Физико-математическая модель взаимодействия излучения со средой с наночастицами

Введение. В настоящее время проводятся интенсивные исследования, связанные с наличием пылевых частиц в нейтральной газовой среде, в ионизированном газе. Это направление является перспективным в связи с различными технологическими приложениями: процессы горения, плазменные технологии, физика атмосферы, управляемый термоядерный синтез. В случае плазменных технологий большой интерес вызывает кристаллизация пылевых частиц в газоразрядной плазме - образование упорядоченных структур [1,2]. Вызывает определенный интерес процессы, связанные со взаимодействием излучения со средой, содержащей наночастицы и наноструктуры [3, 4]. В данной работе на основе полученной системы материальных уравнений моделируется процесс усиления в резонаторе СВЧ-излучения с длиной волны Л ~ 10 см. Накачка среды произ водится при наличии в ней проводящих наночастиц с помощью стационарного электрического поля. Оценена необходимая для этого массовая концентрация наночастиц и величина накачиваемого поля. Приступим к рассмотрению сформулированной задачи.

Вывод системы материальных уравнений. Пусть имеется неограниченная область, состоя-

наночастицы гантелью

щая из вытянутых наночастиц (содержащая удлиненные наночастицы) концентрации п . Пусть через такую область распространяется электромагнитное излучение. Электрическое поле обозначим как Е(1,г). Для того чтобы описать механизм взаимодействия таких частиц с электромагнитным излучением, аппроксимируем эти частицы двумя одинаковыми проводящими шарами радиуса 7? и массы т (см. рис. 1).

Будем считать, что шары соединены проводящим тонким стержнем длины L, коэффициентом упругости к и электрическим сопротивлением г0. Пусть gx(t) и g2(t) соответственно заряды на первом и втором шарах. Будем считать, что диполи параллельны электрическому полю волны. Поляризация в общем случае бу дет складываться из линейной Ро и нелинейной Р, поляризаций

^0 = 2 ^{п L} (5г - 51 )>^р\ = 2 ^{п х} (5г - 51) -1” я⁽⁰⁾ (52⁰⁾ - 51⁰⁾), * = х(0 = х₂ (0 - X] (0, Х⁽⁰⁾ = Х<⁰⁾ - Х<⁰⁾, (1)

где Р_О,Р_Х - соответственно амплитуды векторов Р₀,Р]; и - концентрация наночастиц в области; x(f) - быстро осциллирующая в масштабе времени изменения разности зарядов величина, которая характеризует изменение расстояния между шарами за счет упругих сил; х«L; 51 + 5г ⁼ 5i⁽⁰⁾ + 52⁰⁾ ’ -^^^ ~ характеризует дополнительную деформацию за счет упругих и кулоновской сил двух предварительно заряженных шаров с зарядами g[°\ g^ при наличии Е

к(Х^-Х^)-^-^)Е/2.

Нетрудно заметить, что Р_х характеризует изменение нелинейной поляризации при соответствующем изменении зарядов. В (2) линейность Р_о следует из того факта, что при R « L имеет место соотношение (g₂ -g_x)l R- LE, т. е.

РйАпРЙЕ = ХЕ,

где электрическая восприимчивость равна х = ^п^ / 2 = const.

С учетом полученных соотношений уравнение поля в резонаторе с распыленными наночастицами с учетом полученных соотношений запишется ([5], с. 75) как

5²Е 1 5Е   ₂      4л- д²Р,

—т + -^- + ®оЕ =7 ’ д?2 г д/ где £ = 1 + 4лх - диэлектрическая проницаемость. В (4) предполагается, что поляризация Р,, за висящая от поля резонатора, имеет такое же пространственное распределение, как и нормальная мода поля резонатора.

В случае отсутствия излучения при R«L энергия системы будет равна =«[(^i(0))2 +(^0))2]/21?,(5)

где g]°\ g^ - заряды на шарах в начальный момент времени.

В присутствии поля излучения в произвольный момент времени энергия системы будет равна W2=n[g2+g2]/2R,(6)

где g_x+g2=g\⁰⁾ + g2^ =°-

Из (5) и (6) получим, что при наличии излучения энергия системы меняется на величину

W = W₂-W_x=N-N₀,

N_”(g2-gi)2 N _n(g^-g^)2 4R ’4R ’ где при выводе (7) учтено, что будет иметь место соотношение Si2 + ^(0))2      - 2g^-2gxg2•

При усилении поля будет иметь место N-N_o <0, dN/dt>$. Если Е• dP_x/dt , то поле будет совершать положительную работу и энергия поля будет уменьшаться. Поэтому для увеличения энергии поля необходимо выполнение условия E-dP_x/dt.

С учетом сказанного, при наличии электромагнитного поля СВЧ-излучения закон сохранения энергии с помощью введенных величин N, Р_х запишется так:

— +—(N-No) = -E^, dt тх 0 dt

Уравнение (8) представляет собой одно из двух материальных уравнений ([5], с. 75). Следует отметить, что величина N является медленно меняющейся в масштабе собственных малых колебаний осциллятора с коэффициентом упругости к . При этом сами колебания осциллятора в описываемой здесь модели будут определять поправку к поляризации (нелинейную поляризацию). Поскольку величина N и амплитуда колебаний осциллятора (колебания нелинейной поляризации) будут характеризоваться относительным расстоянием между двумя шарами, то в нашем случае относительное изменение расстояния между двумя центрами будет описываться двумя функциями, которые характеризуются разными масштабами изменения. Первая функция определяет величину N, которая меняется медленно, но при этом величина изменения достигает значительных величин. Вторая величина - это нелинейная поляризация, которая является быстро осциллирующей функцией относительно переменной N, но при этом амплитуда колебаний незначительна в масштабе изменения первой функции. Такое «временное» отличие функций позволяет

Физика

выделить два уравнения. Первое уравнение - уравнение (8). Получим второе материальное уравнение - уравнение для нелинейной поляризации

Относительно обобщенной координаты х = х2 -^, где хх, х2- соответственно координаты центров шаров, будет иметь место уравнение движения px + kx = ^(g2-g^E,(9)

где р = т!2- приведенная масса, х = d^x/ dt².

С учетом сил трения и соотношения (1) из (9) получим

^-4 + —^5. + П2Р! =n^^^£-zzQ2^2^L2.(x(O)_x(O))

d? T^dt 1       4//                2 V 21

где Q2 = к/ р . При выводе (10) уч!

гено, чт 51n|gi| dt

о

dh|g2| dt

«

ain|x| dt

С учетом (2) уравнение (10) запишется в виде где N,N0 определены в (7); второе слагаемое в (11) характеризует диссипативные процессы, например, трение, обусловленное взаимодействием шаров со средой, например, воздухом.

Уравнения (4), (8) и (11) представляют собою систему материальных уравнений в резонаторе, где роль среды выполняют удлиненные наночастицы, распыленные в газовой среде. В данной работе наночастицы аппроксимированы удлиненными электропроводящими гантельками. Величины N и Рх в (8) и (11) выполняют соответственно роль разности населенностей уровней и по ляризации (см. ([5], с. 75) или [6]).

Рассмотрим когерентное излучение в резонаторе

Р_х = ^ Р_х ехр (-/да /) + компл. сопряж, Е = ^ Ё ехр (-/да /) + компл. сопряж. и запишем систему материальных уравнений относительно Р_Х,Ё.

Предположим, что резонатор настроен так, что да = О = да0. Из (11) с учетом (12) получим ад 1 5    . А ~~ dЁ 1 ~ ,2л-да5

—L +—Р, =-i—NE , — +—E = i---Р,, dt Т2 2со dt 2т s где А = Rip., N-Nq= -N и при выводе второго уравнения в (13) учтено, что в случае усиления излучения напряженность поля и нелинейная поляризация направлены в противоположных на- правлениях.

Из (8) с учетом (12) получим dN dt

Из первого уравнения (13) в квазистационарном случае dP_x/dt« Р_х !Т₂ следует

5 .T2AN ъ ь

Px=-i^—е = %хе.

1(0

Подставим (15) в (8). В результате получим dN , 1 ~ ДЛА,- dt Т_х 4 ¹

Из второго уравнения (13) с учетом (15) следует l|g|2 2zrT₂AN

К-

St

£

Результаты численного моделирования. На основе материальных уравнений (13) и (14) проведена серия расчетов по определению усиления СВЧ-излучения в нестационарном пространственном резонаторе - аналоге плазменных образований. Уравнения (13)и(14) являются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями жесткого типа. Для их численного решения была использована подпрограмма решения жестких дифференциальных уравнений DIVPAG из библиотеки стандартных программ IMSL языка программирования FORTRAN 90. Эта подпрограмма решает задачу Коши методом Гира - дифференцирования назад с автоматическим выбором шага интегрирования. В расчетах полагалось (см. [7]): R = 10~⁸м, е = 1, г = КГ³ с, р = 210³ кг/м³-плотность шаров радиуса R, L = 20R, toT₂=10⁴, (У = 2-10¹⁰ с^-1 (7^ = 5 -10^-7 с), Eq /8л" = 10Дж/м³ - плотность энергии электростатического поля, с помощью которого производится накачка среды, состоящей из распыленных наночастиц, с₀ =8я7?³и/3 = 10~³ - объемная концентрация гантелек.

Из приведенных выше данных следует, что A = R/// = 3/(2^/?R²)«2,4-10¹²M/Kr. В данной работе в отличие от работы [7] вместо графита взят кремний, в результате чего получено значение 7] ® 4-10^-7с . Поскольку для графита 7] ~10~¹⁵с, то в этом случае время электрического разрядника должно быть меньше ~ 10"¹⁵с, но разрядники с такими параметрами нельзя реализовать на практике. Величина «разности инверсии населенностей» в начальный момент времени в соответствии с (7) будет равна

-I nRI?^ 3   L²\E₀\²       з

TV =--- =—c₀— —— = ЗДж/м .

l/=o 4 1 oi 4 0^2 8я.

Многократная накачка при численном моделировании осуществлялась следующим образом. Через интервал времени Az величина N в точке t_n -nEt полагалась равной начальной у| =3 , величины Е,Р_Х брались с правого конца интервала (л -1) накачки. На рис. 2, 3 и на рис. 4 приведены соответственно зависимости усиления плотности энергии излучения I «    |2                । -    |2                                                   *                                                  ~

W = £(Z) /8-я — Eq №(/) /2, нелинейной поляризации Р_х и величины накачки среды N от времени t в случае двукратной накачки с помощью стационарного электрического поля.

Начальная плотность энергии поля равнялась W(t = 0) = 4,4-10”⁴ Дж/м³. Из рис. 4 видно, что в случае первых двух накачек величина N быстро возрастала в небольшом интервале времени, отсчитываемом от точки t_n, а потом медленно стремилась к асимптотическому значению - нулю.

t,c

Рис. 2. Зависимость плотности энергии излучения W от времени / при двукратной накачке

Рис. 3. Зависимость модуля нелинейной поляризации | P_t | от времени t

Физика

В одном акте усиления характерный масштаб времени по полувысоте имеет порядок -4-10 ⁷ с. В случае многократной накачки при больших значениях времени у величины N, поляризации и мощности излучения появляются осцилляции. Если в уравнении (17) пренебречь вторым слагаемым, то рост мощности излучения за один акт усиления будет определяться интегралом от величины N. Это подтверждается результатами численного моделирования.

На рис. 5 приведены зависимости усиления плотности энергии излучения с интервалами времен для одной накачки А/ = 5 • 10^-6 с, AZ = 2,5 • 10^-6 с и А/ = 1,5 • 10^-6 с. Максимальные значения энергии излучения достигались соответственно при 4600-кратной накачке, 5400-кратной накачке и 5600-кратной накачке. При А? = 5-10”⁶с плотность энергии излучения достигает максимальной величины J7_max =598 Дж/м³ за время Z_max =0,023с, при АГ = 2,5-10“⁶с достигает максимальной величины 1Р_тах =1200Дж/м³ за время t_max = 0,0135с и при А/ = 1,5-10”⁶с достигает максимальной величины 1Т_тах = 2028 Дж/м³ за время /_тах = 0,0084 с. Такая закономерность объясняется тем, что в приведенных на рис. 5 расчетных величинах интеграл от N практически остается постоянной величиной при различных значениях и интервалах времени накачки. Соответственно будут отличаться время и значение W в стационарном режиме.

t,C

Рис. 4. Зависимость величины накачки среды N от времени t при двукратной накачке

Рис. 5. Зависимость плотности энергии излучения W от времени t : Line 1 - А/=5 КГ⁶с; Line 2 -

Д/=2.5 -Ю^с ; Line 3 - Д/=1.5 10^-6с .

В правой части уравнения (17) коэффициент при | Ё|2, имеющий размерность обратного значения времени, будет равен

I ^Л^

2,3-107с-1.

т

е

Видно, что Т ~ 4,4-10^-8 с значительно меньше периода колебаний излучения (период электромагнитных колебаний равен 1л !о » 3,14-10”¹⁰ с^-1).

Заключение. Полученная система материальных уравнений описывает в пространственном резонаторе (аналоге плазменных образований) процесс усиления СВЧ-излучения. При со = = 2-10¹⁰ с"¹ и объемной концентрации наночастиц со = КГ³ для однократной накачки характерное время усиления для удлиненных наночастиц L ~ 207? составило Т ~ 10~⁸ = 10“⁷ с. В результате многократной накачки плотность энергии излучения можно довести до W ~ 2000 Дж/м³ за время Z_max⁼ 0,008 С(СМ. рИС. 5).

Известно, что в случае квазистационарного поля длительностью (1 = 3)-10'⁹ с величина поля разряда определяется значением £о ⁼ 1,5-10⁷ В/м [8-10], что составляет плотность энергии поля W ~ 1000 Дж/м³. Такую плотность энергии излучения в нашей задаче можно достигнуть за время Az₂ «0,01 = 0,1 с.

Рассмотренный в работе теоретический подход позволяет также рассмотреть процесс усиления бегущей волны - усиление СВЧ-излучения.

Работа выполнена при частичной поддержке грантом РФФИ, проект № 07-01-96011.