Форма ключевой функции в задаче о моделировании ветвлений периодических экстремалей с резонансом 1:1:1
Автор: Бухонова Екатерина Владимировна
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 3 т.7, 2014 года.
Бесплатный доступ
В статье изложена допускающая алгоритмизацию методика приближенного вычисления нормализованных ключевых функций в задаче о ветвлении периодических экстремалей гладкого функционала действия вблизи его точки минимума. Периодические экстремали такого функционала служат прототипами периодических колебаний динамических систем, сегнетоэлектрических фаз кристаллов, нелинейных периодических волн и т.д. Изучение бифуркации циклов динамических систем посредством ключевых уравнений и ключевых функций было недавно проведено в работах А.П. Карповой, Н.А. Копытина, Е.В. Деруновой и Ю.И. Сапронова в случаях двойных резонансов p 1 : p 2 : p 3, p 12 3. В настоящей статье рассмотрен мало изученный случай p 1 = p 2 = p 3 = 1. Предложенная в статье исследовательская схема опирается на вариационную версию метода Ляпунова - Шмидта, в соответствии с которой численное и качественное описание бифуркаций циклов сводится к анализу ветвления критических точек так называемой ключевой функции. В качестве демонстрационной модели рассмотрен функционал действия, соответстваующий обыкновенному дифференциальному уравнению шестого порядка. Приведены примеры раскладов ветвей критических точек и описан подход к классификации таких раскладов, основанный на разбиении бифурцирующих ветвей на подмножества с одинаковыми индексами Морса и на описании взаимных примыканий бифурцирующих критических точек.
Гладкий функционал, экстремаль, круговая симметрия, резонанс, моделирование ветвления, метод ляпунова - шмидта
Короткий адрес: https://sciup.org/147159275
IDR: 147159275 | УДК: 517.9 | DOI: 10.14529/mmp140302
The form of key function in the problem of branching of periodic extremals with resonance 1:1:1
This article contains a method for calculating approximately the standardized key functions in the problem of branching of periodic extremals of a continuously differentiable action functional near its minimum. The periodic extremals of such functionals are used as a prototype for periodic oscillations of dynamical systems, ferroelectric crystal phases, nonlinear periodic waves, as so on. Recently Karpova, Kopytin, Derunova, and Sapronov studied cycle bifurcations in dynamical systems using key equations and key functions in the cases of double resonances p 1 : p 2 : p 3 with p 12 3. This article deals with the poorly understood case p 1 = p 2 = p 3 = 1. As a demonstration model, we consider an order six ODE. We use the Lyapunov-Schmidt method.
Список литературы Форма ключевой функции в задаче о моделировании ветвлений периодических экстремалей с резонансом 1:1:1
- Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев//Современная математика. Фундаментальные направления. -2004. -Т. 12. -С. 3-140.
- Ключевые уравнения в динамических системах с 2-кратными резонансами/А.П. Карпова, Н.А. Копытин, Ю.И. Сапронов//Математические модели и операторные уравнения. -2009. -Т. 6. -С. 51-58.
- Дерунова, Е.В. Трехмодовые бифуркации экстремалей из точки минимума фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии/Е.В. Дерунова, Ю.И. Сапронов//Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. -2014. -№ 1. -С. 64-77.
- Даринский, Б.М. Ветвление фаз кристалла, определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка/Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов//Системы управления и информационные технологии. -2009. -№ 1 (35). -С. 72-76.
- Зачепа, А.В. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3-мерной сборки/А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов//Труды математического факультета ВГУ. -2005. -Вып. 9. -С. 57-71.
- Стрыгин, В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами/В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин//Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. -2006. -№ 2. -С. 36-45.
- Арнольд, В.И. Особенности дифференцируемых отображений/В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. -М.: МЦНМО, 2004. -672 с.
- Siersma, D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc./D. Siersma//Quart. J. Oxford Ser. -1981. -V. 32, № 125. -P. 119-127.
- Гнездилов, А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3-круговой симметрией/А.В. Гнездилов//Функциональный анализ. -2000. -Т. 34, вып. 1. -С. 83-86.
- Введение в топологию/Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. -М.: Наука, 1995. -416 с.
