Формирование профессиональных компетенций менеджеров в концепции профильного подхода к обучению математике

требования к результатам освоения основных образовательных программ, представленные в форме компетенций, при этом в целом образовательный процесс должен быть направлен на формирование профессиональной компетентности будущих специалистов.

Под профессиональной компетентностью понимается комплексный ресурс личности, который обеспечивает возможность эффективного взаимодействия с окружающим миром в той или иной профессиональной сфере и который зависит от необходимого для этого набора профессиональных компетенций. Требования к профессиональной компетентности представлены в виде так называемого профессионального профиля будущего специалиста, представляющего собой комплекс профессиональных компетенций, которые необходимо сформировать у студента по мере освоения программ высшего профессионального образования и призваны обеспечивать развитие личности в целом с упором

ЕВГЕНИЯ ГРИГОРЬЕВНА ПЛОТНИКОВА доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики Национального исследователь-

ского университета «Высшая школа экономики» (г. Пермь). Сфера научных интересов: педагогика и методика обучения математике. Автор более 120 публикаций на интеллектуальное, личностное, эмоциональное и общественное развитие посредством овладения всеми областями знания [1].

Математика для бакалавров направления подготовки 080200 «Менеджмент» является базовой дисциплиной естественнонаучного цикла. В результате ее изучения студенты должны: знать основные понятия и основные математические модели принятия решений; уметь решать типовые математические задачи, используемые при принятии управленческих решений; использовать математический язык и математическую символику при построении организационно-управленческих моделей. В итоге выпускник должен обладать следующими компетенциями: владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15); уметь применять количественные и качественные методы анализа при принятии управленческих решений и строить экономические, финансовые и организационно-управленческие модели (ПК-31); уметь выбирать математические модели организационных систем, анализировать их адекватность, проводить адаптацию моделей к конкретным задачам управления (ПК-32) [2].

Итак, смещение акцентов образовательной парадигмы в сторону формирования профессиональной компетентности приводит к необходимости реализации профильного подхода к обучению, в рамках которого математическое образование рассматривается с двух сторон. Во-первых, оно должно быть ориентировано на получаемую специальность, учитывать потребности как общенаучных, так и профильных дисциплин. Во-вторых, математическое образование призвано обеспечивать формирование таких важнейших свойств личности, как социальная и психологическая направленность на профессиональную деятельность. Концепция профильного подхода позволяет определиться с методами и средствами обучения математике [3].

Однако в связи с переходом на двухступенчатую систему образования количество аудиторных часов, отводимое на изучение математических дисциплин, существенно сократилось, основной упор делается на самостоятельную работу студентов. Так, учебной программой Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (г. Пермь) на изучение дисциплины «Математика» для направления 080200.62 «Менеджмент» подготовки бакалавра предусмотрено всего 48 часов лекционных занятий, 50 часов практических занятий, три рейтинговых контрольных работы и домашнее задание, а на самостоятельную работу отводится 116 часов. Поэтому остро стоит вопрос о рациональном распределении этих часов. Не менее острыми являются проблемы отбора содержания учебного материала, степени строгости и пол- ноты его изложения, реализации профильного подхода к обучению.

Рассмотрим содержание предлагаемого нами профильного подхода к обучению менеджеров математике.

В соответствии с принципом первичности метода познания или производности метода преподавания конкретной науки, метод изучения любой науки определяется методом самой науки. Так как вся теоретическая математика строится с помощью метода дедуктивного вывода, то он же и определяет основные методы изучения математики: обучение строгому доказательству, логическому выводу, вниманию к точности и корректности формулировок. В центре внимания при обучении элементам прикладной математики должны быть ее методы, основанные на математическом моделировании, алгоритмизации. Следовательно, стратегия математического образования заключается в изучении приемов дедуктивного логического вывода (для освоения математической теории) и математического моделирования (для приложения полученных знаний к решению прикладных, профессионально ориентированных задач) [4]. Поскольку назначение математики для будущих менеджеров заключается в решении различных проблем, возникающих в их профессиональной деятельности, т.е. в решении прикладных задач, то основное внимание уделяется методу математического моделирования.

Будем исходить из того, что использование моделирования в обучении, во-первых, является тем содержанием, которое студенты должны усвоить в результате обучения математике, а значит, и тем методом познания, которым они должны овладеть. Во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Традиционно в процессе математического модели-

рования выделяют четыре основных этапа: формализацию, т.е. построение модели; исследование модели; проверку адекватности полученного результата; анализ и уточнения модели [5].

По нашему мнению, использование метода математического моделирования для исследования прикладной задачи осуществляется по более развернутой схеме. На первом этапе осуществляются изучение реального процесса, описанного в условии задачи, определение его характеристик, параметров. Затем выполняются формализация условия задачи, предусматривающая переложение его на язык математики, построение модели. Выбирается метод исследования сформулированной математической задачи. Осуществляется исследование модели математическими методами, т.е. решение задачи внутри модели (в это исследование могут входить приближенные вычисления). Полученный результат интерпретируется в терминах исходной предметной области – полученное математическое решение переводится на язык, на котором была сформулирована зада- ча. Анализируется полученный результат, осуществляется проверка адекватности исходного реального процесса и построенной математической модели.

Все пункты схемы тесно связаны между собой, поэтому их расчленение до некоторой степени является искусственным. Так, математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи. С другой стороны, в процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнение или даже существенное изменение математической модели.

Основой математического моделирования являются модели. При построении математической модели формулируются законы, связывающие основные объекты модели, что требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели. На этапе по- строения математической модели возникают определенные проблемы: и студенты, и преподаватель должны хорошо ориентироваться в учебном материале той предметной области, к которой относится решаемая задача. Таким образом, студентам приходится актуализировать знание других дисциплин, при этом они убеждаются в необходимости прочных знаний по всем предметам. Преподаватель же специально готовится к решению прикладной задачи, подбирает необходимый справочный материал, уточняет используемые законы и соотношения.

Кроме того, при решении прикладных задач перед преподавателем зачастую встает проблема пропедевтики специальных знаний. С этой точки зрения у профессиональной направленности преподавания есть свои плюсы и минусы. Отрицательным является ре-цептурность решения прикладной задачи из специальной области без достаточного теоретического обоснования используемых законов и соотношений. Необходимое ознакомление студентов с элементами специальных дисциплин при этом носит отрывочный, бессистемный характер. Положительным моментом является то, что студенты на занятиях по математике предварительно знакомятся с дисциплинами, которые в дальнейшем будут изучаться более углубленно, осваивают принципы применения математических методов на практике. При этом важно отметить, что использование задач из других предметных областей ни в коем случае не подменяет специальные предметы.

Получив математическую модель, следует отвлечься от конкретного содержания задачи и обратиться к анализу ее математической структуры. При этом нас интересует система умозаключений, на основе которой могут быть установлены соотношения между величинами. Здесь используются логические операции, про- изводимые по известным правилам, установленным в математике. Иногда математическая задача не может быть решена, так как математическая модель чересчур сложна. Тогда математическую модель необходимо упростить, введя новые допущения о характере исследуемых величин с тем расчетом, чтобы задача могла быть решена математическими методами, используемыми на данном этапе обучения.

После того как задача решена, т.е. после выполнения математических рассуждений и выкладок получен искомый результат, математическая часть исследования закончена, математическая модель сыграла свою роль. Но решение математических уравнений не является конечной целью исследования прикладной задачи; необходимо дать интерпретацию полученного результата и оценить смысл тех допущений, которые были введены при построении математической модели. Важен также последний пункт схемы – проверка адекватности математической модели реальному изучаемому объекту. Так как в любой науке теоретические законы относятся не к реальному миру, не к реальным вещам и предметам, а к идеальному объекту, они получены путем мыслительных действий над идеальным объектом. Поэтому для применения теоретических законов к реальной действительности их нужно конкретизировать. Результаты исследования любой математической модели надо сопоставлять с исходным явлением, процессом, а именно сравнить результаты счета с данными практики. При этом надо иметь в виду, что адекватность модели изучаемому объекту означает правильное качественное и количественное описание объекта по выбранным характеристикам.

Важнейшим специфическим средством обучения математике являются задачи, а в рамках профильного подхода к обуче- нию, основанного на использовании метода математического моделирования, – это прикладные, профессионально ориентированные задачи, фабула которых раскрывает приложение математики в других учебных дисциплинах вуза, адаптированные задачи разных областей человеческой деятельности, решаемые математическими методами.

Мы считаем, что прикладные, профессионально ориентированные задачи, привлекаемые в практику преподавания математики в экономическом вузе, должны удовлетворять следующим требованиям: демонстрировать приложение математического аппарата к решениям практических проблем реальной жизни; способствовать отработке базовых математических знаний, умений и навыков; содействовать выработке профессионально значимых знаний, умений и навыков исходя из требований общенаучных, общепрофессиональных и специальных дисциплин; нести смысловую нагрузку; обладать познавательной ценностью; выполнять функции воспитания и развития; быть доступными студентам по используемому в задаче нематематическому материалу; описывать реальную ситуацию; содержать не отвлеченные, а соответствующие действительности числовые значения величин; иметь практически приемлемое решение; отражать наиболее существенные законы и факты из других предметных областей; иметь не громоздкое решение, чтобы не занимать много времени на занятии.

Нами сформулирован следующий критерий полезности прикладных, профессионально ориентированных задач: они должны демонстрировать приложение математики к другим наукам, вырабатывать у студентов навыки и умения использования математического аппарата в практической жизни, способствовать созданию положительного эмоционального фона в процессе обучения, повышать интерес к изучению математики, формировать положительное отношение к выбранной профессии.

Опыт обучения математике с использованием профильного подхода показывает, что для повышения эффективности обучения необходимо иметь систему прикладных задач. Методическая система прикладных, профессионально ориентированных задач должна быть составлена следующим образом: используемые в практике преподавания математики задачи разбиты по разделам курса; задачи разбиты по предметным группам (задачи микроэкономики, финансовой математики и др.), что позволяет преподавателю готовить необходимый справочный материал и методические указания. Кроме того, мы выделяем в отдельные подгруппы задачи: на приложение изучаемого понятия; на приложение метода или теоремы; на приложение темы или раздела. Особую группу представляют прикладные, профессионально ориентированные задачи, включаемые в индивидуальные домашние задания.

Задачи подразделяются нами на три уровня сложности по степени участия студента в построении математической модели. В задачах первого уровня математическая модель известна, требуется выполнить решение, проанализировать полученный результат и истолковать его в терминах исследуемого явления. В задачах второго уровня математическая модель может быть получена преобразованием другой модели (данной или известной студентам). В задачах третьего уровня студентам необходимо самостоятельно построить математическую модель, пройти практически все этапы математического моделирования.

Описанные выше теоретические положения проиллюстрируем на примерах конкретных при- кладных, профессионально ориентированных задач, используемых в практике обучения менеджеров.

Задача 1. Функции спроса и предложения определяются уравнениями: p _d = 2 q + 1, p _s = 2 q + 9, где p – цена за единицу продукции, q – количество продукции. Определить точку равновесия.

В этой задаче математические модели спроса и предложения построены и представляют собой линейные функции. Несмотря на простоту, задача позволяет, с одной стороны, представить свойства линейной функции, а с другой стороны, обсудить важные экономические характеристики (спрос, предложение на товар, точка безубыточности). Данная задача решается практически в одно действие и может быть использована в тестовом контроле знаний.

Задача 2. Швейное предприятие за декаду производит 10 зимних пальто (ЗП), 15 демисезонных пальто (ДП) и 23 плаща (П), при этом используются ткани четырех типов. Нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие, цена метра ткани каждого типа, стоимость перевозки метра ткани приведены в таблице.

Таблица

Тип ткани	Расход на изделие			Цена	Стоимость перевозки
	ЗП	ДП	П
1	5	3	0	40	5
2	1	2	0	35	3
3	0	0	4	24	2
4	3	2	3	16	2

Требуется: определить сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана; найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделий; определить стоимость ткани, необходимой для выполнения плана; подсчитать стоимость ткани с учетом ее транспортировки.

В данной задаче прежде всего необходимо формализовать условие. С этой целью удобно ввести матрицы исходных данных, поэ- тому становиться очевидным, что для решение задачи можно получить методами алгебры матриц. Будут использоваться известные действия над матрицами: транспонирование, суммирование, умножение. Однако составить матричные соотношения студентам предстоит самостоятельно.

Задача несложная, но выполняется в несколько действий, поэтому может быть предложена для решения на практическом занятии или для домашней работы.

Задача 3. Производится два вида товара в количестве и со-ответвенно. Цена первого вида товара составляет 8 денежных единиц, второго – 10. Известно, что функция затрат имеет вид ТС = х ² + ху + у ². Определить оптимальный план производства, который позволит предприятию получить максимальную прибыль.

В этой задаче прежде всего следует построить математическую модель прибыли. Студентам понятно, что прибыль – это разность между доходами и расхо-

Н.П. Богданов-Бельский. Устный счет

дами, при этом доходы будут получены от реализации товара. После построения функции прибыли можно абстрагироваться от прикладного смысла и перейти к решению стандартной математической задачи поиска безусловного экстремума функции двух переменных. Полученный результат легко интерпретируется: координаты точки максимума – это количество товара, которое необходимо будет произвести, а соответствующее значение функции – максимальная прибыль предприятия.

Подобные задачи систематически используются нами на лекционных и практических занятиях, включаются в контрольные работы и домашние задания, итоговую экзаменационную работу. Объемные прикладные задачи (например, модель межотраслевого баланса Леонтьева) составляют основу рейтинговых индивидуальных домашних заданий.

Рассмотренные методы и средства обучения математике, во-первых, позволяют реализовать воспитание через обучение, развить математическое мышление, являющееся основой профессионального мышления, способствуют формированию профессиональной направленности личности будущих специалистов, их научного мировоззрения.

Во-вторых, математическое моделирование позволяет реализовать принцип наглядности в обучении. Все модели для их создателей, для тех, кто их построил, разработал, обладают свойством наглядности. Они наглядны для тех, кто понимает их, осознавая, что они являются моделью определенного объекта. Наглядность моделей основана на следующей важнейшей закономерности: создание материальных и идеальных моделей производится на основе предварительного создания мысленных моделей – наглядных образов моделируемых объектов. Когда мы воспринимаем модель, созданную нами или понятую, усвоенную, то у нас возникает наглядный образ существенных свойств моделируемого объекта, отраженных в модели. Модель не просто дает нам возможность создать наглядный образ моделируемых объектов, а отображает наглядный образ его наиболее существенных свойств, отраженных в модели. Таким образом, создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта.

В-третьих, использование в обучении математике прикладных, профессионально ориентированных задач и обучение их решению методом математического моделирования повышают мотивацию обучения математике, вызывают устойчивый интерес как к математике, так и профессионально значимым дисциплинам, которые будут изучаться в дальнейшем и материал которых используется на занятиях по математике. Это способствует прочному усвоению и запоминанию учебного материала, а значит, сказывается на проч- ности знаний, получаемых при обучении математике.

И наконец, в-четвертых, решение прикладных, профессионально ориентированных задач, когда возникает проблема, обдумывание которой вызывает сомнения в истинности привычных представлений и обобщений, возбуждает поиски новых решений, творческую работу мысли, имеет значение для реализации принципа сознательного, активного и самостоятельного усвоения знаний. Лучшей формой реализации принципа является самостоятельная работа студентов над индивидуальным заданием с профессиональным содержанием, в ходе которой они имеют возможность использовать приобретенные знания, навыки и умения, проявить творческий подход.

Таким образом, по нашему мнению, профильный подход позволяет решить проблему формирования профессиональных компетенций при обучении математике.