Теоремы существования и единственности для дифференциального уравнения с разрывной правой частью

Рассмотрены новые условия существования и единственности решения Каратеодори задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с разрывной правой частью. Применяемый в статье метод основан на: 1) представлении решения в виде ряда Фурье по системе функций, ортогональной относительно скалярного произведения типа Соболева и порожденной классической ортогональной системой; 2) использовании специальный образом сконструированного оператора A, действующего в пространстве l2, неподвижной точкой которого являются коэффициенты Фурье решения. При выполнении условий, рассматриваемых в данной статье, оператор A будет сжимающим. Это свойство может быть использовано для конструирования устойчивых, быстрых и легко реализуемых спектральных численных методов решения задачи Коши с разрывной правой частью. Изучена также взаимосвязь новых условий с хорошо известными классическими условиями (условия Каратеодори вместе с условием Липшица) существования и единственности решения Каратеодори задачи Коши с разрывной правой частью. А именно, показано, что если в классических условиях заменить пространство суммируемых функций L1 на пространство суммируемых с квадратом функций L2, то они станут эквивалентными условиям, приведенным в данной статье.