Два подхода к решению уравнения потенциала в автомодельных переменных

Известно, что процессы неограниченного безударного сжатия газа из исходного однородного безвихревого состояния потенциальны и изэнтропичны. В статье А.Ф. Сидорова [1] для общего уравнения потенциала скоростей Φ ( x ₁, x ₂, x ₃, t ) , где t – время, x_i – пространственные координаты, ( i = 1,2,3) рассматривается класс автомодельных решений с переменными ^ i = xi / т , т = t - 1 *, уравнение потенциала преобразуется в уравнение, которому удовлетворяет функция Г = Г ( ^ ! , ^ 2 , ^ 3 ) [1]

0,5( V Г V | V Г |²) -1V |² - ( y - 1)( Г - 0,5| V Г |²)( А Г - к ) = 0, (1) построены точные решения этого уравнения в случае двух автомодельных переменных, изучается безударное сжатие газа с использованием полученных решений. Здесь V Г - градиент Г в пространстве ( £ 1 , £ ₂, £ ₃), к - размерность задачи по пространственным переменным.

В данной работе предлагается исследование уравнения (1) для случая трех автомодельных переменных ( ^ 1 , ^ 2 , ^ з ), к = 3. Для уравнения (1) геометрическим методом [2] получены некоторые точные решения и показано, как полученные решения могут быть использованы при рассмотрении задачи о безударном сжатии газа.

Сведение уравнения потенциала к ОДУ

.          дГ „  д2Г

Рассмотрим уравнение (1). Введем обозначения--- = Г i ,------ = Г_ij ,( i = 1,2,3),( j = 1,2,3).

д£  д^

Тогда уравнение (1) перепишется в виде

Г 2 ( Г 11 - 1) + Г 22 ( Г 22 - 1) + Г 3 ² ( Г 33 - 1) + 2 Г 1 Г 2 Г 12 + 2 Г 1 Г 3 Г 13 + 2 Г 2 Г 3 Г 23 -

- ( у - 1)[ Г - 0,5( Г ² + Г 22 + Г 3 ²)]( Г 11 + Г 22 + Г 33 - 3) = 0.

Здесь y >  1 — показатель адиабаты.

Будем предполагать, что Г = Г (у), тогда у( £1, £2, £3) = const - поверхность уровня функции Г(£1, £2, £3) и Гi = Гу, Гij = Г yiyj + Гу.. Здесь штрих (‘) обозначает дифференцирование по переменной у. После подстановки Г (у) в уравнение (2) получаем гх г / . 1 \ т-г' 2 т-г" / 2 .     2 .     2 \ 2 . г-»' 3 г 2               2               2

0,5( ^Y + I) ^{г г (} У 1 + у 2 + У з ) + ^{Г [ V} 1 ^V 11 + У 2 У 22 + У 3 У 33 + ² У 1 У 2 ^V 12 + ²V \ V 3 ^V 13 +

^{+ 2}V 2 ^V 3 ^V 23 + °, ^{5( Y - 1)( V} 2 + ^V 2 + ^V 3 ^{)( V} 11 + ^V 22 + ^V 33 ^{)] -}

^{- 0,5(3 Y -} I) ^Г 2^{( V} 2 + ^V 2 + ^{V 2 ) - ( Y -} I) ^{ГГ ( V} _n + ^V 22 + ^V 33 ) ^-

- ( Y - 1) ГГ * ( V 1 ² + V 2 + V 2 ) + 3( Y - 1) Г = 0.

В уравнении (3) положим, что [2]

V + v 2 + У ² = f ( У ), V 11 + V 22 + ^ 33 = f I ( V ),

У\У 11 ⁺v^y 22 + vlv 33 ^{+ 2} V 1 V 2 V 12 ⁺ 2 У 1 У 3 У 13 ⁺                     ₍₄₎

^{+ V} 2 У 3 У 23 ^{+ 0} , ⁵⁽ Y ^- D V 1' ⁺ Уз ⁺ Уз )( V 11 + У 22 ⁺ У 33 ) = ^f 2 V )•

Тогда уравнение (3) можно переписать в виде

0,5( y + 1) Г ² Г f ² + Г³ f , - 0,5(3 y - 1) Г ² f - (y- 1) ГГ f , - ( y - 1) ГГ f + 3( y - 1) Г = 0.   (5)

Получим ряд условий, при которых переопределенная система (4) имеет решение.

Теорема 1. Если функции     f 1 ( y ),     f , ( у )    определяются из уравнений

8 f + 8 f f1 — 4f12 + 4 ff - f 2 = 0, f, = 0,5 ff + 0,5(y-1) ff., где f (у) - произвольная функция, и если вторые производные удовлетворяют зависимостям

У 1 1 = lO r — Уз — у ²) ^f ' + ^{2 f} 1 v 2 ⁺ У 2^{)] /(4 f} )>

У 12 = -№ 2 (2f 1 — 3 f ')]/(4 f ), У 13 =- [ уу 3 (2f - 3 f ')]/(4 f ),               (6)

V 23 = ⁰ , V 22 = ^[(2 У 2 ² - v 1 — Уз ) ^f ' ^{+ 2 f} 1⁽ v 1 ⁺ У 2 )1 ^{/(4 f} )»

V 33 = ^[(2 У 3 ² - У 2 ² - v 1 ) ^f ' ^{+ 2 f} 1 ⁽ v 2 ⁺ У Г >1 ^{/(4 f} )» то система (4) совместна.

Доказательство. Для исследования совместности переопределенной системы (4) выпишем дифференциальные следствия соотношения у12 +у2 + у2 = f (у) и выразим из полученных соот ношений вторые производные у1 1, у22, V33. Получим

V 11 = ^{( f} V 1 — 2 ^ 2 ^ 21 — ² У 3 У 31^)/(2 У 1 },

V 22 = ^{( f} V 2 — ² У 1 У 12 — ² V 3 V 32^)/(2 V 2^{),                           (7)}

V 33 = ^{( f} V 3 — ²W 13 — ² У 2 У 23^)/(2 У 3⁾ .

Подставим в последнее соотношение системы (4) выражения (7) и учтем, что должно выполняться второе соотношение системы (4). В результате получим, что если справедливы две первые зависимости системы (4), то третье соотношение системы при условии f , = 0,5 ff + 0,5( у - 1) ff 1

выполняется тождественно. Считаем, что f ₂ удовлетворяет указанному условию. Остается найти условие, при котором совместны первое и второе уравнения системы (4).

Подставим полученные выражения (7) во второе уравнение системы (4) и найдем из полученного соотношения у ₂ 3 . Далее рассматриваем первое соотношение системы (4)

v 1 ⁺v 2 +v 3 = ^{f (} v )•                                ⁽⁸⁾

Выпишем для уравнения (8) систему уравнений характеристик [3]

d^- = 2 у , d y = 2 f , d vi- = f у , ( i = 1,2,3).

ds ds ds

Полагая, что f (у) ^ 0, выберем в системе уравнений характеристик в качестве независимого пе ременного у. Тогда система будет иметь вид d^i = Ук dVi = IL у

d y f ’ d y 2 f ¹

Получим расширенную систему уравнений характеристик, дополнив систему (9) уравнениями, описывающими изменение вдоль характеристик вторых производных у11,у22,У33 [2]. Чтобы по- лучить такие соотношения, перепишем уравнения характеристик, описывающие изменения вдоль них первых производных

Математика

dy и

= у11 dψ dy_w , = y12

dψ

dψ

-Г³ = У 13 d ψ

d ξ d ξ +   2 y 12 + y3 dy dy ^12 ^13	d^3 = j_.
	d ψ	2 f
d ξ     d ξ "У" + y 22^- + y 23 d ψ    d ψ	d ^	= f_
	d ψ	2 f
d ξ     d ξ + y ^2 + y3 d y 23 d y 33	d ^ 3	= f_
	d ψ	2 f

,

У 2 ,

У з ,

и, продифференцировав первое соотношение (10) по ^, второе соотношение (10) по ^2, а третье соотношение (10) по ^3 и подставив вместо ^-, (i = 1, 2, 3) их значения из системы (9), полу-dy чим зависимости

'

d ψ	f y )	fy )	' У з ) , f	f ')	' 2 f
, 11 = У 11 d ψ	f 1 - y 12 k J 7 1	f 1 - y 13 k J 7 1	1.+ f J 71 \	2 f 7	y 1 +9 /. y 11 , 2 f
d ψ	f y ! )	fy 2 ) _	fy )	f f"	'                                                  . 2 , f
, 22 = y 21	- ψ	Г 1 y 23	1 +		y + ~ r y 2,
d ψ	k f 7 2	k f 7 2	k f 7 2	1 2 f.	2 f
d ψ	fyL )	f y 2 )   , ,	fy )	f f"	. 2 f
,33 = У 31	- ψ	- ψ	+		y 3 + 77 У 3.
d y	k f 7 3	k f 7 3	k f J 3	2 f k	7 3 2 f 33

Потребуем, чтобы второе соотношение системы (4) у 11 + y ₂₂ + У ₃₃ = МУ ) выполнялось тожде-

dψ  dψ  dψ ственно на характеристиках уравнения (8): —11 +--— +--33 = /1.

dψ  dψ  dψ

Это условие будет выполняться, если обращается в тождество выражение

У п ^{+ 2} У г ^{+ 2} У ы ⁺ У ^{2 +} У 22 ⁺ У 3з = f 1 ^{+ 0,5 ff} " ^{+ 0,5} ff 1 .

Подставив в (12) ранее полученные выражения y11,y22,y33, y23, придем к квадратному уравне- нию относительно y12:

32 f ( У 1 ² + У 2 ²) У 1 ² 2 + 32 f ( у ² + y ²) y ₁ 3 + 64. f y 2 y 3 y 12 y 13 + 16 f yy 2 (2 f 1 - 3 / У +

+ 16 f yy 3 (2 f 1 - 3 f ) У 13 = 4 y 2 ( y 2 ² + У ₃)[4( fK + 0,5 ff + 0,5 f f 1 ) + (8 f f - 5 f ² - 4 f ²)].

Определим из него y ₁₂ , рассмотрев частный случай, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Это приводит к квадратному уравнению для определения y ₁₃. Потребовав, чтобы дискриминант уравнения для определения y ₁₃ также был равен нулю, получим, что

• 8 fA + 8 ff 1 - 4 f 1 ² + 4 ff - f ² = 0.                         (13)

Тогда y ₁₂ = - [ yy ₂(2 f 1 - 3 f )]/(4 f ), y ₁₃ = - [ yy ₃(2 f 1 - 3 f )]/(4 f ), и, подставляя эти значения в выражения для У ₁₁, У ₂₂, У 33 , У ₂ 3 , получаем условия (6), которые обеспечивают совместность системы (8), что и требовалось доказать.

Рассмотрим некоторые случаи выполнения условия (13).

• 1.    Условие (13) выполняется, если f = ( C y + C 1 ) ^e , f 1 = BC ( C y + C 1 ) ^{e - 1}, C = const, C 1 = const, в = const, B = (2 в - 1) + 0,5^19 в ² - 20 в + 4 . Тогда f , = 0,5 C [ в + ( Y - 1) B ]( C y + C 1 )^{2 в - 1}. В этом случае уравнение (5) имеет решения Г = A ( C y + C 1 ) ( ^{2 - в )}, где А = const определяется из уравнения

• 2.    Условие (13) выполняется, если f = exp( a y ), f 1 = B exp( a y ), a = const , B = a (2 ± 0,5a/19) . Тогда f 2 = 0,5[ a + ( / - 1) B ]exp(2 a y ) и Г = A exp( - a y ), причем A определяется из уравнения 0,5 a ³ [ / a - ( y - 1) B ] A ² + a [0,5(3 - 5 / ) a + ( / - 1) B ] A + 3( / - 1) = 0.

0,5(2 - в )³ C ⁴ [( у + 1) - в + ( Y - 1) B ] A ² - C 2 (2 - в )[0,5(3 у - 1)(2 - в ) + ( у - 1)( B - в + 1)] A + + 3( у - 1) = 0

Если в рассмотренных выше случаях выполнения условия (13) в выражения Г = Г ( у ) подставить у = y ( ^ , ^ ₂, ^ ₃), то получим решение уравнения (1).

Рассматривая политропный газ, имеем c ² = dp I d p и если c ^^ , то р ^^ . Здесь c -скорость звука, р - плотность, p - давление [1],

С ² = ( Y - 1)

Г (у) - 0,5 Г'2 £ i=1

)

I dd

Полученные выше точные решения можно использовать для определения скорости звука и для изучения условий, при которых возможно безударное сжатие в случае политропного газа.

Если Г = A ( C y + Q) *^{2- в )} и f = ( C y + C 1 ) ^в , то подставляя эти значения в (14), получаем С ² = ( / - 1) A ( C y + C 1 )^{(2 - в} ) [1 - 0,5(2 - в )² AC ²]. Если Г = A exp( - a y ) и f = exp( a y ), то c ² = ( /- 1) A exp( - a y )(1 - 0,5 a ² A ).

Итак, в случае политропного газа, если известно Г = Г ( y ) и y = y ( ^ i , ^ 2 , ^ э ), то легко определяется c ( ^ п,^,^).

Задача о движении поршня

Пусть в начальный момент времени скорость звука на поршне c = 1, а c = c ₀ > 0, с ₀ = const, тогда в начальный момент времени из (14) находим, что Г ( у ) = 0,5 Г ² f + 1I( / - 1),

Г = [ Г (1 - 0,5 Г f) - 2 c ₀I( y - 1)]I( Г f ). Подставляя эти значения в уравнение (5), получаем соотношение, которому должна удовлетворять производная Г ( y ), чтобы уравнение (5) обращалось в тождество Г ²[0,5 f - 2 c ₀ f I( y - 1) - f 1 ] + 2 Г + 2 c ₀I( y - 1) = 0. Отсюда следует, что либо Г =- c ₀I( y - 1), если f 1 = 0,5 f - 2 c ₀ f /( / - 1) , либо, если f и f 1 удовлетворяют зависимости (13), то Г = { - 1 ± V 1 - 2 c о [0,5 f ' - 2 c о f I( y - 1) - f JI( y - 1) }I[0,5 f ' - 2 c о f I( y - 1) - f 1 ]. Возвращаемся к уравнению (5). Из уравнения (5) получаем, что

Г '²[0,5( y + 1) Г" f ² + Г f , - 0,5(3 y - 1) f ]                 J Г" f ² + 0,5 Г ff - f 1

Г = , тогда c = Г sf .

• ( y - 1)( Гf , + Гf - 3)                           Гf 1 + Гf - 3

Если Г =- c o l( y - 1) и f 1 = 0,5 f' - 2 c о f I( / - 1),    то f , = 0,25( / + 1) ff - c о f ²,

c

c o ² f [1 + 0,5 c о f 'l( / - 1)] 3( / - 1)² + 0,5( / - 1) c о f '- 2 c o ² f ‘

Пусть знаменатель у выражения для с² равен 3 , тогда f = п exp[4 с _o y I( / - 1)]+[3( / - 1)² - J |I[2 c _о²], п = const,

2 c ² = c ⁰

δ

к

Г 4 c ₀ ) [3( y - 1)² - 8 ] ) п exp —0- у I +^{L v}

к y -1 )        2 c02      J

2 c о ²

( y - 1)²

П exp

-°- у I +1 к y -1 )

и при любом y, если 3 ^ 0, то с ^ ~. Интенсивность безударного сжатия будет зависеть, оче видно, от величины и знака y

О поверхностях уровня решений уравнения потенциала

Выше отмечено, что y = y ( ^ ₁, ^ ₂, ^ ₃) = const — поверхность уровня решения уравнения (1) и показано, что эта функция удовлетворяет уравнению (8) и соответствующей ему системе уравнений характеристик (9). Выпишем решение системы (9)

у 1 = c 1 f ^1I2, у ₂ = c ₂ f ^1I2, у ₃ = c ₃ f ^1I2, c 1 = const >  0, c ₂ = const >  0, c ₃ = (1 - c 2 - c 2 )¹¹²     (15)

Математика

^ = с, \^Т Й + a ,,( j = 1,2), ^ = (1 - с ² - с 2 )^1/2 f - d^ - + a ₃, a _z- = const,( i = 1,2,3) j ^j J 7*1/2       j                 ^{3           1      2} J 7*1/2       ³ i

и будем полагать, что соотношения (16) задают преобразование координат ^ i = £ ( ^ , а 1 , а ₂), где ( i = 1,2,3), с, = с, ( а 1 , а 2 ), ai = ai ( а^а 2 ), ( i = 1,2,3).

Для такого преобразования координат должна обращаться в тождество [2] зависимость V = V ( $ 1 ( V , « 1 , а 2 ), $ 2 ( V , « 1 , а 2 ), $ 3 ( V , а 1 , а 2 )), а именно,

• 1    = L V,^^".” = L*-^,(j = 1,2).

з d V 1     д а,

Требуя выполнения выписанных зависимостей, получаем соотношения, которым должны удовлетворять функции с, ( а 1 , а ₂), ai ( а 1 , а ₂)

с 1          д a 1

(1 - с 2 - с 2 )^{1/2 д а} , ⁺(1 - с 2

^с 2

_____^ 0 2 +^ 0 1 = 0( j = 12). с | )^1/2 д а, д а,    ’      ’

Например, если с, = const, a 1 = а 1 + а ₂, a ₂ = а 1 - а ₂, a ₃ = [( с ₂ - с 1 ) а ₂ - ( с 1 + с ₂) а 1 ]/(1

с ²

2x1/2

^с ₂)   , ^то

соотношение (17) выполняется. Исключив а, из соотношений (16), получаем, что w = k 1 $ 1 + k ₂ $ ₂ + k ₃ $ ₃, ki = const, w = J ^^V ₂ , следовательно, в этом примере V = v ( k\ ^ ₁ + k₂ ^ ₂ + k 3 ^ 3 )- В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 2 . Если f 1 = п f ^1/2 + 0,5 f ', f _; = 0,25( / + 1) ff' + 0,5( / - 1) п f ^3/2, где f ( v ) - произвольная функция, n = const, то система (4) совместна, а уравнение (3) имеет вид

Гww [0,5( y + 1) Гw - ( y - 1) Г ] + 0,5( y - 1) пГw - 0,5(3 y - 1) Гww -

( y - 1) пГГw + 3( y - 1) Г = 0,

Гw = dr / dw .

Доказательство . Так как   с , = const , то можно считать, что

V i (^^ Э ) =

= cif ^1/2 ( v ( ^ i , ^ ₂ , ^ ₃)),( i = 1,2,3). Тогда, требуя чтобы второе уравнение системы (4) тождественно удовлетворяло расширенной системе характеристик (11), получаем линейное уравнение f - 0,5 f f J f = 0,5 f - 0,25 f ²/ f , решая которое, находим, что f 1 = nf ^1/2 + 0,5 f , n = const. Подставляя это значение в ранее полученное соотношение f , = 0,5 ff + 0,5( у - 1) ff 1 , получаем f 2 = 0,25( y + 1) ff + 0,5( y - 1) nf ^3/2. Учтем полученные зависимости между функциями f , f 1 , f , в уравнении (5). Выберем в (5) в качестве независимого переменного w. В результате придем к уравнению (18), что и требовалось доказать.

Решаем уравнение (18). Пусть п = 0. Тогда уравнение (18) имеет вид

Гww [0,5( y + 1) Гw - ( y - 1) Г ] - 0,5(3 y - 1) r² w + 3( y - 1) Г = 0.

В уравнении (19) сначала сделаем замену Г_w = p ( Г ), а затем положим, что p ² = Q . В результате придем к уравнению Q _Г [0,5( у + 1) Q - ( Y - 1) Г ] - (3 у - 1) Q + 6( у - 1) Г = 0. Далее положим, что Q = Гу ( Г ). В результате такой замены получим уравнение Гу _Г [0,5( у + 1) у - ( y - 1) Г ] = - 0,5( у + 1) у ² + 2(2 у - 1) у - 6( у - 1). Отсюда найдем Г ( у ). Так как Q = Гу ( Г ), то p = Г_w = ± [ Гу ( Г )]^1/2 и, опуская дальнейшие выкладки, окончательно имеем решение уравнения (21) в параметрическом виде

, Гу dy w = M ±[ —у ■, Г = N) J (уГ )1/2           I

У ^{- 2}

ЦС у + 1) У - 6( Y - 1)]^{( y - 1)}

' 1/( y - 2)

, M = const, N = const, N >  0.

Замечание 1. Доказанные теоремы 1,2 не охватывают все возможные зависимости между функциями f , f 1 , f , , при которых система (4) совместна. В общем случае, если рассматривать кривую второго порядка с переменными V ₁₂ и V 13 , описываемую уравнением

32 f ( w ! + ¥^¥п + 32 f( ^ 2 + W ^|) W ^| з + 64 МУзУ_Х2У х ₃ + 16 fW 2. (2f x - 3 f') W i2

+ 16 f _W(2 f i - 3 f ) W i3 = 4 W i² ( W 2² + W g ²)[4( f i + 0,5 ff + 0,5 f f) + (8 f f - 5 f ² - 4 f x ²)], то она является действительным эллипсом, если 8 f i + 8 f f _ - 4 f _x ² + 4 ff - f² <  0. В этом случае мы будем иметь 4 разные пары значений { w _i2, W _i3 } и, возможно, другие зависимости между функциями f , f i , f 2 .

Замечание 2. Если положить, что Г = Г(у), у = (f x-bx)2 + (f2 - b2)2 + (f3 - b3)2 + B, где bi = const, (i = 1,2,3), B = const, тогда f (у) = 4( у - B2), w = (у - B 2)i/2. После подстановки этого выражения в (2) и перехода к переменной w получим уравнение wГww[0,5(у +1)Гw - (у -1)Г] + 2(у -1)ГW - 0,5(3у -1)w^ - 2(у -1)ГГ + 3(у -1)wГ = 0.

Это уравнение имеет решение вида Г = aw ², где a = { (3 у - 2) ± [1 - 6( у - 1)²]^1/2 } /[2(5 у - 3)].

О краевых или начальных условиях

Вообще говоря, функции Cj(ax,a2),ai(ax,a2), удовлетворяющие (17), определяются исходя из задания начальных или граничных условий. Исключение из соотношений (16) aj приводит к разному виду поверхности уровня у(fx, f2, f3) = const.

Пусть при t = 0,fx = ax,f2 = a2,f3 = F(ax,a2),w = w0 = const. Соотношения (16) будут удовлетворять таким начальным условиям, если aj = aj -cj-w0,(j = 1,2),a3 = F - w0(1 -cx2 -cl)1/2 Требуя выполнения условий (17) для таких ai, (i = 1,2,3), получаем зависимости dF         cx       dF _c

2 -2x1/2 ,                   22x1/2

d^a i      (1 — C x — C 2 )     d^a 2      (1 — C x — C 2 )

d F / d a _x               _              d F / d a ₂

, C7

[1 + ( d F / d a _x)² + ( d F / d a ₂)²]^{1/2   2}    [1 + ( d F / d a _x)² + ( d F / д ^ _l)^l|^{l 2}

Подставив (20) в (16), получим dF / da j

^ =-- 5----------- туту ( w - w o) + a ,,( j = 1,2)

j     [1 + ( d F / d a _x)² + ( d F / d a ₂)²]^{1/2       0} j

^ 3 =5 1 1 и ( w - w ₀) + F .

• ³     [1 + ( d F / d a _x)² + ( d F / d a ₂)²]^{1/2       0}

Исключив из соотношений (21) a _x, a ₂, найдем w ( ^ _х, ^ ₂, ^ ₃).

Например, пусть F = [1 -(ax2 + a2)]1/2, тогда исключив из соотношений (21) aj,(j = 1,2),по лучаем w(fx, f2, f3) = w0 + 1 -fx2 - f2 - f32 .

Другой подход к решению уравнения потенциала

Рассмотрим частный случай геометрического подхода для уравнения (2) [5]. Положим, что у = Г . Перепишем уравнение (2) в виде

Г х² Г 11 + Г 2 ² Г 22 + Г ₃ ² Г 33 + 2 Г 1 Г 2 Г 12 + 2 Г x Г ₃ Г 13 + 2 Г 2 Г ₃ Г 23 - ( y - 1)[ Г - 0,5( Г + Г ₂ ² + Г 32 )] X (22) х( Г 11 + Г 22 + Г 33 ) = Г 1 ² + Г 2 ² + Г 3 ² - 3( y - 1)[ Г - 0,5( Г ²2 + Г 22 + Г ₃²)].

Положим, что правая и левая часть соотношения (22) по отдельности равны f (Г), где f (Г) - некоторая функция. Находя    (Гх + Г2 + Г3)    из соотношения    Гх + Г2 + Г3 -

- 3( y - 1)[ Г - 0,5( Г 12 + Г 2 ² + Г 3 ²)] = f ( Г ), получим

Г х² + Г ₂ ² + Г 3 ² = 2[ f ( Г ) + 3( y - 1) Г ]/(3 y - 1) = g ( Г ).                    (23)

Уравнение (2) обратится в тождество, если

Математика

Г ² Г ! + Г 2 Г ₂₂ + Г 2 Г 33 + 2 ГГ 2 Г ₁₂ + 2 Г , Г 3 Г ,3 + 2 Г ₂ Г 3 Г 23 -

- ( у - 1)[ Г - 0,5( Г ² + Г ^ + Г 3 ²)]( Г ,, + Г 2 + Г 33 ) = f ( Г ) = 0,5(3 y - 1) g ( Г ) - 3( y - 1) Г .

Выпишем дифференциальные следствия соотношения (23): Г 1 Г 11 + Г ₂ Г ₂₁ + Г ₃ Г ₃₁ = 0,5 Г 1 g , Г 1 Г ₁₂ + Г ₂ Г ₂₂ + Г ₃ Г ₃₂ = 0,5 Г ₂ g , Г 1 Г ₁₃ + Г ₂ Г ₂₃ + Г ₃ Г ₃₃ = 0,5 Г ₃ g . Умножим эти выражения на

Г 1 , Г ₂, Г 3 соответственно и сложим. Получим, что

Г 2 Г _п + Г 22 Г 22 + Г 3 Г 33 + 2 Г 1 Г 2 Г 12 + 2 Г 1 Г 3 Г 13 + 2 Г 2 Г 3 Г 23 = 0,5 gg .          (25)

В (24) подставим вместо      Г 1 ² + Г 2 + Г ₃²     и      Г 1 ² Г _н + Г 2 Г ₂₂ + Г 2 Г ₃₃ +

+2Г1Г2Г12 + 2Г1Г3Г13 + 2Г2Г3Г23 их значения из (23) и (25) и найдем из полученного соотно шения выражение Г11 + Г22 + Г33. Имеем

Г 11 + Г 22 + Г 33 = [0,5 gg - 0,5(3 Y - 1) g + 3( у - 1) Г ]/[( у - 1)( Г - 0,5 g )].          (26).

Таким образом, решение уравнения (1) сведено к решению системы уравнений (23), (26).

Покажем, что для решения этой системы можно использовать расширенную систему уравнений характеристик уравнения (23). Выпишем расширенную систему уравнений характеристик для уравнения (23), выбрав в качестве параметра, меняющегося вдоль характеристики, переменную Г , аналогично тому, как это делалось при рассмотрении уравнения (8). Потребуем, чтобы уравнение (26) выполнялось тождественно вдоль характеристик. Добавим полученное соотношение к расширенной системе уравнений характеристик и заменим в ней вторые производные Г ₁₂, Г ₁₃, Г ₂₃ их выражениями, полученными из дифференциальных следствий уравнения (23)). Придем к системе ОДУ для определения функций ^i , Г_i , г ,, , g ( Г ),( i = 1,2,3)

d^i = Л dГ1 = g_ _ (i = 1 2 3) dg = (y -1)(Г - 0,5g)(Г1 + Г22 + Г33) + 0,5(3y -1)g - 3(y -1) Г dГ g ’ dГ 2g 1Л , , Л dГ                           0,5g                         ’ d^11 dΓ

^{- Г} 11

( г А Г I

I g ) 1

^Г 12

( г А

I g )1

^Г 13

( г А

I

I g ) 1

+

Г ' А

g

V 2 g )

'

Г ² + g—P

¹ 1 ⁺ - ¹ 11 , 2 g

^{d Г} 22 dΓ

Г ₁₂

( г А

-1

I g Л

Г ₂₂

I g 72

^{d Г} 33 dΓ

^{- Г} 13

( г А

I g ) 3

^Г 23

( г А

Г1

I g Л

Г ₂₃

^Г 33

( г А

^^ I +

V g 72

( г А

I +

V g 7 3

'

V g 7

'

Г i

V 5 7

'

Г ² + —Г

^Г 2 ⁺_п ^Г 22 ,

2 g

'

Г ² + — Р

^Г 3 ⁺ - ¹ 33 .

2 g

В общем случае, если на начальном многообразии будут выполняться соотношения (23), (26), то поверхность, полученная проведением характеристик через каждую точку такого многообразия, будет задавать решение системы (23),(26) [3,4] и, следовательно, будет являться точным решением уравнения (1).

Определим, в частности, вид ряда функций g ( Г ), при которых система уравнений (23), (26)

совместна.

Теорема. Если функция g(Г) удовлетворяет уравнению g = [(3 y -1) g - 6( g -1) Г ] /[0,5( y +1) g - (Y-1) Г ], (27) то решения уравнения (23), для которых на начальном многообразии выполняется соотношение (26), являются решениями уравнения (1).

Доказательство. Рассмотрим одно частное решение системы (23), (26). Пусть Г,, = Г, + f (Г), где fi (Г) - произвольные функции, (i = 1, 2, 3). Тогда, полагая, Г, = p(Г), сделаем такую замену и решим полученное линейное уравнение для функции p(Г). Придем к зави- симости

I Г1 = e ^{2 Г} i = 1

I»+2) I f i=1          V i=1 7

e ^^{2 Г}

dΓ

ni = const.

Учитывая, что ^ rii = ^ Г ^ + ^ f ( Г ) и подставляя в это соотношение (28), получим, что урав- i = 1           i = 1           i = 1

нения (23), (26) обращаются в тождества, если у f = 0,5 gg—0,5(3 Y — 1) g + 3( Y — 1) Г —     ' = (3 Y — 1) g — 6( Y — 1) Г

i:1             (Y —1)(Г — 0,5g)          g, g   0,5(Y +1)g — (Y — 1)Г’ что и требовалось доказать.

Для таких функций g ( Γ ) некоторое подмножество решений уравнения (23) будет удовлетворять уравнению (2) [4].

Выпишем решение уравнения (24) через параметр и = g / Г , полагая, что (1 <  у <  2)

Г = ^

и — 2

) 1/( Y - 2)

_ [ и — 6( y — 1)/( Y + 1)]^{( Y —} 1)

, g = иГ .

Для квадрата скорости звука в случае, когда выполняются условия (29), получаем [1]

г

c ² = ( y — 1) Г — 0,5 ^ Г^

к

i = 1      7

—

Y — 1 Г и — 6( y — 1)/( Y + 1) 1 ^{( Y 1)/(} 2 ^Y )

и — 2

.

Из формулы (30) замечаем, что она имеет смысл ( c ² >  0) только тогда, 6( / — 1)/( / + 1) <  и <  2. Это условие выполняется, например, для гелия ( у = 1,667) или ( у = 1,304) [6]. Для таких газов имеем c ^^ , если и ^ 2. Выпишем уравнение (23)

когда метана в виде

Г12 + Г2 + Г32 = g(Г(и)) = G(и). Решая это уравнение, получим выражения для определения £,(i = 1,2,3) (см. (16)). В этих выражениях г du _ f[и — 6(7— 1)/(У + 1)](Y 1)/2(2 Y) w =J G1/2 "J      и 1/2(и — 2)Y—1)/2(2—Y)       и.

Задавая вид функций a_i ( α ₁, α ₂), c_i ( α ₁, α ₂) (см. пункт о поверхностях уровня) и исключив из (16) переменные a 1 ,a ₂ , получим и ( ^ ₁, ^ ₂, ^ ₃) и, следовательно, c ( ^ , ^ 2 , ^ 3 ).

Заключение

Применение геометрического метода и его частного случая, когда поверхность уровня совпадает с решением уравнения, позволило получить ряд точных решений уравнения потенциала в автомодельных переменных, которые можно использовать для решения некоторых начальных и краевых задач, в частности, для решения задачи о безударном сжатии газа.