Формула Хана - Банаха - Канторовича для решеточного субдифференциала

Одной из наиболее важных задач субдифференциального исчисления является анализ классической двойственности Минковского, т. е. отображения, сопоставляющего сублинейному оператору его опорное множество или, что то же самое, субдифференциал (в нуле). При этом основополагающую роль играют вопросы геометрического строения субдифференциала. Возникающие здесь задачи прежде всего связаны с описанием множества крайних точек субдифференциала, изучением способов восстановления суб дифференциала по крайним точкам, см. [1].

Хорошо известно, что решеточные гомоморфизмы часто возникают как крайние точки субдифференциалов, и наоборот, крайние точки некоторых субдифференциалов являются решеточными гомоморфизмами (см. [2-4]). Наш метод изучения данной взаимосвязи для суб дифференциала ЭР сублинейного оператора Р заключается в исследовании решеточного субдифференднала ЭнР, являющегося подмножеством ЭР, состоящим из решеточных гомоморфизмов. Изучение данного явления ограничено классом так называемых минорируемых сублинейных операторов, т. е. сублинейных операторов, имеющих непустой решеточный субдифференциал. Здесь возникает важное понятие точной миноранты М(Р) сублинейного оператора, сохраняющего конечные верхние грани, к которому в основном сводится изучение решеточного субдифференциала, и исследование возникаюших взаимосвязей приводит к соотношению между формулой Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала ЭнР и формулой замены переменной в точной миноранте М(Р). На этом пути устанавливаются характеризации решеточных гомоморфизмов, лежащих в субдифференциале сублинейного оператора, сохраняющего конечные верхние грани, в терминах его крайних точек, развивающие некоторые результаты из [4] и [5]. В качестве вспомогательного результата для произвольного положительного ортоморфизма а и сублинейного оператора Р выведена формула СН(аР) = аСН(Р), связывающая между собой крайние точки субдифференциалов ЭДР) и ЭР, полученная как ответ на один вопрос, поставленный А. Г. Кусраевым и С. С. Кутателадзе в работе [6]. Из полученных результатов мы выводим основной результат настоящей работы — формулу Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала. Важным частным случаем полученной формулы является известная теорема о мажорированном продолжении решеточного гомоморфизма, установленная впервые Васкесом и ван Ружем в [5].

Перейдем к точным формулировкам. Всюду ниже X — произвольная векторная решетка, Е — ^-пространство. Все векторные решетки рассматриваются над полем R вещественных чисел. Через Sbl(X, Е) обозначается множество сублинейных операторов, действующих из X в Е. Опорным мнолсеством или субдифференуиалом (в нуле) ЭР сублинейного оператора Р G Sbl(X, Е) называют совокупность всех линейных операторов из X в Е, мажорируемых Р или опорных к Р, т. е.

ЭР := {Г G L(X,5) : ^х G Х^Тх < Р(ж)}, где L^X, Е) — пространство линейных операторов из X в Е. Символом СН(Р) обозначается совокупность всех крайних (или экстремальных) точек субдифференциала ЭР. Отображение Р : X —» Е называют возрастающим ^сохраняющим конечные верхние грани), если для любых элементов ®i,®2 G X из жх < ж 2 следует, что Р)хф < Р^э) (соответственно Р(жх V Ж2) = P(®i) V Р(жх)). Линейный оператор, действующий между векторными решетками и сохраняющий конечные верхние грани, называется решеточным гомоморфизмом. P-пространство регулярных операторов, действующих из векторной решетки X в P-пространство Е обозначаем символом LT)X,E). Множество всех решеточных гомоморфизмов, действующих из X в Е, обозначаем символом Нот(Х,Р). Будем говорить, что операторы Тх,^ G Lr{x,E) являются сильно дизъюнктными, если обычная дизъюнктность равносильна дизъюнктности их образов, т. е. Т1|±|Т2 О im(Ti)±im(T2). Под сильной дизъюнктностыо семейства операторов будем понимать их попарную сильную дизъюнктность.

Определение 1. Для сублинейного оператора Р : X —» Е множество ЭнР : = ЭР П Нош( X, Е) называем решеточным субдифференуиалом.

Определение 2. Сублинейный оператор Q : X —» Е называется минорантой Р, если Q ^ Р поточечно и Q сохраняет конечные верхние грани. При этом сублинейный оператор Р будем называть минорируемым.

Ясно, что решеточные гомоморфизмы из ЭнР являются минорантами Р. Отметим, что в силу [7, предложение 3.1 (2)] сублинейный оператор Р является минорируемым в том и только в том случае, когда решеточный субдифференциал ЭнР непуст.

Определение 3. Пусть Р : X —» Е — минорируемый сублинейный оператор. Тогда миноранту Q отображения Р назовем точной, если выполнено соотношение ЭнР = 9_HQ.

В работе [7, предложение 3.1] доказывается, что каждый минорируемый сублинейный оператор обладает единственной точной минорантой, которую обозначим через М(Р). Формулы точных минорант для широких классов сублинейных операторов установлены в [7]. Минорируемыми сублинейными операторами, в частности, являются все возрастающие сублинейные операторы (см. [7, предложение 4.1]).

Предложение 4. Пусть P,Q — сублинейные операторы, сохраняющие конечные верхние грани. Тогда Р = Q в том и только в том случае, когда ЭцР = 8hQ-

• <    Непосредственно вытекает из того, что отображения Р и Q являются поточечными верхними огибающими операторов из соответствующих решеточных субдифференциалов (см. [7, предложение 3.1]). >

Известно, что субдифференциалы являются операторно выпуклыми множествами. Решеточные субдифференциалы обладают аналогичным свойством, но в «ограниченном смысле», что делает их похожими на множества крайних точек обычных субдифференциалов. Пусть Рг(Р) обозначает полную булеву алгебру порядковых проекторов в Е.

Предложение 5. Пусть Р : X —» Е — минорируемый сублинейный оператор. Тогда решеточный суб дифференциал ЭнР замкнут относительно перемешиваний, т. е. для любого семейства решеточных гомоморфизмов (ТД^т : X -д Е таких, что Т^ Е ЭР(^ Е Е), н всякого разбиения единицы (тг^ег в булевой алгебре РДР) существует Т := о-^^е "pl^ (относительно о-сходимости в L_r(X, Е)), являющийся решеточным гомоморфизмом, лежащим в ЭР.

• <    В силу сильной операторной выпуклости субдифференциала (см. [1, 2.2.8 (1)]) существует оператор Т Е ЭР, определенный как поточечная о-сумма семейства операторов {тг^Т^ : £ Е Е}, т. е. Тх := о- 52^- ^^(ж) (^ж ^ ^Y Так как Т^ положительны, то применив [8, V.III. 2.4.], выводим, что Т := о-"^^^ и^Т^ относительно о-сходимости в L_T(X,EY Наконец, заметим, что семейство операторов {тг^Т^ Д Е Е} является сильно дизъюнктным, порядково ограниченным и состоит из решеточных гомоморфизмов. Прямой проверкой несложно убедиться, что Т также будет решеточным гомоморфизмом. >

В последующем нам понадобится

Лемма 6. Пусть для некоторого сублинейного оператора Р : X -д Е, операторов T,S Е L(X,EY проектора-к Е РДР) выполняется Т Е СН(тгоР), S Е СЪ(тг^а о PY Тогда T + SE Ch(P).

• <    Пусть Т + S = А1Н1 + А₂П₂, где Ai, А₂ Е R₊, Ai + А₂ = 1 и U_T,U₂ Е ЭР. Так как Т ^ тг о Р, S Д Ti^d о Р, то тг о Т = Т, n^d о S = S. Отсюда тг о S = n^d о Т = 0. Стало быть, тг о Т = тг о (Т + S) = Ахтг о Ui + А₂тг о U₂, что по условию леммы влечет Т = тг о Ui = тг о U₂, S = тг^а о Ui = тг^а о U₂. Окончательно получаем Т + S = Ui = U₂, что и требовалось доказать. >

Вопрос о вычислении множества крайних точек составного сублинейного оператора по множествам крайних точек суб дифференциалов, составляющих оператор, был поставлен в статье [6]. Как один из ответов на этот вопрос, установим следующий результат.

Теорема 7. Пусть Р : X -д Е — сублинейный оператор, a — положительный ортоморфизм на Е. Тогда СН(а о Р) = а о Ch(P).

• <    Докажем сначала включение СН(а о Р) с а о Ch(P). Возьмем Т Е СН(а о Р). Введем следующие обозначения: р := а^-1 : im(a) -Д (кеДсДД, тг — проектор на компоненту (кеДсДД. Ясно, что тг = р о а. Покажем, что р о Т Е СН(тг о Р).

Пусть роТ = AiTi + A₂T₂, где Ai, А₂ Е R⁺, Ai + A₂ = 1 и Д, Т₂ Е д(тгоР). Поскольку д(тг о Р) = тг о ЭР (см. [1, 1.4.14]), то Д = тг о 5^ (г = 1,2) для некоторых Si, S₂ Е ЭР. Так как Т Д а о Р и тг о а о Si = а о Si (г = 1,2), то Т = а о р о Т = Ai« о Si + А₂а о S₂. Отсюда заключаем, что Т = а о Si = а о S₂, а значит, р оТ = Д = Т₂.

Теперь возьмем произвольный Sq Е СЩтД о Р). Положим 8 := Sq + р о Т. Тогда 8 Е Ch(P) в силу леммы 6, и кроме того, а о 8 = Т.

Обратно, пусть Т = aoS для некоторого 8 Е Ch(P). Покажем, что Т Е Ch(aoP). Пусть Т = ао 8 = XiUi + Х₂П₂, где А_ъ А₂ Е R⁺, Ai + А₂ = 1 и Ui, U₂ Е Э(а о Р). Из предложения 1 вытекает, что существуют операторы Si,S₂ Е ЭР такие, что Ui = а о Si (г = 1,2). Тогда справедливо представление S = Ai(aoSi + a^,zoS) + A₂(aoS₂ + a^,zoS).

Заметим, что операторы а о Si + a^d о S и а о S^ + a^d о S входят в ЭР. Согласно условию, S = а о Si + сД о S = а о S₂ + сД о S. Отсюда сразу следует Т = а о S = Д = Д. >

Следующая теорема проясняет связь между решеточным субдифференциалом и возникающими крайними точками.

Теорема 8. Пусть Р : X —» Е — сублинейный оператор, сохраняющий конечные верхние грани. Для оператора Т Е ЭР следующие условия эквивалентны:

• (1)    Т —решеточный гомоморфизм, т. е. Т Е ЭнР;

• (2)    существует ортоморфизм a Е [0,7^] такой, что Т Е Ch (а о Р);

• (3)    найдутся a Е [0, Д) и S Е Ch(P), для которых Т = а о S.

• < (1) => (2): Рассмотрим следующее отображение из ЭнР в [0,7^]:

КД) = inf{a Е [0, 1_ЕД Т Е ЭД о Р^ (Т Е Э_НР).

Ясно, что /i(T) Е [0,7^] и Т Е ЭДД) оР). Кроме того, используя [1, теоремы 2.5.7 (3), 2.5.8 (1)], несложно проверить, что выполняются следующие соотношения:

• 1)    КД о Т) = q о КД) для каждого а Е [0, 7^];

• 2)    КД. + Т₂) = ЦТ^ + КДД для T_X,T₂ Е Э_НР, Т^ДЕ ЭР.

Предполагая Т Е ЭнР докажем, что Т является крайней точкой ЭДД)оР). Пусть Т = AiTi + А₂Т₂, где Ai, А₂ Е >+, Ai + А₂ = 1, и Д,Д Е ЭДД) о Р). В силу 1) и 2) выполнено равенство КД) = ХДД^ + ХДДД Используя неравенства КД^ ^ КД) и КДД < ЬДР получим соотношения КД) = КДР) = КДД

Так как 0 ^ ХД1 ^ Т и Т Е Hom(X, Р), то по [1, теорема 2.1.8] найдется ортоморфизм /3 Е [0,7^] такой, что ХД1 = р о Т. Тогда р о КД) = ХДД). Теперь, используя коммутативность ортоморфизмов, выводим равенства ХДД) о Д = КД) о р о Т = ХДД) о Т, т. е. Д о ТДХ) С кетДД)). На основании [9, 146.1] образ шхДД)) ортоморфизма КД) является порядковым идеалом в Е и, поскольку Ti,T₂ Е ЭДД) о Р), то для произвольного х Е X выполняются соотношения ТД) Е )тДД)) и ТДж) Е )тДД)), а значит, Д — Т1)(ж) Е )тДД)). Но так как выполнено включение )тДД)) С ДегДД)))^а, то заключаем, что Д — ТДх) = 0.

• (2)    => (3): Немедленно следует из теоремы 7.

• (3)    => (1): Из [10, теорема 12] при n = 1 (см. также [1, 2.5.8 (1)]) вытекает, что Ch(P) С Hom(X, Е). А так так положительные ортоморфизмы являются решеточными гомоморфизмами, то оператор Т = сю S также является решеточным гомоморфизмом. >

Отметим, что в [5] вышеупомянутый результат был получен при дополнительном требовании Р ^ 0.

Для минорируемого сублинейного оператора Р имеется взаимосвязь между формулой Хана — Банаха — Канторовича для решеточного суб дифференциала ЭнР и формулой замены переменной в точной миноранте МД).

Теорема 9. Пусть X, Y — векторные решетки, Е — К-пространство, Р : X ^ Е — минорируемый сублинейный оператор, Т — решеточный гомоморфизм из Y в X. Рассмотрим следующие утверждения:

• (1)    ЭнДоТ) = ДнР)оТ,

• (2)    МДоТ) = МД) оТ.

Тогда справедлива импликация (1)=>(2). Если, кроме того, либо Р ^ 0, либо im(T) = X, то утверждения (1) и (2) равносильны.

• <    (1) =^ (2): Покажем сначала справедливость формулы Хана — Банаха — Канторовича для точной миноранты М(Р) и решеточного гомоморфизма Т. Возьмем S Е Эн^М^Р) о Т). Из свойств точных минорант (см. [7]), выводим, что S Е дн^Р °ТУ По условию S Е (ЭнР) ° Т, а так как ЭнР = ЭцМ^РУ то S' Е ЭДХЦР^ ⁰ Т. Обратное включение ду(Л7(Р)) оТ С Эн^М^Р) о Т) очевидно. Итак, выполнено равенство д_н(М(Р)₀Т) = д_н(М(Р))оТ.

Так как точные миноранты сохраняют конечные верхние грани, то согласно предложению 4, равенство М(Р о Т) = М(Р) о Т имеет место тогда и только тогда, когда выполнено соотношение дц(М(Р о Т)) = Эн^М^Р) о Т). Начнем с проверки вложения Эн^М^Р о Т)) С Эн^М^Р) о ту Пусть S Е Эн^М^Р оТУ, что эквивалентно тому, что S Е ОДР ⁰ ТУ По условию имеем S Е (ЭнР) ⁰ Т. Но ЭнР = днМДУ поэтому S Е ^ЭдМ^РУ) о Т. Согласно доказанному выше соотношению, выполнено S Е ЭДМУР) о ТУ Обратное включение ЭДМУР) о Т) С ЭДМУР о Т)) очевидно. Итак, равенство М(Р о Т) = М(Р) о Т установлено.

• ( 1) => (2): Пусть М(Р о Т) = М(Р) о Т и выполнено одно из условий Р ^ 0 или im(T) = X. Для того, чтобы установить формулу Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала ЭДР о Т) = (дуР) о Т, требуется только проверить соотношение ЭнД ⁰ Т) С (ЭнР) ⁰ Т, ибо обратное включение очевидно. Пусть S Е ЭДР о Т), а значит, выполнено S Е ЭДЗИТ ⁰ ТД Поскольку оператор М(Р о Т) сохраняет конечные верхние грани, то пользуясь теоремой 8, найдем ортоморфизм a Е [О,/у] и оператор V Е СН(Л7(РоТ)), для которых справедливо равенство S = аУ. Но поскольку имеется соотношение Tf(PoT) = МДДТ, то воспользовавшись теоремой 7, получим V Е СН(Л7(Р))оТ, т. е. найдется U Е СН(Л7(Р)) такой, что V = UoT. Отсюда следует равенство S = а о U о Т. Заметим, что в силу теоремы 8 оператор W = а о U является решеточным гомоморфизмом. Покажем, что W Е ЭР. Пусть сначала для всех ж Е X имеет место неравенство Р(ж) ^ 0. Поскольку имеем соотношения а Е [0, 1е^ и U Е ЭР, то для каждого ж Е X справедливо W (ж) = аоР(ж) <  аоРуф < РДУ т. е. W Е ЭР.

Теперь предположим, что выполнено условие im(T) = X. Поскольку S Е дуРоТ), то для каждого у Е Y справедливо неравенство S(y) = W о Т(у) ^ Р о ТДУ В силу нашего предположения ТУ(ж) ^ Р(ж) для всех х Е X. Итак, S = W о Т Е (ЭнР) ⁰ Т. Теорема полностью доказана. >

Отсюда легко вывести следующее утверждение — формулу Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала.

Теорема 10. Пусть X, Y — векторные решетки, Е — К-пространство, Р ; X ^ Е — сублинейный оператор, сохраняющий конечные верхние границы, Т — решеточный гомоморфизм из векторной решетки Y в X. Допустим, что кроме того, либо Р ^ 0, либо im(T) = X. Тогда для Р и Т справедлива формула Хана — Банаха — Канторовича:

Эн^РоП = ДнРДт.

• <    Из свойств точных минорант (см. [7]) вытекают соотношения М(Р) = Р, М^Ро Т) = Р оТ. Требуемое теперь обеспечено применением теоремы 9. >

Стоит подчеркнуть, что когда Т — вложение векторной подрешетки Y в X, установленная формула Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала в точности выражает следующее известное свойство мажорированного продолжения решеточного гомоморфизма.

Теорема [1, 5]. Пусть X — векторная решетка, Y — векторная подрешетка в X, Е — К-пространство, Р : X —» Е — сублинейный оператор с положительными значениями, сохраняющий конечные верхние грани. Если Sq : Y —> Е — решеточный гомоморфизм, мажорируемый Р, т. е. выполнено Sq ^ P\y поточечно, то Sq продолжается до решеточного гомоморфизма S : X —» Е такого, что S ^ Р поточечно.