Формирование функционала оптимизации параметров многофакторного режима упрочнения металлопокрытий

В основе методов упрочнения рабочих поверхностей силовых машин лежат сложные физико-химические процессы (ФХП), в связи с чем по прежнему актуальны вопросы, связанные с формализацией/разработкой их математических моделей. В данном контексте востребованы регрессионные модели - линейные [1, 2] / нелинейные [2, 3], в том числе матричные [2, 4], где важный класс образуют регрессионно-тензорные системы [5,6]. Эти системы, с одной стороны, весьма близки по своим свойствам к полиноминальным [2], допуская достаточно детальное аналитическое описание на базе тензорного исчисления [7], сильной дифференцируемости векторных отображений [8, с. 480] и теории экстремальных задач [8, с. 499], а с другой, приобретают важную роль в нелинейном моделировании многофакторных трибологических свойств синтезируемых металлопокрытий, в частности, при прогностическом описании поверхностных нано-размерных структур [9, 10].

Ниже развиваются задачи, поставленные в выводах работы [6], при этом целью является

не столько формальная точность умозаключений, а ясность концепций в разработке проблем трибологии [11]. В этом контексте решается вопрос формирования функционала физикомеханических свойств металлопокрытий для режима упрочнения. Определяются строгие аналитические интерпретации многосвязных условий, определяющих оптимальный режим ФХП, налагаемых нелинейными ограничениями [12, 13] и обеспечивающих адекватность модели ФХП данным трибологических испытаний -многокритериальная идентификация по методу наименьших квадратов (МНК) координат ковариантных тензоров уравнения ФХП как многомерной нелинейной регрессии с минимальной тензорной нормой.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФХП

Пусть R – поле вещественных чисел, Rn – n-мерное векторное пространство над R с евклидовой нормой ||.||Rn, col(y1,…,yn) ∈Rn - вектор-столбец с элементами y1,…,yn∈R и пусть Mn,m(R) - пространство всех n х m-матриц с элементами из R. Далее, через Tmk обозначим пространство всех ковариантных тензоров k-ой валентности (вещественных полилинейных форм fkm: Rm х _ х Rm ^ R) с тензорной нормой Ц/*, m || := (У t2.. j) , где ti…j – коэффициенты (координаты [7, с. 61]) тензора f k,m, значения которых заданы относительно стандартного (естественного [14, c. 15]) ортонор-мированного базиса в евклидовом Rm.

Пусть ve Rm - вектор варьируемых физикохимических предикторов [2, с. 38] регрессии ФХП с фиксированным началом в e R Rm (опорный режим упрочнения), w(ю + v) e Rn - вектор качественных показателей ФХП. В данной постановке выделим к рассмотрению многомерную нелинейную систему типа «вход-выход», описываемую векторно-тензорным к-валентным уравнением многофакторной регрессии w (ю + V ) = col | I f; jm (V,..., V ),..., I j (V,..., V Н + Е(®, V ), (1)

V j = 0, -, k                       j = 0, -, к                )

где f j,m ^e T m , вектор-функция e(w, ^x ): R m ^ R n класса

Ik⁽ ®, ^v HI _R * = o ^{( ( v} i^{2 +} ... ^{+ V} m ) k ^/2 )       ⁽¹ ')

v = col( v 1 ,., v m ), f i ⁰ m (1 <  i <  n ) - инварианты, т.е. тензоры нулевой валентности [7, c. 62] (трибологические показатели качества [11, c. 5] ФХП в опорном режиме юe R m ).

З а м е ч а н и е 1. Описание ФХП регрессионной системой (1) адекватно с учетом утверждения 2 [5] о непрерывной зависимости [8, с. 495] решения дифференциального уравнения ФХП [15] от начально-краевых условий и параметров.

Задача апостериорного регрессионно-тензорного моделирования оптимального ФХП поставлена и подробно исследована в [5, 6] для двухвалентной модели (1), при этом в [5] получены аналитические решения трех позиций данной задачи:

• 1)    для фиксированного индекса к , заданного предиктора we R m и V с R m - открытой окрест-

• ности вектора w определены аналитические условия, при которых вектор-функция w(•): V

^ R n показателей качества ФХП удовлетворяет

системе (1);

• 2)    построен алгоритм идентификации координат симметричных [16, с. 271] тензоров f jm , 1 <  i <  n , 0 <  j <  к = 2 в математической модели ФХП (1) на базе двухкритериальной МНК-задачи (2) (параметрическая МНК-идентификация много-

• мерной регрессионно-тензорной системы (1) с минимальной тензорной нормой):

r min I i=1,..., q

V

2 У^/2

( 1 ) ’".

)

i

• 3)    для двухвалентной модели (1) при заданном векторе -предикторе we R m и е(ю, v ) = 0 получено аналитическое решение « v -оптимизации» квадратичной функции (см. определение 1 [16, c. 215]) варьируемых относительно w фактор-предикторов ФХП:

max ^ F ( v ) : V e R^m },

F ( v ):= r_;w_; (® + v ) +... + r_nw_n (® + v ), ⁽³⁾ где вектор-функция v ^ col( w 1 (ю + v ),., w_n (ю+ v )) = w (ю + v ) e Rⁿ имеет координатное представление согласно идентифицированной модели (1)-(2), r i > 0 - весовые коэффициенты, отражающие «относительный приоритет» между трибологическими характеристиками w_i , 1 <  i <  n физико-механических свойств ФХП.

Постановка задачи (по материалам выводов работы [6]): определить необходимые условия в решении задачи (3) при к = 3 (поиск стационарных точек в (3) для трехвалентной модели (1)), дополнив поиском достаточных условий « v -оптимизации», т.е. обеспечение «эллиптического характера» критиче ских точек функционала F через зависимость спектральных характеристик его гессиана [14, c. 465] от вариаций вектора r := col( r 1 , ..., r_n ) относительно некоторого «начального» положения r ₀ e Rⁿ .

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФХП

Рассмотрим случай уравнений многомерной регрессии с тензорной структурой валентности к = 3; решение задачи (2) при к = 3 - несложная модификация доказательства утверждения 3 [5]. В такой постановке систему уравнений (1) можно подать в векторно-матрично-тензорной форме w (ю+ v ) = c + Av + col( v ' B 1 v + f³ m ( v ,..., v ), ..., v ' B n v +

+ f n^{3 ,m} ( v ,., v )) + е(ю, v ),           " (4)

c ^e Rⁿ , A ^e M nm ( R ), B i ^e M mm ( R ), i =1,., n (при этом считаем, что каждая B_i - верхняя треугольная матрица), здесь и далее верхний индекс-штрих «'» - операция транспонирования вектора или матрицы, вектор-функция е(ю, ^х ): R m ^ Rⁿ удовлетворяет (согласно утверждения 2 [5]) оценке

Ik⁽ w , ^v Hl r = o ^{( ( v} i^{2 +} ... ^{+ v} m ^{) 3/2} ^1

При к = 3 целевой функционал F : R m ^ R дважды непрерывно дифференцируемый (что гарантирует равенство смешанных производных д ² F ( v 1 ,., v m )/ dv g dv p , V g , P = 1,., m ), поэтому в решении задачи (3) основным результатом в согласно теоремы 3 [8, с. 505] (см. уточнения в [16, c. 160] и теореме 7.2.5. [14, с. 479]) для трехвалентной модели (4) можно считать следующее предложение.

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть B * := ( B i + B i ') e M m m ( R ), 1 <  i <  n , где каждая B i - матрица системы (4) и, сверх того, рассмотрим вектор-функцию

Ф( v ):= ( r 1 в; + ... + r_n B * )^-1( A ' + +[ v v f 3,m ( v ,., v ),., V v f n ^{3 ,m} ( v ,., v )]) r .

Тогда стационарные точки v * e R m задачи (3) суть решения уравнения

v * + Ф( v * ) = 0,                 (5)

при этом достаточным условием, что точка v* пространства фактор- предикторов обеспечивает «максимальное качество ФХП» вида max^F(v): v e Rm },

F (v ) := r' w (c9 + v ) является требование: v* как критическая точка функционала F(v) должна иметь специальный эллиптический тип, – это в точности тоже самое, что сказать det [ bj] ] p < 0, p=1,., m,            (6)

где [ b j ] ] p ^e M_pp ( R ), p =1,., m - главные подматрицы гессиана G ( r ) в точке v * ^e R m

G ( r ) = ( r i ( B * +

+2 ^ 1 < gp <  m [ д ² f 3m ( v ,., v )/ дV g дV p / v * ]) +.+

+ Гп(В** + 2[д2fn3,m(v,.,v)/дVgдVp/ v* ]) e e Mm,m(R), или эквивалентно - характеристические числа X p матрицы G(r) удовлетворяют

X p < 0, p =1,., m .              (7)

С л е д с т в и е 1. При k = 2 гессиан G ( r ) функционала F ( v ) инвариантен к положению критической точки и равен

G (r ) = rB* +... + r*B*, при этом, если rank G(r) = m, то решение уравнения (5) единственно и имеет вид v * = - G -1( r) A' r.

Ясно, что (5) - пересечение m квадрик [16, с. 219], поэтому если (6), равносильно (7), не выполняются, то критическая/кие точка/и (5) является гиперболической (седловой). Таким образом, наличие седловой точки гарантирует смена хотя бы в одном (не во всех) неравенстве «<» из (6) или (7) на «>» (см., например, (16) [6]); смена неравенства «<» на рефлексивное « < » вызывает в v * структуру стационарной параболической точки функционала ( v ), при этом rank G ( r ) <  m , следовательно, необходим дополнительный анализ (5). В таком положении для обеспечения эллиптического характера (6) требуется параметрическая коррекция функционала (3).

Ясно, что одним из факторов, влияющих на геометрию F ( • ) в критической точке v * , является координатная настройка вектора r , что определяет для (3) постановку «адаптивной коррекции» r ^ r ' w (ю + v ), анализ которой проведем ниже.

АДАПТАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА ФХП НА АФФИННОМ СЕМЕЙСТВЕ

ЕГО ГЕССИАНОВ

В этом разделе рассмотрим задачу: на базе регрессионно-тензорной модели (4) построить численную процедуру выбора вектора весовых коэффициентов r e Rⁿ , обеспечивающего эллиптический характер фиксированной стационарной точки v * (некоторое решение уравнения (5)) целевого функционала F ( v ) = r ' w (ю + v ), исходя из выполнения алгебраических (спектральных) условий (7).

З а м е ч а н и е 2. Не смотря на алгебраическую эквивалентность (6) ~ (7), попытка использовать в построении адаптивной коррекции r ^ r ' w (ю + v ) разложение определителей (6) почти неизбежно обречена на неудачу вследствие большого количества членов, присутствующих в таком разложении.

Необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (3) удается получить лишь в исключительных случаях; общая задача в подобных постановках, как правило, оказывается NP -сложной. Ниже для функционала F ( • ) обсудим подход к этой проблеме, основанный на идеях теории локализации и возмущений собственных значений матрицы [14, с. 408]. Другим плодотворным инструментом представляется трансформация условий (7) к так называемой проблеме квадратичной устойчивости, обычно сводящейся к построению функции Ляпунова в аффинном семействе матриц [19, с. 199] в предположении, что само это семейство функционально (благодаря второй формуле из (3)) зависит от координат вектора r e Rⁿ .

Пусть задан начальный вектор r ₀ e R n весовых коэффициентов из (3). Например, целенаправленный выбор вектора r ₀ может осуществляться, исходя из равенства его координат r _{0 j} , 1 <  j <  n значениям некоторых (заданных) функций Y _j : R ^ R от функционалов J ( v ) := w . (w + v ), j =1,., n в «вспомогательных задачах» прогнозирования качества ФХП по отдельным показателям w_j , 1 <  j <  n ; согласно следствия 2 [5] при двухвалентной модели регрессии (1) это положение характеризует:

У т в е р ж д е н и е 2. Если k = 2, то вектор начальных весовых коэффициентов r0 =col(r01, ., r0n) с координатами r0j = Vj(Zj), Zj = max{Jj(v): v e Rm}, 1 < j < n, имеет аналитическое представление r0 = col(V1( c 1-e 1' A В**- A' e 1/2),., V n (Cn -

• - e n ' A B_n A ' e n /2)).

З а м е ч а н и е 3. Фраза «Если k = 2» не является ключевой, поскольку данная конструкция вектора r0 может быть также использована и при трехвалентной (относительно предикторов) форме регрессионно-тензорной модели (4); ясно, что при этом r0 можно «корректировать» из условия нормировки ||r0|R =1.

Далее, обозначим через v ⁰ е R m некоторую критическую точку функционала F ( • ) (фиксированное решение уравнения (5)) в положении, когда r = r ₀, через G ₀ ^е M m m ( R ) - гессиан функционала F ( • ) вычисленный в точке v ⁰, и пусть

G, : = B * + 2

i i      1-g\P g, p < m d2 f3 m (v,..., v)

d V g d V p

,1 <  i <  n.

Тогда при варьировании вектора r согласно представления ri = r0 i+ A ri > 0,1 < i < n параметрическое семейство гессианов G(r) из утверждения 1, определяется аффинным матричным многообразием вида

A

G ( Г ) = G 0 + Е ^д rG е M m , m ( R ) ; (8)

V          ‘ =1,..., n         7

гессианы (8) при любых r ₀ + A r е R n суть симметричные матрицы [14, с. 200].

В случае произвольной матрицы единственное описание её собственных значений состоит в том, что это решения её характеристического уравнения. Для гессиана G ( r ) собственные значения можно, посредством теоремы Куранта -Фишера [14, с. 215], также охарактеризовать как ряда задач оптимизации. В круге приложений теоремы Куранта - Фишера рассуждения теоремы Вейля [14, с. 218], о связях между собственными значениями гессиана G ₀ и любого гессиана из многообразия

• ^G 0^{+ S}1 <  i <  n ^A r i G i ,

позволяют отчасти прояснить «вариационный» смысл проводимых ниже робастно-адаптивных построений в коррекции r ^ r ' w (ю + v ). С учетом введенных выше конструкций потенциал робастно-адаптив-ной настройки функционала F ( v ) = r ' w (ю + v ), обеспечивающего (при варьировании r е R n ) в критической точке неравенства (7), содержит утверждение 3; модификация теоремы 6.3.12 [14, с. 444] на базе теоремы 4.1.3 [14, с. 204], учитывающей симметрическую структуру гессианов (8).

У т в е р ж д е н и е 3. Пусть {(l _p ( r ₀), x_p ): p =1, ..., m } c R ' R m - собственные пары гессиана G ₀ и g_pi = x p ф Gx p / x p ф x p . Тогда характеристические числа {l _p ( r ): p =1, ..., m } c R , гессиана G ( r ), где r = r ₀ + D r , имеют вид

M r ) = X , ( r ₀) + ^ g ! i D r + о (| ^A r| R n ),

= 1,..., n

............................................ (9)

^m(r) = ^m(r0) + ^ gmi Dri + о(||Ar|| R» )• i=1,..., n

Система (9) представляет возможность оценить, насколько чувствительны собственные числа гессианов (8) к изменению весовых коэффициентов A r i , 1 <  i <  n ; разумеется, этот анализ приближенный (справедлив при небольших

II ^{A r} R n ; см. также формулы теории возмущений [16, с. 152]), что с учетом следствия 1 отражает:

С л е д с т в и е 2. Если k =2, n = m , Л( r ₀):= col(X₁( r ₀),.,X _m ( r ₀)) - вектор собственных значений матрицы-гессиана ( r 01 B * + ... + r ₀ m B m ) и { x p } p = 1 , m - соответствующие им собственные векторы, Л * := col(2*,., vC_m ) - вектор эталонных по критерию (7) характеристических чисел гессиана G ( r ), B := [ b_pi ] - m х m - матрица с элементами b_pi = x p ' B . x p / x p ' x_p , то при r = r ₀ + A r и r ₀ i + A r i > 0,1 <  i <  m , где A r = B "¹(Л * -Л( r ₀)), можно ожидать, что собственные значения у G ( r ) равны эталонным { Лр : p =1, _, m }.

З а м е ч а н и е 4. Поскольку при n = m система уравнений (9) справедлива для малых значений ||A r || R m , то остается открытым вопрос: будет ли сходиться итерационный вычислительный процесс r j = ( r - -1 + a r j -1 ) е R^m , j =1,2,...

построенный в силу следствий 1,2 из расчета A r j -1 = B "¹(Л * -Л( r j -1 )), если начальное расхождение ||Л * -Л( r ₀)|| _R m значительно?; ясно, что согласно структуры функционала (3) на каждом итерационном шаге « j » для координат вектора r j е R^m необходима проверка условий r ij >0,1 <  i <  m .

В контексте замечания 4 приведем результат вычисления верхней оценки для относительного возмущения ||A r || R m . Пусть || . || М - матричная норма в M_mm ( R ), согласованная [20, с. 181] с || . || R m , причем 11 E || М =1, где E е M m m ( R ) - единичная матрица; например [20, с. 179], фробениусова матричная норма

Итак, возвращаясь к следствию 2, имеем (согласно прототипа - системе (9)):

B A r = Л * -Л( r ₀)

с det B * 0. Предположим, что вектор Л * -Л( r ₀) переходит в Л * -Л( r ₀) + 5 (в частности, за счет слагаемого о (||A r|| _Rm ) из системы (9)), а матрица B переходит в B + D . В такой постановке вектор адаптивной настройки A r получит (в силу модификации следствия 2) приращение 0, переходя к значению A r + 0, которое удовлетворяет линейному алгебраическому уравнению:

( B + D )(A r + 0) = Л * - Л( r ₀) + 5;

ясно, что 5 е R^m , A е M_{m m} ( R ) моделируют возмущения «желаемого изменения» вектора собственных чисел Л * -Л( r ₀), а также неточность параметрической оценки матрицы B (заметим, если || D || M || B ^-1|| M < 1, то || D || M <|| B || M [20, с. 197]). Результат вычисления верхней оценки относительного возмущения ||0|| R m /||A r || R m формулирует следствие 3 (технические детали см. в [20, с. 197]).

С л е д с т в и е 3. Пусть, в дополнение к предпо- ложениям следствия 2, s(B):= =||B||M ||B-1||M – условное число [20, c. 197] матрицы B, где ||.||M – матричная норма ||.||F или ||.||S . Тогда справедлива оценка

||θ|| R m /||Δ r || _Rm ≤ s ( B )(1 - s ( B )|| D || _M /|| B || _M ) (||δ|| R m /||Λ^*- Λ( r ₀)|| R m + || D || _M /|| B || _M ).

Если || ^. || _M = || ^. || _S и λ₁, λ _m – наименьшее и наибольшее собственные значения B ' B, то в последнем неравенстве можно считать s ( B ) = (λ _m /λ₁)^1/2.

З а м е ч а н и е 5. Конструкция спектрального условного числа s ( B ) = (l _m /l₁)^1/2 (условное число, полученное с использованием спектральной нормы || ^. || _S ) прозрачна в силу s ( B ) = || B || _S || B ^-1|| _S .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью статьи было указать на естественную связь, существующую между проблемой определения области значений матричной функции-гессиана в критической точке целевого функционала физико-механического качества (3) процесса упрочнения металлопокрытия, выраженного уравнением (1), и вектором r весовых коэффициентов в (3), отражающих «приоритет» между w_i , 1 ≤ i ≤ n - моделируемыми трибологическими свойствами ФХП. В данном контексте утверждение 1 и следствие 1 показывают, что в отличие от трехвалентной ( k = 3) в двухвалентной ( k = 2) модели нелинейной регрессии ФХП гессиан G ( r ) инвариантен к положению критической точки. При этом оба варианта (2 = k = 3) позволяют выявить зависимость r → G ( r ) на базе модели ФХП (1), идентифицированной по критерию (2).

Собственные значения матрицы – это в точности корни её характеристического полинома, поэтому результат утверждения 3 по существу основан на том, что собственные значения (7) непрерывно r -зависят от элементов матрицы-гессиана G ( r ) в процессе текущей параметрической коррекции целевого функционала F из (3). Однако следует заметить, что некоторая информация утрачивается, когда имеем дело лишь с характеристическим многочленом, ибо существует много различных матриц с заданным характеристическим полиномом. Поэтому не удивительно, что более сильные результаты по моделированию спектра гессиана G ( r ), в частности, утверждение 3 и следствие 2 учитывают строение матрицы G ( r ); последние допускают техническое упрощение, исходя из положения, что любая матрица-гессиан ортогонально подобна вещественной диагональной матрице [19, c. 73].

Численные методы отыскания собственных значений и собственных векторов представляют собой один из наиболее важных разделов общей теории матриц. В статье не затрагивалось каких-либо сторон этой темы при анализе вектора Λ^*-Λ( r ₀) и матрицы B из следствия 2, но следствие 3 дает верхнюю оценку для относительного возмущения Δ r через относительные возмущения

Λ^*-Λ( r ₀) и B и условное число s ( B ); s ( B ) участвует в оценке во всех случаях, будут ли возмущения происходить только в Λ^*-Λ( r ₀), только в B или в Λ^*-Λ( r ₀) и B одновременно.

В завершение обозначим другой подход в адаптивной коррекции r → r ' w (ω + v ), связанный с использованием достаточных условий робастной устойчивости матрицы G ( r ) (что тоже равносильно условиям (6), (7)). В данном контексте можно потребовать, чтобы в семействе G ₀ + Σ_{1 ≤ i ≤ n} D r_i G_i при интервальных допусках на изменение координат вектора Δ r можно было построить функцию Ляпунова V ( x ) = x_p ' Px_p , где P ∈ M_m,m ( R ) – симметричная положительно-определенная матрица; т.е. существовала матрица P > 0, для которой матричное уравнение Ляпунова G ( r ) P + PG ( r ) = Q имело решение при заданной симметричной положительно-определенной матрице Q ∈ M_m,m ( R ); переход к адаптивно-робастной квадратичной устойчивости и методы её решения предложены в [21-24]. Эта теория, благодаря обилию имеющихся в ней вычислительных задач, а также вследствие блестящих возможностей, которые она открывает для приложений многомерного регрессионнотензорного анализа, может приобрести теперь большое самостоятельное прикладное значение в задачах синтеза оптимальных металлопокрытий. Сделать это в краткой статье, разумеется, не представляется возможным, и мы с легким сердцем отказываемся от этого, будучи уверены, что детальные исследования этого вопроса не замедлит последовать.