Функтор IS в категории компактных Хаусдорфовых пространств

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 515.12                                         

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, С(Х) — алгебра всех непрерывных функций, определенных на X, с обычными поточечными алгебраическими операциями и sup -нормой. На множестве С (X) вводят новые операции — новое умножение на число и новое сложение функций по правилам:

• 1)    О:^Х С(Х) ^ С(Х) по правилу О (Л ^)=ЛО^ = ^ + А_х, где ^ £ С(Х) и Л_х — постоянная на X функция, принимающая везде значение Л £ К;

• 2)    ф: С(Х) х С(Х) ^ С(Х) по правилу ф(^, ^) = ^ ф ^ = max{^, ^}, где ^, ^ £ С(Х).

Определение 1 [1]. Функционал ц: С(Х) ^ К называется идемпотентной вероятностной мерой на Х, если он обладает следующими свойствами:

• (i)    (нормированность): ц(Л_х) = Л для всех Л £ К;

• (ii)    (max-plus-однородность): имеем ц(Л О ^) = Л О ц(^) для всех Л £ К и ^ £ С(Х);

• (iii)    (max-plus-аддитивность): ц(^ ф^) = ц(^) ф ц(^) для всех ^, ^ £ С(Х).

Число ц^р) называется интегралом Маслова соответствующим к ц. Множество всех идемпотентных вероятностных мер на X обозначается [1] через I(X). Всякая идемпотентная вероятностная мера является непрерывной [2]. Следовательно, I(X) с C_p(C(X)) с R^c(x). Обеспечим I(X) с индуцированной из К^с(х ) топологией. Базу окрестностей идемпотентной вероятностной меры ц 6 I(X) относительно этой топологии образуют множества вида

• ⁽ц; p i ,.,p_k; £> = { ^6I⁽X) ^'(р^ - ц(р 1 )\ < г i = 1,...,k},                   (1)

где p i , ( 2 , ..., р_к 6 C(X) и г > 0.

Известно [1], что для всякого компактного хаусдорфово пространства X пространство I(X) также является компактным хаусдорфовым пространством.

Рассмотрим непрерывное отображение f:X ^ Y компактных хаусдорфовых пространств. Оно индуцирует следующее естественное отображение I(f) I(X^ ^ I(Y):

1(О(ЦМ = ц(р°П                             (2)

Таким образом, конструкция I переводит компактные хаусдорфовы пространства в компактные хаусдорфовы пространства, а непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств — в непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств. В таких случаях говорят, что конструкция I образует функтор, действующий в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений. В работе [1] установлено, что функтор I является нормальным в смысле Е. В. Щепина [3].

Так как функтор I нормален, то для каждой идемпотентной вероятностной меры ц 6 I(X) определен ее носитель:

supp ц =П {F: F замкнуто в X и ц 6 I(F)}.

Для положительного целого числа п определим следующее множество

InW = ^{ц6 I⁽X): \supp ц\ < п}.

Положим

ОО

UX) = J ШУ n=1

Множество I_M(X) всюду плотно [1] в I(X). Идемпотентную вероятностную меру ц 6 I_M(X) называют идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем. Для каждой точки % 6 X мера Дирака 6_Х: C(X) ^ К, определенная по формуле 8_Х(р') = р(х), р 6 C(X), является идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем, причем supp 8_Х = {%}. Дальнейшее продвижение теории идемпотентных мер, и ассоциированные с ней отрасли наблюдалось в работах [2, 4–7].

Следующее определение предложено А. Заитовым.

Определение 2. Функционал ц:C(X) ^ К. называется max-plus-полуаддитивным, если: ц(р^ф) >  ц(р')®ц(ф) для всякой пары р, ф 6 C(X).

Множество всех max-plus-полуаддитивных, нормированных и max-plus-однородных функционалов обозначим через IS(X) Множество IS(X) рассмотрим как подпространство тихоновского произведения

П ^,                                (3)

фЕС(Х)

где В ф = К — числовая прямая для каждой (р Е С(Х). Множества вида (1), более точно, множества вида

⁽р; ( 1 , .,р_к; е) = { р ' Е 15⁽ХУ. ^|р ' (р t ⁾ - р(р t ^)|< г, 1 = 1,..., к}                     (1‘)

где р 1 , р₂, ..., р_к Е С(Х) и е > 0, образуют базу окрестностей функционала р Е IS(X) относительно этой индуцированной топологии. Но, с другой стороны, множества вида ( 1 ' ) образуют топологию поточечной сходимости на IS(X).

Предложение 1. Каждый max-plus-полуаддитивный, нормированный и однородный функционал р: С(Х) ^ К непрерывен.

Доказательство. Сначала отметим, что всякий max-plus-полуаддитивный функционал р: С(Х) ^ К сохраняет порядок, т. е. для произвольной пары р,ф Е С(Х) неравенство р <ф влечет р(р~) < р(ф) Действительно, так как для функций р, ф Е С(Х) неравенство р <ф равносильно равенству р®ф = ф, то имеем р(р) < р(р)®р(ф) < р(рфф) = р(ф)

С другой стороны, всякий max-plus-однородный функционал р: С(Х} ^ К слабо аддитивен, т. е. р(ф + А_Х) = р(ф) + А для всех ф Е С(Х~), А Е К.

Пусть теперь ф, ф Е С(Х) - функции такие, что \\ф — ф\\ < г для некоторого г >  0.

Тогда

^—Ех < ^ф - ^ф< ^Е Х , ф - Ех < ф < ф + Ех , р(ф') — е < р(ф) < р(ф} + е , 1р(ф) — р(ф) <  е .

Предложение 1 доказано.

Для краткости, max-plus-полуаддитивный, нормированный и однородный функционал далее будем называть max-plus-полуаддитивными функционалами.

Предложение 2. Топологическое пространство IS(X), снабженное поточечной сходимости, является компактным хаусдофовым пространством.

Доказательство. Хаусдорвофость пространства ^(Х) вытекает из того, что оно является тихоновским пространством как подпространство тихоновского произведения (3).

Отметим, что IS(X) с П< р _ЕС ( _Х ) [т_<р, М ^ ], где для р Е С(Х) положено т ^ = min{р(x): х Е Х}, М ^ = тах{р(х): х Е Х}. В самом деле, как уже в доказательстве предложения 1 было отмечено, что всякий max-plus-полуаддитивный функционал р: С(Х) ^ К сохраняет порядок. Поэтому, в силу нормированности, двойное неравенство (т ф ) < р <

(М^ влечет двойное неравенство т ^ < р(р~) < М ^ .

Теперь так как произведение замкнутых отрезков П(рЕС(Х)[т(р, М^] — компакт в топологии произведения, то достаточно установить замкнутость ^(Х) в этом произведении. Возьмем произвольную сеть {ра} с IS(X). Тогда {ра] с ПфЕС(Х)[т?), М^]. Поэтому, в силу компактности произведения, существует предел р0 Е ПфЕС(Х)[тф, М^]. Доказательство завершится, если установим, что р0 Е IS(X). Для каждого А ЕК имеем р0(А) = Итра(А) = а limA = А, т. е. р0 нормирован. Для каждой пары р Е С(Х') и А Е К имеем р0(Афр) = а

Итра(Афр) = 11тАфра(р) = АфИтра(р) = Афр0(р), иными словами, р0 max-plus-а              а                  а однороден. Возьмем произвольную пару (р, ip е С(X). Имеем р0(р^ф) = lim ра(р®1р) > а

Ит(ра(р)®ра(ф)) = Итра(р)фИтра(ф) = р0(р)®р0(ф),  что означает max-plus- а                      а           а полуаддитивность функционала р0. Таким образом, ^0 е IS(X).

Предложение 2 доказано.

Рассмотрим непрерывное отображение f:X ^ Y компактных хаусдорфовых пространств. Оно индуцирует следующее естественное отображение I(fp. I(X) ^ I(Y):

IS⁽f)⁽p⁾⁽p) = р⁽р ° f)                                           (2‘)

Из предложения 1 вытекает, что отображение IS(f) непрерывно.

Напомним следующее понятие. Пусть С = {О, М] и С ' = {О', М'] — две категории. Отображение F: С ^ С', переводящие объекты в объекты, а морфизмы в морфизмы, называется ковариантным функтором из категории С в категории С' , если:

F1) для всякого морфизма f:X ^ Y из категории С морфизм F(f) действует из F(X) в F(Y);

F2) F(id _x) = id_F ( _X ) для всякого X е О;

F3) F(f ° д') = F(f) ° F(g) для любых морфизмов f и д из М.

Предложение 3. Конструкция IS является ковариантным функтором в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

Доказательство. Из определения вытекает, что IS удовлетворяет условию F1).

Пусть id_x: X ^ X — тождественное отображение. Для каждого р е IS(X) имеем

^№х)(р)(р) = р(р ° idx) = р(р).

Так как р и р произволны, то стало быть IS(id_X)(p) = р.

Покажем, что IS сохраняет композицию отображений. Пусть X, Y, Z — компакты и f:X ^ Y, g:Y ^ Z — непрерывные отображения. Для р е IS(X) ир е С(Z) имеем

IS⁽g ° f)⁽p)⁽p) = р(р ° ⁽д ° f)} = р(⁽р °g)°f) = IS⁽f)⁽p)⁽p ° д) = IS⁽g) ° IS⁽f)⁽p)⁽p), т. е. IS⁽g ° f) = IS⁽g) ° IS⁽f).

Предложение 3 доказано.

Таким образом, конструкция IS переводя компактные хаусдорфовы пространства в компактные хаусдорфовы пространства, а непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств — в непрерывные отображения компактных хаусдорфовых пространств, образует ковариантный функтор, действующий в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

В настоящей работе установим, что функтор IS является нормальным функтором в категории компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений.

• 2. Описание пространства max - plus-полуаддитивных функционалов

Отметим, что для каждого компактного хаусдорфово пространства X имеет место

I(X) a IS(X)                                             (4)

Но, обратное вообще говоря, не верно.

Пример 1. Рассмотрим двухточечное дискретное пространство X = {а, Ь} и функции <р, ф : X ^ R, определенные равенствами

^(а) = 0,            ^(Ь) = 1;

ф(а) = 1,            ф(Ь) = 0.

Тогда

(^®ф)(а) = 1,            (^®Ф)(Ь) = 1.

Для идемпотентных вероятностных мер ц 1 = 0©5_афЛ 1 ©5_й, ц₂ = ^ 2 ®^ а ®0®^ ь , где —от < Л 1 , Л₂< -1, функционал ц = ац 1 + ftц₂ является max-plus-полуаддитивным функционалом, но не является идемпотентной вероятностной мерой, здесь а + ft = 1, а > 0, ft > 0. Действительно, имеем

ц(^фф) = ацД^фф) + ftц2(^фф) = тах{ац1(^), ац1(ф)} + max{ftц2(^),ftц2(ф)} =

= тах{ацД^) + max{ftц2(^),ftЦ2CФ)},    ац^ф) + max^ft^C^),^М2СФ)}} >

• > тах{ацД^) + Дц2(^), ац1(ф) + ftц2(ф)} = тах{ц(^), ц(ф)} = ц(^)фц(ф), т. е. ц(^фф) > ц(^)фц(ф).

Покажем, что тут равенство не выполнено. Вычислим значения функционала ц при ^, ф и ^фф:

ц(^) = ац1(^) + Дц2(^) = а • 0 + ft • 1 = ft, ц(ф) = ац1(ф) + ftц2CФ) = а•1 + ft•0 = а, ц(^фф) = ац-Д^фф) + ftц2(^фф) = а + ft = 1.

Так как а < 1 и ft < 1, то ц(^фф) = 1 > афft = ц(^)фц(ф). Таким образом, ц £ IS(X) \ /(X), т. е. включение (4) необратимо.

Определение 3. Будем говорить, что max-plus-полуаддитивный функционал ц £ /S(X) сосредоточен на замкнутом подмножестве Л компактного хаусдорфово пространства X, если ц(^) = 0 для всякой функции ^ £ C(X) такой, что ^(х) = 0 при % £ Л. Наименьшее множество, на котором сосредоточен max-plus-полуаддитивный функционал ц, называется носителем ц, и обозначается supp ц.

Легко установить следующего утверждения, которое имеет самостоятельный интерес.

Лемма 1. max-plus-полуаддитивный функционал ц £ IS(X') сосредоточен на замкнутом подмножестве Л компактного хаусдорфово пространства X тогда и только тогда, когда ц £ IS(Л)

Для положительного целого числа и определим следующее множество

ISn(X) = {ц £ IS(X): |supp ц| < п}.

Положим от IS_W(X) = U IS_n(X). п=1

Идемпотентную вероятностную меру ц £ IM(X)   называют идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем.

Лемма 2. Множество IS ^ (X') всюду плотно в IS (X).

Доказательство. Каждый max-plus-полуаддитивный функционал /1 с конечным носителем представляется в виде разложения

^•11- Л1П1 Л11- ^2n2 Лк1- ^knk / = а^г r 1 + a2vr r 2+--- + anvr, k r 1 Лц- %1щ 2 л21- Л2П2 n xk1- Xknk единственным способом (с точностью до перестановки местами), где v^11-^1 = AilQ8Xi©- ©Ain.Q8x. , xi1-xinj      11'-' лц^        inl'-' лт^

{xfl, - , xin.} c supp 1,       Ui=i{Xii, -, Xin.} = supp 1,

• -~ < Aj < 0,     Ail® - ©Ain, = 0,

a_i > 0,        i = 1,-,k,          X ^= ₁a_i = 1.

При этом, для каждого п имеем

^IS n ^(X = {Z^a i^v^.^-^ ^{: {x} ii , -’^x in} ^{c X}    |^U{x ii , -^,x in}\ <П ^a i > 0,     l ^ai = ^1}

Ясно, что v^ ¹ -^ G I(X) т. е. функционал v^ ¹ -’^ является идемпотентной вероятностной мерой. Поэтому из всюду плотности [1] множества I_M(X) в I(X) вытекает всюду плотность множества IS_M(X) в IS(X). Лемма 2 доказана.

Пусть А — подмножество компактного хаусдорфово пространства I(X). Для каждой конечной системы {B_i, -, B_n} подмножеств B i c А и чисел a i , удовлетворяющих условиям

ai > 0,      i = 1,2,-,п,        2^ = 1,

определим функционал n a1,-,a

• ^V B 1..... B n = ^W B i

i=i где Vb: = © /.

• ¹    BGB_t

Предложение 4. Для каждого множества А, системы {B_I,-,B_n} его замкнутых подмножеств и чисел a i , удовлетворяющих условиям (5), функционал v^’""^ , определенный равенством (6), является max-plus-полуаддитивным функционалом, т. е. v^”^-^ G IS(X).

Доказательство. Вначале покажем, что функционал v_B. = © /, i = 1, - ,п, является

¹ BGB 1 идемпотентной вероятностной мерой, т. е. нормирован, max-plus-однороден и max-plus-аддитивен. Для каждого A G R имеем

vBi(AX) = © 1 (Ax) = A,

• ¹           BGB i

• т. е. нормированность выполнена.

Для каждого Я 6 R и каждой р E С (X) справедливо

Vв_i(Л Ор) = ф р(Л0р) = ф (Лф^(р)) = ЛО Ф р(р) = AQv_B (р), BEB t              BEB t                    BEB t

• т. е. max-plus-однородность выполнена.

Для каждой пары р, ^ 6 C(X) верно

• V в_i⁽. pФ^⁾ = Ф Р⁽РФ^) = Ф (Кр^ФК^У) = Ф Р⁽Р)Ф Ф р№ = У в^ ФУ в У^), BEB t              BEB t                    BEB [        BEB [

т. е. max-plus-аддитивность выполнена. Таким образом, v_B. E I(X) i = 1, ...,п.

Теперь покажем, что  Ув1""’в2 E IS(X)  Покажем его нормированность. Для произвольного Л E К верно п               п                пп vb1"""£(A) = ( Д aiVBt ) (Л) = Д (aiVBi(Л)) = ДaiЛ = лДai=Л. 1=1      /        1=1                 i=ii=i

Установим max-plus-однородность функционала v^’"”^. Имеем пп vb1"Bb^ Q Р) = (^ aivBi ) (Л°Р) = Д (ai (vB^Op))) = i=ii=i пп

= Д (at (AQvB^pi)) = ЛоДа^в^) = AOv^^^) i=ii=i для каждого Л E К и каждой р E С(Х)

Остается показать max-plus-полуаддитивность функционала v^"^

(пп

Д aiVBt ) (р Ф ^) = Д (ai (vвi(p ф ^)) = i=i      /i=i пп

= Д (ai (vb^ Ф Vb^)) = Д (а^в^р) Ф aiVBi(^)) > i=ii=i

В1’-’Вп(,.пУ     ■иа"’-’ап(,1,\

• >   / _f ^a i ^v в_i ^{(p)  ф} Д ^a i ^V B_i ⁽P⁾  = ^V в₁’.’B_п ^{(p) Ф V} B₁’.’B_n ⁽P⁾’

т _А ^а1’-’^ап(_т ф        ^аВ"’-’Пг1 (,_пУ ф ^аВ"’аПг1 (.КУ                            ССУЛ

• т. е. ^VB₁,...,B_n^{(р ф р)} > ^VB₁,...,B_n^{(р) ф V}Bi,...,B_n^{(Р) для каждой} пары ^р, ^ ^{E С(Х)}.

Предложение 4 доказано.

Определим следующее множество

А* = §%

’В^п : Н , ’.’й_п замкнуты в А; a_i>0’ i = 1’.’n; Д a_i = 1}] ⁱ = ⁱ             is(x)

.

Следующее утверждение является ключевым результатом работы.

Теорема 1. Для каждого компактного хаусдорфово пространства X справедливо равенство

(I(X))_S = IS(X)

Доказательство. Из леммы 2 можно сделать следующий вывод: каждый функционал /л G I S_M(X) представим в виде аффинного разложения конечного числа некоторых идемпотентных вероятностных мер из I_W(X). Отсюда, в силу всюду плотности IS_(J)(X), вытекает требуемое равенство. Теорема 1 доказана.

Отметим, что теорема 1 фактически описывает пространство IS(X) max-plus-полуаддитивных функционалов на языке идемпотентных вероятностных мер, т. е. элементами л G I (X).

• 3. Нормальность функтора IS max-plus-полуаддитивных функционалов

Определение 4 [3]. Ковариантный функтор F: Comp ^ Сотр называется нормальным, если он удовлетворяет следующим условиям: функтор F непрерывен, сохраняет вес, пересечения, прообразы, мономорфен и эпиморфен, переводит пустое множество в пустое, а одноточечное — в одноточечное.

Предложение 5. Функтор IS сохраняет вес бесконечных компактных хаусдорфовых пространств, т. е. для любого бесконечного компактного хаусдорфово пространства X имеет место равенство w(IS(X)) = w(X).

Доказательство. Из равенства w(I(X)) = w(X), установленного в [1], и включения (4) вытекает, что w(IS(X)) > w(X). Обратное неравенство, более точно неравенство w(IS(X)) < w(I(X)) вытекает из теоремы 1. Предложение 5 доказано.

Предложение 6. IS — мономорфный функтор, т. е. сохраняет инъективность отображений компактов.

Доказательство. Пусть л 1 , л₂ G IS(X) л 1 * л₂. В силу инъективности отображения f существует функция у G C(Y), такая, что л 1 (ф ° f) * л₂(у ° f). Поэтому IS(f)(л₁)(у) = л 1 (у ° f) * л₂(у ° f) = IS(f)(л₂)(у). Предложение 6 доказано.

Предложение 7. Если f:X^Y — непрерывное отображение «на», то отображение IS(f): IS(X) ^ IS(Y) - также непрерывно и «на».

Доказательство. Непрерывность отображения IS(f) показано в предложении 3. Сюрьективность отображения IS(f) вытекает из теоремы 1 и сюрьективности отображения /(f). Предложение 7 доказано.

Предложение 8. Функтор IS: Comp ^ Comp сохраняет

• а)    точку,

• Ь)    пустое множество.

Доказательство. а) Пусть х G X. По определению имеем IS({x}) = {8_Х}.

• Ь)    Пусть X = 0. Тогда C(X) = 0. Следовательно, К^с(х) = К⁰ = 0. Откуда IS(0') с 0. Предложение 8 доказано.

Предложение 9. Если А — замкнутое подмножество компактного хаусдорфово пространства X, то IS(A) с IS(X)

Доказательство. Пусть А замкнуто в X и л G IS(A). Тогда функционал л сосредоточен на А. Это в силу леммы 1 равносильно тому, что supp л с А. Тогда supp л с X, откуда л G IS(X) Предложение 9 доказано.

Предложение 10. Если f:X^Y — непрерывное отображение между компактными хаусдорфовыми пространствами и В с Y,то IS(f^-1(B)') = IS(f)^-1(IS(B)).

Доказательство. Пусть л G IS(f^-1(B)). Согласно лемме 1 это означает, что л G IS(X) и supp л с f^-1(B). Следовательно, f(suppл)сB. Поэтому из предложения 6 имеем supp IS(f)(л) с В. Откуда /S(f)(л) G /S(B'), т. е. л G IS(f)^-1(IS(B)).

Наоборот, пусть ц G IS(f')^-1(IS(B)'). Тогда SS(f)(j)) G SS(B), т. е. supp SS(f)(j)) с В. Следовательно, согласно предложению 6 имеем f (supp ц) с В. Это означает, что supp /л с f^-1(B), откуда ц G IS(f^-1(B)). Предложение 10 доказано.

Пусть {%а, р^; а} — обратный спектр, индексированный элементами множества А и состоящий из компактов. Через lim Ха обозначим предел этого спектра, а через ра: lim Ха ^ Ха, aGA — предельные проекции. Обратный спектр {ха, р^; а} порождает обратный спектр {lS(Xa), is(pa); а}, предел которого обозначим через lim IS(XO), а предельные проекции через pra:lim IS(Xa) ^ IS(Xa). Отображения IS(pa): IS(lim Xa) ^ IS(Xa), aGA, порождают отображение RIS: IS(lim Xa) ^ lim IS(Xa).

Предложение 11. Функтор IS непрерывен, т. е. отображение   R_IS: IS(lim X_a) ^

lim IS(X_a) является гомеоморфизмом.

Доказательство. Так как взятие аффинной комбинации и взятие замыкания являются непрерывным операциями, то из теоремы 1 и непрерывности функтора I идемпотентных вероятностных мер, следует, что RIS:IS(lim Xa) ^ lim IS(Xa) есть гомеоморфизм. Предложение 11 доказано.

Предложение 12. Функтор IS сохраняет пересечение, т. е. для любой пары А, В замкнутых подмножеств компактного хаусдорфово пространства X имеет место

IS(A ^В} = IS (А) П IS(B).

Доказательство. Ясно, что включение IS(AnB} с IS(A) П IS(B) справедливо. Если ц G IS(A) П IS(B), то supp ц с А и supp ц с B, следовательно, supp ц с А П B. Откуда ц G IS(A П B), т. е. IS(A П B) ^ IS(A) П IS (B) Предложение 12 доказано.

Таким образом, доказано следующий основной результат работы.

Теорема 2. Функтор IS: Comp ^ Comp является нормальным функтором.

Авторы выражают свои глубокую признательность доктору физико-математических наук Адилбеку Заитову за постановку задач и его участия в обсуждениях полученных результатов.