Два метода решения начально-краевой задачи для системы уравнений Сен-Венана

Математическая модель одномерной задачи, связанная с паводковыми потоками, на современном уровне развития математической гидравлики представляет собой следующее.

Расход воды Q (ж, Й, площадь живого сечения шД, Й и глубина КД, Й потока должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Сен-Венана [1]

9Q 9 fQ²\ Л 9К Q\Q\\ dt ⁺ dx\w )  ⁹\ Эх К^ У

• (2)

• (3)

• (4)

• (5)

dw dQ

= ч dt dx и следующим начальным и граничным условиям при t = О Q = Qot®), h = /го(Й, при х = О Q = Qi(t), h = /гДЙ, при х = L Q = Q2W, где х — продольная координата, t — время, g — ускорение силы тяжести, г — уклон дна реки, го — площадь живого сечения, К — модуль расхода, q — интенсивность боковой приточности, Qot®), ©(ж), Qi^, К^^, Q^^K) — заданные функции, L — расчетная длина реки. Внутренние граничные условия ставятся в местах наличия ограждающих водный поток сооружений. Модуль расхода КД, К) определяется по зависимости: К = wCx/R, С = -Ry, гдеС — коэффициент Шези, R — гидравлический радиус потока. Для достаточно широких рек принимается следующее приближение

R«h, С = -К®, п где п — коэффициент шероховатости русла реки. Каждый член динамического уравнения (1) можно рассматривать как некоторый уклон. Два первых члена это — инерционный члены или уклон линии энергии, соответствующий ускорению. Второй — уклон, соответствующий изменению скоростного напора. Третий член — уклон водной поверхности. Четвертый — уклон трения. Эти слагаемые для различных условий течения имеют различную относительную значимость. Предположим, что за 3 часа скорость течения в реке изменяется от 1,0 до 2,0 м/сек (весьма большое изменение) и

на расстоянии 10 км вследствие расширения потока скорость изменяется от 1,5 до 1,0 м/сек. Тогда два первых члена уравнения (2) будут равны соответственно

1 от

to 1,0 • 10"5

О‘-^

to 1,5 • 10“5.

Уклон дна реки Терек между городами Владикавказ и Беслан имеет порядок 10“2q.

Этот типичный пример указывает о возможности пренебрегать параметрами ускорения при исследовании волны прорыва вдали от разрушенного ограждающего водный поток сооружения. Если в (1) опустить первые два члена, оно примет вид

ЭН

Эх г° + К2 °'

Полагаем, что ширина русла реки В = В^хД) по длине потока изменяется незначительно. Тогда, дифференцируя уравнение (2) по переменной х, а уравнение (6) — по переменной t, можно привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Учитывая, что

ЭК_ _ d^dh _ /< / 1 dQ g\ dt dh dt dh \ В Эх В) ’ получаем

'         dQ Q dK dQ K2 d2Q Q dK dt + К • В dh Эх 2Q- В Эх2 К ■ В dh

Выражение (8) представляет классическое дифференциальное уравнение конвективнодиффузионного процесса с учетом приточности. Скорость конвекции для расхода равняется ^д^", а скорость диффузии ₂q b • Мощность источников равна ~^Гв^уД1- Если инерционные параметры действительно пренебрежимо малы, то уравнение (8) достаточно точно описывает процесс перемещения паводочной волны. Рассмотрим трапецеидальное русло с коэффициентами откосов mi и m2

где Bq — ширина ложа реки.

к ад = "/>=/= = If So + ""рчУ = 51_hw + 2Д±^Л»/3.

п п \        2     / п

= — B₀h²^³ + —(mi + т^Н^ъ^³. dh Зп          Зп          ^;

Как мы видим, уравнение (8) представляется нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. В связи с этим без определенных упрощающих предположений оно не поддается аналитическому решению. В результате линеаризации системы (1)-(2) становится возможным получить аналитическое решение. При этом система (1)-(2) примет вид:

[ ^ + «1^7 + «2^- + a₃Q' - аад = 0, Ш + ^-М^).              '

где

Q2

«1 = 9^0 - До + (7711 + 777₂)М-ДГ, ^гио

QoQo a2 = 2-^-, «з = ^gwo-^, ^o

- / 5      24

«4 — ^giooQo х^- в_он,§ + —

\ 0 77

tV °к3’

В₀ + (?77i + 777₂)/lQ ’

а также Q'(x, t), h' (х, 1) — приращения расхода и глубина первоначального равномерного потока, а константы с нулевым индексами равны значениям соответствующих величин при этом потоке. Интенсивность боковой приточности задается формулой q = 100е—S1 ж е—S2t, si = 10/L, s2 = 10/T, где L — длина русла реки, T — время, за которое осуществляется приток воды в русло.

Если пренебречь возмущением сил трения (слагаемое a₃Q' — 04/1'), то систему (9) можно решить методами операционного исчисления [2]. В результате получается:

• а)    при t ^ А • х расход и глубина имеют вид

= Л . e-(Si^ + S2C +B.e-Si^+P2t

ДхД = - Al • (_e-(^si^$+s2) - e"⁸^) дВ_х • (e-si^+Pit - e"^si^$)

+ Ci • (e"⁸^²* - e"⁸^) ₊ Di • e"⁸^ • (1 - e"⁸^

• б)    при t > A • x имеем

  Q\x^ =A ■ (_е"(⁸1.г+⁸Д)

  
  

  „-^(t-A-rh , _n . ₍-s_vi4p₂t _ pP^t-Xx)

  
  

h ДД = - Al • _e-(si^+_S2t) _+C1 . gSlx+p.t _ _A2e-_S2(t-Xx)

_ _C2eP2(t-A-^) _ _Die-_S1x-_S2t ₊ £^

где

С(ж) =A_X • e"⁸¹” + Bi • (1 - e"^S1$) - Ci • e"⁸¹” + A₂ + c₂ + D₂ • e"^S1$,

1 /«2 «i^i \ 2

«2 +

^^^^^.

°2

— + «161

' Si,

А, В, C, Ai, Bi, Ci, Di, A₂, C₂, D₂ — некоторые постоянные, зависящие от коэффициентов системы (24).

Теперь приступим к решению нелинейной начально-краевой задачи конечно-разностным методом

dQ Q dK dQ    К2 d2Q   Q dK dt + К • В dh Эх   2Q- В Эх2 К • В dh         ’	(10)
при 1 = 0 Q^x,t) = Qo^x),	(И)
при х = 0 Q^x,^ = д*Д,	(12)
при х = ь ддд = QlW, Ql^^kVI.	(13)

Введем обозначение

Q dK    Q[^/_l0,67₊ 4(т_1з+т_{2) /1}1,7] ^   ^2

К • В dh КДо + (^mi + m₂)/i]   ’ 2QB

Теперь применим к (10) следующую конечно-разностную схему

9Q Q^¹ - Q^k dQ Q¹^ - Q^ d^Q Q¹^ - 2Q^ ₊ Q^

dt At ’ Уж 2Дж ’ Уж²           Аж²

Начально-краевая задача (10)—(13) в конечных разностях запишется в виде

• Q^ - Q*r . _Ик Q^Q^±1 _ n ^-^ + ^-i¹ _ _{икк = п}

Д1        4 2Дж           4         Дж2             г

Q?⁺¹ = qA^ + 1)Д^), Q^⁺¹ = Qt Q¹’ = <9о(гДж),             (15)

где г = 1, A - 1, к = 1, A - 1.

Выражение (15) можно записать как

1 + Dk^L\0W , (yk^L 4 Дж2 Л4 V 4 2Дж к . At к At > \ 4 2Дж 4 Дж2;

4 Дж2 Л’"

Qk^ = UkqkAt^Qk.

Для решения разностных уравнений применим метод линейной факторизации (метод прогонки)

Q^k+1 = A_WQ% + B_Wl                  (17)

Q^k^ = А^¹ А В,.                    (18)

Подставим выражение (18) в (16)

1 ^k2At At At

1 4- D^k--U- --к D-----

4 Дж2 \ 4 2Дж 4 Дж2

)л]е?

4'41

ттк At At

U--D --

4 2Дж 4 Дж2

_ ТТклкМ (Uk      Рк

X У₄₊1 - q, Ш + I U, _2Дж + _Дж2

тт_к At _ jA_k At

_________и^k +¹ /                   \    4ii41

1 i Пк ²^1 _ I Tjk At i T-x_k At 1 д .

• ^{1    +} Ax'- I ^L i 2 Ax ⁺ Ax² )

UkqkAt+ (uk^ + Dk^\Bi + Qk

+              7              7

^Dk^-(^Uk^ + Dk^yt

_____________ ^L _____________

1 i T)k 2At _ (ттк At i тлк At ] д . ^{1 +} Ax² I ^L i 2 Дж + Ax² 1 ^Al

U^btA (u^ + D^ Bi + Q^

• ¹    + ^z Ax² I ^Li 2 Ax ⁺    ДА

Выражения (19) и (20) представляют рекуррентные соотношения для прогоночных коэффициентов. Для определения Ai и В^ воспользуемся граничным условием (15) : Ai = 0, Bi = q^⁺¹. Значения расхода Q^⁺¹, г = N — 1, N — 2,... , 1 определяются в результате выполнения обратной прогонки: Q^⁺¹ = A^+iQ^¹ + B_i+i, г = N — 1,N — 2,... , 1.