Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для круглой биморфной пластины

В различных технических устройствах используются пьезокерамические датчики в виде тонких биморфных пластин [1–8]. Как правило, они состоят из двух жестко соединенных круглых пьезокерамических пластин с противоположной или параллельной направленностью вектора поляризации. Для повышения механической прочности в рассматриваемой конструкции применяется металлическая подложка [9, 10].

Расчет пьезокерамических многослойных конструкций в основном выполняется с помощью прикладных теорий для тонких пластин [11–13], в которых кинематические гипотезы дополняются аналогичными допущениями о характере изменения электрического поля [14–21]. Для более полного учета связанности физических полей в многослойных пьезокерамических пластинах в работах [22, 23] было проведено исследование и получено замкнутое решение нестационарной задачи обратного пьезоэффекта в трехмерной постановке. На основании численных результатов сделан вывод, что при аксиальной поляризации материала напряженность электрического поля по высоте тонкой пластины изменяется по линейному закону. Кроме того, установлено, что при использовании сплошного электродного покрытия касательными напряжениями, возникающими в конструкции, можно пренебречь.

В настоящей работе рассматривается нестационарная задача прямого пьезоэффекта для асимметричной (отсутствует симметрия физических свойств материала относительно нейтральной плоскости) сплошной биморфной пластины с жестким, а также шарнирным закреплением ее цилиндрической поверхности.

1.    Постановка задачи

Пусть круглая двухслойная пластина, занимающая в цилиндрической системе координат ( r * , 0 , z * ) область Q : { 0 <  r * < b , 0 < 0 <  2 п , 0 <  z * <  h * } , состоит из пьезокерамического элемента высотой h * , выполненного из аксиально поляризованного (электроупру-гого) материала с гексагональной кристаллической решеткой класса 6mm , и металлической (упругой) заземленной подложки толщиной h 2 ( h * = h * + h . ). Изгибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет действия на лицевой поверхности конструкции ( z * = 0) механической динамической нагрузки (нормальных напряжений) q* ( r * , t * ) , являющейся произвольной функцией радиальной координаты r * и времени t * (рис. 1). Подключение электродов к измерительному прибору позволяет зафиксировать величину и форму электрического напряжения V * ( t * ) . Рассматриваются случаи жесткого, а также шарнирного закрепления цилиндрической поверхности конструкции.

Рис. 1. Биморфная пластина

Fig. 1. Bimorph plate

Дифференциальные уравнения движения и электростатики в цилиндрической системе координат и безразмерной форме имеют следующий вид [24, 25] :

5 V/ ,4- C 55 ⁸ 2 U 4-^{( C}'3 ) ⁺ C “ ) ⁸ W 4- ( e =■ + e 15 ) ⁸ 2 ^Ф   ф( ' ) ⁸ ^

(1.1)

= 0,

V U +         +                 +

5r      Су 5z2      С1у    5r5z     e33    5rdz

C55!V5W+c33) 52w ,(C3)+C55))£vU+ei5v^+5^—Ф(s) 52w Ch)    5r    C111) 5z2        C11)     5z        e33   5r   5z2

(e31 + e15) £уU + ei5V5W + 52W - C^ у5ф — С^зз 52ф e33     5z        e33    5 r    5z2      e323      5r     e323

При исследовании упругой среды (s = 1) система (1.1) состоит только из уравнений движения, сфор- мулированных относительно компонент вектора перемещений.

Граничные условия на цилиндрической поверхности определяются равенствами r = 0,1                    W (0, z, t )

Drr=1

C^Sn 5ф e2 9 r

e_ (9 W 9 U + ^51 — + —

e₃₃V 9r

9z

жесткое защемление

W(1,z,t) = 0, U(1,z,t) = 0;

шарнирное закрепление

W (1, z, t ) = 0

^CTrr^r=1

C^ 9U  C"?U  -£ 9 W  e₃₁дф

-1(1’ 9r    C1⁽1) r    C1⁽1) 9z    e₃₃9z

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Первые три неравенства (1.2) являются условиями регулярности решения для сплошной пластины, а последнее учитывает отсутствие электродного покрытия.

Граничные условия по аксиальной координате формулируются следующим образом:

z = 0

z = h 2

z = h

^CTzz

= V U +

-S’

C 32 9 W

-M 9z

= q, ^ctrz

—2(9 W 9 U ) _A

55^1= 0

-11’ V dr    9z J

-111_VU₊C33) d W . •"

-«     -W 5z 5z

V|z+0

-2 (9 W  9U ) e₁₅ бф

JJ ।               । 15

-11’ V 5r    9z J e₃₃5r

(-£v _y+c£8W₊* V di¹U di) sz &

A

^J|z-0

-52’ ( 5 W  9 U

Г⁽¹⁾\ 9r    9z

^C11 V ^dr     ^dz J|z-0

U (z + 0) = U (z - 0), W(z + 0) = W (z - 0), ф(z + 0) = 0;

„ - -n’v,,C">8W Эф

CT„ = --7— V U +--7—--1--= 0,

-11’        -11’ 9z    9z

(1.5)

(1.6)

(1.7)

CT

rz

-5J^(SW +8U^+8ф= ₀D =_C^8ф ₊e,!_VU₊aW = ₀.

C,^{i :} V dr    9z J   e₃₃9r     , ^z        e₃²₃   5z   e₃₃         5z

Равенства (1.6) являются условиями совместности напряжений, деформаций и заземления подложки. Кроме того, последнее равенство (1.7) учитывает подключение электро-дированной поверхности пьезокерамической пластины к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, что соответствует режиму «холостого хода» (отсутствию свободных электрических зарядов).

Начальные условия задаются в общем виде и позволяют определить состояние пластины в момент приложения нагрузки:

t = 0                        U(r,z,0) = U₀(r,z), -— = U0 (r,z),                        (1.8)

dt \_t=0

d W

W (r, z ,0) = W> (r, z), —   = W0 (r, z).

dt \_t=0

Перевод размерных функций и переменных в безразмерные величины производится по формулам

{U,W,U0,U0,Wo,Wo,r,z,h,hl,h2} = {u*,W*,U0,U0,W^,w,r*,z*,h*,h*,h0}/b , a- q— z z              -~tb~\ (2) /o(2)

q = (1) , ^v(r, z, t) ^{v (}r, z, t) ^e33 (^bC11 ) , t t*b \C11 / ^р• C11

В равенствах (1.1)-(1.8) приняты следующие обозначения: U*(r*, z*, t*), W*(r*, z*, t*), cpm (r*,z„ t*) - компоненты вектора перемещений и тензора напряжений (p, m = r, z); Dr (r*, z*, t*), D_z (r*, z„ t*), v* (r*, z*, t*) - компоненты вектора индукции и потенциал электрического поля; e_mk, 811, 8₃₃- пьезомодули и коэффициенты диэлектрической проницаемости электроупругого материала (m, к = 1,5); р^(s), Cmk - объемная плотность, модули упругости электроупругого (s = 1) и упругого (s = 2) материалов; U*, U_o*, W_o*, W_o* - извест-

C⁽²⁾р⁽¹⁾ ные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений; Ф⁽¹⁾= “ ^р ,

С Р²⁾

Ф⁽²⁾= 1, V = —+ 1. dr r

Соотношения (1.1)-(1.8) представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи электроупругости.

2.    Построение общего решения

На первом этапе решения краевой задачи (1.1)-(1.8) используется метод конечных интегральных преобразований Ханкеля по радиальной координате r [26]. При этом данное преобразование позволяет удовлетворить только смешанные граничные условия.

Для выполнения данного требования необходимо:

• -    для жесткого закрепления первое равенство (1.3) заменить на условие отсутствия на цилиндрических поверхностях пластины (r = 1) касательных напряжений:

c   = c55) (aW +8U >+e^ dv=

(2.1)

^rz|r=1    C(1) v dr     dz J e₃₃ dr     ’

• -    для шарнирного закрепления последнее соотношение (1.2) заменить условием наличия потенциала электрического поля ф1 (z, t) на цилиндрической поверхности при r = 1:

v(1,z,t) = V1 (z,t).                                          (2.2)

Кроме того, вводятся новые функции u (r, z, t), w(r, z, t), v(r, z, t), связанные с U(r, z, t), W (r, z, t) , v(r, z, t) соотношениями

U (r, z, t) = N1 ( r, z, t) H (z - h₂) + N₂( r, t) + u (r, z, t),

(2.3)

W(r,z,t) = P1 (t) + w(r,z,t), v(r,z,t) = V1 (z,t) + v(r,z,t),

Ni (r, z, t ) = -

e₃₁

2e33

5ф1 (z, t) 5z

r

j¹    = 0, Ф1_к=h2 = 0), N2 (r, t ) = ( r²- r) q (r, t).

k 5Z | z=h 2                     у

Здесь H(...)-единичная функция Хэвисайда [27]; P₁ (t),ф₁(z,t) - неизвестные функции, определяемые в процессе решения задачи соответственно из условий отсутствия вертикальных перемещений цилиндрической поверхности (r = 1) пластины при z = 0 (первое равенство (1.3)) и радиальной компоненты вектора индукции электрического поля при r = 1 (последнее равенство (1.2)).

В результате подстановки (2.3) в (1.1)–(1.8), (2.1), (2.2) получаем новую краевую задачу относительно функций u, w, ф . При этом дифференциальные уравнения (1.1), первое условие (1.5), первые два условия (1.6) и равенства (1.7) становятся неоднородными с правыми частями R₁ ^ R3, B₁ ^ B6, а начальные условия U₀, U₀, W₀, W₀ следует заменить на и0,й^,W0,w0^:

R = —

R2

' 5       С^) 5²      /п 5² '

V + —55Ф⁽¹⁾

5 r    С^ 5z²      51²

N1H (z - h 2 )-

^{( (1}V ^{1 С}У) e³¹+ ^С1⁽1)8зз +( e31 + ^e1₅) e31+ 1

R з =

^С11 ^33 ^{+ (}e31⁺e15 ) e31 ^{5 ф}1 e 23            5z²

B2

n⁽²⁾ 13

c (1

С1)

(3 r - 2) q - 1 -k

— V U - Ф(5) 5 r

5 ²U

• 5    ф1 H (z - h2) + Ф( 5)

5z^{2 V 27}

^H (^{z - h} 2 ), ^B1 =

C⁽¹⁾e

13 e31

C(1)e

e

N2,

5²P

51²,

П ( ²⁾

• 1    - lf(3 r -2)

d\ b,=b, =

5z^{3 5}

q,

^С55^ e31r^{d ф}1

• 2    ^С11 ee33   5z

С⁽¹⁾ , x            c⁽¹⁾8 +e²e ,

B4 =-С1У ( 3 r - 2 ) q, B 6 = ^С11 V e³¹ дф¹- e³¹(3 r - 2) q, w, = W_o- p=₀, С^{(1)                          e}33       5^{z e}33

wv0 = W^0 - Tpt=0, и0 = U0 - [N1H (z - h2) + N2 ]t=0, ut. = UJ0 - [7N1H (z - h2) + TV2 ]t=0, а краевые условия (1.2)–(1.4) принимают следующий вид:

– жесткое закрепление

U(1,z,t) = 0, 5W = 0, |ф = 0;                        (2.4)

5r |z=1          5r\z=1

– шарнирное закрепление

W(1,z,t) = 0, ф(1,z,t) = 0 VUr=1 = 0.                           (2.5)

Здесь следует отметить, что в отличие от классической постановки задач теории упругости в настоящем исследовании «жесткое» закрепление (2.4) характеризуется также отсутствием угла поворота. Кроме того, последнее условие (2.5) получается при С^5) = С12). Только в этом случае, в дальнейшем, дополнительные внеинтегральные члены в первом трансформированном уравнении (1.1) равны нулю.

Применяем к краевой задаче (1.1)–(1.8), (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) относительно функций u, w, ф конечные интегральные преобразования Ханкеля, используя следующие трансформанты:

Uh (Л, z, t ) = J u (r, z, t) rJ1 (j,r) dr,                              (2.6)

{Wh (J,z,t),ФH (Л,z,t)}=!{w(r,z,t),Ф(r,z,t)}rJ0 ( j,r)dr, 0

и формулы обращения u (r ,z, t ) = 2£ '   jt)J1 (j,r),                          (2.7)

, =1 S⁽Jn )

( ( Л ( п^{wH^{( j}", z, t),^фh^{( j}", z, t^)}r / • A

{w (r, z, t), Ф( r, z, t )} = 2L                               J°(J"r), n=0             S ( Jn )

где J, - положительные нули функций J1 (J,), J₀(J,) соответственно при жестком и шарнирном закреплении пластины, расположенные в порядке их возрастания (, = 0, да; Jо = 0); S (^J, ) = ^Jо (j,) при жестком и S (^J, ) = ^J1 (j,) при шарнирном закреплении.

В пространстве изображений получаем новую краевую задачу:

z = 0

z = h₂

z = h

^-j2uH⁺

C555) d²u

C;) dz²

^(;) С₂ C^ J-wH⁺

С₃33) d²w

cf;¹dz¹

⁽e31 + e15 )

e33

uH

n

dwH   ⁽e31 ^{+ e}15) • d Ф

Jn

dz

du

H

jn

du

dz

e33

dz

Ф

,(;) ^дuH

д t²

= ^R1H

(2.8)

Сп¹

dz

e

— jnф H +

^{d ф}H

e₃₃

dz²

Ф

, (; )д2^Н

д t²

^R 2 H ,

e

^-— J, Wh⁺

f^{1 (2)}

^13

CW JnuH

e33

+

d2w

dz²

+

С⁽1'е

e

7,²Ф h

^С32^33 ^{d ф}H

e

dz²

= R3 H ;

Сзз) дw« 33 H

C<1>6z

(A^f) _ f^,(2) 13       13

(z + 0)

= ^B1H

^C552) Г ^дuH

cji>

dz

jnw

(2.9)

Cfl)

JnuH⁺

C33)- C(2) dw

C55)- C52 pUh

C<1>

дz

-

uH

Cfl)

дz

+

дф

дz

= B 2 H ,

(2.10)

-

jnw

-

e₃₃

jn^фH = ^B3 H ,

(z - 0) = 0, wH (z + 0)

-

Wh (z - 0) = 0, фh = 0;

C (1)

^13

CW JnuH

C33) дWj

C1>6z

дф

дz

= ^B4 H

(2.11)

t = 0

-ЦГди»

-W I 5z

^   eis • „ D

- JnwH I--JnФH = ^B5H ,

/   e33

e31 V „ , dwH С1(11)£зз 5фH --jnuH +^27— e33          оz      e33    оz

= ^B6 H

u (jn , z, 0) = u0H (jn , z) , u (jn , z^,0) = u0H (jn , z) ,

(2.12)

wH ( j_n , z^,0) = woH ( j_n , z) , wH ( j_n , z^,0) = w0H (jn , z) .

где ^{R1H , В3 H , ^B5 H^}=J^{{ R}1, ^B3, ^B5 ^}r^J1 ⁽jnr ) dr, ^{R 2 H , ^R3 H , ^B1H , ^B 2 H , ^B4 H , ^B 6 H^}=J^{R2 ’ ^R3, ^B1, ^B 2, 00

^B4, Be} rJ0 ( jnr) dr.

На втором этапе решения используется обобщенный метод конечных интегральных преобразований (КИП) [28] по координате z . Предварительно выполняется процедура стандартизации, связанная с приведением граничных условий (2.9)–(2.11) к однородным, с помощью следующих разложений:

uH ( jn , z, t ) = Y1H ( z, t ) + UH ( jn , z, t ) , wH ( jn , z, t) = Y2H (z, t) + WH ( jn , z, t) ,                           (2.13)

Ф H ( ^jn , z, t ) = ^Y3 H ( z, t ) ⁺X H ( ^jn , z, t ) .

C⁽¹⁾- C⁽²⁾

В случае жесткого закрепления, принимая во внимание ф₁= 0, B_2H = —13—^ ¹³ B_XH ,

C13

С⁽¹⁾                  С⁽¹⁾е

B4H = -^ B1H , B6H = ^1^-31- B1H , имеем

C13                C13 e33

Y™ = 0, ¥_г„ = h (z)B1„ [1 -H(z-*2)]+f2(z)B,„H(z-h), Y3„ = f3(z)B„H(z-h2), а при шарнирном закреплении, с учетом P1 = N₂= 0, получаем

Y1H = ^{f (z}) ^B1H [1 Н^{( z}h2 )] ^{+ f}1 ^(z) ^B3H^{H (z}h2 ) ,

^Y2H = f3 ⁽z) ^B6H^{H (}z - ^h2 ) , Y3H = f4 ⁽z) ^B6H^{H (}z - ^h2 ) .

В результате подстановки (2.13) в (2.8)–(2.12), при учете соотношений: при жестком закреплении

f⁽¹⁾

f1'( ⁰) = f1'( h2 ) = -Ц) ,                                    (2-¹⁴)

C33

n ^ 0:

f1 (h2) = f2(h2) = f/(h2) = 0, f/(h2) = A1, f,’(h) = A2, f/(h) = A3, f1 (0) = 0, f 2 (h ) = 0 f 3 (h ) = 0, l)/--<1)         C(1|fc(1|e  +e e 1        fc(1|e  -C^e К

C,⁽/C(?          ^11 1^13 °33 ⁺e31 ^e33 /         1^13 e33 ^33 ^e31 /^e33

11 13

A¹     C^Cz2), A²    d2) c(1)p     2 , ³    d2) c(1)p  _+e2 ;

33^13             —13 I- 33 b33 + e33 I             —13 I- 33 b33 + e33 I при шарнирном закреплении с (1)

f(0) = f(h2) = f'(h) = 0, f'(0) = 77-,                    (2.15)

C33

⁽¹⁾                        eL

.f2(h2) =f2(h) = 0, f/(h.) = f2'(h) = Д. f,'(h) _

^С55              ^С33 ^E33 + ^-33

f•'( h ) = — , ' f’( h ) , fm. ( h 2 ) = fm ’( h2 ) = fm (h ) = 0 (” = 1, 2)

C получаем новую краевую задачу относительно функций UH , WH , хH с однородными граничными условиями по координате z . Правые части дифференциальных уравнений (2.8) и начальные условия и,, „, йп н. wn н. wn„ заменяются на R„ ^ F „ , U „, U „ , Wn „.W „ :

0H 0H 0H 0H 1H 3H 0H 0H 0H 0H

= Rh

2H

C⁽⁵) C⁽⁵) d²Y     (С(з) + С55))   dY     e

С₅₅  2 С₃₃dY_2H13 55     dY_1H   e₁₅2

С) jH С^) dz²        С^)    jn dz + -₃₃

- d-YH-+ф^{( 5}) dz²

5 ²Y2 H

F = R

¹ 3 H 3H H

(-31 + —15 )   dYH  ^5 л d YYH Сц^ц 2y    С1У£33 d YH jn ,          JnY2H + ,2 + 2    jnY3H       2       > 2

e₃₃         dz    e₃₃            dz       e₃₃              e₃₃    dz

U0 H u0 H⁽jn w z ) Y! H11=0, ^U0 H ^Ul0 H⁽jn w z ) Y1H11=0 ,

^W0H = ^w0H⁽Jn W z) — Y2H11=0 w WoH = ^w0H⁽Jn , z ) ^—Y2H11=0 •

Функции f₁ (z)^ f 4 (z) w входящие в разложения (2.13)w определяются с помощью следующих равенств:

k fm ( z )=Е apz-1 ( m = 1w4) w                           (2.16)

p=1

где a_p - постоянные; k - параметрw соответствующий количеству граничных условий для функций ^f_m (^z) •

Подстановка (2.16) в (2.14)w(2.15) позволяет определить функции f_m (z):

– жесткое закрепление

.f4 (z ) = 0;

7(1)                          A n = 0                  f1 ( Z ) = -(2y( Z - h 2 ) w f3 ( z ) = —( z2 - 2 h 2 z + h 22 ) w

C₃₃                     2h₁

f, ( z) =( 2 h₁) ¹{(A2 - A₁) z²+ 2 ( A₁ h - A₂h₂) z + h₂[ A₁ ( h₂- 2 h) + A2 h₂]};

n ф 0

fx ( z ) =

C⁽¹⁾   /

C11       3

C32) К^{2 (}

- 3 h₂z²+ h₂²z),

f2 ( ^z) = hl ²{( Ax⁺A2 ) ^z3-[(²Ax⁺A2) h⁺( Ax^{+ 2}A2 ) h2 J ^{z2 +} +[ A_x h²+ A h 2 + 2 (A_x + A₂) hh₂J z - hh₂(A_x h + A₂h₂)}, A

f, (z) = —3 Гz3 —(h + 2h2) z2 + h2 (2h + h2) z — hh2 J;

– шарнирное закрепление

C^(x)                                                C^(x)

f■ ( z ) = Г Л ( z3 - 2 h 2 z 2 + h 2 z ) , f4 ( z ) = - Д f3 ( z ) ,

C₃₃h₂                                  C₁₁

C f2 ( z ) = C^ [ 2 z — 3 ( h + h 2 ) z +( h + h 2 + 4 hh 2 ) z — hh 2 ( h + h 2 )] , f3 ( z ) =

² e₃₃

( С33833 ^{+ e}33) h

Начально-краевую задачу (2.8)-(2Л2) относительно функций UH, WH, хH решаем, используя обобщенный метод конечных интегральных преобразований (КИП) [28] с использованием неизвестных трансформанты G (X_in, n, t) и компонент K_x(Xin, z), K₂(Xin, z),

K₃(Xin, z) вектор-функции ядра преобразования (Xin - положительные параметры, образующие счетное множество (i = x, ^)).

Общее решение краевой задачи (2.8)-(2Д2) для электроупругого (s = x) и упругого

(s = 2) слоев представлено в работах автора [22, 29, 30].

Здесь следует отметить, что в отличие от стандартной процедуры разложения по собственным функциям [26] метод КИП [28] позволяет в процессе решения динамической задачи определить частоты и формы собственных колебаний конструкции.

Окончательные выражения функций U(r,z,t), W(r,z,t) , ф(r,z,t) получим, применяя последовательно формулы обращения КИП [28] и метод конечных преобразований Ханкеля (2.7). В результате с учетом (2.3), (2.13) имеем

^

Jxijnr) YxH (z, t )₊:Ё G„K „n|Kn|

^ (Jn) L               i=^x

U (r, z, t) = Nx (r, z, t) H (z — h2) + N2 (r, t) + 2^

n=x

J„( J r\V

W (r ,z, t ) = Px (t)+ -V ^-2). Y2 H (z, t ) + £ ^Gn^K 2in||Kin||   ,          (2.¹⁷)

"-⁰2 (Jn) ^L               '-^x                   J

ф(r,z, t) = 9x (z, t) + ²jr Jokjnrl Г Y3H (z, t) + jr GinK3in IKin I n=0 ² (J_n) L                i=^x

Заключительным этапом исследования является определение неизвестных функций P1 (t), Ф1 (^z, t).

В случае жесткого закрепления пластины, когда ф1 (z, t ) = 0, функция P1 (t) определяется из условия отсутствия вертикальных перемещений цилиндрической поверхности пластины при z = 0 и на основании (2.17) принимает вид да                     да

P (t ) = —²Z J0 (j. )—1 Z GK. (А. ,0)1 И Г²-                 (2.18)

n=0                 i=1

При шарнирном закреплении P1 (t ) = N2 (z, t ) = 0. Для упрощения расчета функция Ф1 (z, t) определяется из условия равенства нулю суммарного значения тока смещения на h цилиндрической поверхности пьезокерамической пластины J Drlr=1 dz = 0 . Для этого пред-h2

ставляем ее в виде следующего многочлена:

Ф1 (z, t) = A₀(z²- 2h₂z + h22 ) Jq(r, t)rdr .                          (2.19)

Данное выражение учитывает условия неразрывности деформаций ^1   = 0 и за-

5z|z=h₂

земление металлической подложки ф^=_h2 = 0. Постоянная A₀определяется при удовлетворение условия

С^Бц 5ф e323 5r |r=1

dz = 0.

(2.20)

3.    Численные результаты. Выводы

В качестве примера рассматривается биморфная пластина, имеющая следующие физические и геометрические характеристики аксиально поляризованных пьезокерамических пластин состава ЦТС–19 [24] и металлической стальной подложки:

IC⁽¹⁾ Г^¹ Г^¹) Г^¹) Г^Н — Л П Q Q1  A 1  S4 ?d.lv1D¹⁰ Ы/м²p  p 1 —

{С11 , С зз , С12 , С13 , С 55 } {¹⁰.^9, 9.^1, 6.1, 5.4, 2.4jX¹⁰ H/м , {e31, ^езз, e15 }

= {-4.9, 14.9, 10.6} Кл/м², {£11,e₃₃} = {7.73, 7.2б}х10^-9Ф/м, p⁽¹⁾ = 7730 кг/м³,

• ⁽²⁾    C⁽²⁾ C⁽²⁾ C⁽²⁾ C⁽²⁾l-f21  21  2 2 9 31хЮ¹⁰ Н/м²

{ Си , С зз , С12 , С13 , С 55 }   {2¹, 2¹, 2, 2, 9.3}^{х10 н/м} ,

p⁽²⁾ = 7800 кг/м³, h2= 0,5 х10^-3 м, b = 3 х10^-2м.

Рассмотрим случай действия равномерно-распределенной гармонической нагрузки q (r, t ) = q (t ) = q 0 sin(ra t), где q0 - амплитудное значение интенсивности в безразмерной форме; го - относительная частота вынужденных колебаний (го = го*b^р(2) j с12, го* - круговая частота вынужденных колебаний).

На рис. 2–4 изображены графики, характеризующие изменение напряженно-деформированного состояния и характер распределения электрического поля в рассматриваемой конструкции при го = 111/5 (111 - положительный параметр, соответствующий первой частоте собственных колебаний). Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

• 1)    При жестком закреплении конструкции на лицевой поверхности пьезокерамической пластины одновременно образуются зоны растяжения и сжатия, что приводит к появлению электрических зарядов разных знаков. Поэтому использование сплошного металлического покрытия нецелесообразно в связи с индукцией на электроде электрического потенциала небольшой величины. Для решения данной проблемы, когда частота внешнего воздействия го <1_П, для регистрации разности потенциалов V (t) необходимо использовать два разрезных круговых электрода (радиус R раздела электродов определяет нулевое значение функции J0 (j1 r), R = 0,63). Подключение электродов к измерительному прибору позволяет определить V (t):

R                         1

V(t) = 2 |ф(r,h,t)rdr-|ф(r,h,t)rdr .

I п I

Рис. 2. Зависимость амплитудных значении VI — I от толщины пьезокерамической пластины h*: а - шарнирное закрепление; б - жесткое защемление

Fig. 2. The dependence of the amplitude values of the thickness of the piezoceramic plate: a – securing hinge; b – hard pinching

( П 1

Рис. 3. Изменение амплитудных значений оrr I r, z,— I по радиальной к Юу координате (1-z = 0,2-z = h): а - шарнирное закрепление; б - жесткое защемление Fig. 3. The change in the peak values of the radial coordinate (1- z = 0,2- z = h ): a – securing hinge; b – hard pinching

n1        (_   n1

Рис.4. Изменение амплитудных значений ф! 0,z,— I-1, EzI 0,z,— I-2, к юУ      к   юУ по высоте пьезокерамической пластины (шарнирное закрепление)

Fig. 4. The change in amplitude values, the height of the piezoceramic plate (hinge fixing)

При шарнирном закреплении пластины разность потенциалов V (t) между электро-дированными поверхностями пьезокерамических пластин (в данном случае одна плоскость заземлена) определяется равенством

V (t) = 2j ф( r, h, t) rdr.

• 2)    Для конструкции с заданной толщиной подложки можно определить оптимальную высоту пьезокерамической пластины, позволяющей наиболее эффективно преобразовать

внешнее механическое воздействие в индуцируемый электрический сигнал. На рис. 2 показаны графики изменения амплитудных значений разности потенциалов V [ — | для различной толщины пьезокерамической пластины. В данном случае для металлической под- ложки толщиной h2 = 0,5 x 10 высотой И) = 0,6 x10 3 м.

3 м необходимо использовать пьезокерамическую пластину

I П 1

• 3)    Амплитудные значения электрического импульса V1 — 1 при шарнирном закреп

ление пластины существенно больше, чем в случае жесткого защемления ее контура (см. рис. 2, а, б). Однако шарнирное закрепление характеризуется также большими нормальными механическими напряжениями сrr в центре пластины (см. рис. 3, а, 1-z = 0, 2- z = h). Данная особенность вводит ограничения на величину интенсивности нагрузки q₀.

При жестком защемлении контура пластины величина сrr значительно меньше (см. рис. 3, б) (сrr = 0 при r = R), что приводит к увеличению диапазона изменения интенсивности нагрузки q₀ .

I П 1

• 4)    Амплитудное значение потенциала электрического поля ф| 0, z,— I по высоте пье-I to)

зокерамической пластины при разных случаях закрепления изменяется по параболической зависимости (рис. 4, кривая 1, шарнирное закрепление), соответственно график, I П 1

описывающий изменение аксиальной компоненты вектора напряженности E_z I 0, z,— I, I to)

представляет прямую линию (см. рис. 4, 2). Аналогичная картина наблюдается при анализе биморфных пластин в задачах обратного пьезоэффекта [22].

В заключение отметим, что разработанный в настоящей работе алгоритм расчета позволяет исследовать биморфные конструкции с произвольным количеством упругих и электроупругих слоев.