Достаточное условие существования дополнительной зоны в сингулярно возмущенных краевых задачах второго порядка

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                      

Постановка задачи. Рассмотрим двухточечные краевые задачи, порожденные линейным неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с малым параметром при старшей производной:

£^пу_е " (х) + x^kp(x)y_£'(х) + (x^kq(x) — £^тг(хУ)у_е(х) = f(x),x € (0,1),                (1)

• и одним из граничных условий вида:

У£(0) = а,У£(1) = Ь,

У'£(0) = «,У'£(1) = Ь,

У£(0) - «У'£(0) = ^(1) + Ру'£(1) = Ь,(4)

где a , b — известные постоянные числа, p,q,r,f € С “ [0,1],/(0) ^ 0 , 0< p (0), 0< q (0), 0< r (0), n>m , 1< k , ( n , k , m e N), a У_£(х) — искомая функция, зависящая от малого параметра е.

Обычно краевую задачу (1), (2) называют задачей Дирихле; краевую задачу (1), (3) называют задачей Неймана; а задачу (1), (4) называют краевой задачей Робена [1-14].

В задаче Неймана (1), (3) предположим, что q (1) ≠ 0 и r (1) ≠ 0, а в задаче Робена (1), (4) потребуем выполнения условий: р(1) — Pq(1) ^0 и r (1) ^ 0.

Требуется найти достаточное условие при каких соотношения параметров n и m появляется дополнительный пограничный слой в краевых задач Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4) на отрезке [0,1], когда малый параметр ε стремится к нулю.

Особенности краевых задач Дирихле, Неймана и Робена. Заметим, что малый параметр ε присутствует в дифференциальном уравнении (1) при старшей производной. Поэтому, если в возмущенном дифференциальном уравнении второго порядка (1) формально считать, что 8 = 0 (т. е. убрать возмущение), то порядок дифференциального уравнения понижается и соответствующее невозмущенное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка:

х^кр(х)У' о (х) + x^kq(x)у₀(x) = /(х).                                 ⁽⁵⁾

Понижение порядка уравнения, при 8 = 0 , — первая особенность рассматриваемых краевых задач Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4).

Вторая особенность краевых задач (1), (2); (1), (3) и (1), (4) — дифференциальное уравнение (5) имеет особую точку при х =0. Решение уравнения (5) не является гладкой функцией на отрезке [0,1], которое свойственно бисингулярным задачам по терминологии А.М. Ильина [1-14].

Ниже мы докажем, что при выполнении условия т <  ~(к^р в окрестности особой точки х =0 появляется еще один пограничный слой, кроме классического пограничного слоя — третья особенность краевых задач Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4).

Краевые задачи (1), (2); (1), (3) и (1), (4) с вышеперечисленными особенностями назовем бисингулярно возмущенные задачи с двойным пограничным слоем.

Докажем теорему

п(к-1)

Теорема. Если т <      , то в задачах Дирихле (1), (2); Неймана (1), (3) и Робена (1), (4)

• ¹                   к+1

в окрестности левой граничной точки х =0 существует еще один пограничный слой, кроме классического пограничного слоя.

Доказательство. Для доказательства теоремы покажем, что в пограничном слое имеется два характерных предела, кроме внешнего, которые будут включать в себя два внутренних разложения.

Начнем с построения внешнего решения y ( x ) = u^ ( x ) краевых задач (1), (2), (1), (3) и (1), (4), которых будем искать в виде:

∞

^U £

(х) = ^ г^]и_](х'),

где Uj(x) — пока неизвестные функций. Формально подставляя ряд (6) в уравнение (1), получаем:

∞

^ 8ⁿ + u j (x) +

∞

∞

x^k ^ £ ^ (p(x)u j (x) + q(x)u_j(x)) - r(x) ^ £^m + u_j(x) = f (x)

j=o                j=0j=0

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получаем рекуррентные соотношения:

xkp(x)u'0(x) + xkq(x)uo(x) = f(x),x E (0,1];(7)

xkp(x)u j(x) + xkq(x)Uj(x) = r(x)uj-m(x) — u'-n(x),j E N,us(x) =(8)

0,s < 0.

Лемма 1. Уравнение (7) с соответствующим краевым условием

a)uo(1) = b, b)u'o(1) = b, c) uo(1) + Pu'o(1) = b(9)

имеет единственное решение представимое в виде: ^x f(s)

u0(x) = cE(x) +E(x) I        E 1(s)ds, i skp(s)

• - C^ds

где E(x) = e 1v(s) , произвольная постоянная с примет соответствующее значение в зависимости от краевых условий:

• а) с = b ; b) c = К ¹-^   c) c = ^^^.

’          ’         q(1)           ’      p(1)-^q(1)

При f (0)= f 0 ≠ 0 имеем:

u₀(x) ^ ^E, 1 < к E N, х ^ 0.

Доказательство. Уравнение (7) запишем в виде:

ц. m + qE)uM = JEL uo(x) + p>x)uo(x) xkp(x)

P—ds

Полученное равенство умножаем на интегрирующий множитель e 1 p(s):

xq(s)^   а(х>        xXqs)d

Нетрудно заметить, что xq(s)dAf(x}

(u^x)?1^} =Jf(x>^\ xkp(x)

Интегрируя последнее равенство, получаем общее решение:

- (xqSbi< Xх f(E)   XlSbis        - (xq(s).^

uo(x) = e 1p(s) I .      e 1p(s) d^ + ce 1p(s) , i SkP(Q где с — произвольная постоянная.

- X^ds

Введем обозначение E(x) = e  1p(s) , тогда полученное общее решение можно записать в виде х f(^) uo(x) = E(4^

E-1(X) d^ + cE(x).

Учитывая краевые условия (9) найдем соответствующие значения произвольной постоянной с:

В случае a)u_o(1) = b:

^uo⁽¹⁾= ^E(1) j Jk^Q- ¹⁽^ ^d^ ^{+ cE(1} ^ ^uo⁽¹⁾= ^с^^с = ^Ь;

^и'o^(x) =^E'^(x) j ^)^{E (}^⁺xkp;X)^+cE'^(x)’

,f(1)  q(1)        /(1)-Ьр(1)

0( )   p(1)  p(1)             q(1’ в случае с) u0(1) + ^и'0(1) = Ь:

MV-MV) p(1) — ^q(1).

/(1)   q(1) ^   ,.

с + ^Нтг--Ос ) = Ь ^ с = Р(1)Р(1)

Лемма доказана.

Применяя лемму 1 последовательно к уравнениям (8) с соответствующими краевыми условиями:

a)Uj(1) = 0,b)u'j(1) = 0,c)Uj(1) + ^uj(1) = 0,j E N, получим единственные решения представимые в виде:

Uj(x) = 0,1 < j

″ uj(x) = cjE(x) +E(x) 11---j-j-—J-^E-1(s)dslm

где произвольная постоянная с примет соответствующее значение в зависимости от краевых условий:

\ a          r^(1)uj-_m^(1)-uj-_n⁽¹⁾

а) с=0; b) ^cj =------------; c) ^cj =

^⁽r^(1)uj-m^(1)-uj-_n⁽¹⁾

p(1)-^q(1)

.

При m (1 + y) < n имеем:

1 u1(x) ^ ^_2(bl), 1 < к E N, х^0.

Следовательно, ряд (6) можно представить в виде:

u_£(x) = ^k_--₁(uo(x) +

^m x^k-1

( £m \J

U^₁(x)+--- +\j^—[) d.j(x)+... ),

где U E C”[0,1],j = 0,1,...

Ряд (10) является асимптотическим относительно малого параметра а на интервале x E ( Ve^m, 1],а на отрезке x E [0,^к ХЦ^] нарушается свойство асимптотичности.

Проведем детальное исследование в окрестности особой точки x=0. Для этого в окрестности этой точки сделаем растяжение координат (преобразование) х=ε^αt, α>0, тогда dx=ε^αdt и dx²=ε^2αdt² и уравнение (1) перепишется в виде:

_£п^-2а—^^2 + _£^(k-1)a^^kp(_£a[)—^£L2 + E^kat^kq(E^at)y_e(t) — dt²                      dt

— Emr(Eat)y£(t) = f(£at\tE [0,£-а],

Из левой части последнего равенства выделим главную часть, так как гка < s(k-1^a, поэтому главная часть примет вид:

_£П-₂^аd2^t) + ^k-^atkp^af) *Ш — _£^mr(_£^at)y_e(t).

Уравнивая порядков поведения слагаемых по малому параметру двух любых членов, имеем соответствующие характерные пределы, возможны следующие три случаи:

1) it — 2a = (к — 1)a ^ a = -^ ; 2) n — 2a = m^a = n^m ; 3) (k — 1)a = m ^ a = m k-1. n

В первом случае, если a = j—, то получим:

^(^-Hd²y_£(t) ,   ^п(к-1)   dy_£(t)

£ к+1 У^ J + £ к+1 tk -  — Zmy£(t\ dt2                   dt           £

Пусть £^my_£(t) = ^_£(t), тогда имеем выражение:

n(k-1) £ к+1

m а2ФМ к WM

'^t—>! -dT)-^

п(к-1)

по условию--m > 0, поэтому при 8^0 главной частью является ^ (t) и здесь к+1                                                                 Ye отсутствует производная функций ^ (/). Поэтому случай a = — не будем рассматривать. 8

Во втором случае, если a = ⁿ—^m и £^my_£(t) = ^_£(t), то получим

"'"'^:'     т + р^(к-¹⁾(ⁿ-^m)-m^ ^Лф‘^(£)

—2--ф£(t) + £   2t d2^-(t) и здесь главной частью является выражение: —— n-m в которой присутствует производная второго порядка. Поэтому этот случаи a = —^— будем исследовать.

И последний случай, если a = m— и £^my_£(t) = ^_£(t), то получим выражение:

„ n-m-^d²^_£(t)    кd^-(t)

^£(t),

£    к-1 —+ t —;-- dt2           dt d^-(t)

- ^£^(t).

главной частью которого является выражение: 1^к ———

Этот случай тоже будем исследовать, так как и здесь в главной части присутствует производная первого порядка.

В результате в пограничном слое мы получили два характерных предела, это во втором и п(к-1)

в третьем случаях. Нетрудно заметить, что если выполняется равенство m =-----, то все эти к+1 ’ три случая совпадут, т. е. будут одинаковыми.

Так как —m > m— поэтому второй случай будет описывать левый пограничный слой, а третий случай будет описывать промежуточный пограничный слой между левым пограничным слоем и внешним решением. Ряд (10) тоже подсказывает каким должна быть внутренняя переменная в соседнем пограничном слое, который пересекается с внешним решением, т. е. х = ^k~V£^mt.