Функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и поворотом

Основы теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений были заложены в работах А. Л. Скубачевского [1–4]. Были найдены как необходимые, так и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга в алгебраической форме, исследованы спектральные свойства операторов и гладкость обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. В [2, 3] содержится также обширный обзор литературы и приложений к задачам физики, механики и теории управления.

• ^# Работа выполнена в рамках государственного задания в соответствии с Дополнительным соглашением от 07.07.2020 № 075-03-2020-239/2 реестр № 248 КБК 01104730290059611, по проекту «Нелинейные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения и краевые задачи», и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 18-41-200001.

• 2.    Алгебра функциональных операторов с растяжением и поворотом

Систематическое изучение функциональных и функционально-дифференциальных уравнений, содержащих растяжение или сжатие аргумента искомой функции, началось в 1970-х годах после выхода статей [5, 6], посвященных уравнению пантографа. Уравнения подобного рода возникают также в астрофизике [7], биологии [8], теории чисел [9] и теории вероятностей [10]. Теория Фредгольма для эллиптических функциональнодифференциальных уравнений со сжатием — отображением многообразия с краем строго внутрь себя, получила развитие в работе [11].

Данная работа является продолжением исследований по эллиптическим уравнениям со сжатиями и растяжениями [12–14] и по применяемому подходу близка к статье [14], в которой рассматривались уравнения с несоизмеримыми растяжениями. Отметим также статью [15], посвященную эллиптическому уравнению с растяжением и сдвигами.

Через H ¹ (^) обозначается пространство Соболева всех комплекснозначных функций u(x) в области Q С R ² , принадлежащих L 2 (^) вместе с обобщенными производными первого порядка u _x 1 , u _x 2 , а через H ¹ (Q) — замыкание множества C 0^ (Q) финитных бесконечно дифференцируемых функций в H 1 (Q). Пространства H 1 (Q) и H 1 (^) — гильбертовы со скалярными произведениями

(u,v) H 1 (Q) = / (uv + ^U x j V x j\ dx, ( u,v) h 1 (Q) = / Z^Uxj V x j dx.

Q ^V      j = 1       ^У                      Q j=1

Пусть заданы числа p >  1 и a E R . Сопоставим этим числам унитарные операторы растяжения P и поворота R _a в пространстве L 2 ( R ² ), действующие по формулам

Pu(x) = p ^-1 u(p ^-1 x) = p ^-1 u(p ^-1 x ₁ ,p ^-1 x₂),

R _a u(x) = u(x _a ) = u(x 1 cos a — x ₂ sin a, x 1 sin a + x ₂ cos a).

Спектр a(P) оператора P есть вся единичная окружность (см., например, [12]).

Лемма 1. Пусть число α соизмеримо с π , и n — наименьшее натуральное число такое, что na кратно 2п . Тогда спектр a(R _a ) совпадает с множеством корней n-й степени из 1 , a(R a ) = { e ^i2nk/n : k = 0,1,... ,n — 1 } .

• <1 Рассмотрим в пространстве L 2 ( R ² ) уравнение Au — R _a u = v. Применяя к обеим частям этого уравнения оператор R a = R k_a для k = 1,..., n — 1 и учитывая R a = I , получим систему уравнений

Au — R _a u = v, AR _a u — R _a u = R _a v, . . . , AR _a u — u = R _a v.

Умножим первое уравнение на A n^-1 , второе на A n^-2 и т. д. (предпоследнее уравнение умножается на A, а последнее на 1), после чего сложим получившиеся уравнения. Будем иметь

(An — 1)u = An-1v + An-2RaV + ... + Rn-1v, что при An = 1 равносильно соотношению u = (An — 1)-1 (An-1v + An-2RaV + ... + Ra-1v) .

Таким образом, любое число А, отличное от корня n-й степени из 1, является резольвентной точкой оператора R _α , и резольвента имеет вид

(AI - R a ) ^-1 = (A n - 1) ^-1 (A ^n-1 I + A ^n-2 R a + ... + R n^{- 1}).

C другой стороны, зафиксировав k G { 0,1,..., n — 1 } , возьмем на плоскости кусочно постоянную функцию П к , принимающую в угле —ja <  у <  2n/n — ja значение e ^i2nkj/n , j = 0,1,... ,n — 1. Тогда для произвольной ненулевой «2п/n-периодической» функции u G L 2 ( R ² ) (u(r, у + 2n/n) = u(r, у), (r, у ) — полярные координаты), функция П к и является собственной функцией оператора поворота R _α , отвечающей собственному значению А _к = e ^i2nk n . >

Лемма 2. Пусть число a несоизмеримо с п . Тогда a(R _a ) совпадает с единичной окружностью, a(R _a ) = { A G C : | А | = 1 } .

• <1 Пусть | А | = 1. В условиях леммы все числа ja (j G Z ) различны по модулю числа 2п. Следовательно, зафиксировав произвольное натуральное число n, мы можем взять такое число 5 >  0, что отрезки [ — a, —a + 5], [0, 5], [а, а + 5], ..., [(n — 1)a, (n — 1)a + 5] по модулю 2п попарно не пересекаются. Зададим функцию u n G L 2 ( R ² ), равной A ^j для r G (0,1) и у G (ja,ja + 5), где j = 0,1,..., n — 1, и нулю в остальных точках плоскости. Очевидно, ||u _n h L ₂ (R 2 ) = n5/2. В то же время, функция Au n — R _a u n отлична от нуля только в области r G (0,1), у G ( — a, — a + 5), где она равна — 1, и в области r G (0,1), у G ((n — 1)a, (n — 1)a + 5), где она равна A n , так что ||Au n — R _a u _n | L 2 (R ₂ ) = 5. Существование последовательности u _n G L 2 ( R ² ), для которой

llu n H l 2 ( R ² )

^ то , n ^ то ,

||^Aun ^{— R} a u n ^| L ₂ (R 2 )

означает, что при | A | = 1 оператор AI — R _a не имеет ограниченного обратного в пространстве L 2 ( R ² ). >

Обозначим через A _p и A _α коммутативные банаховы B ^∗ -алгебры ограниченных операторов в L 2 ( R ² ), порожденные оператором P и R _a , соответственно. При a несоизмеримом с π эти алгебры устроены одинаково, будучи изоморфными алгебре непрерывных функций на окружности. Так, в алгебре A _α плотны по операторной норме конечные суммы ^2 a m R m (a m G C , m G Z ). По теореме Гельфанда — Наймарка [16] A _a изометрически изоморфна алгебре C(A _a ) всех непрерывных комплекных функций на пространстве A _a максимальных идеалов алгебры A _a , причем отображение R _a : A _a ^ C (преобразование Гельфанда оператора R _a , R _a (h) = h(R _a )) осуществляет гомеоморфизм A _a на a(R _a ) = { A G C : | A | = 1 } . Образом оператора ^2 a m R m при упомянутом изоморфизме будет функция a _m λ ^m на окружности.

Если же угол α соизмерим с π и n — наименьшее натуральное число такое, что na кратно 2п, то всякий элемент алгебры A _a имеет вид a g I + a 1 R _a + ... + a _{n -} 1 R ^n-1 (a o ,...,a _{n -} 1 G C ), при этом для любого комплексного гомоморфизма h алгебры A _a выполняется, очевидно, соотношение (h(R _a )) ⁿ = h(R a ) = h(I) = 1. Поэтому существует ровно n комплексных гомоморфизмов h g , h 1 , ..., h _{n -} 1 алгебры A _a , где h k (R _a ) = e i^2nk/n , и пространство максимальных идеалов A _a отождествляется со спектром a(R _a ) = { e i^2nk/n : k = 0,1,..., n — 1 } . В рассматриваемом случае алгебра A _a изоморфна C ⁿ , и оператору a g I + a 1 R _a + ... + a _{n -} 1 R ^n-1 при изоморфизме отвечает вектор, k-я координата которого равна a ₀ + a ₁ e ^i2nk/n + ... + a _{n - 1} e ^i2nk(n-1)/n .

Перейдем теперь к алгебре Ap,α , порожденной парой коммутирующих операторов P и Rα. Это коммутативная B ∗-алгебра, полученная замыканием по операторной норме конечных сумм ^ amkPmR?^, если угол поворота а несоизмерим с п, и сумм 52 amoPm + 52 amiPmRa + • • • + 52 am,n-iPmR^-1, если угол поворота а соизмерим с п (amk € C, m,k G Z). Пусть Ap,a — пространство максимальных идеалов этой алгебры. Мы покажем, что Ap,a = Ap х Aa. Таким образом, получается, что пространство максимальных идеалов алгебры Apa гомеоморфно либо двумерному тору T2, либо n экземплярам окружности, а сама алгебра Ap,α изометрически изоморфна либо алгебре непрерывных функций на торе, либо алгебре Cn-значных функций на окружности.

Лемма 3. Для норм операторов справедливы оценки снизу

Е amkPMl > (Е |amk|2) '  (а несоизмерим с п), n-1

ЕЕ a mk P m R a >

n - 1             \ 1/2

ее | a _mk | ² I      (а соизмерим с п).

<1 Предположим для определенности, что угол а несоизмерим с п. Зафиксируем на плоскости круг B = B (х ⁰ ; е ) c центром в любой точке х ⁰ = 0 настолько малого радиуса е , что все круги B mk = B(p ^m x —k_a ;p ^m e) попарно непересекаются, когда индексы m и k пробегают присутствующие в рассматриваемом операторе значения. Это возможно, поскольку все точки p ^m x - _a различны. Обозначим через х в (х) характеристическую функцию этого круга. Образом этой функции под действием оператора ^ a mk P m R a будет простая функция s(x), принимающая значения a mk p ^-m в кругах B mk и равная нулю вне этих кругов. Очевидно,

HSHl2(R2) = Е> |amkI p ^(Bmk )= ^(B) E, |amkI , в то время, как ||хвHl2(r2) = ^(B)• Из определения нормы оператора вытекает требуемая оценка.

Доказательство для случая, когда а соизмерим с п, полностью аналогично. >

Теорема 1. Пусть угол α несоизмерим с π. Тогда пространство максимальных идеалов A _p,_a алгебры A _pa гомеоморфно тору T ² = { (A, w) G C ² : | А | = ^{| w |} = ^{1 }} .

< Убедимся вначале при помощи стандартных рассуждений, что A _p,_a гомеоморфно некоторому компактному подмножеству тора. Для этого рассмотрим заданное формулой ф(h) = (P(h?),R _a (h)) отображение ф : A _p,_a ^ C ² . По определению преобразования Гельфанда и топологии A _p,_a это отображение непрерывно. Более того, множество значений каждой из координат в отдельности — единичная окружность. Действительно, когда комплексный гомоморфизм h пробегает все пространство A _p,_a , числа h(P) и h(R _a ) пробегают спектры операторов P и R _α в алгебре A _p,α , а спектр элемента один и тот же во всех B ^∗ -алгебрах, его содержащих [16].

Если предположить, что ф(^) = ф^ 2 ), т. е. h i (P) = h 2 (P) и h i ( R _a ) = h 2 ( R _a ), то значения гомоморфизмов h i и h 2 будут совпадать на конечных суммах ^ a mk P m R ?^. В силу плотности последних в A _pa получаем h i = h 2 . Таким образом, отображение ф взаимно однозначно и, следовательно, является гомеоморфизмом A _p,_a на некоторый компакт K С T ² (любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово есть гомеоморфизм).

Перенося функции с Apa на K при помощи отображения ф-1, получаем на основании теоремы Гельфанда — Наймарка изометрический изоморфизм алгебры Ap,α на алгебру C(K). При этом изоморфизме оператору T(P,Ra) = 52 amkPmRkk отвечает рассматриваемая на K функция t(A, w) = ^ amkAmwk = ^ amket(m6+kH') (воспользовались представлением А = ei6, w = ein, 9 и n — вещественные параметры), а изометрия означает, что ||T(P,Ra)| = sup{|t(A,w)| : (A,w) € K}. Соединяя этот вывод с результатом леммы 3, приходим к оценке

(E Kk I ² ) ¹/² <  sup ||^ a mk e ^i(m6+^kn) | : (e i⁶ ,e iⁿ ) € K |.           (4.1)

Эта оценка выражает следующее ключевое свойство компакта K : равномерная сходимость к нулю на множестве K любой последовательности тригонометрических полиномов от двух переменных обеспечивает ее сходимость к нулю в среднем квадратичном на всем торе T ² . Такое возможно только при K = T ² . Действительно, предположим, что множество T ² \ K непусто. В силу того, что оно открыто, существует ненулевая функция f € C “ ( T ² ), обращающаяся в ноль на K . Частичные суммы ряда Фурье этой функции есть тригонометрические полиномы, сходящиеся к f в L 2 ( T ² ) и равномерно аппроксимирующие f , т. е. стремящиеся к нулю, на K . Получили противоречие с оценкой (4.1). >

Теорема 2. Пусть угол α соизмерим с π и n — наименьшее натуральное число та кое, что па кратно 2п . Тогда пространство максимальных идеалов ^ _p,_a алгебры A _p,_a гомеоморфно дизъюнктному объединению n экземпляров окружности S .

• <1 Аналогично доказательству теоремы 1 мы показываем при помощи отображения ФК, что алгебра A _p,_a изометрически изоморфна алгебре C(K ) непрерывных функций на некотором компактном подмножестве K прямого произведения S х { w o ,w i ,..., w _{n -} i } , W k = e^k // ¹. Обозначим K k = { А € S : (А, w k ) € K } . Оператору

T (P, R a ) = ^ a mo P m + ^ a m1 P^mR a + ... + ^ a m,n-1 P m R^

теперь отвечает набор функций tk (А) = t(A, Wk) = ^ amoAm + ^ amiAmWk + ... + ^ amn-1Amwt\

A e K _k , k = 0,1,...,n - 1.

При этом справедливо равенство

\\T(P, R a )^ = supsup {| t k (А) | : А € K k} . k

(4.2)

Зафиксируем индекс j € {0,1,...,n - 1} и положим amo = am, am1 = amw- 1, ..., am,n-1 = amwj1-n . Для оператора с такими коэффициентами имеем tk(А) = (1 + w^wk + ... + (w- 1Wk)n ^ ^ amAm.

Если k = j, то

1 + w ^-1 w _k + ... + ⁽ w ^-1 w _k ) n ¹ = 1 + e ⁱ²ⁿ(^k-j)/n + ... + e ⁱ²ⁿ(^k-j)(n^-1)/n = ⁽ _e i^2n(k-j)/n _ 1) ^{-1 (} _e iM^k-j) _ 1) = 0.

Поэтому супремум в правой части равенства (4.2) достигается при k = j и равен sup {| t - (А) | : А € K j } . Комбинируя (4.2) с леммой 3, получаем

(E К^Г <  v n sup{|^ a m e ^im6 | : e i⁶ € K - C sj> .

Применяя те же рассуждения, что и в последнем абзаце доказательства теоремы 1, с заменой T ² на S , выводим K j = S . Это справедливо для всех j = 0,1,... , n — 1, откуда следует утверждение теоремы. ⊲

Из описанного выше изоморфизма вытекает следующий критерий положительной определенности операторов алгебры A _p,α .

Следствие 1. Оператор T (P, R _a ) : L 2 ( R ² ) ^ L 2 ( R ² ) положительно определен тогда и только тогда, когда t(A,w) > 0 при всех A,w Е C таких, что | А | = | w | = 1 , в случае угла а несоизмеримого с п, и t k (А) = t(A, W k ) > 0 при | А | = 1 для всех k = 0,1,..., n — 1 в случае, если угол α соизмерим с π .

Пример 1. Запишем условия положительной определенности в пространстве L 2 ( R ² ) эрмитовой части оператора

u(x) н- u(x) + au(p ^-1 x) + bu(x _a ), a,b Е C .                    (4.3)

Если а несоизмерим с п, то символом оператора I + apP + bR _a будет выражение 1 + apA + bw, в котором А и w независимо пробегают единичные окружности. В этом случае мы требуем положительности выражения Re (1 + p | a | e ^i(6+arga) + | b | e i^{(n+argb )}) для всех 9,n Е R , что, очевидно, равносильно условию p|a| + | b | < 1.

Если же угол α соизмерим с π, то положительная определенность оператора (4.3) равносильна неравенствам

1 + p|a| cos(9 + arg a) + Re(bw _k ) = 1 + p|a| cos(9 + arg a) + | b | cos(arg b + 2nk/n) > 0,

9 Е R, k = 0,1,...,n — 1, или p|a| — |b| cos(arg b + 2nk/n) < 1 для всех k = 0,1,...,n — 1.

Пусть, например, а = п, тогда записанное через коэффициенты условие положительной определенности выглядит так: p|a| + | Re b | < 1.

Пусть а = 2п/3. Если b >  0, то условие принимает вид p|a| + b/2 < 1, а если b <  0, то p | a | + |b| < 1.

Пример 2. Для проверки положительной определенности эрмитовой части оператора u(x) Н- u(x) + au(p ^-1 x _a ) (оператора I + paPR _a ) следует рассмотреть неравенство

1 + p|a| cos(9 + n + arg a) > 0, 9, n Е R, либо неравенства

1+ p | a | cos(9 + 2nk/n + arg a) > 0, 9 Е R , k = 0,1,...,n — 1.

Условия на коэффициент в обоих случаях получаются одинаковыми: p | a | < 1.

Отметим, что спектральные свойства оператора T(P, R _a ) одни и те же для всех значений α несоизмеримых c π . В противном случае, как мы видим, это не так. В этом состоит принципиальное отличие между двумя рассматриваемыми случаями.

• 3.    Разрешимость краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения

Пусть Q С R2 — ограниченная область. Определим оператор T(P, Ra) на функциях из L2(Q) следующим образом: вначале функция u Е L2(^) продолжается нулем в R2 \ Q, затем к этому продолжению применяется действующий в L2(R2) оператор T(P, Ra), а после результат действия оператора сужается на Q. Понятно, что в этом случае мы также имеем ограниченный линейный оператор T(P,Ra) : L2(0) ^ L2(0), причем из положительной определенности оператора T(P, Ra) в L2(R2) следует, очевидно, его положительная определенность в £з(0).

Рассмотрим краевую задачу

/"' ⁺ ^ (T ^(P, R a^ u x j ) x j = f^(x), ^x € ⁰, j=i

(4.4)

^{u |} dQ     ⁰’

Здесь ^ € C — спектральный параметр, f € £ 2 (0).

Обобщенным решением задачи (4.4) назовем функцию u € H 1 (0), удовлетворяющую при всех v € H ¹ (0) интегральному тождеству

^u,v)L2(Q) -52 (T(P,Ra)uXj ,vxj)L2(Q) = (f,v)L2(Q)- j=1

Наряду с оператором T(P,R _a) с коэффициентами a mk будем рассматривать аналогичный оператор T (P, R _a ), коэффициенты которого равны a mk cos ka.

Теорема 3. Для всякой ограниченной области 0 , содержащей начало координат, условие

Re t(A, w) > 0, | А | = | w | = 1 (a несоизмерим с п), либо

Ret(A, W k ) > 0, | А | = 1, k = 0,1,..., n — 1 (a соизмерим с п), является необходимым и достаточным для существования постоянных c i > 0 , С 2 ^ 0 таких, что при всех u € C “ (Q) выполнено неравенство (типа Гординга)

^Re ^2 (^{T (P},^R a ^)u X j ,u x j ) l ₂ (Q) ^ ^C1ll^UllH1 (Q) - ^c 2 ||^u|lL₂ (Q) •               ⁽⁴-⁵⁾

j =i

• <1 Прежде всего отметим, что в рассматриваемом случае неравенство (4.5) на классе C q° (0) равносильно оценке

^Re ^ (Т ^(P,^{R a )u} x j ,u x j ) L 2 (R 2 ) ^ c ¹ || |V u | || l ₂ ( r 2 )                    ⁽⁴-⁶⁾

j=i на всем классе Cq°(R2). В этом легко убедиться, сделав в интегралах замену переменных у = тх, т > 1:

^Re ^ (^{T (P},^{R a )v} y j ,v y j ) L 2 (_T q) ^ ^{C 1 || |}^ ^{v | ||} L ₂ ( t Q) - ⁽c ² - ^{С 1 )т} ^ ^V ^ L 2 ( t Q) , v ^{€ C} 0 ^{(т 0)1} j =1

Поскольку 0 содержит начало координат, получаем оценку (4.6) для любой функции u € Cq^R ² ) .

Воспользовавшись теоремой Планшереля, перейдем в (4.6) к преобразованию Фурье U(^). Заметим, что в образах Фурье оператору P отвечает сопряженный оператор P * = P ^-1 , а оператор R _a переходит в R _a . Таким образом будем иметь

Re ]^ / ^ j <) T (P * ,R a )\_^ ₃ й(0] d^ >  ci / | £ | ² | u(€) | ² d^

^j =¹ R ²                                           R ²

или

• ²_f _____

^Re 52 / 1 ^ 1 ^ j ^v(6) T ^(P , R a ) [ | € l ^ j ^v(6)] d⁶ ^ ^c1||^vIIl₂ (R ² ) ,              (4.7)

j = 1R2

где v(6) обозначает | £ | u(£). Поскольку

• |l v<5) p <. [ | ■<)] = ^{: cos ka}    ■■■ ^{sin ka} vci) p -r^k).

• <> p ^min [| v(o] = ^{6 1 6 2 sin}    + ^{5 2 cos ka} ^ p m^v v(o

и, следовательно,

4 V<) P*^mR^k_a    <)] + ⁵ v<) P*^mR^k_a fe <)1 = v(£)cos kaP * ^m R V v(6),

|6|                                 L|£|                       |6|                                 L|£| стоящее под интегралом в левой части (4.7) выражение есть v(6) T(P*,Ra)v(6), а само неравенство (4.7) принимает вид

Re (T(P * ,R « ) v,v ) l ₂ ( r 2 ) >  С 1|Ы^ ( r 2 ) .                        (4.8)

Заметим, что множество участвующих в полученном неравенстве функций v является всюду плотным в L 2 ( R ² ), когда и пробегает все пространство C “ ( R ² ). Действительно, в L 2 ( R ² ) плотны функции ^ G L 2 ( R ² ) с компактным носителем, не пересекающимся с началом координат. С другой стороны, функции из C “ ( R ² ) плотны в H 1 ( R ² ). Поэтому последовательностью u _m образов Фурье гладких финитных функций по теореме План-шереля можно аппроксимировать любую функцию вида ф = ^/ | £ | в следующем смысле:

j (1 + l 6 | ² )|U m - Ф| 2 d6 ^ 0, m ^ то .

R ²

Получаем, таким образом, что

/ 1161 и

R ²

m

^— ^j d⁶ ^ ⁰.

m ^ то .

Теперь можно сказать, что неравенство (4.8), а значит, и исходное неравенство (4.5), есть условие положительной определенности в L 2 ( R ² ) эрмитовой части оператора T(P * , R _a ). С учетом следствия 1 последнее эквивалентно либо алгебраическому неравенству Re t(X, w) > 0 при | А | = | w | = 1, либо Re t(X, W k ) > 0 при | А | = 1, к = 0,1,.... n — 1. Понятно, что λ здесь можно заменить на λ . Неравенство (4.5) выполняется с постоянными С 2 = 0 и c i = minRet(A,w) (c i = minRe t(A,W k )). >

Следствие 2. Пусть ограниченная область Q содержит начало координат и выполнено условие

Ret(A, w) > 0,   |А| = |w| = 1 (a несоизмерим с п), либо

Re t(A, W k ) > 0,    | А | = 1, к = 0,1,.... n — 1 (a соизмерим с п).

Тогда спектр краевой задачи (4.4) состоит из изолированных собственных значений конечной кратности и располагается в правой полуплоскости: Re ц > 0. В частности, при

^ = 0 краевая задача (4.4) имеет единственное обобщенное решение для всех функций f G L 2 (Q) . При любом ^ G C задача (4.4) фредгольмова.

Доказательство основано на неравенстве (4.5) и проводится стандартными методами функционального анализа (см., например, [2, 3, 12]). В примерах ниже считаем, что 0 G U.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

V f,        f Х 1 x ( x ⁺ ^3 x 2 ^ x l^x. U _

• -     ^u x j ^(x) + au x j p , p j + bu x j -      2     ,     2 j j = ^{f (x)}, x ^G U,

в котором a = 2п/3. Пусть b G R . Комбинируя пример 1 с теоремой 3, получаем существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле для данного уравнения при условии p | a | — b/4 < 1, если b <  0, и при условии p | a | + b/2 < 1, если b >  0.

Пример 4. Для уравнения

• — У^ (u _{x j} (x) + au x j (p ^-1 (x 1 cos a — x ₂ sin a), p ^-1 (x i sin a + x ₂ cos a)) x j = f (x), x G U, j=1                                                                            ^j

имеем

T(P, R _a ) = I + paPR _a , T(P, R _a ) = I + pa cos aPR _a .

Каков бы ни был угол a, если p | a cos a | < 1, то задача Дирихле имеет единственное обобщенное решение при всех f G L 2 (U).