Функции случайных величин с распределением типа гиперболического косинуса и методы вычисления интегралов некоторого класса

Для абсолютно непрерывных вероятностных распределений имеют место стандартные соотношения с интегралами: условие нормировки, начальные и центральные моменты. Сложность вычисления таких интегралов определяется структурой функции плотности. Например, для показательного распределения случайной величины X ~ E( Л ) интегрирование проводится общеизвестными методами и не представляет проблемы. Для нормальной случайной величины X ~ N ( m ; а ) вычисления моментов M ( X n ) более трудоемки, но также общеизвестны, например [1, 2].

Рассматривая функции случайных величин, получаем новые, как правило, более громоздкие распределения со сложной функцией плотности. Вычисление моментов в этом случае также усложняется. Стандартные методы преобразования интегралов и интегрирования для комбинаций различных функций не достаточны. Зададимся целью нахождения интегралов с заданными нетривиальными подынтегральными функциями. В основу формирования таких функций для интегрирования положим трехпараметрическое семейство распределений типа гиперболического косинуса Ch( m , в , а ) [3, 4], которое является обобщением известного двухпараметрического распределения Майкснера [5, 6]. Плотность вероятностей p_m ( x ) этого распределения имеет вид [7]

P m ( x ) ^ P m ( x ; m ,

в , А ) =

2 ^{m 2} m e m 1 a m e в ( m imx m imx ^ п ( в 2 + А 2 ) m 2       I ”2 — 2 в ’ "2 + 2 ?J ,

где m , в , А ^e R ; m >  0; в >  0; В ( p; q ) - бета-функция, i = V— 1,

A J в — W ^| ^ в + i A J

Г О .    2 вА
arc g e     в 2 - а 2,	при в 2	- А 2	> 0,
_ 2 вА   . _ • arctg—,—у +п sign А e     в 2 - а 2           ,	при в 2	- А2	< 0,
п • - sign А e 2        ,	при в 2	- А 2	= 0.

При m e N бета-функция в (1), а следовательно, и функция плотности pm (x) выражается через элементарные функции в зависимости от параметров. В [8, 9] представлены рекуррентные формулы связи начальных моментов распределения с параметрами. Для случайной величины X с функцией плотности вида (1) начальные моменты M(X n ) выражаются через параметры m, в, Ц по формуле n n                     n-j j

M ( X n ) = ZZ ^U ( n ; k , j ) вЦ’ n = 0, 1, 2, ””                 (3)

k=0 j=0             m где множество целочисленных коэффициентов U (n; k, j) определяется из рекуррентного соотношения

U ( 0;0,0 ) = 1; U ( 0; k , j ) = 0 при k ^ 0 или j ^ 0;

U ( n ; k , j ) = 0 при k <  0, кроме U ( 0;0,0 ) ;

U ( n + 1; k , j ) = U ( n ; k - 1, j - 1 ) + ( j - 1 ) U ( n ; k , j - 1 ) + ( j + 1 ) U ( n ; k , j + 1 )            (4)

при n = 0, 1, 2,..., k >  1. Значения коэффициентов { U ( n ; k , j ) } для начальных n приведены в [9] в виде числовых треугольников.

Из условия нормировки и найденных соотношений для моментов и параметров распределения в [10] сформирован класс интегралов, подынтегральными функциями в которых оказываются комбинации степенных, экспоненциальных, гиперболических и других функций.

В представленной работе задача усложнена. Из распределений типа гиперболического косинуса Ch( m , в , Ц ) с помощью некоторых функций случайных величин получены новые распределения и для них рассмотрены соответствующие интегральные равенства. А затем интегралы от новых комбинаций функций вновь выражены через параметры m , в , Ц •

Полученные группы интегралов с параметрами m , в , Ц структурно близки с интегралами в [10] как рассчитанные по одному и тому же алгоритму и вычисленные для связанных распределений, однако полученный результат является новым и позволяет шире взглянуть на найденную структурную связь интегралов в заданном классе функций с их параметрами.

g m ( у ) = P m

С11

I у J

-

y ²

В общем виде, используя функцию плотности (1), из (5) находим

g m ( у ) =

2 ^{m - 2} m в ^{m - 1} п ( в ² + Ц ² ) m ² у²

A Ъ в С m - imL ; m + .mL 1

^ 2 2 в у 2 2 в у J

.

Для функции g_m ( у ) вида (6) в соответствии с условием нормировки получаем

+^             +^    m - - 2 m - - 1        ^m

[ g ( у ) dy = f ² в A ^в в L "        1 ’ ( в ² + Ц ²) m ² у²

m im _ m im ч 2 2ву ’ 2 + 2ву у

dy = 1.

Следовательно,

+»      m f 4 A 2^ в m

-I у²          2

im

m

im

\

---; —I--

2 2 в у 2  2 в у

п ( в ² + Ц ²) m ²

2 ^{m - 2} m в ^{m - 1} ’

где основание A показательной функции находится согласно (2). Заметим, что несобственный интеграл в (7) имеет подынтегральную функцию, разрывную в точке у = 0.

Также отметим, что параметр m может быть и дробным. Например, при m = 22, в = 22, ц = 1 из(7)следует

ЮТ _л    arctg2j2 ( _л .       ,         . \                   2                     2

e " y   B - ;     +   I dy = ^П = “ 3

у l     ² у J2 ² у J- 22 —.^Л -1 ^372-4

Аналогично для начальных моментов M ( X n ) , n = 0, 1, 2, ..., получаем

Л 1 Л ^+да 1                      n n

M ( X n ) = ^M[^ 1= 1 g ( у ) dy -- U ( n ; k ■ J )

^l Y ^J , ^y                  k = 0 j = 0

в ^— j B j

m^{n —} k

.

В частности,

+f    2 ^{m — 2} m в ^{m — 1}

—с

^J„ п в ² + B ²) m ² У³

m

A^{2 2 y}

B m

l

im m im

; I

2 2 в у 2  2 в у

dy = ц ;

^+да    2 ^{m — 2} m в ^{m — 1}

m

m

—с

^J, Пв ² + B ²) " '² У⁴

A^{2 в} У B m

im m im

l

; I

2  2 в у 2  2 в у

J

J dy = в 2 + (m+1) B2 m

.

Следовательно,

+®

+да

+»        m

[ A ² B m

J „3            2

—да

y

l

im m

im

; —I--

2 2 в у 2  2 в у

dy =

J

пц ( в ² + B 2 ) m ²

2 ^{m — 2} m в ^{m —1} ’

+да ! m /

[ 4 A^{2 2 y} B m

J „4           2

im

m im

да

y

l

; 1

2 2 в у 2 2 в у

J

2     2 m 2

dy = ——2 2   1 в ^{2 2} + ( m + 1 ) B ²).

2 ^{m — 2} m ² в ™ ^{— 1 (}                 )

Согласно [4, 7] формулы плотности p_m ( x ) при m e N имеют вид:

A22        .        ( ) =      2xA2.

2 П XX     p ² ' x'      2    2\ y XX

²\ ² + ^{b c}h2 e          ( ^{2 + B} ) sh в

mxm m           A2 2

2 ( 2 2 + B ² ) m ² ( m — 1 ) !2=

П [ ( 2 5 — 1 ) 2 в ² + m ² x ² 1 , m = 3, 5, 7, . ; (9)

У =1 LJ

P m ^{( X} )=—-

2 ( 2²

m ² x          A ^{2 2}

2 \ m ²         n m

+ Ц )   ^{( m —} 1 ) !sh^ e

mm — 1

П [ ( 2 У ) ² в ² + m ² x ² 5 =1 ^L

, m = 4, 6, 8, ... . (10)

Ввиду безграничной делимости распределения типа гиперболического косинуса [4, 9] при натуральных m случайную величину X с плотностью pm (х) можно представить в виде суммы m независимых случайных слагаемых, каждое с плотностью pi (х) [13-15]. Соответственно функция pm (х) является m -кратной сверткой [16-18] (композиция распределений): Pm (х) =P1 (х) *Pm-1 (х) = Pi (х) *P1 (х) *-*P1 (х) ■

Для случайной величины Y = — соответствующие функции плотности g (у) оказываются X такими:

/ х              A2вУ g1( у ) =              -------->

2 в ² + Ц ² I ch — I У ²

^V ^   2 в У J

;

g 2 ( У ) =

2 А ^{в у}

g m ( У ) =

m

2 ( в ² + Ц ² ) m ² ( m - 1 ) !

m

A2 вУ nm y2 ch

2 в У

(в 2 + Ц 2 )|sh у| У v ; I  вУJ m-1

;

П ( 2 s - 1 ) 2 в ² + m 2

s =1 _

y

при m = 3, 5, 7, ...;

g m ⁽ У ) = —^

2 ( в ²

2 m

m

A^{2 в У}

2 m ²            n m

+ ц )   ⁽ m ^- 1 ^{) !} у sh—

m

--.

П ( 2 s ) ² в ² + m 2

s =1 _

y

при m=4, 6, 8, … .

Типичные графики функции плотности g_m ( y ) при конкретных параметрах представлены на рис. 1 и 2.

Рис 1. График функции плотности g 1 ( у ) при m = 1, в = 3, Ц = 1

Рис. 2. График функции плотности g 4 ( у ) при m = 4, в = 4, Ц = - 2

Как видно из рис. 1 и 2, графики асимметричны и функции плотности g_m ( у ) имеют устранимый разрыв при у = 0. График плотности состоит из двух составляющих (при отрицательном и положительном аргументах), но при разных соотношениях параметров форма кривой плотности данного семейства распределений принципиально не меняется.

Отметим, что для распределений с плотностью g_m ( у ) параметр ^ уже не является математическим ожиданием:

+ да

M ( Y ) = j yg m ( У ) dy * V

—да

Интегралы, полученные из соотношения для M ¹ , обозначим соответственно

I Yⁿ J

J n ( m, в , V ) . Тогда из условия нормировки следует:

+да

J 0 ( 1, в , V ) = j

—да

A ^{2 в} У

у ² ch —

2 в У

___________ +да dy = 27 в2 + V2; J0 (2, в, V )= j

—да

А ^{в у}

у ³sh — в У

и в ² + v ² dy =—2— ;

+да

J 0 ( m , в , V ) = j —

—да У ²

m

A ^в

m - 1

. nm ch

2 в У

2 ( в ² + V ² ) m ² ( m — 1 ) !

П ( 2 S - 1 ) ² в ² + m 2 dy =

■ = 1 _

y

m

при m = 3, 5, 7, ...;

+да

J 0 ( m , в , V ) = j

m

A ^в

m —

—с

да у ³ sh

n m

в

₂ ¹ Г                     2

П ( ² ■ ) ² в ² + midy

■ = 1 L              у J

2 ( в ² + V ² ) m ² ( m — 1 ) !

m ²

при m = 4, 6, 8, ....

Исходя из первых моментов M ( X ) = M I у j, получим значения интегралов:

+да

A^{2 в у}

J 1 ^{( 1, в} , ^V )    j _п

—» У ³ ch----

2 в У

___________ +да dy = 2 VP2 + V2; J1 (2, в, V )= j

—да

А ^{в у}

у ⁴ sh — в У

dy =

V ( в 2 + V 2 )

;

+да

J 1 ( m , в , V ) = j -

—да У

m

A

m — 1

з , n m

³ ch

2 в У

2 v ( в 2 + V 2 ) m 2 ( m — 1 ) !

П ( 2 ■ — 1 ) ² в ² + m dy =

■ = 1 L                   у J

m

при m = 3, 5, 7, . ;

+да

J 1 ( m , в , V ) = j

—да

m

A ^в

m .

4 . n m y sh

2 в У

П ( 2 S ) ² в ² + m 2 dy =

S = 1 _

y

2 v ( в ² + V 2 ) / ( m — 1 ) !

2 m

при m = 4, 6, 8, . .

В общем случае для моментов п -го порядка M ( Xⁿ ) = M | — П J приходим к интегралам:

+да

J n ( 1, в , V ) = j

—да у'

A ^{2 в} у

■^{n + 2}ch—

+да

J n ( 2, в , V ) = j

—да у‘

2 в У

А ^{в У} л --------dy =

■^{n + 3} sh — в У

nn dy = 2,в2 + V2 XXU (n;к,j)вп—jVj;

к = 0 j = 0

(в2+^2)

nn к=0 j=0

в ^{— j} V j

2 ^{n — к}

.

При m = 3, 5, 7, ... следует

+^

J n ( ^m , ^в , Ц ) = j -

^ y‘

m

A 2'

m - 1

, n + 2

■                    »²

П ( 2 s - 1 ) 2 в ² + m J- ^dУ =

l nm ₁ ch----- s = 1 L

2 в у

2 ( в ² + Ц ² ) m ² ( m - 1 ) !

m

nn k =0 j=0

в ⁿ - j p ^j m^{n - k}

.

При m = 4, 6, 8, ... следует

+^

J n ( ^m , ^в , Ц ) = j -

^ y‘

m

A

•ⁿ + 3 sh —

2 в у

m -

П ( 2 S ) ² в ² + m 2 dy =

s = 1 _

y

2 ( в ² + ^ 2 ) m ² ( m — 1 ) !

n

n

2 m

k =0 j =0

в^: чг m n - k

.

В частности, при конкретных m и n подставляются значения коэффициентов { U ( n;k,j ) } согласно (4), и выражения для интегралов как функций параметров β и μ существенно упрощаются.

• 2.    Экспоненциальная зависимость случайных величин

Пусть случайная величина X имеет распределение типа гиперболического косинуса X ~ Ch(m, в, Ц) с функцией плотности pm (x) вида (1) при условиях (2). Полагаем Y = eX с функцией плотности hm (у). Функция y = ex имеет монотонную обратную функцию x = ln y , определенную при у > 0. Следовательно, x‘ =1 . Тогда плотность вероятностей распределения yy случайной величины Y получается как hm (у) = Pm (ln у) у , у > 0.

В общем виде (см. (1)) следует

^h m ( У ) = P m ( ^ln У ; ^m , ^{в ,} Ц ) - =

y

m ln y

2 ^{m - 2} m в ^{m - 1}   .2 в _п ( m  im ln у m  im ln у ^      _n

A B ; I , у >  0.

п ( в ² + Ц ²) m ² у         1 2    2 в 2    2 в J

В частности, при m e N согласно формулам (8)-(10) на положительной полуоси получаем lny 2в h (у) =--------------1—;

¹ _п ,>2     2     , П ln у

2\ ^{в +} Ц у ch 2 в

ln y

₍ , 2ln yA ^в h ( у ) =-------------i—;

²       /        2\    1 П ln у

( ^{в +} Ц ) у ^sh -в-

hm ( У ) =

m

m ln y

A ^ ^

2 ( в 2 + Ц ² )    ( m - 1 ) ! у ch

n m In у 2 в

m - 1

П ( 2 s - 1 ) в 2 + m²ln² у s =1 ^L

при m = 3, 5, 7, ...;

m ² ln y

m ln y

A ^ ^

„ 2    2 \ m 2/    i , nm In у

² ( ^{в +} ^ )   ( ^{m -1} ) ^! у sh—p

2 в

m - 1

П Г ( 2 s ) ² в ² + m ² s =1 ^L

при m = 4, 6, 8, ... .

Для M ( X n )

Типичный график функции плотности h m ( у ) при конкретных параметрах представлен на рис. 3.

Рис. 3. График функции плотности h_m ( у ) при m = 1, в = 3, — = 1

следует

+”                            n n                   ⁿ - j ,,^j

M (Xn ) = M (ln nY )= J ln ny • hm (у) dy = ££ U (n; k, j) ^n^ 0                     k=0 j=0             m то есть

+” m m - 2     m - 1     n     ^m h у

^{2    m e    ln} у A

^J ₀ п ( в ² + — ²) m ² у

В частности, при m = 1 и m = 2

BГm - ™1пу ; m + ™1пу 'I = £Л  (n; k, j) ^jj k 2   2 в 2   2в J   sX0         m"- k

.

+w

M ( ln " Y ) = J

соответственно получаем ln y

ln ^пу • A^{2 в} + — ² у ch

nn dx=^у= ЁЁU (n;k,j)в-j—j; n y     k=0 j=0

2 в

ln y m ( ln " y ) = f —^n l ly A. '     ^{1 J} ( в ² + — ²) У sh

n n               n - ^- j j

-dy = Ц U ( " ; k , j ) ^ n — k = 0 j = 0               ²

.

Аналогично получаются соотношения для интегралов и при других значениях параметров.

Заключение

Как известно, для многих классов распределений соответствующие случайные величины п п I 2; 2 J

связаны функционально. Например, для равномерно распределенной на интервале случайной величины X функция Y = — + A- tg X приводит к распределению Коши с параметрами μ и λ [2]. Если случайная величина X имеет распределение максимального значения с параметрами ^ и 2, то случайная величина Y = exp | - X—— | распределена по показательному k A J закону с параметром λ [2].

В данной работе при использовании функций случайных величин найдены и исследованы плотности новых распределений. Причем список таких распределений далеко не исчерпывается вышеприведенными в качестве иллюстрации.

При этом используются авторские результаты для распределения типа гиперболического косинуса, которые позволяют для новых распределений вычислять интегральные характеристики и тем самым формируют новые классы интегралов от комбинаций заданных функций при различных параметрах.

Полученный результат интересен как с теоретической, так и прикладной точек зрения.