Введение . В настоящей работе рассматривается представление решения следующей краевой задачи для 4 -гармонического уравнения в единичном шаре S = { x е К n :| x | < 1} :

Д4u (x) = f (x), x е S, (1) । дu I . дДu I u las = ^0, д |as = ^1,Дu las = ^2, |as = ^3, (2) dv dv где v - внешняя единичная нормаль к дS и ^k е Cm-k-1+£ (дS), k = 0,... ,3, f е C 1(S). Эту задачу будем называть задачей Дирихле-2 по причине ее близости в некотором смысле к классической задаче Дирихле, а решение будем искать из класса и, Л и, Ди, ЛДи е C£ (S), где £ > 0 - малое, а оператор Л определен ниже. Вариант задачи Дирихле-2 для 3-гармонического уравнения был сформулирован и исследован в [1], где были также доказаны подобные утверждения теоремы 6.

В качестве области приложения полученных результатов отметим, что 3-гармоническое и 4-гармоническое уравнения встречаются в областях механики сплошных сред, включая линейную теорию упругости и задачи вязкого течения. Именно в этих областях могут быть применены полученные результаты. Например, плоский медленно вращающийся поток высоковязкой жидкости в малых полостях моделируется 3-гармоническим уравнением для функции тока [2] при различных граничных условиях. В работе [3] предложен итерационный метод решения краевой задачи для 3-гармонического уравнения. Следует отметить, что точность такого приближённого метода может быть проверена с помощью точных решений, полученных, например, в данной работе.

Функции Грина для различных полигармонических краевых задач в явном виде встречаются во многих работах. Для бигармонического и 3-гармонического уравнений в работах [4, 5] приведена явная форма функции Грина в секторе. В [6] дается явный вид функции Грина задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в единичном шаре, а в [7, 8] находятся решения задач Дирихле и Неймана для однородного полигармонического уравнения. Применение функций Грина в задачах механики и физики можно найти в [9–14].

Элементарные решения. Хорошо известно, что функция Грина задачи Дирихле для уравне- ния Пуассона в единичном шаре S при n > 2 имеет вид g2(x, а=e2

ч

,|x|£

|x|

где E₂( x, ^)- элементарное решение уравнения Лапласа, как его определил А.В. Бицадзе в [15]. Для m е N множество N \ {1} можно разбить на два непересекающихся множества

Nm = {n е N: n > 2m > 1} О(2N +1) и дополнение к нему Ncm = {2,4,...,2m}. Поскольку множе- ство Ncm - конечное, то Nm - бесконечное. Ясно, что Ncm-1 с Ncm , а поэтому Nm с Nm-1. В [16]

были введены элементарные функции для полигармонического уравнения следующего вида:

E2m (x, С) =

|x_£T (_1)m   I (2 _ n,2)m

(2 m - 2)!! 11 x _ С|^{2 m_ n} . (2 — n,2)*m

,                         П ^ N m , d                 m-n / 2 i ln| x - ^H E 77 , П e N cm .

V              k=1 2 k J

С.Л. Соболев в [17] использовал похожие фундаментальные решения полигармонического уравнения. В [16] было доказано, что функция вида r                          V'(| x|2 -1) k (| CI2 -1) k P*

^G2m⁽x, ^{C) E}2m⁽x, ^C)E zn n             ^E2m-2k⁽x, ^C)

k=0 (2m - 2, -2)k (2,2)k является функцией Грина задачи Дирихле при всех натуральных n > 2 без ограничений. В частности, для 4-гармонического уравнения функция Грина задачи Дирихле в S имеет вид р7 A 1(|x |2 -1)(| ^2 -1)pV А

G8 ⁽x, ^С)= E8 ⁽x, ^) ^-E8 ⁽x, ^) ^-  -------------------^E6 ⁽x, ^С)

1  (l x I -1) (1 С I -1)  e* (x с)1  (l x I -1) (1 С I

4!!           6·4            4 ,      6!!6!!

л ,|х|С

V^{1 х|}

J

где обозначеноE,, (x,С) = E~,i 2k2

Вспомогательные утверждения. В дальнейшем необходимо будет следующее интегральное представление функций класса u е C2m (D) A C2m 1 (D), где D с Rn - ограниченная область с гладкой границей dD, полученное в [1, лемма 3.1].

Лемма 1. Функция и е C^2m (D) A C^2m 1(D) имеет следующее интегральное представление: им-¹ f m^-'fдЕ±ШхС)-k^ _(x мЦил u⁽x)          E _лⁿuⁿ    G2 m⁽x,^C) A dsC

^n 3Dk=0 V      ^{dv                             dv} J

( ^m

+ (—L ^2m (x, C)Amu(С) dC, ^n JD где функция G2m (x, С) определена в (3), an = | dS | - площадь единичной сферы в Rn, а V - внешняя единичная нормаль к дD .

n

Далее необходим будет также

следующий оператор Лv(С) = E CiUc , который преобразует i=1          '

гармонические функции v(С) в гармонические функции Лv(С) и обладает свойством . ,       ди ,                                        „ _z

Л и |дS =----|дS. Поскольку функции E2 m (x, С) являются по существу функцией разностного ар- дvс гумента, то необходимо следующее утверждение.

Лемма2. Пусть ^(t) - некоторая дифференцируемая при t > 0 функция. Тогда

Л M\x - С1) = ^{п ( x С} ) (|С|²-x-С),                          (5)

С

Ix -С| а также

A ZI /I I НА Л(| x /| x I -С I x II)zici2i |2 n

^ЛсИ ^x /^{| x} I^-СI^{x ||)} = , ,, ,        ,, ^{(| С |}I^x I ^-x^).                 ⁽⁶⁾

I x/ I x | -С I x II

Кроме того, при m > 1 и n е N_m-1 верно равенство

Δξ(ϕ(|ξ|²)E2^*m(x,ξ))                                  ₇

=4(|ξ|²ϕ′′(|ξ|²)+ϕ′(|ξ|²)(Λξ+n/2))E2^*m(x,ξ)-|x|²ϕ(|ξ|²)E2^*m-2(x,ξ).

Доказательство равенств (5) и (6), можно найти в [1, лемма 3.2], а доказательство равенства (7) в – [1, лемма 3.3].

Лемма3. При m > 1 , n∈ℕ_m-1 и x ≠ξ∈S справедливо равенство

(Λ_ξ+n/2)E₂^*_m(x,ξ)=mE₂^*_m(x,ξ)+^{1-|x| |ξ|}E₂^*_m-2(x,ξ),

2(2m - 2)

а также приξ∈ ∂S

(2Λξ + n -2)E2^*(x,ξ) = -ΛξG2(x,ξ).                           (8)

Свойства функции G_2m(x,ξ) . Сформулируем полезные ниже свойства функции Грина G_2m (x,ξ) задачи Дирихле.

Теорема 1. При m ≥ 3 , n∈ℕ_m-1 и x ≠ξ∈S справедливо равенство

(| x | -1)^m-(| ξ| -1)^m-                    _*

Δ_ξG_2m (x,ξ) = -G_2m-2(x,ξ) -                        (2Λ_ξ + n - 2)E₂ (x,ξ). (9)

(2m - 2)!!(2m - 4)!!

Кроме того, при m = 2 и n ≥ 3 верно равенство

ΔξG4(x,ξ)=-G2(x,ξ)-^|x^|₂¹(2Λξ+n-2)E2^*(x,ξ),              (10)

которое при n = 2 справедливо на ∂S .

С помощью теоремы 1 нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Функция G_2m(x,ξ) при m ≥ 2 и n∈ℕ_m-1 обладает свойством

∂Δ^kG (x,ξ)

Δξ^kG2m(x,ξ)|ξ∈∂S=0, 2k<m;     ^{ξ 2m}      |ξ∈∂S =0, 2k+1<m.               (11)

∂ν

На основании теорем 1 и 2 докажем существование функции Грина задачи (1)–(2).

Теорема 3. Функция Грина G8(x,ξ) задачи Дирихле при n ∉ ℕc3 = {2, 4, 6} является также и функцией Грина задачи Дирихле-2 (1)–(2).

Доказательство. Действительно, функция Грина задачи Дирихле G₈(x,ξ) при n∈ℕ₃ обладает свойствами:

• a)    является 4 -гармонической при x ≠ ξ∈S ;

• b)    имеет особенность фундаментального решения 4 -гармонического уравнения [16];

• c)    согласно равенствам (11) в случае четного m = 4 выполнены однородные условия (2) по переменной ξ :

G8(x,ξ)|∂S=ΔξG8(x,ξ)|∂S=0; ^∂G8(x,ξ)|∂S= ^{∂ΔξG8(x,ξ)}|∂S =0,           (12)

∂ν         ∂ν поскольку при k = 0,1 имеем 2k < 4 и 2k + 1 < 4 .

Все перечисленные выше свойства делают функцию G₈(x,ξ) функцией Грина задачи Дирихле-2 в S . Теорема доказана.

Теорема 4. 1. При n∈ℕ₃ решение однородной задачи Дирихле-2 (1)–(2) (выполнены условия ϕ_k = 0), если оно существует, то может быть записано в виде

u(x) = ¹   G8(x,ξ)f(ξ)dξ.                                (13)

• ^ωn ^S

  2. Функция u(x) , определяемая из (13) при f G C*(S), является решением однородной задачи (1)–(2).

  Доказательство. Воспользуемся леммой 1 при D = S для u(x) - решения однородной задачи (1)–(2). Оно может быть записано в виде (4)

  
  
  
  

  ^{u (x})LS ч^JdSk=0

  
  

  k=0 у

  
  

  дД^3—k G8( x, 4) k     3—k_C,_пдД ^ku X

  ----------^Дu^{— Д}G8⁽x, ⁴⁾ —--

  dv                      dv J

  
  

  ds +— (Д( x, 4)Д ⁴u (4) d^. (14) ^n^

  
  

Для 0 < k< 3 обозначим

Ik (4) = Дku(4) — Д3—kG8(x, 4), Ik (4) = — (Дku(4))Д3—kG8(x, 4) dvdv и покажем, что Ik (4) = I* (4) = 0 при 4 g dS и для всех 0 < k < 3 .

Из условий задачи (1)-(2) и теоремы 2 при 0 < k < 1 и 4 ^ dS вытекают равенства аа

Д4u(4) =—Д4u(4) = 0, Д&(x,4) =—Д;g₈(x,4) = 0.

dvd

Поэтому имеем Ik (4) = I‘ (4) = 0 на dS при 0  —k > —3 и,

• 3 _k_       d .3 _k_

значит, 0 < 3 — k < 1, а поэтому в силу условий Д' *G8 (x, 4) = Д3 у8 (x, 4) = 0 на dS полу-dv чим равенства Ik (4) = Ik (4) = 0 на д S и при 2 < k < 3, т. е. Ik (4) = Ik (4) = 0 при 4 GdS и для 0 < k < 3 . Поэтому все интегралы по дS из (14) обратятся в ноль, и мы получаем равенство (13).

В [16, теорема 2] показано, что функция u(x) , определяемая из (13) при f G C*(S) и n > 2 , является решением однородной задачи Дирихле для уравнения (1). В частности, Дmu = f в S . В силу симметрии функции G2m (x, 4) для нее будут также выполнены симметричные условия из теоремы 2 по переменной x

а

ДkG2 m (x, 4) =—Д x G m (x, 4) = 0, 0 < k < 1

dvx для x GdS . Поэтому функция u (x) из (13) является решением задачи (1)-(2). Теорема доказана.

Основные результаты

Теорема 5. Пусть n G N 3 , тогда решение задачи Дирихле-2 (1)–(2) для однородного уравнения (1) из класса u G C⁸(S) О C⁷(S ) может быть записано в виде

u(x) = — 1„XI V,k(4)^Д kGS(x,4) — V2k. 4'\kGs(x,4) Idsr Mn St0у      dv                                J 4

Доказательство. Пусть u(x) - решение задачи (1)-(2). По лемме 1 при D = S и f = 0 решение задачи (1)–(2) может быть записано в виде (4)

u (x) = — fJ Д ku    Д3k G8( x, 4)

4 St0у   dv

^ Д^3—kG8(x, 4)I ds. dv            J

Поскольку здесь при k = 2,3 имеем 3 — k = 1,0, то в силу равенств (12) для G8 (x, 4) слагаемые под знаком суммы при k = 2,3 обращаются в ноль. Учитывая также граничные условия (2) задачи, запишем:

л k..,     „    ^дДku,

^{Д u} IdS ^V2k , Д    laS ^v2k+1 ,

dv где k = 0,1, и, значит, приходим к равенству (15). Теорема доказана.

Определение 1. Обозначим через uϕ(i) (x) функцию, которая является решением задачи Ди рихле-2 (1)–(2), в которой ϕk = 0 при k ∈ {0,..., 3} ∖ {i} , а ϕi =ϕ.

Теорема 6. Пусть ϕi ∈ C3-i+ε(∂S) при i = 0,…,3 , тогда функции uϕ(ii) (x) , определяемые из равенств uϕ(2k)(x)= 1    ϕ(ξ) ∂ Δ3-kG8(x,ξ)dsξ,k=0,1,

ω ∂S    ∂ν n                                                                (16)

uϕ^(2k+1) (x) = - ¹    ϕ(ξ)Δ^3-kG8(x,ξ)dsξ,k =0,1,

ωn ∂S удовлетворяют определению 1, а значит, решение (15) задачи Дирихле-2 (1)–(2) из теоремы 5 3

можно представить в виде суммы u(x) = ∑uϕ(kk) (x) . Это решение u(x) обладает следующей k=0 k гладкостью u, Λu, Δu, ΛΔu ∈ Cε(S), где ε > 0 – малое.

Доказательство. 1. Найдем функцию uϕ(3) (x) . Для этого вычислим значениеΔ2G8 (x,ξ) . В соответствии с формулой (9) из теоремы 1 запишем

ΔξG8(x,ξ)=-G6(x,ξ)-(|x| -16)!!(4|ξ!!| -1) H1*(x,ξ), где обозначено

H₁^*(x,ξ) =(2Λ_ξ + n -2)E₂^*(x,ξ).

Применим оператор Лапласа Δ_ξ к полученному равенству и опять по теореме 1 найдем

Δξ²G8(x,ξ)=-ΔξG6(x,ξ)-^(|x_6!^|2_!4^-_!¹_!⁾³Δξ((|ξ|²-1)²H1^*(x,ξ))

(|x|2-1)2(|ξ|2-1) *           (|x|2-1)3            22 *

=G₄(x,ξ)+       _4!!2!!       H₁ (x,ξ) - _6!!4!!Δ_ξ((|ξ| -1) H₁ (x,ξ)).

Аналогично (7) при ϕ(t) = (t - 1)², с учетом гармоничности H₁^*(x,ξ) , запишем

((|

ξ|2-1)2H1*(x,ξ))=8|ξ|2H1*(x,ξ)+8(|ξ|2-1)(Λξ+n/2))H1*(x,ξ)(17)

и, следовательно, будем иметь

2                             (|x|²-1)²(|ξ|²-1)*

Δ_ξG₈ ( x, ξ) = G₄ ( x, ξ) +                   H₁ ( x, ξ)

2    3                   4!! 2!!

-8^{(|x| -1)}(|ξ|²+(|ξ|²-1)(Λ + n/2))H^*(x,ξ).

6!! 4!!                          ξ1

Поэтому, учитывая свойства функции Грина G₄(x,ξ) и равенство (8), получим

Δξ2G8(x,ξ)|∂S=G4(x,ξ)|∂S-(|x|2-1)3H1*(x,ξ)|∂S=(|x|2-1)3ΛξG2(x,ξ)|∂S, гдеξ ∈ ∂S . Таким образом, в соответствии с (16) находим uϕ(3)(x)=- 1    ϕ(ξ)Δ2G8(x,ξ)dsξ=(|x|2-1)3 (-1) ϕ(ξ)ΛξG2(x,ξ)dsξ=(|x|2-1)3uϕ(x),

ωn ∂S                       48    ωn ∂S48

где u_ϕ(x) – гармоническая в S функция такая, чтоu_ϕ(x) |_∂S =ϕ. С помощью этой формулы и результатов работы [18] легко находятся полиномиальные решения задачи Дирихле-2.

Проверим, удовлетворяет ли 4-гармоническая функция u_ϕ⁽³⁾(x) определению 1, если ϕ∈C^ε(∂S) , т. е. является ли она решением следующей задачи Дирихле-2

^A4u⁽x) = 0, x^eS; u 1.s =.- \.s = Au 1.s = 0,     \.s = '.

V     V

Для этого проверим выполнимость граничных условий этой задачи. Поскольку

Л u (3) (x) = 6| x I^{2 (| x 1 -1)} и (x) + ^{(| x 1 -1)} Л и (x), '                 48     '^v        48       '

,3)        ди(3) I то и( ) |дS = —— |дS = 0 . Далее, используя (17) относительно x , найдем

V д"“(■x) = 48Д(1 x -1)3“'(x)) = 4(|lf -1)(2 x +(|xf -1)(Л’ + n/2))U'('x)’ где при 'e C£ (.S) будем иметь U' e C£ (dS) и значит, согласно [19, лемма 2.2], существуют пределы Aи'3) |.S = 0 и

^ЛАu'³⁾(^x) \ss = 44 ^{x |2 U}'^(x) \ss = '.

Подобные пределы основаны на формуле (2.4.114) из [20, с. 146]. Итак, u(,³⁾(x) - решение задачи (19).

• 2.    Для нахождения функции u^²⁾(x) вычислим значение Л^A|G8 (x, %) |.S . Сначала заметим, что в силу (6) Л^E2 (x, %) = Л_xE2 (x, %) , а значит, можно записать

Л%H (x, ^) = (2Л^ + n - 2)Л£ (x, %) = (2Л% + n - 2)Л_xE*2 (x, %) = Л_xH* (x, %).    (20)

Если применить оператор Л% к обеим частям равенства (18), затем воспользоваться свойством (20), а потом перейти к пределу при % ^ .S , то будем иметь

Л . A&8 (xX, %) I.S = Л%G_(x, %) Ids + ^(|xr ^-1)2 H (xx, %) IdS

— ' x , ') (2 + Лx + 2(Л x + n /2)) H’ (■x, %) |3, где % e .S . Учитывая свойства функции Грина G4(x, %) и равенство (8), которое означает, что

H1* ⁽x, %) ke.S = ^-Л%^G2 ⁽x, %) ^e.S , ^получ^им

Гл х12-П2 Лг12-П3,

Л%AjG₈(x,%)I.S =- ^(I I ) - ^(I I ) (3Лx + n + 2)) Л%G₂(x,%)IdS .

(    8          48

Таким образом, в соответствии с (16) находим

; ( x,%-)ds% = (|x| -) -(|xI -1) (3Лx + n + 2)) ш J.S      .v                  I 8           48

X (-1) f ' «)Л{$ (x, %-) ds % = | (|x|2  1)2 -(|x |2 1)3 (3Л + n + 2)3 U' (xx), ш •S                      9 I 8             48

где U' (x) - гармоническая в S функция такая, что и ' (x) |._S = ' , а Л = Л_x.

Легко видеть, что u_<(²) |._S =

. u(²⁾ .v

|._S = 0 , а поскольку аналогично (17)

Г

A и()( x) = 1 x 1

I

-       (3Л + n + 2) + |x|²-1 -

²                I

(|x|²-1)² 4

(3Л + n + 2)

J

^(Л + n^{/2) и}'⁽x), J

то Aи, \SS = (p и, кроме того, отсюда следует, что дАи(2)

\_ss = ЛАи(²⁾(x) \ds =(2 + Л- (3Л + n + 2) + 2(Л + n /2)) и* (x)|_ss = 0. dv

Значит, функция и (²⁾( x) является решением соответствующей ей задачи Дирихле-2. В этом случае для существования пределов производных функции и (²⁾(x) в граничных условиях задачи Дирихле-2 опять, в соответствии с [19, лемма 2.2], достаточно, чтобы , е C^1+£ (3S).

• 3.    Для нахождения функции и(¹⁾(x) вычислим значение АfG8(x, f)|_3S. Из (18) с учетом (10)

получим

а;Щx,f = -G2(x,f)-Ц-1 H*(x,f) +(|x 16-1)2 A{(Uf -1)H*(x,f)

-

⁽| 48 ) A, (| f |²+(| f |²—1)(Л; + n / 2))H (x,f

Аналогично (17) и (7) при (p (t) = t — 1 вычислим

A; (| f \²-1)H (x, f) = 4(Л; + n / 2)H* (x, f ),

A_{ (| f |²+(| f |²-1)(Л_{ + n / 2))h’(x, f) = 4(Л; + n /2 + 1)(A_{ + n / 2)H,’(x, f) и поэтому будем иметь

A&(x, f) = -S,(x, f) -| !x^ — x -¹⁾² (Л; + n /2)

V 24

+^(|x 42, "3 (Лf + n / 2 + 1)(Л; + n / 2) 1 H’(x,f).

Учитывая свойства функции G2( x, f), равенства (20) и (8), получим л 3/1/ Г | x |2 -1 (| x |2 -1)2 / A n\ (| x |2 -1)3 / A n A n\\ i

^AfG8^(x,^f) ^|_sS =     Z          ~     ^(Лx⁺ ~) +     “~    ^(Лx +“ + ^1)(Лx⁺ ~) ^ЛfG2⁽x,^f) ^|3S

V 2          4           2       12           22 где fedS . Таким образом, в соответствии с (16) находим и'Лx) = 2 L P(f)A3Ss(x, f)dS; = -f' / - (|x|2 1)2 (Л + n /2) andSS                   4 V 2

+^(|x t ¹⁾³ (Л + n /2 + 1)(Л + n /2)¹(-12 f_S,(f )Л д (.x, f ds =

• --¹⁾² (Л + n/2) +^(|x47¹⁾³ (Л + n/2 + 1)(Л + n/2)¹и,(x),

V 24        12

где и, (x) - гармоническая в S функция такая, что и, (x) |_dS = , и Л = Лx.

Нетрудно непосредственно видеть, что и (1) |_dS = 0 и ^и^ |_dS = Л и (1¹) |_dS = , . Поскольку аналогично (17) верно равенство

А и⁴⁾( x) = (-2|x|² (Л + n/2) + 2| x |² (|x|²-1)(Л + n/2 + 1)(Л + n/2)

+(2 - 2(| x |2 -1)(Л + n /2) + (| x |2 -1)2(Л + n /2 + 1)(Л + n / 2))(Л + n / 2))и, (x), то из него получаем

Аи™ |„s=(-2(Л + и /2) + 2(Л + n / 2)) и,(x) ^ = ,, и, кроме того, из него следует, что

ЛДu^ (x) \S_S = (-2(Л + n / 2)(Л + 2) + 4(Л + n /2 + 1)(Л + n /2) + 2(Л + n / 2)Л

• -4(Л + n / 2)²)u_e (x) \_3S = -2(Л + 2 - 2Л- n - 2 - Л + 2Л + n))(Л + n / 2)u _e (x) \_sS = 0.

• 4. Для нахождения функции u(⁰⁾(x) вычислим значение Л %Д%G8(x, %) \_dS . Из (21) с учетом равенства H1*⁽x, %) \.s = ^-Л^G ^(x, %) \%_е3s получим

  л % Д g.₍x, %)bS = 1 к

  
  
  
  

Поэтому функция u^ ( x) является решением соответствующей ей задачи Дирихле-2. Для существования пределов производных функции u(1)(x) в граничных условиях соответствующей задачи Дирихле-2 в соответствии с [19, лемма 2.2] достаточно, чтобы <р е C^2+£ (dS) .

\ x\² -1        (\x\² -1)²       _Л

-—^!---Л + -—^!---— Л (Л + n /2)

2 x    4    xx

(\x\²-1)3 12

Лx (Лx + n /2 + 1)(Лx + n /2) (-ЛG (x, %) IdS ), J откуда в соответствии с (16) находим:

(0) ue

(x) = — L %^ '  Д G (x, % ds % = anJSS     dv

1 - IxJ—¹Л_х+ (x—1)-Л_х(Л_х+ n /2) к ^{2 x 4 x x}

-

(lx\² -1)3

(

к

-

\ x \² -1 _A

■—^!---Л +

Л

Л x (Л x + n/2 + 1)(Л x + n/2)

J

— I р(%)ЛД(.x, % ds an dSS        %             %

(x—1)-Л(Л + n/2)-(x—1)-Л(Л + n/2 + 1)(Л + n/2)]u (x), 4                      12                             J"

где u_e (x) - гармоническая в S функция такая, что u_e (x) \_dS = (p . Нетрудно видеть, что d _u (°)

u^ \av = e и —— L = Au(0) L= 0 e IdSt dv IdS        (p IdS и аналогично (17)

Д u⁽⁰⁾( x) = ( 2\x \²Л(Л + n/2) - 2\x\² (\ x \²-1)Л(Л + n/2 + 1)(Л + n/2)

+(-2Л + 2(\ x \²-1)Л(Л + n /2) - (\ x \²-1)²Л(Л + n /2 + 1)(Л + n / 2))(Л + n /2)) u_e (x). Отсюда, после некоторых простых преобразований, получим

Дu(⁰⁾(x) = -(\ x \²-1)²Л(Л + n / 2)(Л + n /2 + 1)(Л + n /2 + 2)u_e (x).

Поэтому Дu(⁰⁾(x) \_dS = 0 и -V- \_dS = ЛДu(⁰⁾(x) \_dS = 0 . Таким образом, функция u(⁰⁾(x) является решением соответствующей ей задачи Дирихле-2. Для существования пределов производных функции u ^⁰⁾(x) в граничных условиях соответствующей задачи Дирихле-2 в соответствии с [19, лемма 2.2] достаточно чтобы <р е C^-+£ (dS) . Теорема доказана.

Замечание 1. При нахождении функций u⁽k)(x), k = 0,...,3 никаких условий на размерность пространства n не возникло, поэтому, вероятно, что в теореме 5 условие n е N3 можно снять.