Функциональные уравнения как математические модели задач сопряжения с циклическим сдвигом на сложных кривых

Введение. Линейные функциональные уравнения (ЛФУ)

(Fg (V))(t)- V(а(t)) — g(t)У(t) = h(t),                           (1)

определенные на гладких кривых Г = [ ab ] комплексной плоскости, возникают при решении сингулярных интегральных уравнений с логарифмическими особенностями, имеющими вид интегралов с ядром Коши с двумя переменными пределами [1]. Эти пределы зависят один от другого (обозначим эту зависимость а ). Такие уравнения рассматриваются в связи с теорией краевых задач для аналитических функций, являющихся математическим аппаратом теории упругости, в которых условия сопряжения содержат сдвиг по границе [2-4].

С позиций [1] интерес представляет исследование инвариантности оператора ( F_g (у )) ^{- 1} относительно гельдеровских, лебеговских классов функций, а также классов первообразных от таких функций, в том числе с некоторыми дополнительными условиями на концах кривых. При этом важно понять, как меняются параметры, характеризующие эти классы, под действием указанного оператора. Этим вопросам для уравнения (1) на простых гладких кривых посвящена работа [5] и другие работы (см. литературу в [5]).

Имеется большое количество публикаций, связанных с уравнением (1) и его обобщениями. В них изучались вопросы существования решений, условий единственности, описания общих решений, в основном в классах непрерывных функций [6-13].

В работах [11-13] рассматривались ЛФУ с функциями сдвига а , порождающими конечную группу относительно суперпозиции. Такие ЛФУ появляются при математическом моделировании методов защиты человека и окружающей среды при процессах переноса заряженных частиц и ионизированных излучений [13].

В работе [5] функция сдвига а имела в качестве периодических точек только 2 неподвижные точки - концы кривой. При изучении уравнения (1) на произвольной кусочно-гладкой кривой [14] приходится рассматривать варианты, когда концы простых дуг, образующих кривую, являются периодическими (не обязательно неподвижными) относительно а точками. Тогда некоторая степень отображения а действует на каждой простой дуге как автоморфизм, но не тождественный, как в [11–13], а имеющий бесконечный порядок. Статья посвящена исследованию

ЛФУ вида (1) на сложных гладких кривых с функциями сдвига а , имеющими циклическую группу периодических точек.

С позиции построения решения (например, в виде суммы сходящегося ряда) на простой дуге естественной областью задания уравнения (1) является кривая, содержащая один из концов и не содержащая другой: [ a ; b ) или ( a ; b ] . Тогда можно получить решение (в некоторых случаях бесконечный класс решений), непрерывное на соответствующем конце. Непрерывное продолжение на другой конец не всегда возможно и требует дополнительных условий. Поэтому многие утверждения, относящиеся к свойствам решений уравнения (1), разбиваются на пары двойственных: одно относится к [ a ; b ) , другое к ( a ; b ] .

n j = 1, n - произвольная кусочно

Обозначения и допущения. Пусть Г = U Г j, Г j = \aj; bj I, j=1             L       J гладкая кривая, Гj = \ajbj J, j = 1, n - простая разомкнутая гладкая дуга. Обозначим через Г кривую Г без концов aj; bj дуг Гj; через Гa кривую Г без концов bj ; через Гb кривую Г без концов a j . Будем пользоваться обозначениями работы [5] и их естественными обобщениями на

Г. В частности, если M - произвольный класс функций, заданных на Г, c1,...,cs еГ, то пусть h еM(c10,...,cs0), если h еM и h(ci) = 0, i = 1;s . Запись h еM(q*,...,cs*)  или, подробнее, h еM(c1*,v1,...,cs*,vs), означает, что 3v1,...,vs такие, что h(t)(t - cj) j е M, i = 1;s .

Степень определенного на Г обратимого отображения а = а( ), t еГ обозначаем нижним индексом: а₀ ( t ) = t, а₁ ( t ) = а ( t ) , a n ( t ) = a ( a_{n -1} ( t ) ) , а _-1 ( t ) - отображение, обратное к а ,

а-n (t) = а-1 (а-n+1 (t)) , n = 1 » . Заметим: ап (а-n (t)) = а-n (an (t)) = а0 (t) = t .

Предположим, что а обладает следующими свойствами:

• 1)    сужение функции а на Г j , j = 1, n непрерывно, взаимно однозначно и с сохранением ориентации переводит дугу Г j на дугу Г j ₊₁ (дуга Г _n переводится на Г ₁); под сохранением ори

ентации имеется в виду условие: а(aj) = aj+1, а(an) = a1. Заметим, отображение an оставляет на месте периодические точки и определяет биекцию любой дуги Гj, j = 1, n на себя с неподвижными концами aj; bj ;

• 2)    отображение а действует на Г взаимно однозначно и взаимно непрерывно и не имеет других периодических точек, кроме a j ; b j , j = 1, n .

Пример. Г - простой гладкий замкнутый контур, а непрерывно переводит Г на себя с сохранением ориентации и имеет конечное число периодических точек. Промежутки между двумя соседними точками - это Г j = \ a j ; b j J , j = 1, n , где a j ₊₁ = b j , j = 1,..., n - 1, a₁ = b_n ;

• 3)    V t еГ З а '( t ) ^ 0, причем а е H _e на Г , в е ( 0;1 ] ;

• 4)    Vj ей II |а'(aj )|* 1, ГГ^|а'(bj )|* 1.

Это предположение является обобщением условия 4 из работы [5].

Как и в работе [5], будем считать, что буквами a k и b k обозначены соответственно притягивающие (п.н.т.) и отталкивающие (о.н.т.) неподвижные точки отображения a_n . Заметим, что п.н.т. отображением а переводятся друг в друга. То же относится к о.н.т. Условие 4, учитывая эту договоренность, можно записать в виде:

4’). V j е 1, n  П | а '( a j )| <  1, П | а '( b j )| >  1.

Дильман В.Л.                         Функциональные уравнения как математические модели задач сопряжения с циклическим сдвигом на сложных кривых

Вспомогательные утверждения. Рассмотрим на кривой Г a уравнение

V («n (t))-g (t)V (t) = h (t) .

где n-1                  ~                        n-1

g (t) = Пg (aj (t)) , h (t) = h (an-1 (t)) + Eh (“n-1-j (t))Пg (“n-k (t)) .

j=0                                           j=1

Будем предполагать, что g (t )* 0, t еГ, j = 1, n .

Как известно [5], при выполнении условия (4) количество решений уравнения (1) на простой гладкой кривой зависит от g ( a ) , точнее, от выполнения одного из трех условий: 1) g ( a ) = 1; 2) |g ( ^a )| < ¹;³⁾ g ( ^a )| > ¹ g ( ^a ) * ¹.

Условия такого же типа (см. ниже формулы (10), (11) и (5)) по отношению к аналогичным параметрам уравнения (2) определяют количество решений уравнения (2).

Лемма 1. Уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Как следствие равенства (1), получаем:

V ( « n ( t ) )^- g ( « n - 1 ( t ) ) V ( ^a n - 1 ( t ) ) = h ( ^a n - 1 ( t ) )

g ( ^a n - 1 ( t ) ) V ( « n - 1 ( t ) )^- g ( « п - 1 ( t ) ) g ( « n - 2 ( t ) ) v ( « n - 2 ( t ) ) = g ( « n - 1 ( t ) ) h ( ^a n - 2 ( t ) )

n-1                               n-1

Пg(an-k (t))V(a(t)) -Пg(an-k (t))V(t) =Пg(an-k (t))h(t) k=1                               k=1

Складывая эти равенства, из (3) получим (2).

Лемма 2. Пусть g е C ^L j ^; j ) для V j е 1, n . Если (условие 3-го типа)

М(aj)|> '• П(aj)* I.(5)

j=1

то уравнения (1) и (2) равносильны в классе C ^Г .

Доказательство. Из определений (3) непосредственной проверкой получаются тождества:

g(t)g(а(t)) = g(an (t))g(t) .

h(a(t)) + h(t)g(a(t)) = h(an (t)) + g(an (t))h(t).

Пусть выполняется условие (5). Надо показать, что если h е C ^ ^a j ’ b^j ) для j = 1, n , то уравнение (1) следует из уравнения (2). Подставив вместо t в (2) a ( t ) и применив (6), получим:

V ( o ( an(t ) )) _ _    V ( ^{a (} t )) ₌ h ( ^{a (} t ) )

g ( ^a n ⁽ t ) )      ^{8 )} g ⁽ t )      g ( ^a n ⁽ t ) ) .

Вычитая из этого равенства уравнение (2) и используя (7), получим:

% ( « n ( t ) )^{- g} ( t ) x ( t ) = ⁰.                                    ⁽⁸⁾

где

V ( а ( t ))      , .    h ( t )

^{х (} t ) =- g e t)  "^{V (} t ^:   g e t )^.

Это уравнение распадается на n независимых уравнений, каждое из которых задано на простой дуге ^aj;bj). j = 1,n . Из условия (5) следует: для V j е1,n |g(aj )|> 1, g(aj )* 1. Заметим, что в силу (3) из условия g е CL j; J) следует условие g е CL j; J’ для V j е 1, n. Это означает, что решение уравнения (8) х(t) = 0 V j е1,n на дуге [aj;bj) (подробности в статье под номером 19 в списке литературы работы [5]). Тогда из (9) сразу следует, что имеет место равенство (1), то есть уравнения (1) и (2) равносильны в классе CГ (a0, j е 1, n).

Лемма 3. Пусть g е C ^{L j ; j)} для V j е 1, n . Если (условие 1-го типа)

n

П g (a j )=1,

j = 1

и дополнительно h ( a j ) = 0, j = 1 , n , то уравнения (1) и (2) равносильны в классе C ^Г ( a j, j е 1, n ) , то есть в классе функций, обращающихся в ноль в точках aj, j е 1, n .

Доказательство. Пусть выполняется условие (10), то есть g ( a j ) = 1, V j е 1, n . Точно так же, как в лемме 1, показывается, что из (1) следует (2). Надо показать, что если h е C ^ a^{j ;} b^j ) ( a 0 ) для j е 1, n и выполняется (10), то уравнение (1) следует из уравнения (2). Заметим, что из (3) следует, что если h ( a j ) = 0, j = 1, n , то и h ( a j ) = 0, j = 1, n . Подставив a j , j е 1, n в (9), получим x ( aj ) = 0 . Если у - решение уравнения (1), то % - решение уравнения (8). По лемме 3 (пункт 1) и теореме 1 (пункт 1) работы [5] для решения уравнения (8) выполняется альтернатива: либо х ( t ) = 0 на каждой дуге | a j ; b j ) , j е 1, n , либо х ( a j ) ^ 0, j = 1; n . Поскольку показано, что вто-

V ( a ( t ) ) z х h ( t )

рое не имеет места, то: 0 = —       -у ( t )-- , что и требовалось.

g(t)              g(t)

Замечание 1. Что касается условия 2-го типа

p

П| g(aoH1,

j = 1

см. ниже теорему 1.

Замечание 2. Уравнение (2) имеет то преимущество перед уравнением (1), что фактически распадается на n независимых уравнений, каждое из которых задано на простой дуге. Поэтому при выполнении условий 1-го и 3-го типа леммы 1–3 позволяют переносить результаты работы [5] на данный случай.

Теоремы существования и количества решений. Условие (11) является обобщением условий теоремы 1 из [5]. Докажем утверждение, аналогичное указанной теореме. Введем обозначе- ния. Зафиксируем произвольную точку c еГ . Поскольку по условию эта точка непериодическая, это же верно для ak (c), поэтому Vk ak+n (c)*ак (c). Положим, для любого целого к Ik (c) = [ak+n (c) ;ak (c)]. Заметим, что Ik (c) сГj ^ к = j (mod n). Обозначим через Cc,g,h класс функций f , непрерывных на 10 (c) = [an (c); c] и удовлетворяющих условию

f (an (c))-g (c) f (c) = h (c) .

Пусть у ₀ е C_{c gh} , а в остальном произвольна. Если K - произвольный класс функций на I о ( c ) , то положим по определению: K_{c g h} = C_{c g h} n K .

Теорема 1. 1) Пусть h,g е H ^Г , выполняются (4) и (11). Тогда уравнение (1) разрешимо в классе C ^Г и имеет континуум линейно независимых решений. Общее решение определяется на

Г формулой

Дильман В.Л.

Функциональные уравнения как математические модели задач сопряжения с циклическим сдвигом на сложных кривых

/    \         (a j )            ----v(aj ) =;—-tv j e1,n;

1    - g(aj)

П ^g ( ^a j - n ( t ) ) vo ( ^a - n ( t ) ) + E h ( ^ak - n ( t ) ) П g ( ^a j - n ( t ) ) , t ^e I n ( ^c ) , ⁿ = 2;3;- j = 0                                 k = 0               j = k + 1

^g ( ^a - 1 ( t ) ) V 0 ( ^a - 1 ( t ) ) ⁺ h ( ^a - 1 ( t ) ) , t ^e I 1 ( ^c ) ,

V 0 ( t ) ^, t ^e I 0 ( ^c ) ,

П ^{д - 1} ( ^a j - n ( t ) ) V o ( « n ( t ) )^- E h ( a - k ( t ) ) Il ^{g - 1} ( « n - j ( t ) ) , t ^e I - n ( c ) ^{, n} = ¹;²;- j = 1                                    k = 1                j = k

В частности, V j e 1, p

V ( aj ) = 0 » h ( aj ) = 0 .

• 2)    Если v ₀ e H_c , _g , _h , то V e H ^Г • Если V ₀ e A c , _g , _h, g , h e A , то V e A •

Доказательство. 1) Формула (14) получается итерациями уравнения (1), поэтому является решением этого уравнения (проверку этого см. в [5, леммы 1 и 2, теорема 1]) для любой функции V0 e Cc gh . Поэтому (1) имеет континуум линейно независимых решений. Условие (12) обеспе чивает непрерывность функции (13), (14) на Г. Условие (11) обеспечивает в силу [5, теорема 1] непрерывность решения (14) на Гa , то есть разрешимость в классе CГ . В точках aj в силу леммы 1 значение решения уравнения (1) совпадает с соответствующим значением решения уравнения (2), а последнее в силу [5, теорема 1] находится по формуле (13).

• 2)    По теореме 1 из [5] утверждения верны для уравнения (2). В силу леммы 1 они верны и для (1).

Теорема 2. 1) Пусть hg e HГ , g(t)^ 0 на ^aj;bj) для V j e1,n и выполняется (5). Тогда уравнение (1) имеет единственное решение в классе CГ . Если П| g (ai )| >1, то j=1

V (t) = -]j ,h(a"‘(t))  •

^k = ⁰ П g ( a j ( t ) )

Если I n l| g ( a , ) = 1 Il g ( a , ) # ¹, то j = 1                  j = 1

h(a)        1     ”((1 -g(a))h(ak(t))-h(a)(1 -g(ak (t))))

V (t ) = 1 - g (a)-1 - g (a) Д              gk+1 (a) Gk+1 (t)

a

• 2)    v e H . Если g , h e A , то v e A •

Доказательство. 1) Из лемм 1 и 2 следует равносильность уравнений (1) и (2). Применяя теорему 2 из статьи под номером 19 в списке литературы работы [5] для отображения a n к уравнению (2), получаем (15). Аналогично применение к уравнению (2) теоремы 4 из той же работы для отображения a n приводит к (16).

Замечание. На результат – существование, единственность и количество решений – не влияют значения g ( a j ) по отдельности для j = 1, n , а влияют только произведения этих чисел:

П g ( a j ) , в соответствии с условиями (5), (10) и (11). j = 1