Генезисис, измерение и моделирование остаточных напряжений в биологических тканях

Ненулевое поле напряжений в материале, находящемся в ненагруженном состоянии, называется полем остаточных напряжений и обозначается 5 ^(res) . Обозначим ненагруженную конфигурацию с остаточными напряжениями материала как B . Тогда остаточные напряжения должны удовлетворять уравнению равновесия и нулевым граничным условиям на границе дB_r. с внешней нормалью n:

div 5 ^(res) = 0 , V%e B_r.

5 ^(res) ■ n = 0 на дB_r.

Эмпирически наличие остаточных напряжений может быть продемонстрировано при освобождении напряжений путем удаления материала или разреза: если после рассечения тела конфигурация материала изменяется (образец деформируется), это свидетельствует о релаксации (снятии) внутренних напряжений, существовавших до разреза. Например, при выполнении радиального разреза стенки сосуда (рассечении кольца на всю толщину) ненагруженный образец раскрывается, и его поперечное сечение принимает форму сектора (см. рис. 1) [1; 2]. Это доказывает, что стенка артерии в физиологическом (ненагруженном) состоянии не является свободной от напряжений, поскольку если бы остаточные напряжения отсутствовали, геометрия образца после разреза осталась бы неизменной.

0000-0001-8324-6695

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International

License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

Рис. 1. Конфигурация до разреза (слева) и после разреза (справа)

Одними из первых работ, где было показано наличие остаточных напряжений в биологических тканях, были исследования [3–5]. Остаточные напряжения часто являются ненулевыми для многих биоматериалов, например, таких как артерии [1; 2; 6], миокард [7], мозг [8; 9], кость [10; 11].

В последние десятилетия исследования остаточных напряжений в мягких тканях значительно расширились, охватывая экспериментальные, теоретические и вычислительные подходы к пониманию их происхождения, измерения, функциональной роли и значения в норме и патологии. Настоящий краткий обзор посвящен основным направлениям исследований: механизмам генерации остаточных напряжений, методам их количественной оценки, учету остаточных напряжений в определяющих соотношениях, их биомеханической роли [12–20].

Формирование остаточных напряжений в мягких тканях, таких как артерии и органы, в первую очередь обусловлено ростом и ремоделированием (т.е. реорганизацией внутренней микроструктуры) ткани [16; 13; 15]. Биохимические процессы роста приводят к появлению новых клеток и компонентов внеклеточного матрикса, вызывая объемные изменения. Пространственная неоднородность этих изменений, как в пределах одного слоя, так и между различными слоями ткани, приводит к механическим несовместностям, которые, в свою очередь, генерируют остаточные напряжения [14; 21; 16; 20]. Иными словами, разные слои ткани растут с разной скоростью, но, будучи связанными в единое тело, вынуждены сохранять совместность, что и порождает остаточные напряжения.

Микроструктура артериальных стенок, включая распределение и преднатяжение эластина, ориентацию коллагеновых волокон и тонус гладкомышечных кле- ток, определяет распределение полей остаточных напряжений, которые способствуют поддержанию механического гомеостаза и функциональной целостности ткани [22; 6].

Также осмотически-индуцированное набухание на микроуровне, обусловленное взаимодействием твердых компонентов тканевого матрикса с жидкими фазами, представляет собой важный механизм генерации локальных остаточных напряжений [13].

Материалы и методы исследований

Исследования остаточных напряжений в мягких тканях в первую очередь направлены на понимание их биомеханической роли, совершенствование методов измерения и моделирования, а также на изучение их влияния на рост тканей, формирование структур и разрушение. Данная область становится все более междисциплинарной, интегрируя биомеханику, механобиологию, материаловедение и клинические приложения.

Остановимся подробнее на основных направлениях исследований в области остаточных напряжений.

Одними из первых работ, в которых обсуждалась биомеханическая роль остаточных напряжений, были исследования [2; 4]. В этих работах с помощью численных моделей было показано, что учет остаточных напряжений приводит к снижению градиентов напряжений и важен для поддержания физиологических функций, особенно в артериях и других несущих нагрузку тканях. Считается, что артерии, стенка желудочно-кишечного тракта, головной мозг и репродуктивные ткани «используют» остаточные напряжения для выравнивания трансмуральных градиентов, благодаря чему распределение напряжений в стенке становится более однородным in vivo, поддерживая клетки в предпочтительном гомеостатическом состоянии [2; 12; 19; 15; 23–25].

Отметим, что при рассмотрении стенки артерии как трехслойной цилиндрической оболочки в работе [6] был получен результат, что « it is not clear whether the transmural stresses became more uniform due to residual stresses or not » (неясно, становятся ли трансмуральные напряжения более однородными благодаря остаточным напряжениям). Однако было показано, что без учета остаточных напряжений распределение напряжений не соответствовало физиологически ожидаемой картине, а именно, основную нагрузку несла интима (внутренний слой), а не медиа (средний слой).

Предварительные растяжения и остаточные напряжения позволяют тканям работать в оптимальном диапазоне для выполнения специфических фи- зиологических функций. Так, например, предварительная деформация створок митрального клапана смещает их механический отклик в этот оптимальный диапазон, компенсируя значительные различия между жёсткостью, измеренной ex vivo и in vivo [26]. Помимо обеспечения оптимальной механики, остаточные напряжения, возникающие как результат несовместности при росте, регулируют также дальнейший рост и морфогенез (например, в головном мозге и коже [15]).

Наличие остаточных напряжений также существенно влияет на условия разрыва и повреждения тканей. Согласно модельным результатам, остаточные напряжения в зависимости от величины, знака и пространственного распределения могут как способствовать разрушению мягких тканей, так и замедлять его или снижать риск. Модели сосудов с остаточными напряжениями показывают, что определённые паттерны этих напряжений могут повышать локальные напряжения, способствуя образованию выпячивания или разрыва под действием давления [27–29]. Остаточные напряжения могут накапливаться до достижения критического порога, вызывая затем морфологические переходы (например, складкообразование), предшествующие разрушению материала [30; 31].

В то же время в двуслойной модели артерии окружные остаточные напряжения повышают общую прочность артерии [32]. Остаточные напряжения в периодонтальной связке и других тканях могут сглаживать градиенты напряжений и, совместно с осмотическим набуханием, увеличивать разрушающие напряжения при сдвиге (эффект упрочнения) [33]. Остаточные напряжения, индуцированные ростом и ремоделированием в сердце и артериях, также могут снижать концентрацию напряжений и уменьшать повреждение тканей при интенсивных нагрузках [34].

В биоминералах и костной ткани внутренние растягивающие и сжимающие остаточные деформации в апатите и биокристаллах значительно повышают прочность [35; 36].

Таким образом, роль остаточных напряжений в разрушении ткани неоднозначна: они могут либо повышать локальные напряжения и ускорять накопление повреждений, либо выравнивать нагрузки и повышать пороги разрушения. Их итоговое влияние зависит от типа ткани, режима нагружения и конкретного поля остаточных напряжений.

Остаточные напряжения в тканях невозможно измерить напрямую, и все методы их оценки можно разделить на деструктивные и недеструктивные. Наиболее распространёнными являются деструктивные методы, а именно, остаточные напряжения определяют по деформациям или микроструктурным изменениям после снятия напряжения с помощью разреза или частичного удаления материала, а затем преобразуют в напряжение с помощью механических моделей [37– 39, 11, 40]. Подходы различаются для макроскопического уровня (артерии, опухоли) и микроскопических или клеточных масштабов.

Неизвестные остаточные напряжения могут присутствовать в исходном ненагруженном поперечном кольце трубчатой структуры. После разреза образовавшийся раскрытый сектор рассматривается как (приблизительно) свободная от напряжений конфигурация. Затем, с использованием нелинейной теории упругости и выбранного определяющего соотношения, его математически «загибают» обратно в замкнутое кольцо. Внутренние напряжения, необходимые для достижения этого замыкания, идентифицируются с полем остаточных напряжений в исходном (неразрезанном) кольце. Таким образом, остаточные напряжения определяются косвенно через деформацию, возникающую при разрезе, и последующее обратное моделирование. Этот метод широко использовался для оценки полей остаточных напряжений в стенке артерий и вен [2, 41–44, 6], пищевода [45–48], желудочка сердца [49–51, 7].

Метод определения угла раскрытия позволяет получить усреднённую оценку остаточных напряжений в окружном направлении, но не дает информации о локальном распределении по толщине и вдоль осевого направления, что является его главным недостатком. Например, остаточное напряжённое состояние в стенке артерии является трехмерным и зависит от слоя [6; 52].

Метод разрезов или удаления материала (planar-cut method, slicing method, needle biopsy method)

Экспериментальная процедура включает вырезание трехмерного сегмента артерии с последующей регистрацией полей деформаций с помощью цифровой корреляции изображений ( Digital Image Correlation, DIC ). Этот бесконтактный оптический метод позволяет измерять поля перемещений меток на поверхности образца с высокой точностью. Затем на основе полученных экспериментальных данных решается обратная задача методом конечных элементов: численная модель итеративно подстраивается таким образом, чтобы рассчитанные на ней поля деформаций соответствовали измеренным [53]. В результате такой процедуры удается реконструировать полное трехмерное поле остаточных напряжений в исследуемом образце.

В работе [54] был предложен итеративный алгоритм для реконструкции полей остаточных напряжений по перемещениям, возникающим при релаксации напряжений в процессе последовательного разрезания

(секционирования) образца на части. Входными данными также являются измеренные (например, методом цифровой корреляции изображений) поля перемещений.

В опухолевой ткани присутствуют значительные сжимающие напряжения, обусловленные быстрым ростом, ограниченностью пространства и высоким внутритканевым давлением. Эти напряжения могут сдавливать кровеносные и лимфатические сосуды, нарушать доставку лекарственных препаратов и стимулировать метастазирование. Для их количественного определения применяется аналогичный метод, основанный на выполнении разрезов в иссеченном опухолевом образце, который позволяет измерить остаточное напряжение, действующее перпендикулярно плоскости разреза [55; 56; 39]. В ходе экспериментальной процедуры в иссеченной опухоли сначала делают плоские (чаще всего продольные) или ортогональные (взаимно перпендикулярные) разрезы. В результате снятия внутренних сжимающих напряжений материал опухоли начинает выбухать (bulging), то есть деформироваться наружу, стремясь занять больший объем. Затем с помощью оптических методов измеряется трехмерный профиль этого выбухания - форма и величина деформации после разреза. Полученный профиль используется в качестве входных данных для решения обратной задачи методом конечных элементов: модель восстанавливает исходное (до разреза) напряженно-деформированное состояние, что позволяет рассчитать величину и распределение сжимающих напряжений в опухоли.

Аналогичный подход реализован в методе игольчатой биопсии (needle biopsy method) [39; 9]. Из ткани вырезают цилиндрический образец, после чего отслеживают, как изменяется граница образовавшегося отверстия (кратера) по сравнению с исходной круглой формой. Измеренные перемещения границы затем используются в качестве граничных условий для обратной задачи: модель возвращает отверстие к исходной круглой цилиндрической форме, что позволяет оценить поле остаточных напряжений в ткани.

Помимо методов, основанных на выполнении разрезов макроскопических образцов, для измерения остаточных и активных напряжений в биологических тканях на микро- и субклеточном уровнях разработан ряд микромеханических и оптических методов. Эти подходы особенно востребованы при исследовании эмбрионального развития, опухолевых сфероидов и эпителиальных монослоев, где характерные размеры исследуемых структур составляют от нескольких десятков микрометров до миллиметров.

Метод флуоресцентных масляных капель и деформируемых микросфер основан на внедрении в ткань несжимаемых масляных капель или упругих полимерных микросфер. Поскольку внедренный объект деформируется под действием окружающих его остаточных или активных напряжений, измерение его формы (например, степени сплющивания) позволяет оценить локальный уровень напряжений в ткани. Данный подход успешно применялся для картирования напряжений в эмбриональных тканях и опухолевых сфероидах [57; 38; 56].

FRET -сенсоры напряжения ( FRET tension sensors ) представляют собой молекулярные конструкции, которые изменяют свою конформацию под действием приложенной силы, что приводит к изменению эффективности переноса энергии между флуорофорами. Эти сенсоры могут быть встроены в состав белков живых клеток (например, E -кадгеринов в адгезивных контактах), что позволяет измерять силы, действующие на отдельные молекулы в реальном времени. Для получения пространственной карты распределения напряжений в ткани эти сенсоры сочетают с лазерной абляцией - методом, при котором лазерным импульсом перерезаются отдельные клеточные контакты или субклеточные структуры. В то время как FRET -сенсоры дают локальные силы в конкретных белках, абляция позволяет «высвободить» напряжения в ткани и по величине отдачи оценить, как напряжения распределены в пространстве. Эти методы обеспечивают получение карт напряжений в живых эпителиальных тканях и эмбрионах с высоким пространственным разрешением [38].

Микроскопия сил сцепления (Traction Force Microscopy, TFM ) и микроскопия напряжений в монослое ( Monolayer Stress Microscopy, MSM ) применяются для изучения двумерных монослоев клеток, культивируемых на податливых полимерных подложках. Клетки, сокращаясь, деформируют подложку; по измеренным деформациям подложки и известным ее механическим свойствам количественно оцениваются механические усилия, которые живые клетки (например, раковые или стволовые) оказывают на подложку. Затем, используя баланс сил внутри монослоя, можно вычислить поле напряжений в плоскости клеточного слоя [38].

Несмотря на очевидные преимущества, все перечисленные методы имеют общие ограничения. Во -первых, они часто позволяют получить лишь относительные значения напряжений (например, пространственное перераспределение), а не их абсолютные величины, что затрудняет количественное сравнение с результатами макроскопических методов. Во-вторых, оптические методы (включая FRET , TFM и визуализацию микросфер) существенно ограничены по глубине проникновения: они эффективны лишь на поверхности образца или в тонких прозрачных тканях (толщиной до нескольких десятков или сотен микрометров), что делает их непригодными для изучения глубоких слоев тканей или целых органов [38; 56].

Классический метод измерения остаточных напряжений с помощью радиального разреза и измерения угла раскрытия кольца требует извлечения образца из организма, что делает его неприменимым in vivo . Альтернативой является подход, предложенный в работе [58], который использует комбинацию методов медицинской визуализации и математического моделирования. В ходе процедуры с помощью оптической когерентной томографии или ультразвука высокого разрешения измеряются изменения диаметра (радиуса) артерии в ответ на контролируемое изменение внутрисосудистого давления. Полученные экспериментальные кривые «давление–радиус» затем аппроксимируются с помощью выбранной определяющей модели материала (например, гиперупругой модели). В рамках этой аппроксимации остаточная деформация или остаточные напряжения вводятся в модель как дополнительные неизвестные параметры, которые подбираются таким образом, чтобы расчетная кривая «давление–радиус» наилучшим образом соответствовала экспериментально измеренной. Основным преимуществом метода является полное отсутствие необходимости разреза или извлечения ткани – все измерения могут проводиться на живом организме ( in vivo ) или, по крайней мере, на неповрежденном образце без его диссекции.

Вариационный подход [59] позволяет восстанавливать остаточные деформации путем минимизации специального функционала, который оценивает механический дисбаланс. Для этого используются известные полные поля перемещений между несколькими нагруженными конфигурациями сосуда, которые могут быть получены с помощью методов медицинской визуализации.

Обсуждение результатов

Наличие остаточных напряжений в биоматериалах требует усовершенствования определяющих соотношений, которые учитывают анизотропию материала, вязкоупругость, вызванную ростом механическую несовместность, а также сами остаточные напряжения [25; 12; 19; 60]. Растет интерес к интеграции этих моделей в клиническую диагностику и планирование лечения [61].

Для учета остаточных напряжений и предварительных деформаций в вычислительных моделях биологических тканей разработан ряд подходов в рамках нелинейной механики сплошных сред. В рамках первого подхода гиперупругий потенциал (энергия деформации) зависит не только от выбранной меры деформации, но и от инвариантов тензора остаточных напряжений [62; 63, 19; 60]. В рамках второго подхода остаточные напряжения вводятся через несовмести- мые поля предварительных деформаций, после чего итерационно достигается равновесие в конечноэлементной модели [64; 65]. Этот подход реализован, например, в вычислительной платформе FEBio [64]. Третий подход использует концепцию виртуальных (свободных от напряжений) конфигураций и мультипликативное разложение градиента деформаций [66; 67; 15]. Четвертый подход базируется на теории смесей для растущих тканей: в рамках многофазных моделей (твердая фаза – жидкость) несовместность деформаций роста естественным образом генерирует остаточные напряжения, что делает этот подход физически обоснованным для моделирования биологических процессов роста и ремоделирования [68].

Важно учитывать остаточные напряжения при обработке экспериментальных данных, используемых для построения определяющих соотношений [69]. Остаточные напряжения и предварительное растяжение существенно влияют на идентифицируемые материальные параметры, при этом различные способы задания предварительной нагрузки могут значительно изменять определяемые константы, что затрудняет сравнение результатов между разными исследованиями [70; 65].

Заключение

Анализ литературы показывает, что понимание остаточных напряжений необходимо для корректного биомеханического моделирования мягких тканей, особенно при прогнозировании физиологической функции или риска развития патологии [17; 60; 71; 61].

Современные подходы количественной оценки остаточных напряжений в биологических материалах можно разделить на три основные категории: (1) методы, основанные на измерении геометрической релаксации после разреза с последующим определяющим моделированием (например, метод раскрытия кольца); (2) микро- и наномасштабные оптические и молекулярные датчики (например, деформируемые микросферы, FRET -сенсоры); (3) обратные методы, использующие данные визуализации и давления. Наиболее изученными объектами являются артерии и опухоли.

Однако многие методы имеют ограничения: они либо инвазивны, либо обладают недостаточным пространственным разрешением, либо позволяют получать лишь относительные, а не абсолютные значения напряжений. В частности, традиционные экспериментальные подходы (например, метод раскрытия угла) сталкиваются с трудностями, обусловленными вязкоупругостью тканей, сложной геометрией и необходимостью восстановления неоднородного трехмерного поля остаточных напряжений [52; 12]. В связи с этим наблюдается переход к интеграции передовых методов визуализации с вычислительным моделированием для более реалистичных оценок [59; 54; 58; 53].

Модели механического поведения биоматериалов должны учитывать не только упругие, но и вязкоупругие свойства, что имеет решающее значение для описания зависимого от времени поведения, наблюдаемого in vivo [12]. Взаимосвязь между несовместностью, вызванной ростом, и механическим гомеостазом является одной из главных тем: остаточные напряжения как возникают в результате тканевой адаптации, так и регулируют ее в процессе развития или прогрессирования заболевания [15–17]. Также продолжаются дискуссии о том, как лучше численно моделировать начальные и индуцированные ростом поля остаточных напряжений [15; 67; 72; 42].

Основным недостатком многих подходов является необходимость априорного задания модели материала и механических свойств ткани (например, модулей упругости, параметров нелинейной модели), которые часто неизвестны. Поскольку механические свойства биологических тканей могут существенно варьироваться в зависимости от типа ткани, возраста, патологии и условий эксперимента, их некорректное задание может привести к значительным ошибкам в определении как абсолютных величин остаточных напряжений, так и их пространственного распределения.

Среди ключевых открытых вопросов, которые могут определять тенденции развития исследований остаточных напряжений, можно выделить следующие.

• 1.    Улучшение методов неинвазивной визуализации для картирования остаточных напряжений, измеренных на разных пространственных масштабах (клетка – ткань – орган).

• 2.    Определение относительного вклада роста и ремоделирования в эволюцию остаточных напряжений во времени. Различение этих механизмов необходимо для понимания связей между биологией развития и патологией. Например, в эмбриогенезе остаточные напряжения, создаваемые преимущественно ростом, направляют нормальное формообразование органов. В патологии, где вклад роста и ремоделирования может различаться в зависимости от типа ткани и стадии заболевания, остаточные напряжения могут как выполнять защитную функцию, так и способствовать прогрессированию патологии. Различение этих механизмов открывает возможности для целенаправленных терапевтических вмешательств, воздействующих именно на тот процесс (рост или ремоделирование), который приводит к патологии.

• 3.    Изучение влияния вязкоупругих свойств ткани на биомеханическую роль и функциональное значение остаточных напряжений.

Таким образом, остаточные напряжения в биологических материалах – это не незначительные артефакты, а ключевой конструктивный элемент: они выравнивают нагрузку, определяют функциональную жесткость, направляют рост и формирование структуры. Точный биомеханический и механобиологический анализ требует явного включения остаточных напряжений в эксперименты, определяющие соотношения и численные реализации.