Гармонический анализ периодических на бесконечности последовательностей

DOI:

Пусть Z — множество целых чисел и X — комплексное банахово пространство. Символом EndX обозначим банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в X. Через I ^х = V ” (Z,X ) обозначим банахово пространство ограниченных последовательностей х : Z ^ X с нормой ||х||_ю = sup ||х(п) | .

nG Z

Через с ₀ = с ₀ (Z,X) обозначим (замкнутое) подпространство последовательностей из l ^ (Z,X ), убывающих на бесконечности, то есть выполняется равенство lim || х(п) | = 0.

|п|^ю

В пространстве l ^ (Z,X ) рассмотрим операторы сдвига S(п) : l ^x ^ l ^x , (Sx)(k) = = х(к + п), к >  0, п Е Z, х Е I ^ю .

Используемая далее терминология для равномерно непрерывных последовательностей, определенных на Z, имеется в статьях [2–5; 8; 9].

Определение 1. Последовательность х Е l ~ (Z,X) называется медленно меняющейся на бесконечности, если S (1)х — х Е c ₀ (Z, X), то есть lim || х(п + 1) — ж(п)) | = 0.

|п|^ю

Определение 2. Последовательность х из l ^ (Z,X ) называется периодической на бесконечности периода N >  1, N Е N, если S(N)х — х Е с ₀ .

Примером медленно меняющейся на бесконечности последовательности является последовательность х(п) = sin(ln( a + n)), п Е Z, где a > 0.

Множество медленно меняющихся на бесконечности последовательностей образуют замкнутое подпространство из l ^ (Z,X ), которое обозначим символом l ^^ . Множество периодических на бесконечности последовательностей периода N образуют замкнутое подпространство из l “ , которое обозначается через l ^ ^ (Z,X ). Отметим, что с о С l^(Z, X) С l^(Z, X ) при любом N >  1.               ’

Пусть Y k = е ^п , 0 <  k <  N — 1, — корни из единицы. Отметим, что они образуют группу, обозначаемую далее через G _n .

В статье доказана следующая теорема.

Теорема 1. Каждая периодическая на бесконечности последовательность х Е Е l^^(Z,X) периода N > 1 допускает представление вида n-1

^{х ( п )} = 52 х ^{( n )}YL ^{n е} Z,     ^х к ^е 1 ^ , ^ .

к =0

В банаховом пространстве Р(Z,X), где X — конечномерное банахово пространство, рассмотрим разностное уравнение

х(п + N) = Вх(п) + у (n), п Е Z,                       (1)

где у Е c ₀ (Z,X),В Е EndX со свойством а ₀ = ^ (В) П T = {Y 1 , Y 2 -., Y m } — совокупность простых собственных значений, где T = {Л Е C : |Л| = 1 } и о (В ) обозначает спектр оператора В.

Теорема 2. Каждое ограниченное решение х : Z ^ X уравнения (1) является периодической на бесконечности последовательностью, которая допускает представление вида n

х(п) = 52 х (n)Yk, к=1

где х к Е l ^^ , Y k Е T , 0 <  k < N — 1 .

1. О спектральном разложении оператора S

Рассмотрим оператор S Е EndX, удовлетворяющий условию S ⁿ = I .

Отметим некоторые свойства спектра таких операторов.

Лемма 1. Оператор S обратим и r(S ) = r(S ^-1 ) = 1 , где r(S ), r(S ^-1 ) — спектральный радиус оператора S и S ^-1 соответственно. Кроме того, S ^{- n} = I.

Доказательство. Из равенств S ⁿ = S ⁿ 1 S = SS ^{n 1} = I следует, что оператор S обратим и S ^{n -1} является обратным для S .

Из форму лы Ге льфанда [1; 6 ; 7] для спектрально го р адиуса оператора следует, что r(S) = lim v' S" = lim ^m ^ || S ^mN || = lim " ₄ ^; / = 1. n ^^         m ^^           m ^^

Поскольку S ^{- n} S ⁿ = S ^{- n} = I , то, по доказанному, r(S ^-1 ) = 1.

Лемма 2. Имеет место включение

a(N) C T = {Л G C : |A| = 1 } .

Доказательство. Пусть Л G C и |Л| > 1. Тогда S — X I = X (I — X s). Поскольку II X S II = |Л| II S II = |Л| < 1, то оператор I — X S обратим, и тогда

∞

( ^S -^Л/ ) ^{- 1} = — _Х Е     ’*

п=0

Сходим ость ряд а вытекает из критерия Коши сходимости рядов, леммы 1 и равенства: i™ ^{- n} = jX, < 1.

Представим число п G N в виде п = kN + р, где 0 <  р <  N — 1. Тогда

^ N —1                   ^

(N — XI)—1 = — 1 Е Е т-p^-NkN+0 = — 1 V V 1sр = ф(Л)S^v, v       7        л ' ^ < ^ X^n+р             л ' ^ X^n < ^ хр k=0 р=0                     к=0

∞

— Х ^_1 — функция, не зависящая

N —1

= V  рр хр . р=0

^{где ф : {Л G} C ^{: |Л|} > ^{1 }} ^ C , ^{ф ( Л )} = ^— x S Х^ = к =0

от р, и оператор S _N , определяющийся равенством S _N

Итак, Х G o (S ).

Пусть теперь |Х| > 1. Из представления

S — XI = S(I — XS—1) = XS( I — S—1) λ следует, что оператор S — XI является произведением обратимого оператора S и оператора XI — S—1, который обратим. Свойство обратимости следует из доказанного, если вместо оператора S рассмотреть оператор S—1. При этом учитывается, что (S—1)N =

= (S ^N ) ^—1 = I .

Лемма 3. Имеет место включение c (S ) C G _N = ^— 1 .

Доказательство. Пусть вначале Х ₀ G o (S ) — собственное значение оператора S и пусть ж ₀ = 0 — соответствующий ему собственный вектор, то есть Sx ₀ = Х ₀ ж ₀ . Следовательно, верны равенства

S ^N Sx ₀ = X ₀ S ^N x ₀ = Х ₀ ж ₀ , x N ⁺¹ x 0 = X 0 X 0 ^ x N = 1.

В общем случае используем равенство o (S ^N ) = {X ^N : X G o (S ) } = { 1 } . Следовательно, X ^N = 1 для любого X G o (S ), то есть o (S ) C G _N .

Рассмотрим теперь вопрос о спектральном разложении оператора S G EndX, удовлетворяющего условию S ^N = I для некоторого N G N.

Теорема 3. Пусть для оператора S Е End X, где X — банахово пространство, выполнено равенство S ^N = I, N Е N. Тогда оператор S можно представить в следующем виде

N -1

■ 2 п            • 4 п                    • 2 п ( N — 1)               х• 2 п к

S = Pq + eiNР1 + eiNР2 + ... + ei N pN-i =    eiРк, k=Q где Fq = 1+s+s2+--+sN 1, Рт

2п т _         2пт

I +(е n ) ^— 1 S+...+(e n ) ^—(N -En ^{n —1} N

N -1  „

= N Е (ет ES’, 1 <

< т <  N — 1. При этом имеют место следующие свойства:

1=0

• (1)    I = Р 0 + Р 1 + ... + P _N -1 (разложение единицы);

• (2)    Р ² = Р _г , 0 <  т <  N — 1 (то есть P i — проекторы);

• (3)    P _i P j = 0 для г = i (то есть проекторы дизъюнктны);

• (4)    SP _k = P _k S = y _k P _k (образ Im P _k каждого проектора P _k , 0 <  k <  N — 1, есть собственное подпространство оператора S, отвечающего собственному значению Y _k .

Доказательство. Представление проекторов в условии теоремы можно получить из ин- терполяционной формулы Лагранжа. Из этой формулы мы получим, что Р0 = i+s+S2+...+sN—1 N

Чтобы получить разложение проектора Р 1 , рассмотрим оператор

S i

= Y 11 S. Тогда оператору S 1 будут отвечать следующие корни из единицы у - 1 ,

• 1, у 1 , ... , y _{N - 2} . Тогда из интерполяционной формулы Лагранжа мы получим, что _D      I +S1+S 2 +...+S N ^-1       I+Y ^— 1 S+Y ^—2 S ² +...+y ^—(N— 1) S ^N—1

P1 = -----1N---1— = —u---u---n—u-------. Аналогичным образом строятся проекторы Р2, ..., PN-i.

Покажем, что операторы Pk, 0 < k < N — 1, — искомые операторы. Справедливы равенства:

NI + N (е 2 Nr ) ^-1 S + ... + N (е 2N ) ^-(N-1) S ^{N -1} _

• ^{k k} =                  N 2                   =

_ I + (e 2N ) ^-1 S + ... + (e 2N ) ^-(N-1) S ^{N -1}

= P k ,

=           N то есть операторы Pk являются проекторами, и

S + (e 2N ) ^-1 S ² + ... + (e 2N ) ^-(N-2) S ^{N -1} + (e 2N ) ^-(N-1) I     2пк _D

SPk   PkS                              Ar                             e N Pk, то есть оператор S и проекторы Pk перестановочны.

Теперь докажем, что P _k Р _т = 0, k = т. Воспользуемся перестановочностью оператора S с проекторами P _k и Р _т и свойством ассоциативности суперпозиции:

(SPk )Рт = Pk (SPm), 2пк                  . 2пт е—Pk Рт = Pk (е—Рт),

, 2пк       2пт .    

(е ^N — е ^N )P k Р т = 0.

2п к      ‘2 п т

В силу того, что с v и е n — различные корни из единицы, то P _k Р _т = 0.

Рассмотрим теперь сумму

N -1           N -1                 N -1

^Р о + ^р 1 + ^р 2 + ... + P n -1 =

n I + ( E Yps + ( E Yps ² + ... + ( E y -^{( n -1,} )S ^N-1 k =0            k=0                  k=0

N

N -1

Каждая сумма ^ Y k равна нулю, — (N — 1) <  р < — 1, так как представляет k=0

собой геометрическую прогрессию с первым членом прогрессии Ь ₁ = 1 и знаменателем

. _2пр                                      N -1

' 2 пр n

^{1 - (е} Е = 0. Таким образом,

1 ж' v

прогрессии q = ег~. Поэтому верно равенство ^ Yk = k=0

N -1

I = E P k .

k=0

Применим к этому равенству оператор S. Получим требуемое спектральное разло- жение

N -1         N -1

s = Е SP k = Е е 2N P k .

k=0         k=0

2.    Доказательство теоремы 1

Последовательность ж : Z ^ X называется периодической периода N Е N, если имеют место равенства ж(п + N ) = ж(п), п Е Z.

Отметим, что множество периодических периода N последовательностей образуют замкнутое подмножество из l ^N (Z,X ), которое обозначим символом Z ^ (Z,X). Непосредственно из определения следует, что оператор сдвига S (1) Е Endl N обладает свойством S (1) ^N = S (N) = I . Тогда для элементов множества I N (Z,X ) будет иметь место следующая лемма.

Лемма 4. Каждая периодическая последовательность ж Е I N периода N >  2 до-

N -1

пускает представление вида ж(п) = E ж _k Y _k , где п Е Z , ж _k Е X и определяются k=0

N -1

равенством ж _k = N E Y _k ^г ж(г), 0 <  k <  N — 1 .

г=0

Доказательство. В силу теоремы 3 оператор левого сдвига S (1) можно представить

N -1                     N -1

в следующем виде S (1) = ^2 Y_k P _k , где P _k = N S Y l- S ^г — проекторы. Также будут k=0                       г=0

N -1

верными следующие равенства S ⁿ (1) = S(п) = ^2 Y _k P _k , для любого п Е Z. Поэтому k=0

для любых т, п Е Z выполнено

N-1

ж(п + т) = (S ” (1)ж)(т) = (S(п)ж)(т) = ( Е Y ^ P k ж)(т) = Е Y _k (P k ж)(т).

k=0

Чтобы получить искомое разложение, нужно взять т = 0. Таким образом,

.. N -1                            -. N -1                             -. N -1

Ж k = (P k ж)(0) = (-^ Е Y-S * (1)ж)(0) = _N Е T -‘ (S ‘ (1)ж)(0) =    Е Y -■ ж(i).

N г=0                         - г=0

Пусть X ₀ — замкнутое подпространство из банахова пространства X . Для элементов пространства X определим следующее отношение эквивалентности: ж ~ у, если ^{ж - у G Х} о .

Обозначим через ж (или ж + Х0) множество {у G X : у — ж G X0}. Его называют классом эквивалентности, содержащим ж: Классы эквивалентности являются элементами векторного пространства X/X0, называемого фактор-пространством пространства X по подпространству X0. В данном пространстве сложение элементов и умножение их на скаляры определяются следующими формулами ж + у = ж + у, OCX = OCX.

Фактор-пространство X/X ₀ является банаховым пространством с нормой

||^ж\ = inf || ж + у || , ж, у G X, ос G C.

у Е Х о

Доказательство. Введем фактор-отображение, то есть отображение, действующее по правилу ж ^ ж + X ₀ : X ^ X/X ₀ . Введем норму на X/X ₀ таким образом, чтобы данное отображение было ограничено. Так как по определению X ₀ замкнуто в X, то на X/X ₀ для каждого ж G X положим

||ж \| = ^|ж + ^X o \ = inf ^|ж + у \\ = ^inf \ z ||. уЕХ о               геж

Заменяя в формуле у на — у, видим, что величина \ ж + X ₀ \ равна расстоянию от ж до X o .

Пусть I — замкнутый идеал из банаховой алгебры Л. Тогда фактор-пространство Л = I является банаховой алгеброй, если в ней операцию умножения ввести следующим образом жу = жу, ж, у G Л.

В этом случае алгебра Л = I называется фактор-алгеброй.

Приступим к доказательству теоремы 1.

Непосредственно из определения ограниченной на бесконечности последовательности периода N следует, что c o С l ^,^ = l ^,^ (Z,X).

Рассмотрим фактор-пространство X_n = l ^^ (Z,X)/c ₀ (Z,X) и фактор-оператор

S(1) G EndXn, определенный равенством S(1)ж = S(1)ж = S(1)ж + c0. Непосредственно ХХ\ из определения S(1) следует, что

—- n    -—-—"

S(1) ж = S(х)ж = ж, для любого ж G lN^. А также

n ~

Таким образом, S(1) = I — тождественный оператор в банаховом пространстве l N ^ (Z,X)/c ₀ (Z,X). Поэтому к нему применимы результаты раздела 1.

Представим оператор I в виде

N -1

~   ~   ~       ~      X-л ~

1 = P0 + P1 + ... + pn-1 = 52 Pj, j=0

N 1    .  — г где pj = N Е Y-'S(1) , 0 < j < N -г=0

j =0,...,N - 1

1 являются проекторами. Однако P j х

^P j ^{X ,}

N -1

Также введем в рассмотрение операторы P j = N ^ Y ^- ' S(1) ' , 0 <  j <  N — 1. г =0

Отметим, что так построенные операторы P j не обязательно являются проекторами.

Справедливы следующие равенства

N -1          N -1 _л N -1

г х = IX = C£p>, )х = £ - £ ^S(1) х = j=0          j=0 1 г=0

N -1 . N -1                     N -1

= Е 4 Е Y-S (1)х + = 0 = £^ х + С, j =0 ¹ г =0                        j =0

для любого X G I N ^ .

N -1

Значит, существует такая последовательность ^0 G с0, что х = ^2 Pjх + У0. Пред- j=0

N -1

ставим последовательность х в виде х(п) = ^2 Y”(Y-n(Pjx)(n)) + у0(п). Положим j=0

X j (п) = Y 7 ⁿ (P j x)(n), п G Z. Покажем, что X j G I N , _n , 0 <  j <  N — 1, то есть нужно доказать, что (S (1)х^- — X j ) G с ₀ . Верны равенства

1 N -1

^{( S} (1) ^х ,- ^{— x} j ^{)( п )} = ^x j ^{( п} + 1) ^{— x} j ^{( п )} = Y -” ^{-1 (} n Е Y -' ^{( S (1)} ' ^{х )( п} + 1)) ^— г=0

• -. N-1                            -.        N-1

— Y -” (77 Е Y ^-i (S(1) ^г х)(п)) = .- Y -” ( Е Y 7 ^l ‘ ^+1, x(n + i + 1) — Е Т -Мп + ,)) =

1 г=0                                  г=0

= Y -^j ( y ^{- N} х(п + N) — х(п)) = —Y j (х(п + N) — х(п)).

NN

Последняя часть равенства стремится к нулю при п ^ то для любого j , так как х G ^∞

^{G l} N, n .

Таким образом, получили следующее представление последовательности х G I N _n

N -1

^{х ( п )} = 52 ^{Хк ( n )} Y ”

к=0

где Х к G I N , _n , 0 <  к <  N — 1. Теорема 1 доказана.

3.    Доказательство теоремы 2

Спектр оператора B представим в виде:

°"(В) = ffo и Oin и О out, где Go = о"(В) П T = {y,, Y2,...,Ym} — совокупность собственных значений, лежащих на окружности; огп = {Л Е °(В) : |Л^| < 1} — совокупность собственных значений, лежащих внутри окружности T; aout = {Л Е О"(В) : |ц.^| > 1} — совокупность собственных значений, лежащих вне окружности. В соответствии с этим разбиением спектра рассмотрим проекторы 10, 1гп, 1out, которые соответственно построены по спектральным множествам Oq, огп, aout. Таким образом, I = 10 + 1гп + 1out. Эти проекторы индуцируют разложение X = X0 ф X,,, ф Xout пространства X, где X0 = Im 10,ХгП = Im 1™, X

S (N )х»п(п) = B_inXin(n) + y_tn(n),                            (2)

Угп = 1гпУ Е Co.

Из (2) следует, что

(I — B_гпS(—N))х_гп = S(-N)y_m.                        (3)

Поскольку ||S(—N)|| = 1, B_гпS(—N)х_гп(п) = S(—N)В_гпх_гп, п Е Z, и спектральный радиус т(В_гп) оператора В_гп меньше единицы, то оператор I — Bi_пS(—N) обратим и из ∞

• (3)    получаем, что Хгп = (I — B_iпS(—N))^-1S(—N)y_in= Е B”_nS(—N(п + 1))уп Ясно, п=0

что х_гпЕ c₀(Z,X). Аналогичный результат получим при применении проектора 1_out к уравнению (1):

^{(S (N)x}out^{)(n)   B}out^Xout^{(n) +}yout⁽ⁿ⁾, yout 1 (uity ^{Е C}0^{.              (4)}

Оператор B_out обратим, и ^(В^-^) = {л1 , Л^ Е 0"_out}, то есть его спектральный радиус меньше единицы. Используя перестановочность оператора Sn c B_out из (4), получим равенства

S (N )BOut xout(п) xout(n) + ^^ outyout (п,') п Е Z, или

(I — S(N)Bou¹t)Xout(n) = —Bou¹tУout(п),п Е Z.

Таким образом,

∞ xou,(n) = — (I — S(N)Bou11 )-1Bo-1,yo.1(п) = — ^(В;;,^(N))‘в;;,1,you,, you е co.

п=0

Из этой формулы следует, что x_out Е c₀(Z,X). Проектор Р₀ можно представить в виде

Ро = р, + ... + pn , где Рк — проектор, и АРк = YkРк, где | Yk |= 1, 1 < к < N . Ввиду предполагаемой простоты собственных значений число Yk представимо в виде Yk = егЛк, 1 < к < N. Применим проектор Р0 к разностному уравнению (1) и далее применим проектор Рк

Рк хо(п + 1) = Рк Вохо(п) + Рк Уо(п), где хо = Рохп, Хк(п) = Ркхо(п), к = 1, N.                                     ____

Следовательно, хк(п + 1) = Ykхк(п) + ук(п), где хк(п) = Ркх0(п), к = 1, N, п Е Z. Сделав замену хк(п) = Y-nхk(п),п Е Z, получим хк(п + 1) = хк(п) + Ук(п), п Е Z, где хк — медленно меняющаяся последовательность, а хк(п) отличается от хк(п) по формуле (1) на множитель Yk, где Yk — корень из единицы. Поскольку ук Е с0 и S(1)кк - хк Е с0, следовательно кк, где 1 < к < т — медленно меняющаяся на бесконечности последовательность. Теорема доказана.