Существование решения краевой задачи Дирихле для p(x)-Лапласиана

Цель настоящей статьи - установить существование слабого решения в пространстве W1,p(x)0(Ω) краевой задачи Дирихле для p(x)-лапласиана. Наш подход основан на теории топологической степени Берковича для класса деминепрерывных операторов обобщенного (S+) типа. Используются также свойства лебеговых и соболевских пространство с переменными показателями и специальные свойства p(x)-лапласиана. Для того, чтобы использовать упомянутую теорию, задача преобразуется в абстрактное уравнение Гаммерштейна вида v+S∘Tv=0 в рефлексивном банаховом пространстве W-1,p′(x)(Ω), которое является двойственным к W1,p(x)0(Ω) пространством. Заметим также, что изучаемую проблему можно рассматривать как нелинейную задачу на собственные значения вида Au=λu, где Au:=-Div(|∇u|p(x)-2∇u)-f(x,u). Если исходная задача имеет слабое решение u, то u является собственной функцией, ассоциированной с собственным значением λ.