Фрактальные элементы и топологии как решение проблемы масштабируемости фотонных нейроморфных процессоров

Развитие вычислительных систем для алгоритмов искусственного интеллекта упирается в фундаментальные ограничения архитектуры фон Неймана, такие как разделение процессора и памяти, ограниченная пропускная способность шин данных и низкая энергоэффективность при выполнении задач с интенсивным обменом данными [1].

Нейроморфные процессоры, аппаратно имитирующие принципы работы биологических нейронных сетей, предлагают альтернативный путь за счет распределенной памяти (синаптических весов) и массового параллелизма [2–4]. Однако при масштабировании таких систем до миллионов и более синаптических связей критической становится проблема роста энергозатрат и задержек на межнейронную коммуникацию.

Фотонные нейроморфные платформы рассматриваются как перспективное направление, обладающее потенциалом высокой пропускной способности, низкой задержки и высокой энергоэффективности для операций линейной алгебры, лежащих в основе глубокого обучения [5–16]. Однако при переходе к крупномасштабным системам

Е^Н © Потоцкий А.Н., Потапов А.А., 2026

и эти преимущества могут быть нивелированы. Ключевым ограничением становится архитектура фотонных межсоединений (сети на кристалле), часто унаследованная от электроники и реализуемая в виде регулярных топологий, таких как двумерные решетки или коммутационные матрицы.

В таких топологиях средняя длина оптического пути между случайными узлами растет как степенная функция от общего числа узлов N . Известно, что для двумерной квадратной сетки диаметр сети (расстояние между самыми удаленными узлами) масштабируется как ~ N ^0,5 [9-12]. Это приводит не только к росту задержек, но и к экспоненциальному затуханию оптического сигнала в соответствии с законом Бугера – Ламберта – Бера P = P o e -^ L , где Р о - начальная мощность; ц - эффективный коэффициент затухания в волноводе (учитывающий поглощение, рассеяние и излучение); L – длина пути [17–19]. Накопленные потери требуют энергозатратной оптической регенерации, снижая потенциальные преимущества фотоники.

Одновременно с ростом потерь возникает проблема ограничения плотности упаковки: равномерное размещение узлов и длинных планарных волноводов для их соединения снижает плотность активных вычислительных элементов на единицу площади [13; 15; 18–21]. Классический пример – реализация полносвязного линейного слоя на основе каскада интерферометров Маха – Цендера, требующая порядка N ² / 2 программируемых элементов для N входных мод, приводит к квадратичному росту занимаемой площади [19; 21].

Таким образом, применение классических регулярных, а тем более полносвязных топологий (например, полный граф K_N ), в масштабируемой сети до больших значений узлов N при интегральном исполнении в фотонике оказывается ограниченно пригодным из-за сочетания экспоненциальных потерь и квадратичного роста площади.

Указанные теоретические ограничения находят подтверждение в практике. В экспериментальных прототипах фотонных нейроморфных процессоров [19; 22–24] реализованы следующие подходы, отходящие от идеальной равномерной полносвяз-ности: 1) функционально полносвязные каскадные схемы на основе унитарных интерферометрических матриц, физически представляющие собой последовательные структуры с неравномерной длиной путей [19]; 2) физически разреженные иерархические сети на основе связанных резонаторов со спектральным мультиплексированием [22].

В отличие от электронных нейроморфных процессоров (таких как IBM TrueNorth или Intel Loihi), где многоуровневая металлизация позволяет реализовывать сложные иерархические топологии, фотонные системы ограничены однослойной планарной технологией волноводов. Это делает прямое заимствование успешных электронных архитектур затрудненным и создает потребность в поиске специализированных топологий, оптимальных именно для двумерной планарной фотоники.

Иной, эволюционно оптимизированный подход демонстрируют биологические нейронные сети, для которых характерны свойства самоподобия и иерархичности на разных масштабах – от микроструктуры дендритов до макроархитектуры коры головного мозга [25–27]. Такая организация, соответствующая фрактальным принципам, позволяет сократить среднюю длину соединений при обеспечении высокой связности, что ведет к логарифмическому, а не степенному росту энергетических и временных затрат на коммуникацию с увеличением размера сети. Самоподобные структуры обеспечивают высокую локальную кластеризацию и устойчивость к отказам за счет избыточности связей [28; 29].

Таким образом, актуальной задачей является исследование топологий, способных обеспечить низкую среднюю длину пути и приемлемые оптические потери при более эффективном (компактном) использовании площади для обеспечения наращивания числа фотонных вычислительных элементов. К числу перспективных относятся фрактальные структуры и топологии типа «малая мировая сеть», чьи свойства управляемой иерархичности и малого диаметра потенциально способны обеспечить требуемый баланс между вычислительной универсальностью, отказоустойчивостью и технологической плотностью упаковки [9; 12; 26; 27].

Целью работы являются теоретический анализ и количественное сравнение ключевых характеристик самоподобных топологий в интересах обоснования границ их применимости в задачах масштабирования фотонных нейроморфных процессоров.

В рамках работы получены и проанализированы следующие параметры сетей, основанных как на самоподобных, так и классических топологиях: диаметр графа А , средняя длина пути L _ср, коэффициент кластеризации С , критическая вероятность отказа ( р _кр - порог перколяции)

и оценка оптических потерь P . По результатам анализа будут сформулированы рекомендации по выбору и адаптации топологий для фотонных процессоров различного масштаба.

1.    Основы фрактальной геометрии для проектирования фотонных нейроморфных систем

Фракталы, формально параметризуемые дробной размерностью D и обладающие свойством масштабной инвариантности, представляют собой не только математическую модель, но и эффективный способ организации и протекания сложных химических, физических и биологических систем и процессов [28, 30]. Для инженерного проектирования важны следующие их свойства:

• 1)    самоподобие (масштабная инвариантность) – структурные элементы повторяются на разных уровнях масштабирования, что позволяет применять унифицированные правила проектирования для всех иерархических уровней системы – от микроструктур до макрокомпонентов;

• 2)    эффективное заполнение пространства – самоподобные кривые и поверхности максимизируют длину линии или площадь контакта в ограниченном объеме. Это критически важно для решений, требующих высокой плотности функциональных элементов;

• 3)    иерархичность – присущее фракталам вложенное строение обеспечивает разделение функций по масштабам: каждый уровень отвечает за процессы определенного пространственно-временного диапазона, что упрощает проектирование и масштабирование систем.

В контексте проектирования фотонных нейро-морфных систем указанные особенности обладают потенциалом для устранения проблем экспоненциального роста потерь (через минимизацию длины пути L ) и квадратичного увеличения занимаемой площади (через эффективную упаковку связей).

Эволюционная оптимизация биологических нейронных сетей предоставляет эмпирические доказательства преимуществ самоподобных принципов пространственной организации. Их анализ позволяет установить количественные ориентиры для проектирования искусственных систем.

Дендритные деревья отдельных нейронов характеризуются фрактальной размерностью D ® 1,5 -1,7 [25]. Это значение отражает компромисс между максимизацией площади поверх- ности для синаптических контактов (к D) и минимизацией объема аксоплазмы и общей длины проводящих путей (к LD). Для фотонных аналогов (например, древовидных делителей мощности)

это указывает на целесообразность поиска оптимальной ФР D для баланса между связностью и оптическими потерями [26].

Сосудистая система мозга организована как самоподобная сеть со степенным распределение диаметров сосудов d k к k -^Y , где i - условный порядковый номер ветви (сосуда), а у - эмпирически установленный показатель, у® 0,5 - 0,7. Такая организация (известная также как закон Мюррея) обеспечивает эффективную перфузию при минимальных энергозатратах на перекачку крови [28].

Топология крупномасштабной совокупности нейронных связей мозга (коннектома) демонстрирует свойства сети «малый мир» [26], обеспечивающих баланс связности и компактности внутри локальных модулей (количественно выражаемого высоким коэффициентом кластеризации С ® 0,4 - 0,6), а также быструю коммуникацию между любыми узлами сети, обусловленную малой средней длиной пути Lcp ~ ln N.

Именно комбинация высокой кластеризации и не более чем логарифмического роста диаметра сети является эволюционным ответом на проблему масштабирования, обеспечивая как локализацию вычислительной мощности, так и глобальную интеграцию информации.

Таким образом, синтез геометрических свойств фракталов и количественных биомиметических ориентиров позволяет сформулировать следующие гипотезы и критерии для оценки самоподобных топологий: сублинейный рост диаметра сети ( д ~ N ^а , а <  0,5 ) для минимизации максимальной задержки; логарифмическую или сублинейную среднюю длину пути ( L _ср ~ ln N или N ^в , в ^ 1 ) для минимизации совокупных оптических потерь; высокий коэффициент кластеризации ( С >  0,4 ) для обеспечения локальной вычислительной эффективности и отказоустойчивости; высокий порог перколяции ( p _кр >  0,5 ) как мера структурной устойчивости к отказам [29].

2.    Исследуемые топологии

В рамках обоснования возможности применения принципов фрактальной геометрии рассмотрим соответствующие графовые модели. В качестве исследуемых выбраны следующие типовые самоподобные топологии [26–31]: стохастичес-

a                                                      б

Рис. 1. Фрактальные деревья: ( а ) пример детерминированной реализации; ( б ) пример стохастической реализации

Fig. 1. Fractal trees: ( a ) example of deterministic implementation; b) example of stochastic implementation

кие – на основе фрактальных деревьев (дендритов) (1), нейронных кластеров (перколяционных сетей) (2), масштабно-инвариантных сетей (3), мультифрактальных графов (4), «малой мировой сети» (5); детерминированные – на основе фрактального бинарного дерева Кли (6), кривой Гильберта (7), снежинки Коха (8), треугольника Серпин-ского (9), ковра Серпинского (10), двойного ковра Серпинского (11). Параметры выбранных топологий будут сопоставлены с характеристиками традиционных – сетки (двумерной решетки (12)) и полного графа (13).

Математическая формализация топологий приведена в приложении 1.

Фрактальные деревья представляют собой самоподобные ветвящиеся графовые структуры, моделирующие природные дендритные системы (нейронные сети, корневые системы растений, речные бассейны, капиллярные сети). Их ключевая особенность – иерархическая организация с повторяющимися шаблонами ветвления на различных масштабах. Отличаются высокой локальной связностью и градиентной плотностью узлов (высокая у корня, снижается к периферии) (см. рис. 1).

Нейронные кластеры , реализуемые в форме перколяционных сетей, представляют собой стохастические графовые модели, описывающие формирование связных структур в системах с вероятностным характером взаимодействий. Организация топологии имитирует процессы самоорганизации нейронных ансамблей в биологических

Рис. 2. Сетевой перколяционный кластер

Fig. 2. Network Percolation Cluster сетях, а также явления перколяции (протекания) в случайных средах (см. рис. 2).

Масштабно–инвариантные сети представляют собой класс графовых топологий, в которых распределение валентностей вершин (связности узлов) подчиняется степенному закону. В подобной сети подавляющее большинство узлов имеют низкую связность, а небольшое число узлов («хабов») обладают экстремально высокой валентностью. При этом в ней отсутствует характерный масштаб связности, т. е. распределение охватывает значе- ния от 1 до kmax ~ N1/(Y-1), где N — число узлов в сети. Такие сети позволяют моделировать структуру глобального Интернета и веб-трафик, архитектуру социальных сетей и транспортную инфраструктуру (см. рис. 3).

Мультифрактальные графы являются обобщением самоподобных топологий, допускающим пространственную неоднородность значений ФР D . Такие топологии позволяют моделировать сложные разнородные системы с мультимасштабными корреляциями и неоднородными плотностями потоков. Примерами проявления подобной топологии служат транспортные и коммуникационные сети с зонами разной плотности, социальные сети с кластерами различной активности, биологические сети (нейронные, метаболические) с функционально специализированными модулями, финансовые и экономические сети с неоднородными связями между агентами (см. рис. 4).

Малая мировая сеть – графовая структура, сочетающая высокую кластеризацию (локальную связность) и малый диаметр за счет коротких путей между любыми узлами. Ключевая «идея», лежащая в основе топологии, – «мир тесен» – даже в больших сетях большинство узлов достижимо за небольшое число шагов. Модель топологии применительна для изучения (проектирования) социальных, биологических, транспортных и коммуникационных сетей (см. рис. 5).

Фрактальное бинарное дерево Кли является детерминированной структурой, сочетающей свойства классического бинарного дерева с принципами фрактальной геометрии. Ключевой особенностью модели является строгое самоподобие: каждый фрагмент структуры в точности повторяет организацию целого на любом масштабе рассмотрения (см. рис. 6).

Топология находит применение в таких областях, как проектирование фрактальных антенн, создание иерархических сетевых топологий с предсказуемыми показателями качества связности и отказоустойчивости, при анализе рекурсивных алгоритмов и структур данных.

Сетевая структура на основе кривой Гильберта построена по принципу самоподобного заполнения пространства. В отличие от классических решетчатых топологий, она обеспечивает локальную связность с сохранением глобальной упорядоченности, минимальный диаметр при заданной плотности узлов, устойчивость к фрагментации за счет избыточных путей (см. рис. 7).

Рис. 3. Пример организации масштабно-инвариантной сети Fig. 3. Example of a scale-invariant network organization

Снежинка Коха является примером детерминированной самоподобной структуры, основанной на итеративном построении кривой Коха. В отличие от регулярных решетчатых топологий, она обеспечивает самоподобное масштабирование с сохранением ключевых свойств на любом уровне детализации, избыточность путей за счет циклических подструктур, равномерное пространственное распределение узлов при росте сложности (см. рис. 8).

Топология на основе снежинки Коха имеет потенциал для проектирования телекоммуникационных сетей, обеспечивающих равномерное покрытие территорий с минимизацией «мертвых зон», может использоваться для моделирования пористых структур с контролируемой связностью.

Треугольник Серпинского формируется рекурсивным удалением центральных треугольников. Демонстрирует свойства пористых структур с убывающей плотностью. К числу ключевых особенностей сетевой структуры следует отнести разреженность связей при сохранении глобальной связности.

Топология находит применение в области технологий телекоммуникации, при проектировании энергоэффективных сетей, обеспечивающих минимальное число связей, в задачах моделирования пористых структур с контролируемой проницаемостью и криптографии для построения хеш–функций на основе фрактальных преобразований (см. рис. 9) [29].

Ковер Серпинского является аналогом треугольника Серпинского, создаваемый рекурсивным удалением центральных квадратов. Обладает регулярной пористой структурой (см. рис. 10).

Двойной ковер Серпинского является модифицированной фрактальной сетевой структурой,

Рис. 4. Пример мультифрактальной сетевой организации

Fig. 4. Example of a multifractal network organization

Рис. 6. Пример топологии «Фрактальное бинарное дерево Кли»

Fig. 6. Example of the Fractal Binary Klee Tree topology

Рис. 5. Пример топологии «Малая мировая сеть»

Fig. 5. Example of a Small World Network topology

Рис. 7. Топология на основе «Кривой Гильберта»

Fig. 7. Topology based on the Hilbert Curve

Рис. 8. Пример сетевой топологии на основе «Снежинки Коха»

Fig. 8. Example of a network topology based on the Koch snowflake

a                                                      б

Рис. 9. Треугольник Серпинского: ( а ) общий вид; ( б ) пример сетевой топологии

Fig. 9. Serpinsky triangle: ( a ) general view; ( b ) example of network topology

которая основана на совмещении двух взаимопроникающих ковров Серпинского.

Сетка ( двумерная решетка ) – регулярная топология, в которой узлы организованы в прямоугольную матрицу размером m х n и соединены с ближайшими соседями по вертикали и горизонтали. Это одна из базовых структур в теории графов и прикладных вычислительных системах, обладающая строгой регулярностью, локальной связностью и планарностью (граф можно уложить на плоскости без пересечений ребер) (см. рис. 11).

Полный граф – топология, в которой каждая пара из N узлов соединена единственным ребром. Это экстремальный случай связности, служащий эталонной моделью в теории графов (см. рис. 12).

К числу ключевых особенностей топологии следует отнести отсутствие промежуточных узлов в маршрутах, симметричность связей (все ребра равнозначны), а также высокую отказоустойчивость, так как выход из строя узла не нарушает связности сети.

3.    Методика проведения исследования

Основываясь на теоретических предпосылках, изложенных в приложении 1, перейдем к расчету параметров сетей, сконфигурированных по представленным топологиям.

Рис. 10. Ковер Серпинского: а ) общий вид; б) пример сетевой топологии

Fig. 10. Serpinsky Carpet: a ) general view; b ) example of network topology

Рис. 12. Пример сетевой топология на основе полного графа

Fig. 12. Example of a network topology based on a complete graph

Рис. 11. Пример сетевой топологии на основе решетки

Fig. 11. Example of a grid-based network topology

Для каждой из них были рассчитаны пять ключевых параметров: ∆ – диаметр сети (максимальное расстояние между узлами); L _ср – средняя длина пути (среднее расстояние между случайными узлами); C – коэффициент кластеризации (доля связанных соседей узла); p _кр – критическая вероятность отказа узла (порог перколяции); P _max – максимальные оптические потери на пути. Формульные соотношения для расчета параметров каждой из сети приведены в приложении 2.

Расчеты проведены для масштабов N ₁ = 256, N ₂ = 10⁵ и N ₃ = 10⁷. Для топологий, требующих определенных значений Nисп (степени числа), использованы ближайшие достижимые размеры, указанные в скобках. Для вероятностных моделей применены асимптотические формулы со стандартными параметрами.

Для выявления оптимальных сетевых архитектур, пригодных для масштабирования фотонных нейроморфных процессоров, проведен многофакторный сравнительный анализ исследуемых топо- логий по динамике масштабирования, локальной связности, структурной надежности и энергетической эффективности, технологической реализуемости. Последовательное рассмотрение в подразделах 4.1–4.5 позволит сформировать частные классификации. Их синтез в подразделе 4.6 даст итоговую классификацию по практической применимости, непосредственно отвечая на цель исследования.

4.    Обсуждение результатов 4.1.    Классификация топологий по динамике масштабирования

Характер роста диаметра сети ∆ и средней длины пути L cp с увеличением числа узлов N является показателем ее масштабируемости. Данные параметры определяют максимальные и средние задержки распространения сигнала, а также косвенно влияют на накопление оптических потерь и сложность маршрутизации. Для фотонных ней-роморфных процессоров, где ключевыми преимуществами являются высокая скорость и низкая задержка передачи сигнала, обеспечение медленного роста △ и L cp при увеличении сети выступает важнейшим требованием. На основе анализа асимптотических законов (см. табл. 1) и численных данных (см. приложение 3) все исследуемые топологии по динамике масштабирования могут быть разделены на три класса (см. табл. 2).

Топологии со сверхмедленным ( оптимальным ) масштабированием (класс А) демонстрируют наилучший потенциал для построения крупномасштабных систем с точки зрения минимизации задержек. В этот класс входят как биомиметические стохастические сети, так и детерминированные древовидные фракталы. Полный граф является теоретическим пределом, остальные обеспечивают логарифмический рост.

Топологии с сублинейным ( степенным ) масштабированием (класс Б) обеспечивают сублинейный, но все же степенной рост диаметра. Это означает, что рост существует, но он принципиально медленнее линейного.

Класс В (линейное (неоптимальное) масштабирование) содержит топологии, для которых топологический диаметр растет линейно или пропорционально N. Это наихудший вариант, делающий масштабирование до больших значений неприемлемым из-за значительных задержек. Важно отметить, что физическая длина пути у этих структур может вести себя иначе (например, быть постоян- ной у снежинки Коха), но данный анализ рассматривает именно топологические расстояния.

С точки зрения увеличения числа узлов без существенного увеличения задержек только топологии класса А могут считаться пригодными для построения крупномасштабных фотонных нейроморф-ных процессоров. Иначе говоря, перспективны топологии с логарифмическим законом роста. Топологии класса Б обладают ограниченным потенциалом масштабирования, а класса В – непригодны для этой цели.

4.2.    Классификация топологий по коэффициенту кластеризации

Коэффициент кластеризации C определяет степень локальной связности сети, измеряя вероятность образования треугольников (триад) между соседями произвольного узла. Высокие значения C (близкие к 1) свидетельствуют о наличии плотных модулей, что способствует параллельной локальной обработке информации и может повышать устойчивость к локальным повреждениям. В контексте нейроморфных процессоров, архитектура которых стремится к воспроизведению модульной и иерархической организации биологических нейронных сетей, данный параметр является важной качественной характеристикой.

Для проведения классификации выбран масштаб N = 10⁵. При данном числе узлов уже четко проявляются характерные для каждой топологии значения и асимптотические тенденции поведения коэффициента кластеризации, а качественная картина классификации остается неизменной и при дальнейшем увеличении N до 10⁷. На основе данных приложения 3 все исследуемые топологии разделены на три класса по убыванию уровня локальной кластеризации (см. таблицу 3).

Высокая кластеризация (класс А). Данный класс объединяет топологии, сохраняющие высокий уровень локальной связности. Помимо эталонного полного графа, к этому классу относятся биомиметические стохастические сети и мультифрак-тальные графы, что коррелирует с их модульной организацией.

Средняя кластеризация (класс Б). Класс представлен масштабно-инвариантными сетями, для которых характерно степенное убывание кластеризации, связанное с увеличением доли узлов с малой степенью. В рассматриваемом диапазоне масштабов ее значение остается заметным.

Таблица 1. Асимптотические законы масштабирования исследуемых сетей Table 1. Asymptotic scaling laws of the studied networks

№ п/п	Тип топологии	Параметры сети
		∆	L ср	C	p кр	max
1	Фрактальные деревья	~ log N	- log N	0	const	- const (при скейлинге)
2	Нейронные кластеры	- In N	- In N	0,2–0,6	const	- ln N
3	Масштабно–инвариантные сети	ln N	ln N	- ln N ~1,5	→ 1 (при N → ∞)	ln N
		lnln N	lnln N			lnln N
4	Мультифрактальные графы D ≈ 1,5	N 1 / D min	N 1 / D ýô	0,1–0,4	→ 1	N 1 / D min
5	Малая мировая сеть	- In N	- In N	0,3–0,5	const	- ln N
6	Фрактальное бинарное дерево Кли	~ log N	- log N	0	const	- const (при скейлинге)
7	Кривая Гильберта	~ N (топ.) N 0,5 (физ.)	- N (топ.) N 0,5 (физ.)	0	→ 0	- N (или - N 0,5 при упаковке)
8	Снежинка Коха	~ N / 2 (топ.) ~ const (физ.)	- N / 4 (топ.) - const (физ.)	0	→ 0	- const (при скейлинге)
9	Треугольник Серпин-ского D ≈ 1,585	- N 1/D	- N 1 / D	→ 0	const (→ 0,15)	- const (при скейлинге)
10	Ковер Серпинского D ≈ 1,893	- N 1/D	- N 1 / D	→ 0	const (0,41)	- const (при скейлинге)
11	Двойной ковер Сер-пинского D ≈ 1,95	- N 1/D	- N 1 / D	- 0,1	0,65–0,75	- const (при скейлинге)
12	Двумерная решетка	- n 0 , 5	- n 0 , 5	0	const (0,407)	- N 0 , 5
13	Полный граф	1	1	1	→ 1	- const (_ n 0 , 5 при росте площади)

Введены обозначения: ∆ – диаметр сети; L _ср – средняя длина пути; С – коэффициент кластеризации; p _кр – критическая вероятность отказа; P _max – наибольшие оптические потери; D _min, D _ýô – минимальная и «эффективная» ФР в спектре; запись «const (при скейлинге)» означает, что для самоподобных топологий, реализованных с уменьшением физической длины соединений на каждом уровне иерархии, максимальная физическая длина пути может не расти с увеличением N , оставаясь ограниченной размером чипа; топ. – топологический (параметр), физ. – физический (параметр)

Низкая ( нулевая ) кластеризация (класс В). В него включены все детерминированные структуры, в которых треугольники связей изначально отсутствуют или их относительное число пренебрежимо мало. Коэффициент кластеризации для этих топологий тождественно равен нулю или асимптотически стремится к нему.

Для фотонных нейроморфных процессоров, эффективность которых может зависеть от способности к распределенной параллельной обработке внутри кластеров, наиболее предпочтительными являются топологии класса А. Топологии класса

Б демонстрируют снижающуюся кластеризацию, в то время как топологии класса В практически лишены этого свойства, что ограничивает их применимость для задач, требующих интенсивного локального взаимодействия элементов.

4.3.    Классификация по устойчивости к случайным отказам

Критическая вероятность отказа узлов p _кр определяет порог устойчивости сети, обозначая максимальную долю случайно вышедших из строя узлов, при которой в системе сохраняется гигантская

Таблица 2. Классификация топологий по динамике масштабирования

Table 2. Classification of topologies by scaling dynamics

Класс	Тип топологии	Определяющий асимптотический закон	Оценка ∆ ( N = 107)	Качество масштабирования
А	Полный граф (13); фрактальные деревья (1); фрактальное бинарное дерево Кли (6); нейронные кластеры (2); масштабно–инвариантные сети (3); малая мировая сеть (5)	О (1) О (log N ) О (log N ) О (ln N ) О (ln N / ln N ln N ) О (ln N )	1 – 48	Наилучшее
Б	Двумерная решетка (12); ковер Серпинского (10); двойной ковер Серпин-ского (11); треугольник Серпинского (9); муль-тифрактальные графы (4)	О ( N 1/ D )	~ 3,2 × 103 – ~ 2,5 × 104	Приемлемое для средних масштабов
В	кривая Гильберта (7); снежинка Коха (8)	О ( N )	~ 106 – 107	Наихудшее

Таблица 3. Классификация топологий по коэффициенту кластеризации

Table 3. Classification of topologies by clustering coefficient

Класс	Тип топологии	Диапазон значений С ( N = 105)	Характер масштабирования
А	Полный граф (13); нейронные кластеры (2); малая мировая сеть (5); мультифрактальные графы (4)	0,3 ≤ С ≤ 1	Значение практически постоянно
Б	Масштабно-инвариантные сети (3)	0,1 ≤ С ≤ 0,3	Убывает по степенному закону, но остается значимым
В	Фрактальные деревья (1); фрактальное бинарное дерево Кли (6); кривая Гильберта (7); снежинка Коха (8); треугольник Сер-пинского (9); ковер Серпинского (10); двойной ковер Серпинского (11); двумерная решетка (12)	С ≤ 0,1; С → 0; С = 0	Точное нулевое значение или асимптотическое стремление к нулю с ростом N

связная компонента (макроскопически связанный фрагмент, размер которого пропорционален размеру всей сети). Этот параметр является ключевой мерой структурной надежности и живучести сети. Для фотонных нейроморфных процессоров, состоящих из тысяч и более элементов, высокая устойчивость к отказам отдельных компонентов (резонаторов, волноводов и др.) критически важна для обеспечения отказоустойчивости и стабильности работы.

В качестве основы для классификации, как и ранее, выбран репрезентативный масштаб N = 10⁵, при котором значения параметра демонстрируют установившийся характер. На основе данных таблиц Б.1–Б.3 (см. приложение 3) все топологии также разделены на четыре класса по уровню структурной устойчивости. Для большинства исследуемых топологий pкр слабо зависит от N.

Очень высокая устойчивость (класс А). Класс включает топологии с исключительной отказоустойчивостью, характерной для пересвязных и масштабно-инвариантных структур. Их свойство сохранять связность при потере подавляюще-

Таблица 4. Классификация топологий по критической вероятности отказа узла

Table 4. Classification of topologies according to the critical probability of node failure

Класс	Тип топологии	Диапазон значений p кр ( N = 105)	Особенности
А	Нейронные кластеры (2); масштабно-инвариантные сети (3); мультифрактальные графы (4); малая мировая сеть (5); полный граф (13)	0,8 ≤ p кр ≤ 1	Сеть сохраняет связность при отказе ≥ 80 % узлов. Свойственно топологиям с избыточными связями и наличием «хабов»
Б	Фрактальные деревья (1); фрактальное бинарное дерево Кли (6); ковер Серпинского (10); двойной ковер Серпин-ского (11); двумерная решетка (12)	0,4 ≤ p кр ≤ 0,8	Сеть выдерживает отказ 40–75 % узлов
В	Треугольник Серпинского (9)	0,1 ≤ p кр ≤ 0,4	Сеть теряет связность при отказе до 40 % узлов
Г	Кривая Гильберта (7); снежинка Коха (8)	p кр ≤ 0,1	Практически нулевая устойчивость к отказам

го большинства элементов делает их перспективными для построения отказоустойчивых систем.

Средняя устойчивость (класс Б). В данном классе объединены топологии с умеренной устойчивостью. Фрактальные деревья имеют высокое значение p _кр, но уязвимы к отказам ключевых (корневых) узлов. Детерминированные планарные структуры (ковры Серпинского, решетки) обладают типичным для двумерных систем порогом перколяции.

Низкая устойчивость (класс В). Класс представлен треугольником Серпинского, который демонстрирует низкую, но не нулевую устойчивость из-за разреженной древовидной структуры.

Крайне низкая устойчивость (класс Г) характерна для псевдолинейных структур (кривая Гильберта, снежинка Коха), которые не обладают избыточностью связей и распадаются на изолированные фрагменты даже при незначительном уровне отказов.

С точки зрения обеспечения структурной надежности фотонного нейроморфного процессора топологии класса А являются безусловно предпочтительными. Топологии класса Б могут применяться в условиях, где вероятность отказа компонентов низка или где допустимы дополнительные схемные методы обеспечения надежности. Топологии классов В и Г обладают неприемлемо низкой устойчивостью, что делает их практическое применение в крупных масштабируемых системах крайне рискованным. Данный критерий выступает одним из наиболее жестких фильтров при отборе архитектур-кандидатов.

4.4.    Классификация топологий по максимальным оптическим потерям

Максимальные оптические потери P _max определяют ослабление сигнала (в децибелах) на наиболее протяженном физическом пути в сети. Данный параметр напрямую связан с энергоэффективностью фотонной системы: высокие потери требуют увеличения мощности оптических источников или применения энергозатратных схем регенерации сигнала, что сводит на нет потенциальные преимущества фотоники. Для масштабируемых нейроморфных процессоров критически важно, чтобы P _max рос как можно медленнее с увеличением числа узлов N , а в идеальном случае – оставался ограниченным.

Для классификации выбран масштаб N = 10⁷, поскольку именно при больших N наиболее проявляются различия в асимптотическом поведении потерь. Классификация проводится на основе как абсолютных значений P _max (в дБ), так и характера их функциональной зависимости от N . В результате топологии разделены на четыре класса (см. таблицу 5).

Класс А ( малые потери ) объединяет топологии, где потери либо сохраняются постоянными, либо растут логарифмически. Это оптимальный случай масштабирования, не создающий энергетических ограничений.

Таблица 5. Классификация топологий по максимальным оптическим потерям

Table 5. Classification of topologies by maximum optical losses

Класс	Тип топологии	Оценка P max, дБ ( N = 107)	Характер роста p max	Оценка влияния на масштабирование
А	Фрактальные деревья (1); нейронные кластеры (2); масштабно–инвариантные сети (3); малая мировая сеть (5); фрактальное бинарное дерево Кли (6); треугольник Сер-пинского (9); ковер Серпинского (10); двойной ковер Серпинского (11)	P max ≤ 1	const (при скейлинге) или O (logN)	Не создают ограничений
Б	Полный граф (13)	1 ≤ P max ≤ 10	Стремится к конечным значениям	Практически не создают ограничений
В	Двумерная решетка (12)	10 ≤ P max ≤ 100	O ( N 0,5)	Накладывают инженерные ограничения
Г	Мультифракталь-ные графы (4); снежинка Коха (8); Кривая Гильберта (7)	P max ≥ 100	O ( N 1/ D ), при D < 2 или O ( N )	Физическая реализация невозможна

Класс Б ( умеренные потери ) включает топологию, где потери растут, но остаются в пределах, которые могут быть скомпенсированы на системном уровне с приемлемыми затратами. Полный граф попадает сюда условно, так как его главный барьер – увеличение числа соединений, пропорциональное квадрату узлов в сети (см. примечание к таблице 5).

Примечание.

Для полного графа значение P _max = 3,32 дБ при N = 10⁷ рассчитано для условия роста площади чипа (его главным ограничением является не P _max, а квадратичное число соединений)

Класс В ( высокие потери ) содержит топологию двумерная решетка, для которой потери при N = 107 достигают десятков децибел. Масштабирование топологии потребует непропорционально сложных и энергоемких решений, ставя под сомнение целесообразность ее использования.

Класс Г (чрезвычайно большие потери) представлен кривой Гильберта, мультифрактальными графами и снежинкой Коха, максимальные оптиче- ские потери в которых превышают все технически допустимые пределы, что делает их непригодными для реализации в интегральной фотонике.

С точки зрения энергопотребления и практической реализуемости только топологии класса А и Б можно считать пригодными и условно пригодными соответственно для построения эффективно масштабируемых фотонных нейроморфных процессоров. Топология класса В при реализации в низкомасштабных и среднемасштабных сетях потребует разработки специальных технических решений для компенсации потерь. Топологии класса Г характеризуются настолько высокими оптическими потерями, что их реализация в интегральных фотонных схемах становится нецелесообразной.

Таким образом, критерий максимальных оптических потерь является одним из наиболее значимых технологических ограничений, а предложенная детализация на четыре класса позволяет более точно оценивать практические ограничения, связанные с различными сетевыми архитектурами.

• 4.5    Классификация топологий по технологической реализуемости в планарной интегральной фотонике

• 4.6.    Сводный анализ и итоговая классификация топологий

Данный критерий оценивает возможность физической реализации сетевой топологии в виде фотонной интегральной схемы (ФИС) с учетом современных технологических, конструктивных и экономических ограничений. Применимость топологии определяется рядом взаимосвязанных факторов, установленных в работах по проектированию и производству крупномасштабных фотонных систем [15; 18; 19; 21], среди которых выделяют планарность и минимизацию пересечений1, детерминизм и регулярность2, плотность упаковки активных элементов3, а также управляемость и энергоэффективность4. В результате все исследуемые топологии были условно дифференцированы на три класса (см. таблицу 6).

Класс А (высокая реализуемость). Топологии этой группы полностью соответствуют технологическим требованиям интегральной фотоники. Их детерминированность и самоподобие (фрактальные деревья, ковры Серпинского) идеально подходят для алгоритмической генерации фотонных масок и обеспечивают компактную, предсказуемую упаковку волноводов с контролируемым числом пересечений. Адаптированный вариант малой мировой сети, построенный как иерар- хия регулярных кластеров с предопределенными дальними связями, наследует успешные принципы организации сетей на кристалле [15; 20]. Двумерная решетка, хотя и проста, обладает ограниченным потенциалом масштабирования из-за роста длины соединений, но для малых и средних N ≤ 103 она технологически реализуема.

Класс Б ( условная реализуемость ) объединяет топологии со свойствами стохастического самоподобия и неоднородности кластеризации.

Однако их воспроизведение в кремниевой фотонике нарушает ключевые производственные и проектные принципы. Случайный характер возникновения связей (нейронные кластеры) или наличие узлов со сверхвысокой валентностью («хабы» в масштабно-инвариантных сетях) противоречат требованиям детерминированного изготовления и равномерной загрузки волноводов. Их реализация потребовала бы нетривиальных решений. Например, эмуляции высокой связности с помощью спектрального мультиплексирования в резонаторах [22] или создания гибридных электрон-фотонных архитектур управления, что резко увеличивает сложность системы и снижает ее энергоэффективность. Топологии с экстремальной длиной топологических путей (кривая Гильберта, снежинка Коха) также попадают в этот класс из-за проблем с эффективной физической упаковкой.

Класс В ( практически нереализуемая ) включает единственную топологию – полный граф, который представляет собой теоретический предел связности. Однако его фундаментальное свойство – квадратичный рост числа отдельных физических соединений, – является заведомо несовместимым с ограничениями планарной технологии. Уже при умеренном числе узлов (более 100) задача трассировки такого числа волноводов на ограниченной площади становится неразрешимой, а потери и перекрестные помехи – катастрофическими [19].

Таким образом, только топологии класса А следует рассматривать в качестве приоритетных для проектирования масштабируемых фотонных нейроморфных процессоров, так как их архитектура согласуется с требованиями современных производственных процессов.

по практической применимости

В целях выработки рекомендаций по практической применимости самоподобных топологий

Таблица 6. Классификация топологий по технологической реализуемости

Table 6. Classification of topologies by technological feasibility

Класс	Тип топологии	Степень реализуемости	Соответствие технологическим критериям
А	Фрактальные деревья (1); фрактальное бинарное малая мировая сеть (5); дерево Кли (6); треугольник Серпинского (9); ковер Серпинского (10); двойной ковер Серпинского (11); двумерная решетка (12)	Возможна в рамках существующих методов проектирования и изготовления ФИС	Полное соответствие
Б	Нейронные кластеры (2); масштабно– инвариантные сети (3); мультифрак-тальные графы (4); кривая Гильберта (7); снежинка Коха (8)	Возможна в рамках перспективных методов проектирования и изготовления ФИС	Частичное соответствие с нарушениями отдельных критериев
В	Полный граф (13)	Невозможна (для умеренных и больших N)	Несоответствие критериям

выполнено слияние результатов частных классификаций (разделы 4.1–4.5), позволяющее выделить топологии, соответствующие ключевым требованиям к масштабируемым фотонным нейроморф-ным системам. Для этого были последовательно применены пять критериев-фильтров, отражающих следующие ограничения:

• •    критерий K1 (масштабируемость) определяет соответствие логарифмическому росту диаметра сети (класс А по таблице 2);

• •    критерий K2 (локальная связность) характеризует среднюю или высокую кластеризацию (классы А и Б по таблице 3);

• •    критерий К3 (надежность) связан с обеспечением высокой устойчивости к случайным отказам узлов (классы А и Б по таблице 4);

• •    критерий К4 (энергоэффективность) допускает только малые или умеренные максимальные оптические потери (классы А и Б по таблице 5);

• •    критерий K5 (реализуемость) устанавливает соответствие технологическим ограничениям планарной фотоники (класс A по таблице 6) и является обязательным; топологии, не соответствующие ему, исключаются из рассмотрения независимо от их показателей по другим критериям.

Для количественного сравнения введена бальная система. Каждому классу в частной классификации присвоен вес: класс А – 3 балла, класс Б – 2 балла, классы В/Г – 1 балл. Итоговая оценка топологий вычисляется как сумма баллов по всем пяти критериям. Определен алгоритм принятия решения об отнесении топологий к различным классам в зависимости от набранной суммы баллов: 14–15 баллов – оптимальный класс

(класс А), 11–13 баллов – пригодные (с ограничениями) (класс Б), 10 баллов и менее – непригодные (класс В). Оценка рассматривается совместно с обязательным критерием К5. Результаты количественно-качественного сопоставления частных классификаций исследуемых топологий сведены в таблицу 7.

К классу оптимальных топологий ( A ), полностью удовлетворяющих всем критериям, отнесена топология «Малая мировая сеть». Ее архитектура реализует ключевые фрактальные принципы – самоподобие и иерархичность – на уровне организации кластеров, обеспечивая логарифмическое масштабирование, локальную связность, отказоустойчивость, минимальные потери и технологическую реализуемость.

Класс ограниченно пригодных топологий ( Б ) представлен классическими фрактальными структурами (деревья, ковры Серпинского). Они демонстрируют приемлемые показатели по масштабируемости, оптическим потерям и технологической реализуемости, подтверждая общий потенциал фрактального подхода для организации соединений. Однако их низкая или нулевая локальная кластеризация ограничивает область применения задачами, где критичны глобальная коммуникация или распределение ресурсов, а не интенсивное локальное взаимодействие, характерное для нейроморфных вычислений.

К классу неподходящих ( класс В ) отнесены топологии, не соответствующие обязательному критерию K5, а также имеющие существенные недостатки по базовым сетевым характеристикам. Это подчеркивает, что даже математически эф-

Таблица 7. Итоговая оценка и классификация топологий по применимости

Table 7. Final assessment and classification of topologies by applicability

Класс	Тип топологии	Критерии (баллы)					Сумма баллов	Несоответствие критерию (ям)
		K1	K2	K3	K4	K5
А	Малая мировая сеть	3	3	3	3	3	15	—
Б	Фрактальные деревья	3	1	3	3	3	13	K 2
	Фрактальное бинарное дерево Кли	3	1	2	3	3	12	K 2
	Двойной ковер Серпинского	2	1	3	3	3	12	K1, K2
	Ковер Серпинского	2	1	2	3	3	11	K1, K2
В	Нейронные кластеры	3	3	3	3	2	14	K 5
	Масштабно–инвариантные сети	3	2	3	3	2	13	K5
	Полный граф	3	3	3	2	1	12	K5
	Мульти-фрактальные графы	2	3	3	1	2	11	K1, K4, K5
	Треугольник Серпинского	2	1	1	3	3	10	K1, K2, K3
	Двумерная решетка	2	1	2	1	3	9	K1, K2, K4
	Снежинка Коха	1	1	1	2	2	7	K1, K2, K3, K5
	Кривая Гильберта	1	1	1	1	2	6	K1–K5

фективные модели (нейронные кластеры, масштабно-инвариантные сети и т. д.) неприменимы без возможности их детерминированной планарной реализации.

• 5.    Потенциал и ограничения фрактальных топологий для масштабирования фотонных нейроморфных процессоров

Результаты проведенного анализа исследуемых топологий позволяют разграничить формальные математические свойства самоподобных топологий и их реальный инженерный потенциал. Итоговая классификация (см. таблицу 7) формирует основу для практических рекомендаций по выбору архитектуры межсоединений с учетом масштаба нейроморфной системы и приоритетных требований к ней.

Потенциальные преимущества фрактальных топологий заключаются в преодолении ограничений масштабирования. Первое связано с достижением не более чем логарифмического роста диаметра сети и задержек. Такие иерархические топологии, как малая мировая сеть и фрактальные деревья, характеризуются ростом диаметра как Л ~ logN. При увеличении числа узлов N от 256 до 107 максимальное расстояние между ними возрастает в разы, а не на порядки, что минимизирует задержку распространения оптических сигналов в крупномасштабной нейроморфной системе.

Второе подтвержденное потенциальное преимущество ограничивает максимальные оптические потери в фотонной сети. Так детерминированные фракталы (например, ковер Серпинского с уменьшением длины сегментов на каждом уровне) позволяют сохранить постоянной максимальную физическую длину оптического пути. В результате потери на критическом пути P _max не превышают 0,1 дБ независимо от числа N , тогда как в регулярных структурах они растут экспоненциально.

Третье определяет высокую структурную устойчивость сети. Численно подтверждено, что биомиметические стохастические модели (нейронные кластеры, масштабно-инвариантные сети) обладают высокой устойчивостью к отказам ( p _кр → 0,8 и выше), что обеспечивает сохранение связности сети при случайных отказах множества ее узлов. Это критически важно для надежности систем, состоящих из тысяч компонентов.

Вместе с тем самоподобным топологиям свойственны существенные недостатки, которые необходимо учитывать при проектировании ней-роморфных фотонных систем. Эти недостатки приводят к тому, что выбор конкретной архитек- туры всегда представляет собой компромисс между различными целевыми показателями.

Первый и наиболее существенный недостаток – низкая локальная связность (при сохранении высокой глобальной эффективности). Детерминированные фрактальные графы (деревья, кривые заполнения пространства) имеют коэффициент кластеризации C → 0. Это делает их непригодными для задач, требующих «плотного» обмена данными внутри кластеров, таких как реализация слоев сверточных нейронных сетей, что характерно для биологических нейронных ансамблей [26; 27].

Второй недостаток – низкая технологическая реализуемость стохастических моделей. Такие топологии, как масштабно-инвариантные сети, хотя и обладают превосходными формальными показателями, плохо совместимы с требованиями планарной фотоники. Их случайность и наличие узлов-«хабов» создают труднопреодолимые ограничения для трассировки, увеличивают число пересечений волноводов и делают невозможной алгоритмическую генерацию фотонных масок [15; 19].

Третий недостаток – непригодность одномерных фрактальных кривых для масштабирования. Топологии на основе кривой Гильберта или снежинки Коха демонстрируют линейный рост диаметра и практически нулевую отказоустойчивость, что исключает их применение в крупных системах.

Исходя из полученных результатов, можно определить следующие приоритетные архитектуры для различных масштабов.

Для систем с числом N > 10⁶, где критически важны минимальная задержка и потери, предпочтительна детерминированная иерархическая реализация «малой мировой сети». Она обеспечивает логарифмическое масштабирование, сохраняет высокую кластеризацию и полностью реализуема в планарных технологиях [15; 20].

Для подсистем глобальной коммутации, где локальная кластеризация не требуется, эффективны усеченные (3–5 итераций) фрактальные структуры (деревья, ковры Серпинского), гарантирующие компактность и постоянство длины путей.

Оптимальным путем реализации потенциала фрактальных принципов является разработка гибридных архитектур – «инженерных фракталов» [15; 18; 19]. Этот подход предполагает создание детерминированных, конечномерных иерархий, сочетающих глобальную самоподобную основу (для обеспечения логарифмического роста задер- жек) и локальные регулярные кластеры (для достижения высокой кластеризации и плотной упаковки элементов). Таким образом, цель проектирования смещается от воспроизведения математически точного самоподобия к прагматичной адаптации принципов иерархии для построения предсказуемых, компактных и масштабируемых сетей на кристалле, свободных от недостатков классических архитектур [18; 19; 21].

• 6.    Направления дальнейших исследований в области фрактальных элементов для фотонных нейроморфных процессоров

Вывод о перспективности «инженерных фракталов» для организации межсоединений логично расширяется на задачу разработки фрактальных фотонных элементов, способных реализовать базовые и расширенные нейроморфные функции на новом уровне миниатюризации. Ключевыми становятся три взаимосвязанных направления.

Первое – создание фрактальных оптических резонаторов со сложным многопиковым спектральным откликом [32], что может обеспечить физическую основу для аналоговой реализации функций биологического нейрона (кратковременной памяти, временного суммирования сигналов и порогового детектирования).

Второе – применение фрактальных принципов к активным компонентам (источникам и приемникам излучения) для оптимизации управления светом на субволновом уровне, улучшения эффективности связи и управления модовым составом [33].

Третье – наиболее комплексное, – связано с применением фрактальных принципов к задачам трехмерной интеграции фотоники. Переход к вертикальной интеграции рассматривается как перспективный путь для увеличения плотности упаковки вычислительных элементов и реализации сложных иерархических связей [35–37]. Такой переход ставит ряд новых задач, включая минимизацию потерь в вертикальных оптических переходах, организацию эффективной межслойной маршрутизации сигналов и обеспечение стабильного теплового режима в многослойной структуре.

Фрактальный подход может предложить системные решения на архитектурном уровне. К ним относятся: использование самоподобных импедансных трансформаторов для эффектив- ного согласования мод в вертикальных соединениях [36]; проектирование трехмерных аналогов иерархических сетей, представляющих собой обобщение топологий типа «малая мировая сеть» на трехмерный случай, а также синтез объемных фрактальных структур для организации интегрированного теплоотвода от высокоплотных «активных» зон [37].

Таким образом, проведенный анализ фрактальных топологий создает теоретическую основу для будущих исследований, направленных на проектирование масштабируемых трехмерных архитектур фотонных нейроморфных процессоров.

Заключение

В работе на основе анализа и количественного сравнения ключевых характеристик тринадцати типов сетевых топологий проведена оценка применимости самоподобных структур для решения проблем масштабирования фотонных нейроморф-ных процессоров.

Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем.

• 1.    Установлено, что фрактальные принципы организации межсоединений обладают значительным, но не абсолютным потенциалом для обеспечения масштабируемости. Их главное преимущество – возможность добиться логарифмического роста сетевых задержек и контролируемого уровня оптических потерь.

• 2.    На основе многокритериального анализа (масштабируемость, локальная связность, устойчивость к отказам, оптические потери, технологи-

• ческая реализуемость) выполнена классификация топологий по практической пригодности. Наилучший баланс характеристик продемонстрировала топология «малая мировая сеть», сочетающая логарифмическое масштабирование, высокую кластеризацию, отказоустойчивость и полную технологическую реализуемость.

• 3.    Выявлен ключевой компромисс для классических детерминированных фракталов (деревья, ковры Серпинского): обеспечивая хорошее глобальное масштабирование, они обладают практически нулевой локальной кластеризацией, что ограничивает их применение задачами без интенсивного внутрикластерного взаимодействия.

• 4.    Для преодоления выявленных ограничений наиболее перспективным признан путь разработки гибридных архитектур – «инженерных фракталов». Этот подход предполагает адаптацию принципов иерархии и самоподобия для создания детерминированных, компактных и масштабируемых сетей на кристалле, в полной мере соответствующих технологическим ограничениям планарной фотоники.

Таким образом, работа создает основу для выбора и проектирования сетевых архитектур фотонных нейроморфных процессоров. Дальнейшие исследования закономерно связаны с применением фрактальных принципов на уровне отдельных фотонных элементов и для задач трехмерной интеграции, что открывает путь к созданию энергоэффективных вычислительных систем следующего поколения.