Динамические системы, описываемые двумя дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка

Повышенный интерес к изучению нелинейных динамических систем, где реализуются идеи детерминированного хаоса и фрактальной геометрии, обусловлен тем, что закономерности таких систем становятся базовыми для установления сущности широкого круга явлений, охватывая не только физические, но и химические, геофизические, биологические, социально-экономические системы. Проникновение идей фрактальной геометрии [1] в естествознание сформировало новую концепцию — концепцию фракталов [2, 3]. Особый интерес в концепции фрактала представляет аналитический подход, основанный на использовании математического аппарата дробного интегро-дифференцирования, в рамках которого удается не только воспроизвести известные результаты, но и получить принципиально новые [4–10]. Говоря о физическом смысле дробной производной по времени, заметим, что один из критериев необратимости процессов, заключающийся в смене знака производной при изменении знака времени t → - t, в случае дробных производных состоит в замене

(—а —> t ^a (cos(na) + i sin(na)).

Таким образом, при переходе к дробным производным по времени часть процесса соответствует обратимым, другая часть — необратимым процессам. Такое сочетание обратимых и необратимых процессов фактически означает возможность описания нелинейных процессов путем перехода к дробным производным.

Математические методы исследования нелинейных колебательных процессов хорошо известны. Различают аналитико-топологический подход, основанный на качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений [11–13] преимущественно для систем с малым числом степеней свободы (второго порядка), и подход, основанный на анализе асимптотических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих заданный параметр [14–16], преимущественно для систем выше второго порядка. Несмотря на значительные усилия по развитию теории нелинейных колебательных процессов, наши знания в этой области далеки от своей полноты и необходимо развитие принципиально новых подходов. В качестве одного из таких подходов предлагается метод, основанный на применении математического аппарата дробного интегро-дифференцирования.

В статье рассматриваются автономные динамические системы, отображаемые двумя дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка:

d 0t x(t) = P (x,y), d&yCt) = Q(x,y),

где

ga     _ na-1 ^dx(t)

^d 0 t ^x(t) = ^D 0 t     dt

• —    производная Капуто [8],

t

D ^a x(t) = — J1 [ ^{x ( s )} dt ^{ot v} ’    Г(1 - a) dt J (t - s) ^a

• —    дробная производная Римана — Лиувилля [4], 0 < а 6 1.

Как известно, для математического изучения таких систем необходимо построение математического портрета рассматриваемой системы. Таким портретом является картина движения представляющей точки в фазовом пространстве, дающая взаимно однозначное отображение многообразия состояний системы, т. е. таким портретом является фазовое пространство, разбитое на траектории с указанием направления движений по траекториям.

1. Линейные однородные динамические системы, описываемые двумя дифференциальными уравнения с производными дробного порядка

Рассмотрим сначала простейшие динамические системы, принадлежащие к виду (1), а именно, те, которые отображаются системой двух линейных дифференциальных уравнений с производными дробного порядка:

d 0 t x(t) = ax + by, d ot y(t) = cx + dy,

где 0 < a 6 1, a, b, c, d — некоторые постоянные параметры. Характеристическое уравнение системы (2) имеет вид

(a — A)(d — A) — bc = 0.

Задача. Найти решение x(t),y(t) E AC ² [0,T] системы (2), удовлетворяющее начальным условиям x (0) = x 0 , y (0) = y 0 .

Решение задачи, если корни характеристического уравнения различны, имеет вид [18]

x(t)

y(t)

X 0 (E a, 1 (A 1 t ^a )+ E a,1 (X 2 t ^a ) )

+            t ^a ) - MW

2 ^y ² + (cb — ad)

2 ( Е_аД(Х 1 t ^a )+ E a,1 (X 2 t ^a ) )

+

X o c — y o a + Yy o

2 pY ² + (cb — ad)

(Ea, 1 (A 2 t ^a ) - E a, 1 (A 1 t ^a )) ,

где X1,2 = y ± pY2 + (cb — ad) — корни характеристического уравнения (3), y = a+d• Характеристические корни λ1, λ2 являются решениями уравнения (3). Нормальная форма матрицы коэффициентов a c

и параметр α полностью определяют поведение траек- торий в окрестности особой точки. В случае, когда корни характеристического уравнения (3) действительны, действительное преобразование координат приводит систему к системе того же вида, но с матрицей коэффициентов одного из двух типов [12]:

λ 1

1\

λ.

В данной работе рассматриваем случаи действительных корней характеристического уравнения, т. е. случаи с матрицами коэффициентов типа A и B .

Пусть корни одного знака, а матрица типа A. В этом случае с помощью линейного однородного преобразования u = ax + ву, v = Yx + ^У система (2) приводится к виду dotu(t) = X1u, dotv(t) = X2v

где λ 1 , λ 2 — корни характеристического уравнения (3). Решение системы (5) имеет вид

u(t) = U o E a,1 (X 1 t ^a ),

v(t)= VoEa,1 (X2ta ), где u0 , v0 — произвольные постоянные.

Предположим, что оба корня X 1 , X ₂ действительные и отрицательные. Пусть X i = — ^ i , ^ i > 0, i = 1, 2. Решение системы (5) имеет вид

u(t) = U o E a, 1 ( — M 1 t ^a ), v(t) = V o E a, 1 ( — ^ 2 t ^a ).

На рис. 1, 2 приведены графики фазовых траекторий в случае отрицательных корней характеристического уравнения. Как видно на рис. 1, фазовые траектории приближаются к началу координат при t ^ + го . Они совпадают с полуосью u, когда v o = 0, и с полуосью v, когда u o = 0. В этом случае особой точкой является устойчивый узел.

Рис. 1. Графики фазовых траекторий в случае отрицательных корней характеристического уравнения.

А когда а ^ 0 и t ^ + го , как видно на рис. 2, происходит топологическое изменение фазовой плоскости.

Рис. 2. Графики фазовых траекторий в случае, когда α → 0.

Пусть оба корня λ 1 , λ 2 положительны. На рис. 3 приведены графики фазовых траекторий в случае положительных корней характеристического уравнения. Как видно на рис. 3, фазовые траектории отдаляются от начала координат при t → ∞ . В этом случае особой точкой является неустойчивый узел.

Рис. 3. Графики фазовых траекторий в случае положительных корней характеристического уравнения.

Теперь предположим, что оба корня λ 1 , λ 2 действительные, но противоположных знаков. Пусть A i = — А < 0, а А 2 = ц >  0. Тогда

u(t) = u o E _a,i (—At “ ), v(t) = V 0 E a, i ( — ^t “ ).

Полуоси u, v являются траекториями, соответствующими u o = 0 и v o = 0. Если u o v o = 0, то u ^ 0, v ^ то при t ^ + то . На рис. 4 приведены графики фазовых траекторий в случае, когда оба корня λ 1 , λ 2 действительные, но противоположных знаков. В этом случае особой точкой является седло.

Рис. 4. Графики фазовых траекторий в случае, когда оба корня λ 1 , λ 2 действительные, но противоположных знаков.

А когда | A i | > 1, а ^ 0 и t ^ + го , как видно на рис. 5, происходит топологическое изменение фазовой плоскости, т. е. из одного состояния с особой точкой типа седло (рис. 4) переходит в другое с особой точкой типа неустойчивый узел.

Рис. 5. Графики фазовых траекторий в случае, когда корни действительные, противоположных знаков, | λ i | > 1 и α → 0.

Рассмотрим теперь случай, когда характеристическое уравнение имеет один корень λ и этот корень действительный.

Тогда приведенная система имеет вид d0tu(t) = Au, да v(t) = u + Av.

Решением системы (6) будет

u(t) = u o E a,1 (At ^a ),

∞

v(t) = v o E a,1 (At “ ) + u o t ^a X A k t ^ak Е а,ак+а+1 (At “ ).

k =0

Допустим сначала, что A < 0. Как видно на рис. 6, в случае, когда u o = 0 и v o > 0, фазовые траектории представляют собой положительную полуось v, а когда v o < 0 — отрицательную полуось v.

v

r(t,q2,pi)

Рис. 6. Графики фазовых траекторий в случае, когда характеристическое уравнение имеет один корень А < 0 и и₀ = 0.

v(Lq2,p2)

v(t.ql,p2)

В этом случае независимо от uo и vo одновременно u, v ^ 0 при t ^ +го, и особой точкой будет устойчивый узел (рис. 7).

В случае А > 0 особой точкой будет неустойчивый узел.

Рис. 7. Графики фазовых траекторий в случае, когда характеристическое уравнение имеет один корень А < 0.

2. Нелинейные динамические системы, описываемые двумя дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка

В работе [20] была исследована система дифференциальных уравнений с производными дробного порядка:

d0atx(t) = a + x²y — (b + 1)x, 'dby(t) = bx - x2y.

В случае a = 1 система (8) принимает вид

dx- = a + x²y — (b + 1)x,

= bx — x²y.

dt

Система (9) была исследована Пригожиным и Лефевром в 1965 г. [21]. Динамическую систему, описываемую с помощью системы (9), авторы назвали брюсселятором.

Точка x = a, y = a, является особой точкой. С помощью замены x = x* +a, y = y* + a, ограничиваясь только слагаемыми первого порядка малости, система (8) приводится к линеаризованному виду

d0atx*(t) = (b — 1) x + a²y, d0ty*(t) = -bx - a²y.

Решение системы (10) имеет вид [20]

x*(t) = '2 (Ea, 1 (A1 ■') + Ea,i(A2t^a))

+ a.- E    _(A11„ ) — _Ea,_t(_A2t« )⁾,

2 у 7² — a²

y* (t) = y⁰(Ect, 1 (Ait^a) + Ea,i (A2■' ))

— ^(x0 ⁺yo^b—jlr 2b (Ea, 1 (A2t^a) — Ea, 1 (A11“)),

2 v7²— a²

где A1,2 = —y ± 7/7²— a² — корни характеристического уравнения, y = a—2b 1).

На рис. 8, 9 приведены рассчитанные по формулам (11) графики фазовых траекторий. На рис. 8 видно, что в случае b > 1 + a²при переходе к дробным производным по времени происходит переход от неустойчивого вида особой точки фазовой траектории к устойчивому виду. На рис. 9 видно, что в случае b = 1 + a²при переходе к дробным производным происходит топологическое изменение фазовой плоскости. Таким образом, учет эффектов памяти приводит к принципиально новым результатам, когда в системе возможны переходы между различными особыми точками фазовой траектории.

Фазовые траектории при различных значениях а в случае b > 1 + a².

Рис.

Рис. 9. Фазовые траектории при различных значениях а в случае b = 1 + a².