Единственность решения прямой задачи процесса движения влагопереноса оползневого массива с мгновенным и шнуровым источниками

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.956.3(624.131.543)                        

Оползни — это природные явления, при котором слои земли, породы или грунта начинают двигаться вниз по склону под воздействием гравитации. Одна из основных причин появления оползня является впитывание влаги в геологических грунтах посредствами дождей, таяния снега и ледников и т.д. Они могут быть вызваны различными факторами, включая интенсивные дожди, землетрясения, снижение уровня грунтовых вод, а также человеческую деятельность, такие как строительство или промышленные эксплуатации. Оползни могут привести к разрушительным последствиям, включая разрушение зданий, дорог, инфраструктуры, а также угрозу для жизни и здоровья людей. Они могут быть особенно опасными в гористых районах, где склоны более крутые и неустойчивые. Интенсивные дожди могут вызвать сток воды по склонам, что приводит к размыванию почвы и формированию оврагов и ручьев. Без адекватного управления почвенными ресурсами и ландшафтом, водная эрозия может быть серьезной проблемой, особенно на склонах и наклонных территориях. В случае оползней важно принимать меры по предотвращению и минимизации ущерба, включая стратегии землеустройства, укрепление склонов, дренирование и контроль застройки. Также важно разработать планы действий в случае чрезвычайных ситуациях и обеспечить своевременное информирование и эвакуацию населения в зоне риска. Прямая задача заключается в определении функции влажности оползневого массива.

Дорожный методический документ распространяется на расчеты устойчивости оползневых склонов и расчеты оползневых давлений на инженерных сооружениях. Приведены указания по выбору исходных данных и оценки результатов, расчетов устойчивости и расчеты оползневых давлений. Оценка устойчивости оползневого склона включает: сбор исходных данных; выбор расчетных створов; определение расчетных параметров грунтов; выбор метода расчета; выполнение и анализ результатов расчетов устойчивости; определение и построение эпюр оползневого давления; рекомендации и предложения по проведенной работе [1].

При строительстве на неустойчивых склонах работы следует начинать с оценки степени их устойчивости склонов. Такая работа оценки производится путем вычисления коэффициентов устойчивости, который характеризуется отношением сил и моментов, удерживающих массив грунта на наклонной поверхности, к силам, сдвигающим этот массив [2].

В методике приведены рекомендации, по количественной оценке, и прогнозу устойчивости склонов равнинных предгорных территорий расчетными и сравнительногеологическими методами. Охарактеризованы способы оценки и прогнозы отдельных оползней и склонов в целом при возможности смещений блоков и пакетов или покровных образований. Дана схема типизации оползней по механизму оползневого процесса [3].

Оползневые процессы развиваются под воздействием двух групп факторов: природных и техногенных. Наиболее часто оползневые процессы возникают на склонах, сложенных чередующимися водоупорными (глинистыми) и водоносными породами (песчаногравийными, трещиноватыми известняковыми). Климатические факторы формирования динамики оползней многообразны, т.к. они определяют их тепло-влагообеспеченность. Для оползней важнее степень увлажнения, т.е. то количество осадков, который проникает в оползневой склон. Основными генетическими типами оползней являются: оползни детрузивные или выдавливания; оползни скольжения; оползни вязкопластические или деляпсивные; сложные оползни [4].

При изучении оползней определяются следующие параметры [4]: площадная пораженность территорий, %; площадь разового проявления на одном участке, км; объем захваченных пород при разовом проявлении; скорость смещения, млн.м3, м/месяц (см/год); повторяемость, единица в год.

Методы оценки устойчивости оползневых склонов подразделяются на: сравнительногеологические методы; расчетные методы; экспериментально-расчетные методы; методы моделирования [4].

Т. Я. Емельяновой рассмотрена инженерно-геологическая характеристика оползней. Оползень — это смещения части горных пород, слагающих склон, на более низкий уровень в виде скользящего движения. Это геологическое явление, возникающие на склонах и откосах горной породы. Дана общая характеристика оползней, причины проявления оползней, факторы развития оползней и динамика, а также механизм оползневого процесса [5].

Основное внимание уделено факторам и динамике развития крупных глубоких оползней в юрских глинах и изложена история геологического развития территории в мезо-кайнозойское время. Изложены описания структуры, состав и физико-механические свойства пород, охарактеризованы морфология и зональность строения оползневых склонов и приведены рекомендации [6].

Приведены закономерности проявления оползневых процессов в районе города Майлуу-Суу, а также дан прогноз развития оползня в этом районе. На основе анализа временных рядов оползней и природных факторов были изучены эмпирические принципы возникновения оползней в горнодобывающих районах высокого геологического риска [7].

Процесс движения оползня (сдвигового обрушения) — это геологическое явление, при котором слой грунта или породы начинает перемещаться вниз под воздействием гравитации. Это явление может иметь различные причины и оказывает существенное воздействие на окружающую среду [8].

Цель данной работы заключается в доказательстве теоремы единственности решений прямой задачи влагопереноса в оползневом массиве для мгновенных и шнуровых источников.

Математическая постановка задачи

Прямая задача движения почвенной влаги оползневого массива с мгновенным и шнуровым источником в нулевом приближении описывается следующей задачей:

d~W „ , ч d~W ,   ’ , ^dW dW

at2 v J ax2

W(x,t)|t <0=0,

dx dt ’

(x, t) e r²

^ |_x = о = h_Q8(t) + г_о0^ + Ро^е1(О -

Здесь ^(^f) — дельта функция Дирака, 9(f) — тета функция Хевисайда, $1(0 ⁼ ^$(0’ h 0 , r 0 , p 0 — положительно постоянные числа. Прямая задача заключается в определении функции влажности оползневого массива – W (x, t) из задачи (1)-(2) при известных значениях h 0 , r 0 , p 0 , а также при известном коэффициенте диффузии — D(x). Пусть относительно параметра диффузии выполнено условие:

^00 ^^o

где Aq— {^qW ^ C (0,7’).» 0 — Ml <  0(x) <  ^2, я — H^Wllc^!(o,T) — ^з}’

M 1 , M 2 , M 3 — постоянно-положительные числа.

Используя метод выпрямления характеристики и метод выделения особенностей В. Г. Романова [9-11], получим задачу с данными на характеристиках.

««(^t) = “^U0 ~ ^(z, t), (z,t) e л(т),                      (4)

u(z,t)|t = |z| = S(z), z 6 [—T,T],                                   (5)

где LjufZ'f) = 2^u_z(z,t) +u-(z.t) -u_r(z,t),

d(z(x)) = O(x), u(z(x),t) = W(x,e), 2Ю=%-^, Л(Г) = l(z,t) e R X R₊, zE(-T,T\ \z\ 5(0) Пусть относительно переменной z(x) выполнено условие:

Единственность решения

Введем обозначение и норму:

II^UII1(C ⁼ !*_tu²(z.t'jdz, t E [0,7].

Теорема. Пусть коэффициент уравнения (4) S(x) — непрерывен и имеет непрерывную производную первого порядка и пусть выполнены условия (3), (7), (8), (9), а также пусть решения задачи (4)-(5) существует и принадлежит классу с2(л(ПУ Тогда решение задачи (4) - (5) единственно в области регулярности ^m и имеет место оценки:

где^H^1) .

Доказательство теоремы проводим по методу энергетических неравенств.

Умножая каждый член уравнения (4) на ^ получим следующие выражения:

du 2*SAz)du     SAz) Г ди ди'

du du     [dudu\ dt dz      Ldz dtl

du du

2--- dt dt

— ---= 4 *----- dt S(z) dz S(z) Ldz dtl

Теперь проинтегрируем по области A(T) , где A(T) = ^z,t)-.\z\

уравнение (4):

d2u dr2

d2u dz2

du ‘

-dr.

}dr.

Используя вычисленные последние выражения, а также введенные обозначения (8) и нормы (9) из последней соотношение (11) получим:

(12 )

Можарируя нормы получим:

Учитывая последнее неравенство из оценки (12) получим:

Из последнего неравенства, используя энергетические неравенства для гиперболических уравнений, получим:

здесьiMKo = (M2+iiujm .

Таким образом доказана теорема единственности.

Из эквивалентности задач (4)-(5) и (1)-(2) следует, что решение прямой задачи (1)-(2) также единственно в области ^(r) .

Заключение

В результате проведённого исследования по решению прямой задачи движения влагопереноса в оползневом массиве с мгновенными и шнуровыми источниками было доказано единственность решения задачи при определённых условиях, заданных входными параметрами уравнения и условиями задачи. Основные результаты исследования: используя методы «выпрямления характеристики» и «выделения особенностей», получили задачу с данными на характеристиках; с помощью методики В. Г. Романова обобщенная задача приведена их регулярной задаче и установлена единственность решения; используя энергетические неравенства для гиперболической уравнений было доказана теорема единственности. Полученные результаты позволяют подтвердить возможность математического описания и анализа процессов движения влагопереноса в оползневом массиве при различных условиях и подтверждают надёжность предложенного численного алгоритма.