Функциональное представление пространств Канторовича посредством булевозначных моделей

В работе [2] для произвольного булевозначного универсума предложен удобный функциональный аналог — непрерывный поливерсум, представляющий собой непрерывное расслоение (над некоторым экстремально несвязным компактом Q), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом булевозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функций, сопоставляющих каждой точке компакта Q элемент соответствующего слоя.

В данной статье введено понятие непрерывного внешнего сечения, в определенном смысле обобщающее понятие сечения. Значением внешнего сечения в точке компакта Q является не элемент, а подмножество соответствующего слоя поливерсума. Таким образом, внешнее сечение поливерсума, как и сам поливерсум, является непрерывным расслоением, множество непрерывных сечений которого называется его спуском.

Спуски внешних сечений, обладающих определенными свойствами, являются векторными решетками. Более того, любая векторная решетка оказывается изоморфной спуску подходящего внешнего сечения.

С помощью представления булевозначного универсума в виде поливерсума в работе [3] введено понятие бесконечной близости элементов нормированного пространства (и, в частности, вещественных чисел) внутри слоя поливерсума и предложены аналоги некоторых теорем инфинитезимального анализа, касающиеся вещественных чисел. В том числе, установлено, что каждое ограниченное число А имеет стандартную часть °А — единственное стандартное число, бесконечно близкое к А.

Понятие стандартной части позволяет получить явное описание изоморфизма между спусками внешних сечений поливерсума и подрешетками пространства C^Q), представляющего собой общий вид расширенного A-пространства. А именно, каждая

подрешетка СДХУ) совпадает с решеткой функций q н- °u(g), где и — элементы спуска некоторого внешнего сечения поливерсума.

Новое функциональное представление позволяет упрощать доказательства многих утверждений о ^-пространствах и векторных решетках с помощью перехода к их «поточечным» аналогам. В данной работе формализовано понятие поточечного критерия для произвольного свойства векторной решетки и установлено, какие из рассматриваемых свойств имеют поточечные критерии.

Необходимые сведения из нестандартного анализа см. [4-6].

• 2.    Предварительные сведения

Компакт называется экстремально несвязным, если замыкание любого его открытого подмножества открыто. На протяжении всего текста Q — экстремально несвязный компакт. Символом Clop(Q) обозначают совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, а символом С1ор() — совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, содержащих точку q Е Q.

Точка топологического пространства называется ст-изолированной (или P-точкой), если пересечение любого счетного множества ее окрестностей является окрестностью этой точки.

Пусть D — всюду плотное подмножество Q и / : D —> R — непрерывная функция. Будем говорить, что функция / имеет предел А Е R в точке q Е Q, если для любой открытой окрестности V точки А найдется открытая окрестность U точки q такая, что /[Н] С V. Благодаря непрерывности / наше определение предела отличается от классического лишь тем, что значения функции в изолированных точках объявляются ее пределами в этих точках. Рассмотрим множество D всех точек q Е Q, в которых функция / имеет предел, и обозначим этот предел через До). Функция / : D —> R, очевидно, является продолжением /. Известно, что функция / непрерывна и определена на котощем подмножестве Q, (см. [1, Теорема 1.1.1]). Функцию / называют максимальным расширением /. Определенная на всюду плотном подмножестве Q функция называется расширенной, если она совпадает со своим максимальным расширением.

Множество расширенных функций обозначают символом C'_OO(Q). Заметим, что любая функция / Е C^Q') имеет продолжение / Е C^Q,^. Две функции f,g Е Coo(Q) равны в том и только том случае, когда они равны на всюду плотном подмножестве Q.

Подробные сведения о расширенных функциях можно найти в [1, §1.1].

В произвольной булевой алгебре символ X обозначает отношение дизъюнктности: aBb <4- а А Ь = 0. Семейство элементов булевой алгебры называется дизъюнктным, если любые два его элемента попарно дизъюнктны.

Теорема (принцип исчерпывания). Пусть В — полная булева алгебра. Тогда для всякого семейства (аД^еЕ элементов В существует такое дизъюнктное семейство (6Д^еЕ, что 1ц < а^ для всех £ Е Е и sup^_e5 а^ = sup^_e5 by

Доказательство последней теоремы можно найти, например, в [7, теорема 20.2].

Теорема Стоуна — Огасавары [8, 9]. Пусть В — полная булева алгебра и Q — совокупность всех ультрафильтров в В. Для каждого элемента b Е В обозначим множество ^q Е Q : b Е q^ через Ь. Множество Д ; b Е В} является базой некоторой топологии на Q, относительно которой Q является экстремально несвязным компактом.

Кроме того, отображение Ь Н- Ь осуществляет булев изоморфизм между алгебрами В и Clop(Q)

Компакт Q, построенный в формулировке последней теоремы, называется стоу-новским компактом булевой алгебры В.

Всюду ниже под векторной решеткой мы понимаем решеточно упорядоченное векторное пространство. При этом, если явно не оговорено противное, все рассматриваемые векторные решетки предполагаются архимедовыми.

В векторной решетке Е элементы е и / называются дизъюнктными, если е Л|/ = 0. Дизъюнктное дополнение {е Е Е : eAf для всех / Е А} множества F С Е обозначается через F¹" . Подмножество векторной решетки, имеющее вид F ^±± для некоторого F С Е, называется полосой. Подмножество F С Е является полосой тогда и только тогда, когда F^±± = F. Полосы вида {e}^±_L, где е Е Е, называются главными. Полосы векторной решетки образуют полную булеву алгебру. Элемент 1 Е Е называется слабой порядковой единицей, если 1 > 0 и {1}^±J" = Е, и сильной порядковой единицей, если для каждого элемента е Е Е существует число А Е R такое, что е ^ А1 то элемент 1 Е Е.

Линейный оператор тг: Е —» Е называется порядковым проектором, если тг² = тг и 0 ^ тге ^ е для всех положительных элементов в Е Е. Множество всех порядковых проекторов векторной решетки Е обозначается символом Рг(5). Образ любого порядкового проектора является полосой. Каждый порядковый проектор однозначно определяется своим образом. Порядковые проекторы векторной решетки Е образуют булеву алгебру. В пространстве C'_OO(Q) для любого порядкового проектора тг найдется единственное множество Р Е Clop(Q) такое, что тг/ = \pf Д^ля всех / Е С<Д(Д. где Хр — характеристическая функция множества Р. Соответствие тг Н- Р является изоморфизмом между булевыми алгебрами Pr(C'_oo(Q)) и Clop(Q).

Множество F С Е назовем конечно-циклическим, если для любых элементов /1,... , /„ Е F и для любых попарно дизъюнктных порядковых проекторов tti ,... , тг„ Е Рг(5) элемент tti/i + • • • + K_nf_n принадлежит F.

Тот факт, что сеть (e_a)_aGA монотонно убывает и inf_aGA = е, коротко обозначают формулой еДе. Говорят, что сеть (e_a)_aGA о-сходится к элементу е Е Е и пишут е = о- Нт_аеАе_а, если в Е найдется сеть (/_>s)_>s_gb такая, что V 0 Е В За Е A Va > а е_а Ое <  fp. Если в роли сети ДрДев выступает последовательность (//n)_nG^ для некоторого / > 0, то говорят, что сеть (e_a)_aGA г-сходится к элементу е Е Е (с регулятором /) и пишут е = r-lim_aGAe_a.

Векторное подпространство F С Е называют (порядковым) идеалом векторной решетки Е, если для любых / Е F и е Е Е из е ^ / следует е Е F. Идеал F называют главным (порожденным элементом е Е F) если для любого элемента / Е F верно / < п|е для некоторого числа п Е N. Идеал F называют фундаментом, если A¹¹ = Е.

Пространством Канторовича или К-пространством называется векторная решетка, в которой любое ограниченное сверху (снизу) подмножество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу. Расширенным К-пространством называется АГ-пространство, в котором любое дизъюнктное подмножество ограничено. Любое АГ-пространство является фундаментом некоторого (единственного с точностью до изоморфизма) расширенного АГ-пространства. Любое расширенное АГ-пространство изоморфно пространству C'_OO(Q), где Q — стоуновский компакт булевой алгебры полос данного пространства.

Символом V мы обозначаем класс всех множеств и предполагаем, что V является моделью ZFC (а точнее, NBG; см., например, [4, § 1.3]).

Пусть ^V С Q х V — класс-соответствие, на котором задана некоторая топология (см. [2, 1.2]). Класс всех открыто-замкнутых подмножеств ^V обозначается через Скщ^У). Для каждой точки q Е Q класс

QV П ({д} х V) = ^q,x) : (д,ж) Е °У} обозначают символом 9V. Соответствие ^V называют непрерывным расслоением над Q, а класс 9V — слоем расслоения ^V в точке q. Функцию и: D —> ®У называют сечением расслоения ^У над множеством D С Q, если и^ Е qV для всех q Е D. Под непрерывным сечением расслоения ^У понимается сечение, являющееся непрерывной функцией. Для любого подмножества D С Q символом C^D, ^У) обозначается класс всех непрерывных сечений ^У над D.

Как установлено в [2, предложения 2.3 и 2.5], если выполнены условия (l)VgEQ VxE^qX BuEC(Q,^qV) u(q)=x-,

• (2)    Vu E C(Q,^qV) VAEClop(Q) и(Л) e Clop(^Qy),

то непрерывное расслоение ^У обладает следующими свойствами:

• (i)    топология ^У хаусдорфова;

• (ii)    для любых и Е C(Q,®V) и q Е Q множество {«(А) : А Е Clop(g)} является базой окрестностей точки u(g);

• (iii)    все элементы C^Q, ^У) являются открытыми и замкнутыми отображениями;

• (iv)    топология У экстремально несвязна.

В дальнейшем мы предполагаем, что для каждой точки q Е Q класс ^qV является алгебраической системой сигнатуры {е}. Для произвольной формулы <ДН,... , Д) сигнатуры {е} и сечений Ui,... ,и_п расслоения ^У символом {Диц... ,и_п^ обозначают множество

{g Е domui П • • • П domu_n : ^qV |= ip^Ui^,... , и_п (g))}.

Для любого элемента ж Е U, где U — классическая или булевозначная (см. [4]) алгебраическая система сигнатуры {е}, спуском ж называется класс х^ = {у Е U : U |= у Е ж}. Если в системе U истинна аксиома экстенсиональности, то для всех ж, у Е U равенства х^ = yj, и ж = у равносильны. Далее нас в основном будут интересовать случаи U = ⁹V и U = C^Q^yy Для произвольного сечения и Е C(Q,®V) класс U_geQ^u(^)'l' называется распаковкой сечения и и обозначатся символом lUj. Непрерывное расслоение ^У называется (непрерывным) поливерсумом над Q, если в каждом слое ⁹¥ (g Е Q) истинны аксиомы экстенсиональности и регулярности и, кроме того, в дополнение к (1) и (2) выполнены следующие условия:

• (3)    VuE C(Q, ^Qy) luj E С1орДУ);

• (4)    VX E Clop(^Qy) 3uEC^Q,^qV) luj = X.

Для произвольных сечений u,v E C(Q, ^У) множества {u = v} и {u E v} открытозамкнуты (см. [2, 3.3]), что позволяет ввести в рассмотрение две класс-функции

||. = . ||, ||. Е • || : C(Q, ^Qy) х C(Q, ⁹У) -д Clop(Q).

полагая ||u = v|| = {u = v} и ||uEv|| = {uEv}. Несложно убедиться в том, что тройка (C(Q, ^У), || • = • ||, || • Е • ||) представляет собой отделимую С1ор((9)-значную алгебраическую систему. Как показано в [2, теорема 4.10], класс непрерывных сечений поли-версума представляет собой общий вид булевозначного универсума. Точнее, если Q — стоуновский компакт полной булевой алгебры В, то класс C^Q^V') непрерывных сечений поливерсума ^V над Q является булевозначным универсумом над Clop(Q), и для любого булевозначного универсума U над В существует поливерсум ^V над Q, класс C(Q,^V) непрерывных сечений которого изоморфен U.

Подробные сведения о непрерывных расслоениях и непрерывном поливерсуме имеются в [2].

Всюду далее ^V — непрерывный поливерсум. В этом параграфе мы фиксируем слой ⁹V в точке q Е Q. (Заметим, что ⁹V представляет собой модель ZFC.)

Условимся обозначать символами R и N множества вещественных и натуральных чисел (0 ^ N), а символами TZ и Д — элементы C^Q, ^V), являющиеся в C^Q, ^V) указанными множествами. Введем также обозначения ⁹R = вддг^д/м и для числа «ей символом ^ча будем обозначать элемент a^A(g) Е ⁹V, где (-)^A — каноническое вложение V в C^Q, ^V) (см. [4, 2.2.7]). Если элемент X является внутри ^qV полем или упорядоченным множеством, то на Х^ можно естественным образом ввести операции поля или, соответственно, отношение порядка. Например, для а,3 Е ⁹R|, сумма а + /3 определяется как такой элемент у Е ОД что ^qV |= (7 = а + /3).

Легко проверить, что спуск поля является полем. Множество ОД является также векторной решеткой (вообще говоря, не архимедовой).

При классическом подходе к определению вещественных чисел (в виде дедекиндовых сечений) для любого числа а Е R элемент ^qa Е О является числом внутри О, т. е. ^qa Е 'ОД. Функция ^ЧД : R —> ОД инъективна и сохраняет отношение порядка и операции сложения и умножения. Кроме того, N^A (q) = ⁹N и R^A (q) С О внутри ^qN.

Условимся в дальнейшем отождествлять элементы а Е R и ^qa Е OJ, и тем самым считать, что R С ОД

Элементы О.], называют внутренними числами. Внутреннее число А называется стандартным, если существует такое число а Е R что ^ча = Л. Таким образом, с учетом принятого соглашения мы отождествляем стандартные числа и элементы R.

Ограниченным числом называют внутреннее число, модуль которого меньше некоторого стандартного числа, и символом O^W) обозначают множество всех ограниченных чисел. Числа, не являющиеся ограниченными, называются бесконечно большими.

Внутреннее число Л называется бесконечно малым, если Л < а для любого стандартного числа а > 0. Символом о(О) обозначают множество бесконечно малых внутренних чисел. Говорят, что два внутренних числа бесконечно близки, если их разность бесконечно мала. Отношение бесконечной близости является отношением эквивалентности на множестве внутренних чисел. Условимся обозначать символом [Л] класс эквивалентности, содержащий внутреннее число Л.

Для любого ограниченного числа Л существует единственное стандартное число а, бесконечно близкое к Л (см. [3, предложение 3]). Число а называют стандартной частью Л и обозначают через °А.

Замечание 1. Легко проверить, что для любых а ДЗ Е R и Л, р Е 'ОД справедливо равенство °(аЛ + /Зц) = а⁰ X + 3 ° I¹-

В [3] показано, что нестандартные числа есть только в слоях поливерсума, соответствующих не сг-изолированным точкам. В той же работе содержатся подробные сведения о внутренних числах.

Аналогично тому, как на множестве 'ОД были введены операции поля, зададим на множестве ТД операции векторного пространства над R и отношение порядка. В частности, для u, и Е Кф и афЕй суммой аиАДи является такой элемент to Е КД что C(Q,QV) |= ри = Ди + рЛ1р. Очевидно, Кф является векторной решеткой, в которой, например, супремумом u'Vy элементов u,v Е Кф является такой элемент to Е КД что C(Q,OV) = и V и. Заметим, что введенные на К^ операции и отношение порядка являются поточечными, т. е. например, (сш + ЗДр) = аирр + рирр для всех q Е Q, где и, v Е КД аД Е Ж, а неравенство и < v равносильно ирр < ирр для всех q Е Q.

Кроме того, на К\ можно ввести операцию умножения по аналогии с тем как это было сделано для ⁹1$4- В результате записи а^Аи и аи, где а Е R и и Е КД обозначают одно и то же сечение.

• 3.    Изоморфизм между 75-4 ^и ^^(Q)

Стандартной частью сечения и Е К( назовем R-значную функцию °и, определенную на множестве dom°u тех точек q Е Q, в которых внутреннее число ирр ограничено, полагая РДрр = °^ирр) для всех q Е dom°u.

Сечение и Е К( назовем ограниченным (на мнолсестве D С Q), если для любой точки q Е Q pi Е D) внутреннее число ирр ограничено. Множество ограниченных сечений из 7хД обозначим символом 0(7^4)- Нетрудно проверить, что множество 0(7^4) является векторной подрешеткой ТхД-

Лемма 1. Сечение и Е 7^4 ограничено в том и только том случае, когда существует такое число a Е R, что \и\ ^ а^А.

• <    Пусть сечение u Е 7^4 ограничено. Для любой точки q Е Q найдется число a_q Е R, такое что u(g) ^ ⁹Ркр- Множество {|||u < а^А|| : q Е Q} является открытым покрытием компакта Q. Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие Щи ^ а^А ||,... , |||и ^ ^ад„И’ ^и положим а = maxi^^nQj. Ясно, что \и\ < а^Л. Обратная импликация очевидна. >

Предложение 1. Для любого сечения u Е 7^4 функция °и принадлежит СсДСД.

• <    Покажем, что dom°u — всюду плотное подмножество Q. Пусть сечение N Е 7^4 является в C^Qj^V) целой частью числа и. Тогда

Q = ||7VeA4|| = |^EN^A||

= cl [J (q E Q : Npp = n^pp^

C cl |J pi E Q : Npp < n^App^

= cl [J pi E Q : upp < n^piP = cldom°u.

Далее, покажем, что функция °и определена на открытом множестве и непрерывна. Для любых q Е dom°u и е Е R имеют место неравенства

(°и(₉) ^|)^Л(₉) <  u(q) < pup) + |)^a(q).

Следовательно, множество

PpN) = \\pupp О|)А < и < рирр + |)Л|| является окрестностью точки q, откуда следует, что область определения °и открыта. Кроме того,

°u(P(q,e)) С (°и^ Oe,°u(q) + е), а значит, функция °и непрерывна.

Для любых q Е Q\dom°u и п Е N окрестность Р^,Д = ||и > п^Л|| точки q удовлетворяет соотношению °u^P^q,n^ ^ п. Следовательно, функция °и не имеет предела в любой точке вне своей области определения и, тем самым, совпадает со своим максимальным расширением. >

Лемма 2. Для любых ui,u₂ Е ТД и «1,012 С ' имеет место равенство “(адих + «2^2) = «1 °U1 + «2 °М2-

• <    Согласно замечанию 1 для всех q Е dom°Ui П dom°Ui выполнено соотношение ⁰(oiUi ТагИгИД = «1 °М1(Д + «2 ⁰М2(Д- Остается заметить, что по предложению 1 все рассматриваемые функции являются элементами C^Q). >

Лемма 3. Пусть Ui,U2 Е ЕД Тогда Ui <  u₂ О °Ui < °U2 (в частности, Ui = u₂ О °U1 = °u₂).

• <    Положим u = u₂ Oui. С учетом леммы 2 достаточно показать, что и ^ 0 4^ °и > 0.

Сначала докажем эквивалентность равенств и = 0 и °н = 0. Первое равенство, очевидно, влечет второе. Покажем обратное. Пусть °н = 0. Обозначим символом Р множество ||и ^ 0|| и предположим вопреки доказываемому, что Р ^ 0. Определим сечение с следующим образом: -u^q) = ⁹1/и^ при q Е Р и с^ = ^е1 при q Е Q\P. Очевидно, что сечение и непрерывно. По предложению 1 сечение и ограничено на всюду плотном подмножестве Q и, следовательно, в некоторой точке q Е Р. Поскольку внутреннее число ^е1/и(Д ограничено, °и(Д ^ 0, что противоречит равенству °и = 0.

Теперь покажем, что °и > 0 О и > 0. Импликация «=>» очевидна. По доказанному выше и > 0 влечет °и ^ 0. Осталось заметить, что из и > 0 вытекает °и ^ 0. >

Предложение 2. Для любой функции / Е С<Д(Д существует единственное сечение и Е ЕД такое, что °и = /.

• <    Единственность следует из леммы 3. Докажем существование.

Функцию g Е Cqo^Q) назовем ступенчатой, если найдутся последовательность попарно различных чисел (а_п)_пед и разбиение единицы (РДпе^ в алгебре Clop(Q) такие, что g\p_n = a_m для всех п Е N. Для такой функции д определим сечение *д как перемешивание сечений «^ с весами Р_п, п Е N (см. [4, 2.3.1, 2.5.3]). Очевидно, *д Е ЕД ^и Дд^) ⁼ 9- Символом St^Q) обозначим множество всех ступенчатых функций.

Далее, пусть / Е СсД(Д. Без ограничения общности можно считать, что / ^ 0. Как легко видеть, найдется такая функция h Е St(Q), для которой / ^ h. Обозначим через S(/) множество Дд ^: 9 G St^Q), 0 ^ д ^ /}. Это множество сечений ограничено сверху сечением *h, а снизу — нулевым сечением. Следовательно, СДД^Д |= (ДДД С [0,*/г]). Пусть u Е ЕД — такое сечение, что и = sup (S(/)t) внутри C^Q^'V'). Установим равенство °и = /.

Предположим сначала, что °u(q) < /(q) для некоторой точки q Е dom(/)ndom(°u). Обозначим (/(q) + °u(q))/2 через х. Так как функции / и °и непрерывны, найдется такое множество Р Е Clop(g), что °u(p) <  х < f(p) для всех р Е Р. Определим сечение v следующим образом: v(p) = х^л^ при р Е Р и v(p) = ^р0 в противном случае.

Ясно, что v Е S(/) и тем самым u ^ v. С другой стороны, ||u < v|| ^ 0, поскольку F С ||u < v||.

Итак, / ^ °н. Предположим теперь, что найдется точка р Е dom(/) A dom(°u) для которой верно °и(р) > /(р). Пусть ж = (°и(р) + /(р))/2. Найдется такое множество Р Е С1ор(р), что °u)q) >  ж > /(g) для всех точек q Е Р. Определим сечение и' следующим образом: u'^q) = ж^л(д) при q Е Р и u'(g) = u)q) при q ^ Р. Тогда и¹ ^ v для всех у Е S]f), и, следовательно, C^Q^V) |= и' > sup(S(/)t) = и. С другой стороны, и¹< и.

Таким образом, функции °и и / совпадают на всюду плотном множестве, а значит, °и =   ▻

Теорема 1. (1) Функция и н- °и осуществляет изоморфизм векторной решетки FJ, на расширенное К-пространство C^Q).

• (2) Функция и н- °и осуществляет изоморфизм векторной решетки Оф].) на К-пространство C(Q).

• < Из предложений 1 и 2 следует, что функция u Н- °и осуществляет биекцию между К]. и CcxatQ); леммы 2 и 3 гарантируют, что функция и Н- °и и обратная к ней сохраняют операции векторного пространства и отношение порядка. Кроме того, из лемм 1 и 3 следует, что ограниченные сечения соответствуют ограниченным функциям. >

Следствие 1. (1) Векторная решетка FJ, является расширенным К-пространством.

• (2)    Векторная решетка Оф].) является К-пространством ограниченных элементов.

• 4. Описание свойств К-пространств в терминах внешних сечений

Первая часть этого утверждения представляет собой известную теорему Гордона (см., например, [4, 5.2.2]).

Функцию, обратную к u Н- °и, действующую из C^VQ) на FJ,, обозначим через / Н

Пусть D Е Clop(Q). Функцию s: D —> V назовем внешним сечением, если s^q) С ⁹V для любой точки q Е D. Внешнее сечение s: Q —> V назовем внешним подмнолсеством К,, если s^q) С ^еЩ для всех q Е Q.

Пусть s: D —» V — внешнее сечение. Символом sj, обозначим множество ]и Е Сфф^) : u)q) Е s^q) для всех q Е D], Ясно, что если s — внешнее подмножество К, то sj. С КД.

Внешнее сечение s будем называть непрерывным в точке q Е doms, если для любого элемента ж Е s^q) найдутся множество Р Е Clop(g) и сечение и Е sjpj, такие, что иД) = ж. Внешнее подмножество F будем называть непрерывным, если оно непрерывно во всех точках компакта Q. Множество внешних подмножеств F условимся обозначать символом 8~ф), а множество непрерывных внешних подмножеств F — символом С^ф). Кроме того, обозначим через 8ф) множество всех внешних подмножеств 'R., непустых в каждой точке компакта Q, а символом Сф) — множество С_ф)^8ф).

Лемма 4. Внешнее подмножество s Е S(P) непрерывно тогда и только тогда, когда для любых q Е Q п х Е зфф найдется сечение u Е Д такое, что ифф = х.

• <    Пусть s непрерывно, q Е Q и х Е s^qY Положим x_q = х и для каждой точки р Е Q\{} выберем произвольный элемент х_р Е s^pY Для каждой точки р Е Q найдутся множество Р_р Е С1ор(р) и сечение и_р Е s|p_p{, такие, что и_р(р) = х_р. Множество ^Р_р: р Е Q} представляет собой открытое покрытие компакта Q. Из этого покрытия выберем конечное подпокрытие ^Р_Р1,..., Р_рД, которое, уменьшив при необходимости его элементы, превратим в разбиение единицы {РД ,..., РД } в алгебре Clop(Q). Определим сечение и Е ЕД следующим образом: и(р) = u_Pi (р) для р Е Р_р, г = 1,... ,п. Ясно, что v Es{ и v(g) = х.

Обратное утверждение очевидно. >

Для произвольного s Е С (Р) положим Д = Ди : и Е Д}. Заметим, что Д С C'oo(Q) ^п0 теореме 1.

Для s Е СДД обозначим множество {су Е Q : s(g) = {⁹0}} символом {s = 0}, а его дополнение — символом {s ф 0}. Аналогично обозначим через {s С о} множество Д Е Q : s(g) С o(^gR)}, а его дополнение — через {s £ о}. Заметим, что

{s ф 0} = {су Е Q : ифф ф ⁹0 для некоторого и Е Д},

{s ф о} = {су Е Q : °ифф ф 0 для некоторого и Е Д}.

Лемма 5. Для любого s Е ОДД множество {s ф 0} открыто.

• <    Пусть су Е {s ф 0}. Рассмотрим сечение и Е Д, для которого ифф ф Л). Тогда открытая окрестность ||м ф 0^Л|| точки q является подмножеством {s ф 0}. >

Лемма 6. Для любого s Е С (Р) множество {s ф о} открыто и всюду плотно в {s Ф 0}.

• <    Сначала покажем, что множество {s ф о} открыто. Пусть q Е {s ф о}. Рассмотрим сечение и Е Д, для которого °ифф ф 0 и число е Е R такое, что u(q) >  ^qE. Тогда множество Щи > е^Л|| является открытой окрестностью точки q, содержащейся в {s ф о}.

Далее, покажем, что множество {s ф о} всюду плотно в {s ф 0}. Пусть это не верно, т. е. существует непустое открытое множество Р С {s ф 0}\{s ф о}. Любое сечение и Е s{, принимает на множестве Р только бесконечно малые значения. Используя предложение 1 и лемму 3, легко установить, что для любого сечения и Е Р{, множество W = {<у Е Q : ифф ф 0 и °ифф = 0} замкнуто и нигде не плотно в Q. С другой стороны, для некоторой (и даже для любой) точки q Е Р найдется сечение и Е s{, такое, что ифф ф 0. Тогда непустое открытое множество {р Е Р : и^ ф 0} содержится в W, что невозможно. >

Множество сечений U С C^Q^^J^ назовем конечно-циклическим, если оно замкнуто относительно конечных перемешиваний.

Предложение 3. Пусть U С C'(Q,^<^V) — конечно-циклическое множество сечений, ui,...,Uk Е С^ДД^ф Р — непустое замкнутое подмножество Q и рф, ti,... фД — произвольная формула теории множеств. Если верно утверждение

Vp Е Р Зи Е U PV |=

ЗибП^рбР ^PV |= р^ЦрУнзХрУ.. . ,u_fc(p)).

• <    Для каждой точки р G Р обозначим символом и_р произвольный элемент U, для которого ^PV |= э(ир(р),и1(р),... ,иДр)). Множество

VQp = iH^tH,... ,ufc)|| : p G F} является открыто-замкнутым покрытием компакта Р. Выберем из него конечное подпокрытие QP1,... , QPn, n G N, и положим щ = uPi, г = 1,... , п. По принципу исчерпывания найдется такое дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие Q^,... , Qy компакта Р, что Q' С QPi для всех г = 1,... , п. Положим Qq = Q\ U"=1 Q^ и возьмем произвольное сечение «о G U. Обозначим через и перемешивание сечений щ с весами Q', г = 0,... , п. Так как множество U конечно-циклическое, сечение и принадлежит U и является искомым. >

Следствие 2. Пусть Е С C^Q) — конечно-циклическое множество функций, U1,... ,u_k G C^Q, ^V), Р — непустое замкнутое подмножество Q и Дур,... , Д) — произвольная формула теории множеств. Если верно утверждение

Vp G Р Зе G Е PV \=

ТО

Зе G Е Мр G Р ^PV |= ^(*е(р),«Др),... ,и_кД^.

Теорема 2. Множество Е С C^Q) является конечно-циклическим тогда и только тогда, когда Е = Д для некоторого 8 G СУКУ

• <    Очевидно, для любого s G СУК^ множество s^ является конечно-циклическим.

Пусть теперь множество Е С C^Q) является конечно-циклическим. Для каждой точки q G Q положим s(g) = Veto : е G Е^. Очевидно, что s G СУК). Кроме того, sj, = {u G 7Д :Mq G Q u^ G s(q)}

= {и G КУ : V q G Q 3e G E uto = *e(Q)}

• =    {u G КУ ; Зе G E Vq G Q u^ = *e^q^ (по следствию 2)

• =    {и G КУ : Зе G E u = *e}

• =    {*e : e G E},

• t. e. зУ = E. >

Ясно, что для любого конечно-циклического множества Е С C'_OO(Q) непрерывное внешнее подмножество s G С^КУ фигурирующее в формулировке теоремы 2, единственно. Условимся обозначать это внешнее подмножество символом Еу. Очевидно, для любого конечно-циклического множества Е С C'_OO(Q) имеет место равенство Е = FfJ.

Следующее утверждение является прямым следствием лемм 3 и 4.

Предложение 4. Для конечно-циклических подмножеств Еу и Е^ пространства Coc(Q) следующие утверждения эквивалентны:

• (а)    Е, СЕ₂;

• (б)    5Д(у) С E₂t^ для всех q G Q;

• (в)    ЕДД С ЕДД.

Напомним, что для произвольной точки q G Q множество ^gRt является (вообще говоря, неархимедовой) векторной решеткой.

Лемма 7. Пусть q G Q и I С 'ОД — идеал 'ОД Тогда либо I С оДК), либо О^Ж) С I.

• <    Достаточно заметить, что если идеал ОД содержит не бесконечно малое число, то он содержит все ограниченные числа. >

Теорема 3. Конечно-циклическое множество Е С СДДУ) является идеалом C_OO(Q) ^{в том и} только том случае, когда для любой точки q G Q множество Е^^ является идеалом ОД

• <    Положим 8 = Е^.

Если Е — идеал СДДУ), то по теореме 1 множество st является идеалом ТД. Докажем, что в этом случае 8^3 — идеал ⁹Rt для любой точки q G Q. Согласно лемме 4 для произвольных элементов ж, у G 8^3 найдутся сечения u,v G st такие, что и^ = ж, у (у) = у. Для любых чисел а, 3 G R сечение ан + Зв принадлежит st, и, следовательно, аж + Ду G s^qY Таким образом, s(g) — векторное подпространство ОД Аналогично устанавливается, что s(g) является также и векторной подрешеткой ОД Далее, пусть ж G s(y), у G 'ОД и у Д ж|. Существуют сечения u Е st и v Е КЗ для которых и^З = ® и у(у) = у. Ясно, что сечение to = u Л у принадлежит st, а значит, у Е s^qY ^{так как} У ⁼ ^^Y Итак, 8^3 — идеал ОД

Теперь докажем обратное утверждение. Для произвольных сечений и,г G st и чисел а,3 Е R справедливо соотношение (ан + ЗвДЗ ⁼<™(у) + З^ЗЗ ^ ^SY1Y Д^ля всех q Е Q, а значит, аи + Зв £ st- Аналогичным образом если и Е st, г Е К^ и у Д м|, то у G st- Таким образом, st — идеал Кф, а следовательно, Е — идеал C^^QY >

Заметим, что любой идеал векторной решетки является конечно-циклическим множеством.

Теорема 4. Идеал Е С СДДСД является фундаментом С ДО) в том и только том случае, когда множество {St Д 0} всюду плотно в Q.

• <    Положим s = St- Пусть множество {s Д 0} всюду плотно в Q. Возьмем произвольное ненулевое сечение и Е Кф. Множество Цн- Д 0|| непусто, а значит, непусто и множество {у Е Q : и^З 7^ 0^Л} С {s ^ 0}. Следовательно, и ^ зД*“- Таким образом, st"*" = {0}, откуда вытекает, что st — фундамент ТхД- (Множество st является идеалом St ^п0 теореме 1.)

Обратное утверждение очевидно. >

Следствие 3. Конечно-циклическое множество Е С C'_OO(Q) является фундаментом Cqo^Q) в том и только том случае, когда для любой точки q Е Q множество Е^^ является идеалом ^gRt ¹¹ множество {St 7^ 0} всюду плотно в Q.

Теорема 5. Пусть Е — конечно-циклическая векторная подрешетка C_oc(QY В Е есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда множество {St 7^ 0} замкнуто (а значит, открыто-замкнуто согласно лемме 5Y

• <    Положим s = St-

• Пусть в sj. есть слабая порядковая единица и. Очевидно, ||u ^ 0|| С {s ^ 0}. Для доказательства замкнутости множества {s ^ 0} достаточно установить равенство |Д ^ 0|| = {s т^ 0}- Предположим вопреки доказываемому, что разность {s ^ 0}\||и ^ 0|| содержит некоторую точку q. Тогда найдется сечение и Е sj,, для которого v(g) ^ 0 и ||v ф 01| П |Д ф 01| = 0. Последнее противоречит тому, что и является слабой порядковой единицей sj,.

Обратно, пусть множество {s ^ 0} замкнуто. Для любой точки q Е {s ^ 0} найдется сечение u_q Е sj. такое, что ифф ^ 0. По предложению 3 существует сечение и Е sj, удовлетворяющее неравенству ифф ^ 0 для всех q Е {s ^ 0}. Ясно, что сечение и является в sj, слабой порядковой единицей. >

Лемма 8. Пусть s Е СфРф Сечение и Е Рф принадлежит s^^±_L тогда и только тогда, когда |Д ^ 0|| С cl{s ^ 0}.

• <    Пусть и Е s^^±J-. Если ифф ^ 0 для некоторой точки q Е Q\cl{s ^ 0}, то найдется множество Р Е С1ор(су) такое, что Р С {s = 0} П |Д ^ 0||. Тогда Р С ||и = 0|| для любого сечения и Е sj,. Следовательно, Р С ||и = 0|| для всех и Е s^^±J-, а значит, ифф = 0. Противоречие.

Пусть теперь |Д ^ 0|| С cl{s ^ 0}. Рассмотрим произвольное сечение и Е s^"¹. Предположим вопреки доказываемому, что множество Р = |Д ^ 0|| П ||v ^ 0|| не пусто. Очевидно, Р Е Clop(Q). Кроме того, Р С {s = 0} и Р С cl{s ^ 0}. Противоречие. >

Теорема 6. Идеал Е пространства C^Q) является его полосой тогда и только тогда, когда множество ^Е^ ^ 0} замкнуто и для каждой точки q Е Q верно Е^^ = {«0} или Е^фф = «R;.

• <    Положим 8 = Е^.

Пусть sj. — полоса Кф Зафиксируем произвольную точку q Е {s ^ 0} и покажем, что вфф = ^е®Д. Найдется сечение u Е sj, такое, что ифф ^ 0. Пусть у — произвольный элемент ⁹1В^ и и Е Кф — такое сечение, что гфф = у. Определим сечение w Е Рф следующим образом: мофф = v(p) при р Е |Д ф 0|| и w(p) = 0 в противном случае. Ясно, что w Е s^^±J- = sj. и w(y) = у Е зфф. Таким образом, s(y) = ^еЖ|,. Замкнутость множества {s ф 0} вытекает из теоремы 5.

Обратно, пусть s(y) = ^е®Д для всех q Е {s ф 0} и множество {s ф 0} замкнуто. Покажем, что sJ,^±J" С sj,. Пусть u Е sJ,^±J" и q Е Q. Если ифф = ^е0, то, очевидно, ифф Е зфф. Если же ифф ф ^е0, то зфф ф {^е0} согласно лемме 8, а значит, зфф = ^еЩ Э ифф. >

Предложение 5. Если идеал Е пространства C^^Q) имеет сильную порядковую единицу, то множество {Е^ ф 0} замкнуто и Е^фф является главным идеалом ⁹1В^ для всех q Е Q.

• <    Положим s = Е^. Пусть u Е sj, — сильная порядковая единица пространства sj,. Поскольку и является также и слабой порядковой единицей sj,, множество {s ф 0} замкнуто в силу теоремы 5. Осталось заметить, что для каждой точки q Е Q множество зфф является главным идеалом ⁹1йф, порожденным ифф. [>Из приведенной ниже теоремы 7 вытекает, что обратное утверждение не верно.

Предложение 6. Пусть Е — идеал Cc^QV Элемент е Е Е является сильной порядковой единицей в Е тогда и только тогда, когда *е является поточечной сильной порядковой единицей в PfJ,, т. е. *ефф — сильная порядковая единица в E^(q) для всех q Е Q.

• <    Положим s = Е^. Очевидно, сильная порядковая единица в sj, является также и поточечной сильной порядковой единицей.

• 5.    Поточечные критерии

Покажем обратное. Пусть и Е sj, — поточечная сильная порядковая единица. Для произвольного сечения и Е sj, и любой точки q Е Q найдется число n_q Е N, такое, что v(q) < n_g|u(g)|. Множество {|||v С ^пдЫ11 ^: 9 G 0} является открытым покрытием компакта Q. Выберем из него конечное подпокрытие {|||v С n_qi и ||,... , || v < n_gJu|||}, k Е N, и положим п = max{n_Q1,... , n_qk }. Очевидно, V < n|u . >

Установленные в предыдущих параграфах результаты позволяют упрощать доказательства многих утверждений о ^-пространствах с помощью перехода к их «поточечным» аналогам. Рассмотрим подробнее, в каких случаях это возможно.

Пусть множества £ и Ф — произвольные множества конечно-циклических подмножеств пространства СДДД. Будем говорить, что на множестве 8 есть поточечный критерий принадлежности множеству Ф, если найдется семейство множеств p_q С ^(^Щ), q Е Q, удовлетворяющее следующему условию:

ЧЕ Е 8 (Е Е Ф О 4q Е Q E^q) G р_д\ (*)

Условие (*) будем называть поточечным критерием принадлежности Ф, а семейство YPqY^Q — реализацией этого критерия.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть множества 8, 8q и Ф — некоторые множества конечноциклических подмножеств пространства C^^QY причем 8q С 8. Тогда если на множестве 8 есть поточечный критерий принадлежности Ф, то тот же критерий будет и поточечным критерием принадлежности Ф на множестве 8^.

Лемма 9. Не существует последовательности (Р_п)_пе^ открыто-замкнутых подмножеств Q такой, что в пересечении Q_neNP_n есть ровно одна не о-изолированная точка.

• <    Пусть есть такая последовательность (Р_п)„_ещ и пусть q — единственная не сг-изолированная точка множества Пиемии- Тогда имеется строго убывающая последовательность открыто-замкнутых множеств (ИДДем такая, что Ппем^⁷™ ⁼ {у} ^и W_n С Р_п для всех n Е N. Далее, найдется функция / Е C(Q) такая, что /|w_2fc\w_2fc_₁ = ^{0 и} /lw_2fc+i\w_2fc = 1 для всех k Е N. Как легко видеть, q Е clUkeN^/AW^-i) и q G cl и^ДИ^/г + ДИ^Д, что противоречит существованию предела функции / в точке q. >

Теорема 7. Пусть экстремально несвязный компакт Q бесконечен. Тогда на множестве фундаментов С ДО¹) нет поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

• <    Допустим, что на множестве фундаментов С^ДСД есть поточечный критерий существования сильной порядковой единицы, и ^p_qY^Q — его реализация, т. е. для произвольного фундамента Е С СоД(Д в Е есть сильная порядковая единица тогда и только тогда, когда EY^ Е p_q для всех q Е Q.

Определим si Е C^R-Y полагая зДД = O(gR), q Е Q. Тогда зД = C(Q) — фундамент C^^QY имеющий сильную порядковую единицу. Нетрудно проверить, что из бесконечности компакта Q следует существование в нем по крайней мере одной не ст-изолированной точки q^. По предположению O(90]R) Е ipqo.

Пусть и Е Кф — ненулевое в каждой точке сечение такое, что и (90) — бесконечно большое число. Для каждой точки q Е Q положим внешнее сечение 8 г в точке q равным главному идеалу ОД, порожденному внутренним числом u^qY Ясно, что 8г Е С^Кф и S2Z — фундамент C^^Q^ (см. следствие 3). По предложению 6 в S2Z есть сильная порядковая единица — функция °и. Следовательно, 82(9) Е ip_q для всех q Е Q. Обозначим через Pg множество тех точек q Е Q, в которых внутреннее число ифф бесконечно большое. По построению q^ Е Pq.

Положим 3(90) = 81(90) = O(⁹⁰]R) и s^ = 82(9) при q Д q₀. Ясно, что s Е С^Р^ и sj, — фундамент СДДУ) в силу следствия 3. По построению s^ Е p_q для всех q Е Q, а следовательно, в sj есть сильная порядковая единица /. Для всех q Е Ро\{9о} внутреннее число *f(q) бесконечно большое. Более того, множество тех точек q Е Q, в которых внутреннее число */(9) бесконечно большое, равно Ро\{9о}- Поскольку *f(qo) G O(^g°R), найдется число k Е N такое, что Vt^o) <  ^Чок- Тогда П_пед (II^м > п^л|| С ||*/ < П) = {qo}, ^чт0 противоречит лемме 9. >

Следующее утверждение вытекает из теоремы 7 с учетом замечания 2.

Следствие 4. Пусть экстремально несвязный компакт Q бесконечен. Тогда на множестве идеалов C^Q) нет поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

Теорема 8. (а) На множестве фундаментов C^Q) есть поточечный критерий существования слабой единицы: в фундаменте Е С СДДУ) есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда E'^q') Д Р*Д для всех q Е Q (т. е. поточечный критерий реализуется семейством множеств ip_q = Р(^е®Д)\{{^д0}}, q Е Q).

• (б)    Если экстремально несвязный компакт Q бесконечен, то на множестве идеалов C_OO(Q) ^нет поточечного критерия существования слабой порядковой единицы.

• < (а) Очевидное следствие теорем 4 и 5.

• ( б) Пусть, вопреки доказываемому, упомянутый критерий существует, и (Д )_eeQ — его реализация. Для каждой точки q Е Q положим 81(9) = 'ОД и 82(9) = {^е0}. Очевидно, Si,S2 Е С^^ и 81^,82^, — идеалы CP-tQ), в каждом из которых есть слабая порядковая единица. Следовательно, 81(9),82(9) Е д_ч для всех q Е Q. Легко проверить, что из бесконечности компакта Q следует существование в нем по крайней мере одной не изолированной точки q₀. Положим 3(90) = 82(90) ^и 8(9) = 81(9) при 9 Е Q\{9o}- Поскольку 3(9) Е д_ч для всех q Е Q, в пространстве sj есть слабая порядковая единица е. Тогда *е(9о) = 0 и, следовательно, найдется окрестность Р точки 90 такая, что *6(9) = 0 для всех q Е Р. С другой стороны, Р Д {9ор ^а значит, имеется сечение г Е зД для которого ||v Д 0|| И Р Д 0. Противоречие. >

Теорема 9. На множестве идеалов C_oc(Q) есть поточечный критерий принадлежности множеству фундаментов в том и только том случае, когда множество изолированных точек компакта Q всюду плотно в Q. Критерий следующий: идеал Е С Сф (Q) является фундаментом тогда и только тогда, когда E^(q) Е p_q для всех q Е Q, где tp_q = {ОД}. если точка q изолирована, и д_ч = Р(ОД) в противном случае.

• <    Напомним, что в слоях О, соответствующих (ст-(изолированным точкам Q нет нестандартных (в частности, бесконечно больших) внутренних чисел. Таким образом,

если точка q (а-)изолирована, то в силу леммы 7 любой идеал векторной решетки ⁹1В^ либо совпадает с ^еЩ, либо равен {^е0}.

Пусть множество изолированных точек Q всюду плотно в Q. Очевидно, если Е — фундамент C'_OO(Q), то для любой изолированной точки q Е Q верно Е^^ ^ {^е0}, и, следовательно, Е^фф = ^еЩ. Обратно, пусть Е — идеал CootQ) и Е^фф = ^gR^, для каждой изолированной точки q Е Q. Поскольку множество изолированных точек всюду плотно в Q, для произвольного ненулевого сечения и Е Е^ найдется изолированная точка су Е ||и ^ 0||, а значит существует сечение и Е 7?# такое, что v(g) ф 0 и, следовательно, v / и.

Предположим теперь, что имеется непустое множество Р Е Clop(Q), в котором нет изолированных точек, и на множестве идеалов C'_OO(Q) есть поточечный критерий принадлежности множеству фундаментов C'_OO(Q), реализуемый семейством (<£g)_geQ-Для каждой точки р Е Р положим 8_рфф = {^р0} и 8_рфф = ^еЩ при q Е Q\{p}. Ясно, что s_p Е СфЕ^ и Sp^, — фундамент СоДСф Д^ля всех р Е Р. Следовательно, s_p(p) Е р_р для каждой точки р Е Р. Кроме того, очевидно, ^е®Д Е p_q для всех q Е Q. Положим s(p) ^{= 8}р^ ⁼ {^Р0} при р Е Р и зфф = ^еЩ при q Е Q\P- Как легко видеть, s Е С(Е) и sj, — идеал C'_OO(Q), не являющийся фундаментом. С другой стороны, зфф Е p_q для всех q Е Q. >

Теорема 10. Если экстремально несвязный компакт Q бесконечен, то на множестве идеалов С ДО) нет поточечного критерия принадлежности множеству полос CUQY

• <    Предположим, что такой критерий есть и Д<ф_ЧЕ<3 — его реализация. Очевидно, {^g0} Е p_q для всех q Е Q. Из бесконечности компакта Q следует существование открытого множества Р С Q такого, что с1Р ф Р. Положим 81(g) = ^е®Д для всех точек q Е с\Р и Si(g) = {^g0} в остальных точках. Ясно, что si Е СДД и по теореме 6, SiJ, — полоса C^^Q). Следовательно, зДф Е tp_q для всех q Е Q. Положим зфф = 81(9) = ^еЩ ^ПР^И q Е Р и зфф = {«0} в остальных точках. Очевидно, з Е С(Е), Д ф 0} = Р ф clP = cl{s ф 0}, и по теореме 6 множество s^ не является полосой пространства СДСД. С другой стороны, зфф Е p_q для всех q Е Q. >

В заключение приведем таблицу условий существования поточечных критериев для рассмотренных нами множеств и свойств.

Таблица. Существование поточечных критериев

Множество Свойство	Множество конечноциклических множеств	Множество идеалов	Множество фундаментов
Быть идеалом	Есть критерий (теорема. 3)	Критерий тривиален
Быть фундаментом	Есть критерий тогда и только тогда, когда множество изолированных точек Q всюду плотно в Q (теорема 9)		Критерий тривиален
Иметь сильную порядковую единицу	Есть критерий тогда, и только тогда, когда, компакт Q конечен (теорема. 7, следствие 4)
Иметь слабую порядковую единицу	Есть критерий тогда и только тогда, когда компакт Q конечен (теорема 8)		Есть критерий (теорема. 8)
Быть полосой	Нет критерия (теорема. 10)