Динамические модели соболевского типа с условием Шоуолтера - Сидорова и аддитивными шумами

Линейное стохастическое дифференциальное уравнение в простейшей ситуации имеет вид dn = (Sn + ^)dt + Adw,                             (0.1)

где S и A – некоторые линейные операторы, которые в дальнейшем будут определены; ф = ^(t) - детерминированное, а ш = w(t) — стохастическое внешние воздействия; n = n(t) – искомый случайный процесс. Изначально под dω понимался дифференциал винеровского процесса ш = W (t), обобщенная производная которого традиционно трактуется как белый шум. Первым обыкновенные дифференциальные уравнения вида (0.1) начал изучать К. Ито, затем к исследованиям подключились Р.Л. Стратонович и А.В. Скороход. Подход Ито – Стратоновича – Скорохода в конечномерном случае популярен до сих пор [1, 2]. Более того, он успешно распространен и на бесконечномерную ситуацию [3, 4], и даже на уравнения соболевского типа [5, 6]. Отметим еще подход, представленный школой И.В. Мельниковой [7, 8], в котором уравнение (0.1) рассматривается в пространствах Шварца, где обобщенная производная винеровского процесса имеет смысл.

Между тем возник [9] и активно развивается [10, 11] новый подход в исследованиях уравнения (0.1), где под «белым шумом» понимается производная Нельсона - Гликлиха винеровского процесса. (Заметим, что данный «белый шум» более адекватен теории броуновского движения Эйнштейна – Смолуховского, нежели традиционный белый шум [9, 10].) Первоначально «белый шум» использовался в теории оптимальных измерений [12, 13], где для него пришлось построить специальное пространство «шумов» [14]. Концепция «белого шума» в данной теории, которая существует только в конечномерных пространствах, показала свою высокую эффективность, поэтому возникла идея распространения этой концепции на бесконечномерные пространства. Цель такого распространения – развитие теории стохастических уравнений соболевского типа и разработка приложений этой теории к неклассическим моделям математической физики, имеющим практическую значимость.

Статья, кроме введения и списка литературы, содержит три части. В первой части вводится в рассмотрение производная Нельсона – Гликлиха K -случайного процесса со значениями в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве, в частности, K -винеровского процесса. Затем строятся пространства таких процессов, содержащие как K -винеровский процесс, так и его производную Нельсона - Гликлиха (т.е. « белый шум » ). Эти пространства, простоты и краткости ради, названы пространствами « шумов » . Название оправдано еще и тем, что « черный шум » (т.е. « абсолютная » тишина) - случайный процесс, чьи траектории п.н. (почти наверное) совпадают с точкой нуль, – лежит во всех построенных пространствах.

Во второй части статьи развивается теория стохастических уравнений соболевского типа с относительно p -ограниченными операторами. Именно, рассматривается стохастическое уравнение соболевского типа

L П= Mn + Nw, (0.2)

o где n = n(t) — искомый случайный процесс, П — его производная Нельсона - Гликлиха, w = w(t) — случайный процесс, отвечающий внешнему воздействию; операторы L,M,N Е L(U; F), причем оператор M (L,p)-ограничен, p Е {0}U N. Уравнение (0.2) снабжено начальным условием Шоуолтера – Сидорова

[ rL ( M )] ^{p +1} (n (0) - е о ) = О, (0.3)

где R L (M ) = (aL — M) -1 L,a Е p L (M ). Отметим, что условие (0.3) более естественно для системы леонтьевского типа [13] и для уравнений соболевского типа [15], нежели традиционное условие Коши. Здесь же доказывается существование и единственность классического решения задачи (0.2), (0.3).

В третьей части абстрактные результаты первых двух частей прилагаются к стохастическому уравнению Баренблатта – Желтова – Кочиной, моделирующему процессы фильтрации в трещиноватых средах, влагопереноса в почве и теплопроводности в средах « с двумя температурами » [6]. Доказано существование и единственность решения. Заметим еще, что список литературы не претендует на полноту, а только отражает личные вкусы и пристрастия авторов.

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю признательность проф. В.Ф. Куропатенко за многочисленные стимулирующие дискуссии. Особо хочется отметить те работы юбиляра [16–18], идейная направленность которых обусловила идеологию данной статьи.

1.    Пространства «шумов»

Пусть Q = (Q, A , P ) – полное вероятностное пространство, R – множество действительных чисел, наделенное борелевой ст -алгеброй. Измеримое отображение £ : Q ^ R называется случайной величиной . Множество случайных величин образует гильбертово пространство со скалярным произведением (£ 1 ,^ 2 ) = E £ i £ 2 . Это гильбертово пространство мы обозначим символом L 2 . В дальнейшем будут очень важны те случайные величины ξ ∈ L 2 , которые имеют нормальное (гауссово) распределение; их мы назовем гауссовыми величинами .

Пусть теперь А д - ст -подалгебра ст -алгебры А . Построим пространство L 2 случайных величин, измеримых относительно А д . Оказывается, L 2 - подпространство в L 2 ; обозначим через П : L 2 ^ L 2 - ортопроектор. Пусть £ Е L 2 , тогда П£ называется условным математическим ожиданием случайной величины £ и обозначается символом Е (£ |А д ). Как нетрудно заметить, Е (£ |А д ) = Е £, если А д = {0 , Q } ; и Е (£ |А д ) = £, если А д = А . Наконец напомним, что минимальная ст -подалгебра А д С А , относительно которой случайная величина £ измерима, называется σ -алгеброй, порожденной ξ.

Пусть далее I С R — некоторый промежуток. Рассмотрим два отображения: f : I ^ L 2 , которое каждому t Е I ставит в соответствие случайную величину £ Е L 2 , и g : L 2 х Q ^ R, которое каждой паре (£, ш) ставит в соответствие точку £(ш) Е R. Отображение п : I х Q ^ R, имеющее вид п = п(t,ш) = g(f(t),ш) , мы называем (одномерным) случайным процессом . Таким образом, при каждом фиксированном t Е I случайный процесс п = n(t, • ) является случайной величиной, т.е. n(t, • ) Е L 2 , а при каждом фиксированном ш Е Q случайный процесс п = п(,ш) называется (выборочной) траекторией . Случайный процесс п назовем непрерывным, если п.н. все его траектории непрерывны (т.е. при п.в. (почти всех) ш Е Q траектории п(,ш) непрерывны). Множество непрерывных случайных процессов образует банахово пространство, которое мы обозначим символом CL 2 . Непрерывный случайный процесс, чьи (независимые) случайные величины гауссовы, называется гауссовым.

Важнейшим примером непрерывного гауссова случайного процесса служит (одномерный) винеровский процесс в = в(t), моделирующий броуновское движение на прямой в теории Эйнштейна – Смолуховского. Он обладает следующими свойствами:

• (W1) п.н. в (0) = 0, п.н. все его траектории в(t) непрерывны, и при всех t Е R + (= { 0 }U R ) случайная величина в(t) гауссова;

• (W2) математическое ожидание Е (в (t))  =  0 и автокорреляционная функция

Е ((в (t) — в (s))2) = I t — s | при всех s, t Е R + ;

• (W3) траектории в(t) недифференцируемы в любой точке t Е R + и на любом сколь угодно малом промежутке имеют неограниченную вариацию.

Теорема 1.1. С вероятностью 1 существует единственный случайный процесс β, удовлетворяющий свойствам (W1) – (W2), причем его можно представить в виде

ОО

в(t) = ^2 ^k sin2(2k + 1)t, где ^k — независимые гауссовы величины, E£k = 0, D£k = [П(2k + 1)]—2.

В дальнейшем случайный процесс β, удовлетворяющий свойствам (W1) – (W3), назовем броуновским движением.

Теперь фиксируем п Е CL 2 и t Е I (= ( е,т ) С R ) и через N _t ⁿ обозначим ст -алгебру, порожденную случайной величиной n(t). Переобозначим еще, краткости ради, Е ^п = E ( |N _t ⁿ ).

Определение 1.1. Пусть п Е CL 2 , производной в среднем справа D^t, • ) ( слева D * п(t, • ) ) случайного процесса п в точке t Е ( е, т) называется случайная величина

D^ М- J^ Е ( ^{п (}t ⁺ ^J - ^ ) (D - п- JX Е ? ( ^п-^^-1^ )), если предел существует в смысле равномерной метрики на R. Случайный процесс η называется дифференцируемым в среднем справа (слева) на ( е,т ) , если в каждой точке t Е ( е,т ) существует производная в среднем справа (слева).

Итак, пусть случайный процесс п Е CL 2 дифференцируем в среднем справа (слева) на (е,т) . Его производная в среднем справа (слева) тоже будет случайным процессом, который мы обозначим символом Dn ( D * n ). Если случайный процесс п Е CL 2 дифференцируем в среднем как справа, так и слева на (е, т) , то можно определить симметрическую (антисимметрическую) производную в среднем D s п = 2 (D + D * ) п DAa4 = 2 (D * - D) п) . Поскольку производные в среднем ввел в рассмотрение Е. Нельсон [19], а теорию таких производных развил Ю.Е. Гликлих [2], то в дальнейшем, краткости ради, симметрическую производную в среднем D S случайного процесса η будем называть производной Нельсона – Гликлиха и o                    o             o^(l)

обозначать п , т.е. D s п = п . Через п обозначим l -тую производную Нельсона - Гликли-ха случайного процесса п , l Е N Отметим, что если траектории случайного процесса п п.н. непрерывно дифференцируемы в «обычном смысле» на (е, т ) , то их производная Нельсона -Гликлиха совпадает с «обычной» производной. Так, например, обстоит дело со случайным процессом п = a sin(вt), где a - гауссова случайная величина, в Е R + — некоторая фиксированная константа, а t Е R имеет физический смысл времени.

l) , +i_ _,_

Теорема 1.2. (Ю.Е. Гликлих) в (t) = ( — 1) v2t) в(t) при всех t Е R + и l Е N.

Введем в рассмотрение пространство C l L 2 , l Е N , случайных процессов из CL ₂ , чьи траектории п.н. дифференцируемы по Нельсону – Гликлиху на I до порядка l включительно. o

Если I С R + , то из теоремы 1.2 следует существование производной в Е C 1 L ₂ , которую мы называем ( одномерным ) « белым шумом » . В [14] пространства C l L ₂ предложено называть пространствами дифференцируемых « шумов » .

Теперь фиксируем к Е   N , возьмем к независимых случайных процессов

{ n 1 (t), n 2 (t),...,n k (t) } и формулой

k

где e j - орты, j = 1, к, зададим к - мерный случайный процесс (короче, к - случайный процесс ). Очевидно, что п.н. все его траектории непрерывны, если n j Е CL ₂ , j = 1, к, и непрерывно дифференцируемы по Нельсону - Гликлиху до порядка l включительно, если n j Е C l L ₂ , j = 1, к. По аналогии с предыдущим введем в рассмотрение пространства непрерывных C k L ₂ и непрерывно дифференцируемых CL ₂ к -мерных « шумов » . В качестве примера рассмотрим k -мерный винеровский процесс ( k - винеровский процесс )

k

W k (t) = Ев (t)e ₃ , j=i

(1 . 1)

где в j , j = 1, k - независимые броуновские движения. Из теоремы 1.2 с очевидностью вытекает

Следствие 1.1. W _k (t) = ( — 1) ^{l +1} (2t) ^-l W k (t) при всех t Е R + , k,l Е N .

Из (1.1) следует, что k -винеровский процесс W _k удовлетворяет свойствам (W1) – (W3), если в них символ β заменить символом W k . Считаем, что такая замена сделана, тогда верна

Теорема 1.3. При любом к Е N с вероятностью 1 существует единственный к-винеровский процесс W _k , удовлетворяющий условиям (W1) – (W3), причем его можно представить в виде (1.1).

Теперь пусть U = (U, (-, •)) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство; рассмотрим оператор K Е L(U), спектр с(К) которого неотрицателен, дискретен, конечно- кратен и сгущается только к нулю. Обозначим через {Aj} последовательность собственных значений оператора K , занумерованных по невозрастанию с учетом их кратности. Отметим, что линейная оболочка множества {^j} соответствующих ортонормированных собственных векторов оператора K плотна в U. Предположим еще, что оператор K – ядерный (т.е. его ∞ след Tr K = ^2 Aj < +то).

j =i

Возьмем последовательность независимых случайных процессов { n j } и определим K -случайный процесс ∞

j=i при условии, что производные в правой части (1.3) до порядка l включительно существуют, и все ряды равномерно на любом компакте из I сходятся. Аналогично конечномерному случаю введем в рассмотрение пространство С кL2 K-случайных процессов, чьи траектории п.н. непрерывны, и пространства CK L2 K -случайных процессов, чьи траектории п.н. непрерывно дифференцируемы по Нельсону - Гликлиху до порядка l G N включительно.

В качестве примера рассмотрим K -винеровский процесс

∞

W k (t) = TV в₃ (t> j ,                        (1.4)

j=i который, очевидно, существует на R+. Более того, справедливо

Следствие 1.2. W к (t) = ( — 1) l ⁺¹ (2t) ^-l W K (t) при всех t G R + , l G N и ядерных операторах K G L ( U ).

Кроме того, K -винеровский процесс (1.4) удовлетворяет условиям (W1) – (W3), если в них символ β заменить символом W K . И если такая замена сделана, то справедлива

Теорема 1.4. При любом ядерном операторе K G L ( U ) с вероятностью 1 существует единственный K -винеровский процесс, удовлетворяющий условиям (W1) – (W3), причем его можно представить в виде (1.4).

2.    Стохастические уравнения соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами

Пусть U и F - банаховы пространства, операторы L,M G L ( U ; F) (т.е. линейны и непрерывны). Следуя [20], введем в рассмотрение L -резольвентное множество p ^L (M ) = {^ G C : (^L — M ) ^{- 1} G L (F; U)} и L -спектр a ^L (M ) = C \ p ^L (M) оператора M . Если L -спектр a ^L (M ) оператора M ограничен, то оператор M называется (L, ст) -ограниченым. Если оператор M (L, ст) -ограничен, то существуют проекторы

P =

-¹. [ R^L L (M)d^ G L (U), 2ni     ^

γ

Q =      / L ^LL (M)d^ G L (F).

2ni ^

γ

Здесь R L (M ) = (^L - M ) 1 L — правая , a L L (M ) = L(^L - M ) ¹ — левая ^-резольвенты оператора M , а замкнутый контур y С C ограничивает область, содержащую a ^L (M ). Положим U 0 (U 1 ) = ker P (imP) , F 0 (F 1 ) = ker Q(imQ) и через L k (M k ) обозначим сужение оператора L(M) на U ^k , k = 0,1 .

Теорема 2.1. (теорема о расщеплении [6, 15, 20]) Пусть оператор M (L, а)-ограничен, тогда

• (i)    операторы L k (M k ) G L (U ^k ; F k ) , k = 0,1 ;

• (ii)    существуют операторы M — G L ( F 0 ; U ⁰ ) и L^ ¹ G L (F 1 ; U ¹ ) .

Построим операторы H = M^-1L o G L (U ⁰ ) , S = L - 1 M 1 G L (U 1 ).

Следствие 2.1. Пусть оператор M (L, а)-ограничен, тогда при всех ц G p L (M )

∞∞

(^L - M ) ^{- 1} = - ^ / H ^k M ^{- 1} ( I - Q) + ^ ц -k S k^ L^Q.

k =0                       k =1

Оператор M называется (L,p") - ограниченным, p G { 0 } U N, если го — устранимая особая точка (т.е. H = O ,p = 0 ) или полюс порядка p G N (т.е. H ^p = O, H ^p+1 = O) ^-резольвенты (^L - M ) ^{- 1} оператора M.

Пусть оператор M (L, p) -огрaничен, p G { 0 } U N . Рассмотрим линейное стохастическое уравнение соболевского типа

Ln= Mn + Nw,(2.1)

где свободный член будет определен позже. Дополним уравнение (2.1) начальным условием Шоуолтера – Сидорова

[RL(M)]P+1 (n (0) - eo) = 0,(2.2)

о преимуществах которого по сравнению с условием Коши

n(0) = €o мы говорили выше. В дальнейшем наряду с условием (2.2) нам придется рассматривать еще и ослабленное (в смысле С.Г. Крейна) условие Шоуолтера – Сидорова tlim+ [RL(M)]p+1 (n (t) - Ы=0.

(2.4)

Считаем далее, что I = [0, т). Пусть U - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, K G L (U) — ядерный оператор, чьи собственные значения { A j } С R + . Назовем K -случайный процесс η ∈ C ¹ _K L 2 ( классическим ) решением уравнения (2.1), если п.н. все его траектории удовлетворяют уравнению (2.1) при некотором K -случайном процессе w ∈ C K L 2 , операторе N G L (U; F) и всех t G (0, т). Решение n = n(t) уравнения (2.1) назовем ( классическим ) решением задачи (2.1), (2.4), если вдобавок выполнено условие (2.4). Классические решения задач (2.1), (2.2) и (2.1), (2.3) определяются аналогично. Заметим, что из выполнения (2.2) следует выполнение (2.3), а из выполнения (2.3) – выполнение (2.4). Рассмотрим сначала задачу (2.3) для однородного уравнения (2.1)

o

(2.5)

L n= Mn.

В этом (и только в этом) случае считаем I = R .

Определение 2.1. Множество P ⊂ U называется фазовым пространством уравнения (2.5), если

• (i)    п.н. любая траектория решения п = n(t) лежит в P поточечно, т.е. n(t) Е P при всех t ∈ R;

• (ii)    при любой случайной величине € 0 Е P существует единственное решение п Е C K L 2 задачи (2.5), (2.3).

Теорема 2.2. Пусть оператор M (L,p) -ограничен, p Е { 0 } U N . Тогда фазовым пространством уравнения (2.5) служит подпространство U ¹ .

Действительно, в силу теоремы 2.1 уравнение (2.5) редуцируется к эквивалентной системе о о        о 1

Нп = п , п = Sn ¹ ,                               (2.6)

где п 0 = ( I — P)п, п ¹ = Рп. Дифференцируя по Нельсону - Гликлиху первое уравнение в (2.6) и умножая слева на H, последовательно получим

.-I о ^{0( p +1)}

0 = Н ^{p +1} п    =

₉ о 0(2) = Н ² п

о 0

= Н п = п ⁰ .

Условие (i) определения 2.1, таким образом, выполняется. Для выполнения условия (ii) заметим, что, если €0 Е U1, то единственное решение задачи (2.6), (2.3) существует и имеет ∞ kk вид п1 = п1 (t) = etS€0, где etS = ^ -S-. Тогда, единственное решение задачи (2.5), (2.3) k=0

при € 0 Е U ¹ будет иметь вид n(t) = ( O ( I — Р ) + e ^tS Р )€ 0 -

Следствие 2.2. В условиях теоремы 2.2 решение задачи (2.5), (2.3) – гауссов K -случайный процесс, если случайная величина € 0 — гауссова.

Определение 2.2. Отображение U • Е C “ ( R ; L (U)) называется группой разрешающих операторов , если

U ^s U t = U s^+t при всех s, t Е R .

( * )

Группа { U t : t Е R } называется голоморфной , если она аналитически продолжима во всю комплексную плоскость с сохранением свойства (*); и вырожденной, если ее единица U ⁰ Е L (U) является проектором.

Хорошим примером голоморфной вырожденной группы служит разрешающая группа U t = O ( I — Р ) + e ^tS Р уравнения (2.5). Рассмотрим ее подробнее. Пусть { U t : t Е R } -некоторая голоморфная вырожденная группа, введем в рассмотрение ее образ im U • = im U ⁰ и ядро ker U • = ker U ⁰ . Назовем эту группу разрешающей группой уравнения (2.5), если ее образ совпадает с фазовым пространством данного уравнения.

Теорема 2.3. Пусть оператор M (L, ст)-ограничен. Тогда существует единственная разрешающая группа уравнения (2.5)

U t = ^ [ RL(M)e^d^, 2ni      ^

t ∈ R .

(2.7)

γ

Здесь γ ⊂ C – тот же контур, что и в проекторах P, Q. Доказательство теоремы 2.3 см., напр., в [20]. Сделаем ряд замечаний. Во-первых, очевидно, что единицей группы (2.7) служит проектор Р. Отсюда в силу теоремы 2.1 U t = O ( I — Р ) + e ^tS Р. Во-вторых, в силу той же теоремы условия (2.2) и (2.4) эквивалентны соответственно следующим условиям:

(2.8)

Р (п(0) — € 0 ) = 0 и lim Р (n(t) — € 0 ) = 0. t^ 0+

Таким образом, справедлива

Лемма 2.1. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p Е { 0 } U N . Тогда при любой случайной величине £ д Е L 2 существует единственное решение п Е C ^ L 2 задачи (2.5), (2.2), которое к тому же имеет вид n(t) = U t ^ g , t Е R . Если вдобавок £ g принимает значения только в U ¹ , то данное решение будет также единственным решением задачи (2.5), (2.3).

Вернемся теперь к уравнению (2.1) и напомним, что теперь I = [0, т). Пусть K -случайный процесс w = w(t),t Е [0, т ) таков, что

(I - Q)Nw Е CK+1L2 и QNw Е CkL2,(2.9)

тогда K -случайный процесс

n(q)

- ^H^qM ^{- 1} ( I - Q)N u o  (t) + / U ^t-s L ^-1 QNш(s)ds

(2.10)

q=g0

является единственным классическим решением задачи (2.1), (2.2) при ^ g Е U ^g . Доказательство см., напр., в [20]. Итак, справедлива

Лемма 2.2. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p Е { 0 }U N . Тогда при любом K-случайном процессе w = w(t) таком, что выполнено (2.9), и любой случайной величине ^ g Е U ^g независимой от w существует единственное решение п Е C K L ₂ задачи (2.1), (2.2), которое к

Р         _1               o ( q )

тому же имеет вид (2.10). Если вдобавок ^g = — ^2 HqMg 1 (I - Q)N u (0), то данное q=g решение будет также единственным решением задачи (2.1), (2.3).

Теорема 2.4. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p Е {0} U N. Тогда при любом N Е L(U;F), любом K-случайном процессе w = w(t) таком, что выполнено (2.9), и любой случайной величине ^g Е L2, не зависящей от w, существует единственное решение п Е CKL2 задачи (2.1), (2.2), которое к тому же имеет вид t n(t) = Ut^g + У g

p

U ^t-s L(¹QNw(s)ds - ^H ^q M ^{- 1} ( I - Q)N q =g

o ⁽ q )

ω

(t).

(2.11)

Если вдобавок ^ g такая, что

( q )

(2 . 12)

(P - I)^g =    HqMg-1(I - Q)N u;   (0), q=g то решение (2.11) будет также единственным решением задачи (2.1), (2.3).

Теорема 2.4 является почти дословным переносом детерминированного случая на стохастическое уравнение (2.1), поэтому доказательство ее опускается. Однако « белый шум » w(t) = (2t) ^{- 1} W K (t) не удовлетворяет условию (2.9), поэтому не может быть в правой части (2.1). Один из возможных подходов к преодолению этой трудности предложен в [5, 6] (кстати, он годится и для традиционного белого шума). Чтобы воспользоваться этим подходом, преобразуем второе слагаемое в правой части (2.10) следуюшим образом:

t

/

U ^t-s L ^-1 QN W k (s)ds = L ^{- 1} QN ( Wk (t) - W k (e)) - SP

t

/

U ^t-s L ₁ ^{- 1} QN W K ( s ) ds.

(2.13)

ε

ε

Интегрирование по частям имеет смысл при любых е £ (0,t),t £ R + в силу определения производной Нельсона - Гликлиха. Переходя в (2.13) к пределу при е ^ 0, получим

t

/

U t-s L ^{- 1} QN W k (s)ds = L ^-1 QNW k (t) - SP

/

U ^t-s L ^-1 QNW K (s)ds.

(2.14)

Следствие 2.3. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p £ { 0 } U N , а оператор N таков, что

QN = N.                                 (2.15)

Пусть I C R+. Тогда при любой случайной величине £о £ L2, не зависящей от Wk, существует единственное решение п £ CKL2 задачи (2.2) для уравнения oo

Lп= Мп + NW к ,                        (2.16)

которое к тому же имеет вид

t

n(t) = UЧ0 + L - 1 NW K (t) - SP

/

U ^t-s L ^-1 NW _K (s)ds.

(2.17)

Если вдобавок € 0 принимает значения только в U ¹ , то (2.17) является единственным решением задачи (2.3) для уравнения (2.16).

Понятно, что (2.17) получено из (2.10) в силу (2.15) и предельного перехода (2.13) → (2.14). Причем условие (2.15) здесь играет главную роль. Чтобы от него избавиться, назовем K -случайный процесс п £ C K L 2 ( классическим ) решение уравнения (2.16), если п.н. все его траектории удовлетворяют (2.16) поточечно на R + . И назовем решение п = n(t) решением задачи (2.16), (2.4), если п№ удовлетворяет еще и условию (2.4).

Теорема 2.5. Пусть оператор М (L,p)-ограничен, p £ { 0 } U N . Тогда при любом N £ L (U; F) и любой U -значной случайной величине € 0 £ L 2 , не зависящей от Wk , существует единственное решение п = n(t) задачи (2.16), (2.4), которое к тому же имеет вид

п(t) = U t € 0 + L - 1 [QNW K (t) - М 1

t           1                        Р                            О ( q +1)

/ U ^t-s L ^-1 QNW K (s) ds] - 52 H q M₀ ( I - Q)N W k

( t ) .

0                            q =⁰

Доказательство теоремы заключается в ссылках на теоремы 2.1 и 2.4, а также на второе соотношение (2.8).

3. Уравнение Баренблатта – Желтова – Кочинойс аддитивным «белым шумом»

Пусть D C R d (d £ N ) - ограниченная область с границей dD класса C W Фиксируем l £ { 0 } U N и положим F = W 2 (D), U = { u £ W 2⁺² (D) : u(x) = 0, x £ dD } . Очевидно, U – вещественное сепарабельное гильбертово пространство, плотно и непрерывно вложенное в F. Фиксируем a, A £ R и построим операторы L = Л - А и M = aA, где А - оператор Лапласа. Как известно (см., напр., [21], гл. 5), операторы L,M £ L (U; F), причем оператор L фредгольмов при всех λ ∈ R . Рассмотрим стохастическое уравнение Баренблатта – Желтова – Кочиной

L^= Мп + Nw,                             (3.1)

где п = n(t) — искомый, w = w(t) — заданный случайные процессы на интервале (0, т ). Оператор N Е L (F) подлежит в дальнейшем уточнению. Приведем давно и хорошо известный результат (см., напр., [20] или [22], гл. 1).

Лемма 3.1. При всех А Е R и а Е R \ { 0 } оператор М (L, 0)-ограничен.

Пусть { v j } - последовательность собственных чисел оператора Лапласа (определенного в D с однородными граничными условиями Дирихле), занумерованная по невозрастанию с учетом их кратности, { V j } - соответствующие ортонормированные (в смысле U ) собственные функции. Построим проектор P Е L (U),

P =

I , А = v j при всех j Е N ;

I — 52 (,V j ) V j , если А = A j .

Приведем ослабленное условие Шоуолтера – Сидорова в виде (2.8)

(3.2)

lim P ⁽ п (t) ^— &) = 0. t^ 0+

Введем в рассмотрение U-значные K-случайные процессы. Построим оператор Л = ( —1)m-1Am с областью определения domЛ = {w2+2(m+1)(D) : Aku(x) = 0,x Е dD,k Е 0,1,...,m — 1},m Е N. Заметим, что оператор Л будет иметь те же собственные функ ции {Vj}, что и оператор Лапласа, однако его спектр будет состоять из собственных значений вида \vj|m. Поскольку асимптотика этих собственных чисел будет иметь вид 2m vm ~ j d ^ ^, j ^ ^, то мы считаем, что число m Е N выбрано таким образом, чтобы ряд го

52 \vj|-m сходился при фиксированном d Е N. Далее, оператор Л непрерывно обратим на U, j=i причем обратный оператор (т.е. оператор Грина) имеет спектр, состоящий из собственных значений Aj = \vj|-m. Именно этот оператор мы возьмем в качестве ядерного оператора K. Итак, на R+ рассмотрим стохастическое уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной oo

(3.3)

L П= Мп + N Wк, где W = W(t) - U-значный K-винеровский процесс. Итак, в силу теоремы 2.5 справедлива

Теорема 3.1. При любых А Е R , а Е R \ { 0 } , N Е L (F) и ^ о Е L 2 , не зависящей от W k существует единственное решение п = n(t) задачи (3.3), (3.2), которое к тому же имеет вид

n(t) = U Чо + L-4QNW K (t)

—

M 1

t j Ut-sL-1QNWK(s)ds] — M0-1(I — Q)N Wk (t). o

Здесь

U ^t

го

52 e t^ j (^- , V j } V j , если А = V j при всех j Е N ; j =1

го

52    e^j {' ,V j } V j в противном случае ;

j =1A= V j

^ j = av j (A — V j ) ¹

L

го

52 (А — V j ) ^{— 1} [ • , ^ j ]^ j , если А = V j при всех j Е N ; j =1

го

52    (А — V j ) ^{- 1} [ - ,^ j ]^ j , в противном случае ;

j =1 , X=V j

Q =

I , если А = v j при всех j E N ;

I — 52 h^ j ]^ j , в противном случае ;

^X = ^v 3

^j - это собственные функции оператора Лапласа, ортонормированные в смысле U, [•, •] -скалярное произведение в U, символ I обозначает единичный оператор вне зависимости от области его определения, га

M i =

а 52 Aj (^Pj) ^j, еслиА = vj при всех j E N; j=i га а 52   Aj {•, ^j} ^j в противном случае.

• ^{j =1} , ^=^v j