкости усвоения j -й дисциплины; n _v ( t ) - случайная составляющая (отклонение) трудоемкости усвоения j -й дисциплины с параметрами:

M ( n i ( t ) ) = 0, M ( n ( t ) n _k ( t ) ) =S ,k ( t ),

где Цд (t) - заданная трудоемкость эталонного студента (задается экспертным путем).

Начальное условие V ⁰(0) = V (0) = 0, т.е. в начальный момент времени балльная оценка эталонного студента, также как и балльная оценка реального студента равна нулю.

Задача управления траекторией обучения студента заключается в подборе дисциплин и заданий на основании оценок результатов усвоения учебной программы таким образом, чтобы сформированная траектория обучения следовала эталонной на горизонте управления T , где T – промежуток времени, за который студент осваивает программу специальности.

Введем вектор y ( t ) = ( V ,

• ее ।

, V n ) T и век-

тор z ( t ) = ( y ( t ), V ⁰( t ) ) . Тогда уравнения (1), (2) можно переписать в виде:

z ( t + 1) = A( t ) z ( t ) + B ( t ) и ( t ),

i , k = 1,

• •• ,

•, n

где X,_k ( t ) — матрица ковариации трудоемкостей освоения дисциплин. Величины м ( t ) определяются на основе исторических данных по семестровой аттестации. и_; ( t ) - баллы, полученные в течение семестра по данной дисциплине ( иj ( t ) >  0), либо штрафные баллы ( иj ( t ) <  0).

Трудоемкость усвоения j-й дисциплины к-м студентом рjk (t) в рассматриваемом се1 местре в году t определим как р (t) =-----, j        Vjk (t)

где V jk ( t ) - итоговая балльная оценка по дисциплине в семестре t . Тогда среднее значение M и матрицу ковариации S_i? вычисляем по формулам:

M j =

N g ( t ) T

У У     ,

T • N g ( t ) ^у 1 ^У V kj ( t )

1         Ng(t) T                                      \ z'=T^itj-T У ty(p*(11 - M)(pjk(11 - m)

Здесь T – исторический горизонт (количество лет); t - номер года; N g ( t ) - количество студентов в группе в году t .

где A ( t ) = A ( t ) + A ( t ); A ( t ), A ( t ) - диагональные матрицы размерности ( N + 1) x ( N + 1) с элементами:

A ( t ) = diag ( (1 + м ( t )) d^ ₍,

■ ■■ ,

• ,(1 + M N ( t )) d_Nt ;1 + m ₀( t ) ) ;

A (t) = diag (n1 (t) d1t,..., nN (t) dNt; 0), d = 1 или 0 в зависимости от наличия дисциплины j в семестре t.

Матрица B ( t ) размерности ( N + 1) x N )

имеет следующую структуру:

" A^ t )

■■■

B ( t ) =

■■■

I ⁰

В качестве

^A ^ 2 ( t )   ■■■

■■■         ■■■

■

■

■

■

0       ■ целевой

■

■

.

■■■

ANN ⁽ t )

0    >

линейный функционал: ' T -1 ,

функции выберем

T - 1

J = M J + y b^T ( t ) • u ( t ) +

t = 0

( V (T ) - V ⁰(T ) )

> ^ min, и ( t )

где b ⁽ t ) = ( M ⁽ t ) d 1 1 ^,...^, M N d Nt ⁽ t ) ) T .

Используя z (t), перепишем ( V (t) - v 0( t)) в форме (v(t) — v0(t)) = cz(t), где c = (1,1,...,1,- 1)eRN+1.

Критерий качества J примет вид:

' T - 1

I Cz ( t ) +

J = M

+1 b^T ( t ) • u ( t ) + f ^ min t = 0                                  ^{u (} t )

+ Cz ( T )

Итак, имеем задачу оптимального управления, в которой уравнение состояния описывается многошаговым процессом (3), а функционал качества - выражением (4). Управление задается вектором u ( t ). Задача решается при ограничении V ( t ) >  V ⁰( t ) или C • z ( t ) >  0.

Опишем ограничения задачи.

Ограничение, связанное с запретом штрафных баллов, имеет вид:

u ( t ) >  0, t = 0,..., T - 1.

Введем ограничения на балльные оценки дисциплин, определяемые таблицей:

c ™ — y j ( t ) + U j ( t ) — c j ^max, j = 1,..., N .  (5)

Здесь c ™, c max минимальное и максимальное количество баллов, которые может набрать студент для получения отметки в зачетной книжке ( с ™” = 55, с ™ax = 100, см. таблицу).

В терминах z ( t ) ограничения (5) примут вид:

с mi” <  z ( t ) + Y ( t ) u ( t ) <  c max , t = 0,..., T - 1

где Y - матрица размерности (N +1) x N с элементами:

0   0   ...1

v 0   0   ...0

Ограничение по семестровой трудоёмко- сти изучения дисциплин представим как:

N mm in( t) < I kdy (t) < mm „с t)_

,

Nt       100 Nt       Nt t = 1,..., T где kj - количество кредитов по j -й дисци-

N плине; Nt = I djt - количество дисциплин, j=1

изучаемых в семестре t .

Mg^ (t), Mg^ (t) - минимальное и мак- симальное значения кредитов по циклу дисциплин, определяемые учебным планом. Например, для бакалавриата по техническим специальностям и направлениям выделяют гуманитарный, социальный и экономический цикл (g = 1), математический и естественнонаучный цикл (g = 2) и профессиональный цикл (g = 3). По каждому из этих циклов в ФГОС-3 определены минимальное и максимальное количество кредитов.

Введем вектор:

D ( t ) = 1оЙ ( d 1, t k 1 , d 2,t k 2 ,..., ^d N , t k N ; 0 ) .

Тогда ограничение (6) примет вид gg mm(t) — D(t)z(t) — max(), t = 1,...,T.

NtNt

Для учета дисциплин-пререквизитов введем коэффициенты rij . В работе [2] эти коэффициенты называются коэффициентами тесноты междисциплинарной связи. В отличие от рабо-ты[2] коэффициенты ry будем полагать равными 0 либо 1. Коэффициент r = 1, если для изучения j -й дисциплины требуется предварительно изучить дисциплину под номером i и r = 0 — в противном случае. Для учета дисциплин-кореквизитов введем коэффициент f , который равен 1, если i -я дисциплина в дальнейшем используется для изучения j -й дисциплины, и fy = 0 — в противном случае. С помощью этих коэффициентов определяется порядок изучения дисциплин, который задается индивидуальным учебным планом. Если ry = 0 и f = 0, то возможно параллельное изучение дисциплин.

Ограничения, связанные с порядком изучения дисциплин в каждом семестре t , запишем в виде:

N

N_tcr — I гАу. ( t ) — c r N t , i = 1

N

N_tc™ — I f ik d kt y k ( t ) — c™ N t ,      (7)

k = 1

k = 1,..., N t , i = 1,..., N t

Здесь c mi” , c max - минимальное количество баллов, допускаемых по данной дисциплине (таблица 1).

Если вводить ограничения с порядком изучения дисциплин в течение всего периода обучения T , не привязываясь к конкретному семестру, то вместо (7) будем иметь:

NT

Nc T" — II r k d _ti yA t ) — c _t ^max N , i = 1 1 = 1

NT

Nc T" — II f_&d_kty_k ( t ) — c , ^max N ,       (8)

k = 1 1 = 1

k = 1,..., N , i = 1,..., N

Введем вектора:

R k ⁽ t ) = ( rV,k d 1,t , r 2, k d 2,t , -^, r N , k d N , t , ⁰ ) ,

F ( t ) = ( f_t ,1 di ,t , f ,2 d 2, t -, ft , N d N , t ,0 )

и перепишем ограничения (7) в терминах z ( t ), получим:

N t c r <  R^k ( t)z ( t) <  c k mx N t , k = 1,..., N ;

N_tc min <  F^; ( t ) z ( t ) <  c max N , i = 1,..., N .

Ограничения (8) примут вид:

T

Nc_k ^min<  I R^k ( t ) z ( t ) <  c™N , k = 1,..., N ;

t = 1

T

Nc ,^min <  I F^- ( t ) z ( t ) <  c max N , i = 1,..., N . t = 1

Для решения задачи слежения необходимо за- дать начальное состояние системы z (0) =

' У (°) "  ₄ V ° (0) ,

Начальные баллы реального и эталонного студента считаем равными нулю V (0) = V ⁰ (0) = 0.

Итак, сформулируем окончательно задачу управления индивидуальной траекторией обучения:

' T - 1

I Cz (t) + t=1

J = M ^

T - 1

+ I bT (t) • u (t) + t=0

> ^ min , u ( t )

+ Cz (T )

z (t +1) = A( t) z (t) + B (t) u (t),(10)

C • z(t) > 0, cmin < z (t) + Yu (t) < cmax, t = 0,...,T -1;

min   k»kmax

Ntck  < R (t)z(t) < ck k = 1,..., N;

Ntcmin < F- (t)z(t) < cmaxNt,

. = 1,..., N ;

gg min( t) < D (t) z (t) < —maxi-), NtNt t = 1,..., T;

u ( t ) >  0, t = 0,1,..., T - 1

Задача (9)-(11) является линейной задачей динамического программирования. Ее можно привести к эквивалентной задаче линейного программирования, для которой разработаны надежные методы решения.

Разработан новый метод управления траекторией обучения, позволяющий сформировать оптимальную индивидуальную траекторию обучения студента, основанную на динамической модели.

Задача может быть решена стандартным симплекс-методом с помощью любого математического пакета (например, Mathcad).