Функциональные связи гидродинамических полей стационарного осесимметричного течения вязкой жидкости
Автор: Князев Д.В.
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 2 т.16, 2023 года.
Бесплатный доступ
Анализ уравнений стационарного осесимметричного движения вязкой жидкости в переменных «функция тока-вихрь-функция Бернулли» показывает, что в случае существенно вязкого течения ранг матрицы Якоби системы этих гидродинамических переменных равен двум, что означает наличие между ними функциональной связи, задаваемой одним выражением. Основой для нахождения этой связи служит уравнение, следующее из уравнений движения и переноса вихря. Оно имеет вид линейной комбинации градиентов трёх гидродинамических полей с коэффициентами, равными минорам 2-го порядка матрицы Якоби. С помощью интегрирующего множителя линейную комбинацию можно преобразовать к полному градиенту некоторой функции, сохраняющей, хотя бы локально, постоянное значение на решении исходной системы гидродинамических уравнений. Эта сохраняющаяся величина даст выражение функциональной зависимости между функцией Бернулли, модифицированными вихрем и функцией тока. Для осуществления указанной процедуры требуется определить коэффициенты линейной комбинации как функции заранее неизвестных гидродинамических полей, а не пространственных переменных. Это приводит к необходимости рассмотрения замкнутой системы уравнений, которая и построена в настоящей работе. По её решениям устанавливается вид искомой функциональной зависимости и сами гидродинамические поля. Приведены примеры такого рода точных решений, которые могут служить основой для тестирования численных алгоритмов.
Уравнения гидродинамики, осесимметричные течения, сохраняющиеся величины, функциональная зависимость, точные решения
Короткий адрес: https://sciup.org/143180508
IDR: 143180508 | УДК: 532.51 | DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.2.12
Functional dependencies of the hydrodynamic fields of an axisymmetric stationary flow of viscous fluid
Analysis of the equations of motion for axisymmetric stationary viscous fluid flows in terms of the variables of stream function, vortex, and Bernoulli function shows that, for essentially viscous flows, the rank of the Jacobi matrix of the system of these hydrodynamic variables is equal to 2, which implies the existence a functional relationship between them given by a single expression. A basis for finding this relationship is the equation derived as a corollary of the equations of motion and vortex transfer. It is represented as a linear combination of the gradients of three hydrodynamic fields, the coefficients of which are equal to the second order minors of the Jacobi matrix. Using an integrating factor, the linear combination is reduced to a full gradient of some function that remains constant at least locally on the solution of the original system of hydrodynamic equations. This conserved quantity is used to find an expression for the functional relationship between the Bernoulli function, the modified vortex and the stream function. To this end it is necessary to find the coefficients of a linear combination as the functions of previously-unknown hydrodynamic fields, rather than spatial variables. This requires consideration of a closed system of equations constructed in this paper. The form of the desired functional relationship and the hydrodynamic fields themselves are determined by finding its solutions. Examples of solutions of this kind, which can serve as a basis for testing different algorithms, are given.
Список литературы Функциональные связи гидродинамических полей стационарного осесимметричного течения вязкой жидкости
- Седов Л.И. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1970. Т. 2. 568 с.
- Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2. 727 с.
- Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
- Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319 с. (English version https://doi.org/10.1007/978-94-017-0745-9)
- Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 256 с. (English version https://doi.org/10.1007/978-3-642-45914-6_2)
- Sholle M., Marner F., Gaskell P.H. Potential fields in fluid mechanics: A review of two classical approaches and related recent advances // Water. 2020. Vol. 12. 1241. https://doi.org/10.3390/w12051241
- Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН. 1997. Т. 167, № 11. C. 1138 1167. https://doi.org/10.3367/UFNr.0167.199711a.1137
- Keller J.J. A pair of stream functions for three-dimensional vortex flows // Z. angew Math. Phys. 1996. Vol. 47. P. 821-836. https://doi.org/10.1007/BF00920036
- Sholle M., Marner F. A generalized Clebsch transformation leading to a first integral of Navier-Stokes equations // Phys. Lett. 2016. Vol. 380. P. 3258-3261. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2016.07.066
- Мамонтов Е.В. Преобразования эквивалентности уравнений Клебша // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. C. 153-160. (English version https://doi.org/10.1007/s11202-008-0012-1)
- Riley N., Drazin P. The Navier-Stokes equations. A classification of flows and exact solutions. Cambridge University Press, 2006. 196 p.
- Пухначёв В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. T. 4, № 1. C. 6-76.
- Knyazev D.V. An integral of the two-dimensional stationary viscous fluid flow equations // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 1945. 012019. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1945/1/012019
- Корн Г., Корн М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.
