Дискретность спектра оператора Шредингера и преобразование метрики многообразия

DOI:

Главным объектом исследования в данной статье является оператор Шредингера L = — А + с( ^ ), где — А = — div V — оператор Лапласа — Бельтрами, на некоторых многообразиях специального вида.

Для начала рассмотрим риманово многообразие Z, изометричное произведению А xY (где А — произвольное многообразие размерности п, а Y — компактное размерности т) с метрикой dz2 = dx2 + Y2(x)dy2, где y(x) — С 1-гладкая положительная функция; dx2 и dy2 — метрики на А и Y соответственно, то есть dx2 = У a^(x')dxidxj,

dy ² = У b ki (y)dy k dy i .

Следовательно, метрический тензор на Z имеет вид

\ы =

lla ij (^x) \            ⁰

0       Y2(x)\bfci (y)\ а определитель Q = det ||д©| = det ||gst|| 1 = Y2m(x)Л(x)S(y), где мы обозначили Л(х) = det ||aij ||, S(y) = det ||bfci ||.

Будем предполагать, что метрика ||g_st || многообразия Z претерпевает изменения, описываемые матрицей c(x) , у которой все отличные от нуля элементы стоят на главной диагонали и она имеет вид

H^l =

IK(x)|l       о о        Ik2(x)||

где ||c 1 (x) | — тоже диагональная матрица c С 1 -гладкими коэффициентами, ||c₂(x) | = 62²(x)E _m (здесь ^(x) — С 1 -гладкая положительная функция; E _m — единичная матрица т х т ). Обозначим через £(x) = det || ст(х) | = det ||c 1 (x) |c f ₂ ^{2 m} (x) , через p = c g — произведение матриц c(x) и g (x) , соответственно определитель этой матрицы Р = det Ц р ,,-|| = Y ^{2 m} (x) Л (x) S ( г/ )S(x) .

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом:

- А =

div ( V Ec ^-1 V ) = -L ^у    ( ХР р« А).

^                 V^Р ,,, =1 ^и^

Справедлива следующая лемма о представлении оператора Шредингера на таких многообразиях. Введем для этого еще одно обозначение r = c 1 a — произведение матриц c 1 (x) и a (x) и его определитель Е .

Лемма 1. Оператор Шредингера L = — А + c(x) после описанного преобразования метрики на многообразии Z принимает вид

L = L0 + c2 2(x)Y 2( —АУ), где L0 — оператор Шредингера на многообразии X с метрикой, преобразованной матрицей c1(x), и с мерой плотности б2т (x)Ym (x):

о =¹---; ---- У А fc ^m (x)y ^m (x) V E (x) t ’³ А) + c(x),

0    #2m(x)Ym(x)^E(x) ^ 3x.   2                 dx, а — А у — оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии Y:

—Ау = —   1 у A у ^ . ь - А) .

ys (t) А1⁹« ^{з          9}^d

Доказательство этой леммы получается непосредственным вычислением, аналогично подобному утверждению для оператора Лапласа — Бельтрами [1].

Теперь перейдем к рассмотрению спектра оператора Шредингера на этом многообразии при описанном преобразовании метрики.

Теорема 1. Оператор Шредингера на многообразии X х Y, метрика которого преобразована матрицей | c(x) | , имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора L 0 на многообразии X с метрикой, преобразованной матрицей c 1 (x) , и с мерой плотности б₂^т (x)Y ^m (x) .

Доказательство. Заметим, что, поскольку речь в данной теореме идет об изменении метрики, нам будет удобнее обозначать рассматриваемое многообразие тройкой

(X х У, g , v) , где v — мера на многообразии, совпадающая с римановым объемом. Тогда, после изменения метрики матрицей ||^ (ж) | , объектом рассмотрения становится многообразие (X х У, p , v) . Относительно этого многообразия справедлива теорема 4 из [4], в соответствии с которой дискретность спектра оператора Шредингера на многообразии (X х У, p , v) эквивалентна дискретности спектра оператора Шредингера на многообразии (X, г , ц) , где ц — мера на многообразии X плотности (У ₂ ^т (ж^ ^т (ж) . Заметим, что этот оператор есть оператор L ₀ , описанный предыдущей леммой, а само такое многообразие можно рассматривать как многообразие (X, а , ц) , метрика которого преобразована матрицей | а 1 (х) | . Так как а — исходная метрика многообразия X , опуская ее, получаем утверждение теоремы.

Далее рассмотрим полное риманово многообразие D — простое искривленное произведение порядка к, то есть многообразие, изометричное произведению R+ х S1 х S2 х ••• х S/. (где R+ = (0, +то), а Sj — компактные римановы многообразия без края, dimSj = пг) с метрикой ds2 = dr2 + q2(r)d92 + • • • + ql(r)dd2, где dd2 — метрика на Sj, а дг(г) — С ^гладкие положительные на R+ функции. Обозначим s(r) = qi' (r) ••• qkk(r). Пусть преобразование метрики на этом многообразии задается матрицей o"(r) следующего вида:

lk^(r)|l =

§ 2 ( r )	0         .	.         0
0	5 1 (r)E n i   .	.         0
. . .	.. ⃦ .. .. ⃦
0	0         .	.   ^ i (r ) E n k

Все коэффициенты этой матрицы полагаем С ¹ -гладкими, а ее определитель будем обозначать, как и выше, S(r) . Для описанной матрицы его, очевидно, нетрудно вычислить:

S(r) = det B a(r) B = 6 0 (r)6 1 "1 (r) ... 6 j“ (r).

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом:

— А = — ^= div (vXa ¹ V ).

Далее рассмотрим оператор Шредингера L = — А + c(r) на многообразии D . Как и выше, оператор Шредингера, полученный после преобразования метрики, обозначаем L . Далее нам понадобятся следующие обозначения:

F (r) = c(r) + ⁽У + ⁽У , ^{2 s ( r )}/ V^{2 s (r}V

Ф_{Н =}⁽ЭД Y₊ sWM ₊⁽ЭД У ⁽ )      2S(r)     ⁺ 2s(r)S(r) ⁺ 2S(r)

где 5(r) =

ЭД

6 о ( г ) .

Теорема 2. Если F(г) + Ф(г) > —С (С = const > 0), то для дискретности спектра оператора Шредингера L на многообразии D необходимо и достаточно, чтобы для произвольного ш > 0 было выполнено г+ш lim I (F(г) + Ф(г))(1г г >^ J

= + то .

г

Доказательство. Обозначим через g метрику на многообразии D . Тогда после преобразования этой метрики матрицей ^ п(х) ^ мы получим на многообразии D новую метрику p = n g. Учитывая, что матрица ^ п(х) ^ — диагональная, эту метрику легко записать в дифференциальной форме:

^2 = ⁵ 2 ^(гЖ 2 + ⁵ 1 ⁽Ф 2 ^(гН 1 + ••• + ^{5 2} (ф^)^ .

Но тогда L = —А + с(г) — обычный оператор Шредингера на многообразии D с описанной метрикой p, и для него справедлива теорема 2 из [5]. В соответствии с этой теоремой и введенными выше обозначениями имеем, что спектр оператора L на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда для произвольного ш > 0 было выполнено

r+ш lim I (F(г) + Ф(г))(1г r^^ J

= + то .

r

Что и утверждает теорема.

Заметим теперь, что для того чтобы матрица п(г) описывала квазиизометричное преобразование метрики, нужно потребовать (см., например, [6]), чтобы она удовлетворяла следующим условиям для некоторой константы а >  1 :

а ф| ² 6 (ф ^) ₀ 6 а | А | ² , для всех ^ G TD

и а-1 6 ВД 6 ап.

Если теперь в условии (1) мы будем выбирать векторы ξ такие, у которых лишь одна координата ненулевая, то из него мы немедленно получим, что а 1 < 52 (г) < а для всех г = 1, . . . , к.

А из этого условия неравенство (2) следует автоматически.

Следствие 1. Если на многообразии D оператор Шредингера L имел дискретный спектр, то при таком квазиизометричном изменении метрики многообразия D диагональной матрицей ^ п(г) ^ , что Ф(г) > const , спектр оператора Шредингера L останется дискретным. Аналогично недискретный спектр останется недискретным.

Доказательство данного следствия очевидно благодаря наличию очень жесткого условия Ф(г) > const. Нетрудно заметить, что при произвольном квазиизометричном преобразовании метрики функция Ф(г) может оказаться неограниченной снизу, и тогда никаких выводов о сохранении свойства дискретности спектра сделать будет невозможно. Но если выбирать коэффициенты 5»(г), например, монотонно возрастающими, то это гарантирует выполнение условий следствия и, значит, обеспечит сохранение свойства дискретности спектра при квазиизометричном преобразовании метрики.