Формирование внутреннего приближенного зацепления цилиндроконических передач

Цилиндро-конической называется зубчатая передача, в которой одно из колес по форме заготовки является цилиндрическим, а другое коническим [1]. В статье рассматривается передача с конической шестерней и цилиндрическим колесом внутреннего зацепления, изготавливаемым зубодолблением по обычной технологии. Для обеспечения линейного контакта зубьев в цилиндро-конической передаче внутреннего зацепления, согласно второму способу Оливье, производящим колесом в станочном зацеплении должно быть эвольвентное прямозубое цилиндрическое колесо, идентичное цилиндрическому колесу передачи.

Схема внутреннего цилиндро-конического зацепления с эвольвентным цилиндрическим производящим колесом показана на рис. 1. Присвоим параметрам наклонной (конической) шестерни индекс 1, а параметрам производящего колеса - индекс 2. В схеме использованы следующие правые прямоугольные системы координат: Si и S2 - подвижные, связанные с шестерней и производящим колесом; S' и S - неподвижные. Положение подвижных систем координат колес Si и S2 относительно их неподвижных систем координат S' и S в произвольный момент времени определяется углами ф1 и ф2. Система S относится к исходному звену передачи, ее осям индексы не присваиваются.

Начала координат О всех систем совмещены с точкой пересечения осей зубчатых колес, оси аппликат систем Si и S' (^ и W') - с осью шестерни, а систем S₂ и S (W₂ и W) - с осью производящего колеса; оси ординат подвижных систем Si и S₂ (У] и У₂) - лежат в плоскостях симметрии зуба шестерни и впадины зубьев колеса соответственно. Все системы координат правые.

Мгновенная ось относительного движения колес 1 и 2 является одновременно осью зацепления L (см. рис. 1), через которую проходят нормали во всех точках мгновенного контакта сопряженных поверхностей зубьев.

Боковая поверхность зубьев колеса передачи (она же производящая поверхность) представляет собой эвольвентный цилиндр. Эта поверхность (см. рис. 1) в подвижной системе координат X2y2W2, связанной с колесом, описывается уравнениями:

^2~^гЬ2^^п^Уу2 Wm) ^Vy2"^cos(^Vy2 VwXk У₂ = r₆₂[cos(v_y2 - v₆₂) + v_y2 -sin(v_y2 -у_Ь2)] i W₂=u,

где r_b2 - радиус основного цилиндра колеса, v_y2 - угол развернутости эвольвенты, \|/₆₂ - половина угловой толщины впадины зуба на основной окружности колеса, и - аппликата торцового сечения колеса.

Угол vy2 при заданном радиусе гу2 определяется по выражению vy2 =tgarccos(-^-).                                                                    (2)

ry2

Угол Vm находится по зависимости л 2-x2-tga .

^Ь2 = ---- +--- + mv а,                                                     (3)

2-z2 z2

где х2 - коэффициент смещения колеса.

Рис. 1. Станочное зацепление производящего колеса (2) и конической шестерни (1)

Боковая поверхность зубьев шестерни является огибающей производящей поверхности и будет неэвольвентной [2]. Эта поверхность в подвижной системе координат XiKiWi, связанной с шестерней, описывается уравнениями:

%i =/^[cosq^Csina^ -v^cosa^-sinq^cosSXcosa^ + vy2 sina^^ + Msinq^sinS;

Kt = r62[sinq)1(sinah1, -Vy2cosahv)-cosq)1cos2(cosanv + vy2 sin a^J-n cosq)j sin£;

W, ^{= r}b2 sin^cosa^ + v_y2sina_nv) + ncosZ ;                                          (4)

cos a^ = cos (v 2 - уи + q>,) = —;

Mtgd2

Ф1 = Ф2 h2 ’ где 2 - межосевой угол, aIW - угол зацепления в торцовом сечении колеса,

Теоретически точная боковая поверхность зубьев шестерни может быть образована долбя-ком с внутренними зубьями. При этом в станочном зацеплении будет реализована геометрокинематическая схема внутреннего сопряженного цилиндро-конического зацепления. Однако ввиду сложности изготовления долбяков с внутренними зубьями такой инструмент промышленностью не выпускается. Кроме того, даже в случае создания долбяка с внутренними зубьями, осуществление способа зубодолбления неэвольвентных конических колес требует специальной оснастки станка, включающей шарнир равных угловых скоростей для связи вертикальной оси стола с осью заготовки, наклоненной под углом Е к вертикали. При этом геометрия инструмента должна быть идентична геометрии производящего колеса. Таким образом, практическое формирование теоретически точного профиля указанным способом в настоящее время невозможно.

Приближенный профиль может быть получен на зуборезном оборудовании режущим инструментом реечного типа [3]. При этом способе инструмент реечного типа (фреза, шлифовальный круг) перемещается вдоль оси заготовки по определенному закону. Такое нарезание осуществляется на типовых зубофрезерных станках, имеющих следящее копирное устройство (как и при нарезании бочкообразных зубьев колес) или на станках с ЧПУ. Схема нарезания показана на рис. 2. Подбирая траекторию движения инструмента, можно получить зуб, близкий по форме точному неэвольвентному зубу колеса.

Для расчета координат точек огибающей кривой воспользуемся математическим аппаратом эвольвентно-конического зацепления, разработанным В.И. Безруковым [4], принимая при расчетах угол наклона инструмента 80, переменным в каждом сечении. Коэффициент смещения инструмента в произвольном торцовом сечении шестерни в середине высоты зуба определяют из выражения

,             ТЕ .             .             ч Z

x_ti = (— ----mv а„ + inv сс .)------

2rcpi 2z "      ^2tga(, где sti - толщина зуба в середине высоты теоретически точного профиля; а,? - торцовый угол на радиусе rcpi; z - число зубьев нарезаемой шестерни; rcpi - радиус шестерни, соответствующий середине высоты зуба.

Таким образом, нарезаемую шестерню можно представить как состоящую в осевом направлении из элементарных эвольвентно-конических колес одинакового торцового модуля т, но с разным торцовым углом зацепления a_n и радиусом основной окружности r_bi, которые определяются из следующих выражений:

tg a_ti = tg a • cos 5_0/, г_ы = r•cos a_Zi . (6)

Определив значение коэффициента смещения x_ti для разных торцовых сечений венца шестерни, путем аппроксимации получим уравнение следующего вида:

x_ti aw² +bw+c, (7) где a, b, с - коэффициенты, которые получены при аппроксимации; w - аппликата торцового сечения шестерни.

Умножая это уравнение на модуль, получим уравнение огибающей делительной поверхности инструмента y = xti-m = (aw2 + bw + с)т.

Текущее значение угла 80, между касательной к кривой, описываемой уравнением (8), и осью у (см. рис. 2) определяется по формуле

80, = -arctg(2aw, + b).

Траектория движения оси фрезы - эквидистанта г огибающей делительной поверхности инструмента. Расстояние между этими кривыми равно делительному радиусу фрезы г₀.

По рис. 2 определим текущие координаты точек О, траектории оси фрезы:

yOi = aw2 + Zw + c + r0cos80/;(10)

w0/=w + r0sin80/,(11)

причем ордината y_Oi равна текущему межосевому расстоянию a_yi в станочном зацеплении.

Тогда окончательно получим y0i=ayi=a'w2+b'wi+c'.(12)

Коэффициенты этого уравнения находятся аналогично коэффициентам выражения (8).

В предложенном способе нарезаемая поверхность зубьев шестерни получается приближенной к теоретически точной неэвольвентной поверхности описываемой уравнением (4). Для оценки отклонений нарезанного профиля от теоретически точного необходимо иметь математическое описание рабочей поверхности зубьев шестерни в процессе двухпараметрического огибания ее инструментом реечного типа, движущегося по криволинейной траектории.

При выводе уравнения боковой поверхности зубьев неэвольвентной шестерни, использовался математический аппарат, разработанный Н.П. Крыловым и М.Л. Ериховым для случая двухпараметрического огибания [5].

Для получения уравнения исследуемой поверхности уравнение поверхности витков фрезы перепишем в систему, связанную с заготовкой, и полученные зависимости дополним двумя уравнениями зацепления. Параметры, используемые в расчетных зависимостях, имеют следующие обозначения (индекс 0 относится к инструменту, индекс 1 - нарезаемому колесу): т - нормальный модуль (стандартный); zo - число заходов фрезы; Ху и Х₆₀ - углы подъема винтовой линии на делительном и основном цилиндрах; а и а₍ - углы профиля инструмента в нормальном и торцовых сечениях (а = 20°); р - винтовой параметр; г₀ и г_№ - радиусы делительного и основного цилиндров; v и и - криволинейные координаты (параметры) эвольвентной винтовой поверхности; сро (ф1) и w_p - параметры огибания (угол поворота фрезы или заготовки и аппликата точки фрезы).

Как было показано выше, в станочном зацеплении точка оси фрезы движется по криволинейной траектории, описываемой квадратным трехчленом (12). При этом огибающая делительной поверхности фрезы представляет собой эквидистантную к траектории оси фрезы кривую. Поверхность, образованную вращением этой кривой вокруг оси заготовки, и делительный цилиндр фрезы примем в качестве начальных поверхностей в станочном зацеплении. Взаимное расположение начальных поверхностей и применяемые системы координат показаны на рис. 3. Начальные поверхности касаются друг друга в точке Р. Общая касательная плоскость Н к ним в точке Р наклонена к оси заготовки под переменным углом 8_0|. Прямая t-t, касательная к образующей начальной поверхности заготовки в точке Р, лежит в плоскости Н и составляет с образующей начального цилиндра фрезы угол 90°+Ау.

На рис. 3 введены следующие основные системы координат: подвижные S_u и 5_Ь жестко связанные соответственно с инструментом и заготовкой; неподвижная система S связана с фрезой. Вспомогательные системы S_p и S' связаны соответственно с плоскостью Н и заготовкой.

Системы S_u и Si ориентированы так, что отрицательная полуось Х_и в сечении Y_u = 0 является осью симметрии впадины фрезы, а плоскость KiWi - плоскостью симметрии зуба заготовки. Все системы координат правые.

Аппликата w_p точки Р в системе Si принята в качестве второго независимого параметра огибания. Радиус начальной окружности заготовки r_wl в точке Р и угол 8₀, являются функциями параметра w_p и находятся по выражениям (8; 9) при замене в них w на w_p.

Для преобразования систем координат в рассматриваемом станочном зацеплении воспользуемся матричным методом.

Переход от системы S_u к Si описывается матричным равенством

П = M_wM₀-_pM_p0M_0u7_u =М_Хиг_и,                                              (13)

где М₁₀.; М₀,_р; М_р0; М_Ои - матрицы перехода в соответствующих системах координат.

При двухпараметрическом огибании уравнения зацепления в неподвижной системе S имеют вид

^^(^о; V^№Wp)e^№=0,                                    (14)

-(01 ф) —(01 Wp)

где V и V      - векторы скорости относительного движения соответственно при wp = const и ф = const, 7(0) - орт нормали к поверхности витка фрезы.

Рис. 3. Схема станочного зацепления при нарезании неэвольвентной шестерни

После рассмотрения уравнений связи параметров при wp = const, ф = const и выполнения соответствующих преобразований уравнения зацеплений приведем к следующему виду: при wp = const tg а^ = (v -1,5 л + inv а,) sin2 А60 +

+ r6O[(zoi +sinA0cos501)0,5sin2X60 +cos2XfcO(sin0sin5O! -cosX0 cos0cos5O()] +

+ (r0cos50z + rwl)(O,5sinXocos0sin2Xo -cosX0 cos2X60)

r№ (cos 0 sin X№ + cos Xo sin 0 cos 50,)         ’ при ф = const sin 0[ tg а^ (tg Xo tg Х60 + cos а,) - (v -1,5 л + inv а,) tg Ло tg Лй0 ] +

„ COS0 + COSCL r (1 + tg 5O.)/2 _ , „

+cos 0 cos a, +------------ [r0---— ---] +1 = 0.

гьо                ^a

Для того чтобы получить уравнение поверхности, необходимо выполнить перемножение матриц равенства (13). После преобразований получим:

х, = Г cos ф, + у' sin ф[;

у, =-х'8тф, +у'со8ф1;                                                             (17)

^ = (х + r0) sin 50/ + g cos 50/ + wp, где x^ysin^o + ^cosX^;

у' = (х + r₀)cos5_0|. - gsin5₀, + r_wX;

g = уcosX₀ - w_M sinA₀;

x = rг,0[cos(v + фи) + tga(ysin(v + фu)];                                                    (18)

у = r60[sin (v + ф„) - tga^ cos(v + Ф„)];

% = ^гьо tg ho (v -1,5я + inv a, - tg a,_y);

5_to = -arctg(2aw_p + b) ; r_wl = aw² + bw_p+c.

Выражения (17), (18) совместно с (15) и (16) представляют собой уравнения боковой поверхности зуба шестерни, нарезанной червячной фрезой. Полученные уравнения позволяют произвести оценку отклонения нарезаемой поверхности инструментом реечного типа и теоретически точного профиля следующим способом. Определяем абсциссу х_ХТ и ординату у_хт точки теоретической поверхности (4), имеющей аппликату w_ln и расположенной на окружности радиуса г_уХ. Находим координаты x_ln, y_ln, w_ln точки поверхности зуба неэвольвентной шестерни по уравнению (17) и радиус этой точки r_yl = \^_х^^_х^- Оценку отклонения поверхностей производим по разности толщин зубьев, измеренных по дуге окружности радиуса г_уХ, которые рассчитываем по полученным значениям координат х_Хп, у_Хп и х_хт, у_хт.

Сравнительный анализ профилей показал, что максимальные отклонения возникают в ряде передач в крайних торцовых сечениях шестерни и составляют сотые доли миллиметра. При этих отклонениях на больших торцах получаемый профиль зуба больше теоретического, что может нарушить работу передачи из-за возникновения интерференции или кромочного контакта в зацеплении.

Устранение отклонений профиля можно осуществить назначением модификации зубьев шестерни при ее нарезании [6]. Сущность модификации заключается в корректировке коэффициентов смещения исходного контура инструмента, по которым рассчитывалась траектория фрезы в тех торцовых сечениях шестерни, где наблюдаются максимальные отклонения профиля. Величина модификации для каждой передачи назначается индивидуально.

На рис. 4 представлены в качестве примера отклонения профиля в крайнем торцовом сечении шестерни цилиндро-конической передачи до и после модификации (см. рис. 4, а, б). Параметры рассматриваемой передачи: модуль передачи m = 2 мм, число зубьев шестерни г_х = 34, число зубьев колеса гг = 40, коэффициент смещения колеса х₂ = 2,21, межосевой угол передачи L = 9°; эксцентриситет водила е = 6,3 мм. Из сравнения этих профилей видно, что назначение модификации позволяет исключить возможность кромочного контакта и интерференции зубьев в передаче.

Способ нарезания зубьев конических колес был использован при проектировании и изготовлении планетарных редукторов с цилиндро-коническими зацеплениями на предприятии ФГУП «Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-Прогресс» [7]. В качестве примера на рис. 5 представлена одна из конструкций редуктора. Такие редукторы обладают рядом положительных характеристик, в частности, их нагрузочная способность сопоставима с нагрузочной способностью волновых передач, а ресурс работы в несколько раз выше. Кроме того, они обладают свойством самоторможения, что исключает применение дополнительных тормозящих устройств и позволяют осуществлять выборку зазоров в зубчатых зацеплениях. Перечисленные достоинства планетарных редукторов с цилиндро-коническими зацеплениями предопределили их применение в электромеханических приводах повышенного ресурса космических аппаратов нового поколения.

- теоретический профиль зуба шестерни

- нарезаемый профиль зуба шестерни

а)

Рис. 4. Отклонения профиля конической шестерни: а - до модернизации; б - после модернизации

Рис. 5. Планетарный редуктор с внутренними цилиндро-коническими зацеплениями: а - конструкция редуктора: 1 - входной вал; 2 - неподвижное эвольвентное колесо; 3 - конические шестерни; 4 - выходной вал (эвольвентное колесо); б - детали редуктора