Два общих условия недопустимости спектрального синтеза для инвариантных подпространств голоморфных функций

Семидесятипятилетию профессора Ю. Ф. Коробейника посвящается

Пусть Ω — выпуклая область на комплексной плоскости C и H — пространство голоморфных в области Ω функций с топологией равномерной сходимости на компактах из Ω. Строятся последовательности Л = Л 1 U Л 2 С C такие, что инвариантные (относительно дифференцирования) подпространства W 1 ,W 2 С H со спектрами соответственно Л 1 , Л 2 допускают спектральный синтез, а пересечение W 1 П W 2 теряет это свойство.

• § 1.    Введение. Постановка задачи

Всюду в данной работе под последовательностью чисел (точек) в комплексной плоскости C понимается пустая, конечная или бесконечная последовательность вида Л = { A k } С C, где к = 1, 2,... , не имеющая предельных точек в C. При этом для простоты и краткости формулировок всегда предполагаем, что в рассматриваемых последовательностях все точки попарно различны. Для подмножества B С C полагаем Л(В) = ^2^k _G B 1 — число точек последовательности Л в подмножестве B .

Каждой последовательности Л = { A k } в C сопоставляем систему экспонент

Е л := Пе ^{Л к} z 0 , z е C .                                   (1)

Всюду далее Q — область в C. Через H (Q) обозначаем локально выпуклое пространство голоморфных в Q функций над C, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах. Там, где это не вызывает разночтений, пространство H (Q) обозначаем одним символом H . Замкнутое линейное подпространство W в H называем инвариантным (относительно дифференцирования), если вместе с каждой функцией f е W оно содержит и производную f 0 е W . Очевидно, множество всех инвариантных подпространств на Q замкнуто относительно пересечения любого числа таких подпространств. Подпространство нетривиально в H , если не совпадает ни с H , ни с { 0 } .

Инвариантное подпространство W С H допускает спектральный синтез (на Q ), если замыкание в пространстве H линейной оболочки всех конечных наборов функций вида e^ z , ze ^z , ..., z ⁿ x -1 e ^^z , n ^ е N , содержащихся в W , совпадает с пространством W .

Для каждой последовательности Л = { X k } С C строится специальное подпространство W (Л) , получаемое замыканием линейной оболочки системы (1). Очевидно, равенство W (Л) = H эквивалентно полноте системы экспонент Е л в пространстве H . Легко видеть, что по построению замкнутое подпространство вида W (Л) всегда инвариантно относительно дифференцирования и обязательно допускает спектральный синтез .

Здесь мы не останавливаемся подробно на обсуждении обширного круга ситуаций, когда инвариантные подпространства того или иного типа допускают спектральный синтез (см. [1–13], где различные случаи подобного рода отражены как в прямой, так и в двойственной форме, а именно: через локальное описание замкнутых идеалов или подмодулей над кольцом многочленов C [z] ).

Нас будет интересовать только следующая

Задача. Дать достаточно общие принципы построения последовательностей Л , для которых при любом представлении Л в виде объединения (здесь объединение понимается в обычном теоретико-множественном смысле, т. е. если X £ Л 1 П Л 2 , то в объединении Л 1 U Л 2 эта точка X считается однократной) двух непустых подпоследовательностей Л = Л 1 U Л 2 при нетривиальных W (Л 1 ) и W (Л 2 ) в H пересечение W (Л 1 ) П W (Л 2 ) не допускает спектральный синтез.

Из известных до сих пор принципов такого построения отметим один способ из работы И. Ф. Красичкова-Терновского [2, § 7], а также один наш пример из статьи [13, § 6]. Предлагаемые в настоящей статье две новые конструкции геометрического характера отличны от рассматривавшихся ранее, но в основе их по-прежнему лежит двойственная схема И. Ф. Красичкова-Терновского из работ [1–3], [6, 7]. Первая конструкция опирается на понятие (слабо) достаточного множества (см., например, статьи Ю. Ф. Коробейника [14] и А. В. Абанина [15, 16]), а другая — на описание самплинг-последовательностей для весовых пространств целых функций (см. статью Н. Марко, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Черды [17] и обзор Х. Бруны, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Черды [18]).

• § 2.    Формулировки основных результатов

• 2.1.    Через T обозначаем класс 2п -периодических тригонометрически выпуклых функций. Каждой функции h £ T при любых а и в , a < в 6 a + 2п , можно сопоставить функцию

  s h (a,e) :=

  
  

Существенно используются сведения из теории целых функций, изложенные в монографиях Б. Я. Левина [19, 20].

(h ⁰ (e - 0) - h (a + 0) + Л h(9) d9\ . α

Пусть Q — ограниченная выпуклая область с опорной функцией

h(9) = hu(9) := sup Re ze i6, 9 £ R, z∈Ω которая всегда принадлежит классу T . Тогда величина (2) имеет простой геометрический смысл — это длина дуги границы dQ области Q, заключенная между точками касания двух опорных прямых к области Q, ортогональных направлениям (направление a — это направленный к бесконечности луч {teia: t > 0}) соответственно а и в. В таком контексте мы будем обозначать величину (2) как 5ю(а,в) := Shn(а,в).

Для последовательности точек Л = { Х к } через п л (г 1 , r 2 ; а, в ) обозначаем число точек из Л , попавших в множество { z Е C : r i <  | z | 6 Г 2 , а 6 arg z <  в } .

Минимальная угловая плотность последовательности Л задается как

, х                   пл (r, (1 + eV; а, В} dл(а, в) := lim lim inf--------------------,

ε→+0 r→∞        εr а индекс конденсации —

Yx := lim iim < /; t) - 1 dt, ε→+0 k→∞ |λk | 0          t где nл(z; t) означает число точек из Л в открытом круге D(z, t) С C с центром z радиуса t; D(z, t) — замыкание этого круга.

Для последовательности Л = { Х к } симметричную ей относительно вещественной оси R последовательность { Х к } обозначаем через Л и называем ее последовательностью, сопряженной к Л .

В приведенных терминах и обозначениях мы можем сформулировать наш первый результат по рассматриваемой задаче:

Теорема 1. Пусть Q С C — выпуклая ограниченная область. Пусть последовательность Л содержит некоторую подпоследовательность Г, сопряженную к последовательности Г с нулевым индексом конденсации Y r = 0, для которой

2пd г (a, В) >  sq^, В) ( ^ а, В ) а < В 6 а + 2п.

Тогда при любом представлении Л в виде объединения двух непустых подпоследовательностей Л = Л 1 U Л 2 при нетривиальных W (Л 1 ) и W (Л 2 ) в H пересечение W (Л 1 ) П W (Л 2 ) не допускает спектральный синтез на Q.

• 2.2.    В этом пункте мы будем накладывать некоторое условие на границу выпуклой ограниченной области Q , опираясь на терминологию из [17, 18], адаптированную к нашей ситуации.

Для любого интервала (а, В) с центром (а+В )/2 интервал (а ⁰ , В 0 ) с тем же центром, но вдвое большей длины будем называть удвоением интервала (а, В) . Граница dQ выпуклой области Q обладает свойством удвоения, если существует постоянная C такая, что для любого интервала (а,В) выполнено неравенство S Q (a ⁰ ,В ⁰ ) 6 Cs Q (a, В) , где (а ⁰ ,В 0 ) — удвоение интервала ( а, В ) .

Как известно, для любой функции h Е T функция H(rei8) := h(9)r, r > 0, — однородная субгармоническая функция с мерой Рисса d^H = ^-dsh(e) ® dr                              (3)

2n

(запись дана в полярных координатах через плотности мер). В случае, когда h = h Q — опорная функция, то вместо нижних индексов H и h в (3) будем писать Q . Если область Q обладает свойством удвоения, то для каждой точки z ∈ C однозначно определен радиус P q (z) такой, что

№ (^z,P Q ^(z))=¹.                                      ⁽⁴⁾

Последовательность Л называют p q -разделенной, если существует число E > 0 такое, что

| Х — Х 0 | >  e max { p Q (X), p q (X ⁰ ) } , Х,Х 0 Е Л, Х = Х 0 .

Нижнюю равномерную плотность последовательности Л относительно области Q определяем как

^Л D^z'rP Q ^z^^

Do (Л) := limint inf ——,— -----—-v

• ^{r x} z eC _№ (D(z, rp Q (z)))

Теорема 2. Пусть Q C C — выпуклая ограниченная область с границей, обладающей свойством удвоения. Пусть последовательность Л содержит некоторую подпоследовательность Г, сопряженную к последовательности Г, являющейся p Q -разделенной, и при этом D ^- (Г) >  2 п . Тогда при любом представлении Л в виде объединения двух непустых подпоследовательностей Л = Л 1 U Л 2 при нетривиальных W (Л 1 ) и W (Л 2 ) в H пересечение W (Л 1 ) П W (Л 2 ) не допускает спектральный синтез на Q.

Замечание 1. Условие удвоения для границы можно снять, так как произвольную выпуклую область Q можно вписывать в сколь угодно близкие в естественном смысле выпуклые области Q 0 с границей d Q 0 , обладающей свойством удвоения. Но при этом, несколько ослабляя теорему 2, необходимо каждый раз в условиях также заменять Q на Q 0 , т. е. p q и D ^- (Г) на p _Q o и D ^- (Г) .

Замечание 2. Впервые функции типа ρ Ω из (4) и плотность (5) возникли у А. Бер-линга [21, с. 300] еще в конце 1950-х годов для последовательностей вещественных чисел Л , когда в роли Q выступал интервал. Довольно детальный анализ различных случаев функции P q (z) из (4) проведен в работе Р. С. Юлмухаметова [22]. Общие факты о функциях типа (4) и подробная библиография, связанная с их исследованием, содержится в [17, 18]. Так, если граница dQ области Q класса C ² и ее кривизна h Q + h Q отделена от нуля, то ρ Ω всюду в п. 2.2 можно заменить на тождественную единицу [17, Введение].

§ 3. Двойственная схема И. Ф. Красичкова-Терновского

В этом параграфе дается необходимая далее сводка сведений из [1–3].

Всюду Q — выпуклая область в C с опорной функцией hQ, H* — пространство, сильно сопряженное к H(Q). Через Pq обозначаем пространство целых функций f экспоненциального типа с индикатором роста hf (9) := limsup logfrei!!! < hQ(9), 9 Е r, r→+∞     r наделенное естественной топологией индуктивного предела (подробнее — в § 4). Преобразование Лапласа, действующее на элементы S ∈ H∗ по правилу

T : S ^ fs(z):= -S,ezZ® , z e C , определяет топологический линейный изоморфизм пространства H ∗ на пространство Pq* , где Q* — область, симметричная области Q относительно вещественной оси. Локально выпуклое пространство PΩ∗ далее для краткости обозначаем одним символом P .

Следуя [1, 2], для подпространства W ⊂ H замкнутое подпространство всех функционалов из H ^∗ , аннулирующих W , обозначаем через W ⁰ , а подпространство в P всех преобразований Лапласа функционалов из W ⁰ обозначаем T (W 0 ) . В основе доказательства теорем 1 и 2 лежит

Теорема A ([2, предложение 6.2]). Пусть инвариантные подпространства W1, . . . , Wn в H допускают спектральный синтез. Пересечение kn=1 Wk допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда для какой-либо точки λ0 ∈ C, не принадлежащей спектру ни одного из пространств Wk, к = 1,..., n, при любом наборе at = (ai,..., an) комплексных чисел, связанных условием ai + • • • + an = 0, замыкание в P множества

T(a, A o ) := { F = F i + ••• + F n : F k Е T(W^, F k (A o ) = a_k , 1 6 к 6 n } содержит тождественный нуль.

В этой работе из теоремы А нам потребуется только необходимость при n = 2 и a i = — a 2 = 1 в следующей форме (ср. [2, предложение 6.4]):

Теорема A 0 . Пусть A i и Л 2 две последовательности, для которых инвариантные подпространства W i := W (A i ) и W 2 := W (A 2 ) нетривиальны в H, A o Е A i U Л 2 , а их пересечение W i P W 2 допускает спектральный синтез на Q. Тогда найдутся две направленности [23] (сети [24] , обобщенные последовательности) целых функций f_a Е T (W p ) С P и g _a Е T (W2 ) С P по направленному множеству Е = { ст } с условием f _a (A o ) = g _a (A o ) = 1 для всех ст Е Е такие, что разность f _a — g _a стремиться к тождественному нулю в P по направленному множеству S.

Отметим, что для нетривиального инвариантного подпространства W = W (A) подпространство T (W ^o ) С P — это замкнутый подмодуль над кольцом C [z] , состоящий из всех функций из P , обращающихся в нуль на последовательности A . Таким образом, Теорема A ⁰ дает

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы A ⁰ . Тогда найдутся две направленности целых функций f _a Е P и g _a Е P по направленному множеству Е = { ст } , обращающихся при каждом ст в нуль соответственно на последовательностях A _i и A 2 , с условием f a- (A o ) = g _a (A o ) = 1 для всех ст Е Е такие, что разность f _a — g _a стремиться к тождественному нулю в P по S.