Геометрические свойства интегрального оператора Бернацкого

Пусть  Sо  и S*  - соответственно классы выпуклых и звездообразных функций f (z) = z + a2z2 + a3z3 +..., регулярных в круге E = {z :| z |< 1}.

Связь между выпуклыми и звездообразными функциями описывается известной схемой (например, [1]): f ( z ) е Sо ^ g ( z ) = zf ( z ) e S * , которую можно записать и в несколько иной форме:

f (z) = jg^dt G Sо ^ g(z)G S*• о t

М. Бернацкий [2] предположил, что оператор f ( z ) = j_o g ^{( t )} dt сохраняет весь класс однолистных функций, что впоследствии было опровергнуто в [3].

Это послужило началом целого направления в геометрической теории функций, связанного с исследованием свойств образов подклассов однолистных функций при отображении различными операторами (например, [4-9]):

z, a                 a <  f(A ^ ^в           zZ

Ф1 ( z ) = j( f( t )) dt ,Ф2 ( z ) = j( g ( t ))   —7^1 dt ’ Ф3 ( z ) = -j f ( t ) dt

0                        0           v t )                 ^z 0

и другими. Основные задачи в этом направлении описаны, например, в [1, §14; 6].

В настоящей работе исследуются свойства интегрального оператора Бернацкого

,'   % ( f ( t )Y

ф ( z ) = J ——   dt, a e R.                             (1)

0 1 t )

в предположении, что f ( z ) e 5 * ( a,b ) , где 5 * ( a,b ) - подкласс регулярных в круге E функций

/(z) = z + a2z2 + ...+anzn +...,z e E, удовлетворяющих условию f' (z a < Re z—< b,0 < a < 1 < b, z e E.                           (2)

f ( z )

Ниже будет установлена величина у = у ( a,a,b ) такая, что если f ( z ) e 5 ( a,b ) , то интеграл

Бернацкого Ф ( z ) e K ( у ) , где K ( у ) - класс функций, почти выпуклой порядка у [10-11].

П1 + Re z^^-) >  0 1 1         ^{f ( z} )

> d 0 >  -ул .

1. Основной результат

Основным результатом данной статьи является следующая

Теорема 1. Если f ( z ) e 5 * ( a,b ) , то функция Ф ( z ) из (1) является почти выпуклой порядка

γ , где
Следуя схеме Каплана и	Y =' опира	' - 2 ( 1 - a )( 1 - a + a b )    a <   1 b - a        ’      1 - b 0,        — <  a < —                 (3) 1    - b      1 - a 2    ( 1 - b )( 1 - a + a a )     a>   1 b - a              1 - a ясь на результаты [10–11], нетрудно получить следующее ут-

верждение, ставшее уже классическим.

Утверждение 1 [1] . Пусть функция f ( z ) регулярна в E , f ( z ) ^ 0 в круге E и для любых 0 1 и 0 ₂ , 0 <  0 ₂ - 0 1 <  2 n и всех z = re^{1 0} ,0 <  r <  1 выполняется условие

Тогда функция f ( z ) является однолистной и почти выпуклой порядка у в круге E .

Будем говорить [12], что функция 5 ( z ) подчинена однолистной функции 5 ₀ ( z ) в круге E и писать 5 ( z )^ 5 ₀ ( z ) , если 5 ( E ) с 5 ₀ ( E ) и S ( 0 ) = S ₀ ( 0 ) .

Утверждение 2. Если z^

и при некотором у e [ 0; 1 ] выполняется условие

2П\

[ 1 - а + a Re ф0 (re 0 ) d0 < (1 + у) 2п, 0 < r < 1,(5)

то функция Ф ( z ) e K ( у ) , т.е. является почти выпуклой порядка y.

Доказательство утверждения 2. Из (1), получаем, что

1 + z Ф^^) = (1 - а) + az f-^z).(6)

Ф ( z )   ⁽      '       f ( z )

Поскольку

Математика

f( z)      / x .          f (z)   _ / x z ,ix ^0Po ( z )^1 — a + az~H\ ^Ф ° ( z ),

f ( Z )                      f ( Z где Ф° (z) = 1 — a + aф° (z), то в силу метода подчиненности [2, с. 31] с учетом (6) имеет место неравенство:

2 п

J

1 + Re z

Ф (2) Ф(2)

2п de < J |Re Ф° (z)die, z = rei6.

В силу условия теоремы

2 п                 2 п

J |ReФ° (z)dee = j |1 — a + aReф° (z)de <(1 + у)2п , 00

поэтому

2 п

J 1 + Re

_z Ф^ Ф ^{( z} )

ee <(1 + y ) 2n,

откуда в силу известных неравенств [1, с. 32], получаем:

^e 2

t         Ф (z)

[ 1 + Re z¹ e e >— Yn ,° <  e

il       Ф (z )j

— e1 < 2п, z = reie

.

Поэтому в силу утверждения 1 функция Ф ( z ) является однолистной и почти выпуклой порядка γ в круге E . Утверждение 2 доказано.

Утверждение 2 дает общий подход к нахождению порядка почти выпуклости интегрального оператора (1) при условии, что известна область значений zf ( z ) / f ( z ) .

Выбирая в качестве ф ° ( z ) отображение круга E на конкретные области, можно получить ряд частных утверждений.

Доказательство теоремы 1. Так как f ( z ) е S * ( a,b ) , то

f (z )v Z X b — a i + gz z—^Ф° ( z ) = i----In-----+ 1,

J (z)              П i — g z где п 2 — b — a i--- г = e 2 b — a

.

Здесь ф ° ( z ) - есть отображение круга E на полосу { w : a <  Re w <  b } с нормировкой ф ° ( ° ) = 1. При этом отображении дуга { ei^: — 8<9 <8 } окружности | z | = 1 преобразуется в прямую { w: Re w = b } , а дуга { eⁱ⁹:8<9<2п — 8 } - в прямую { w: Re w = a } . При этом

е п         п (1 — a)

.

о = — + arg г = —-----

2           b — a

В силу утверждения 2 для нахождения порядка почти выпуклости интеграла Бернацкого необходимо вычислить выражение

2 п

I (a, a, b)= J |1 — a + ОКф° (ee )| de с учетом того, что в силу свойств отображения w= ф0 (z)

/ .д\  Г1 — a + aa,S < e < 2п — О

• 1    — a + a Re^ e =<

°V /  I 1 — a + ab, —О < e < О.

• 1)    Пусть a >  °. Возможны два случая:

  а) 1 — a + a a >  0, то есть 0 <  a < —— .

  1 — a

  В этом случае, так как 1 — a + a a <  1 — a + a b , то 1 — a + a b >  0. Из этого следует, что

  
  

  1^1—

  
  

  a + a Re ф ₀ ( e^{1 6} )| = 1 — a + a Re ф o ( e^{1 6} ) для всех О.

  
  

  Вычислим интеграл:

  2 n—3                   3

  I ( a , a , b ) = J ( 1 — a + a a ) d 6 + j ( 1 — a + a b ) d 6 = ( 1 — a + a a ) • 2 n + a ( b — a ) • 2 3 .

  3                   —3

  n ( 1 — a )

  Вспоминая, что 3 = —------ , получаем

  b — a

  
  

  . x ~ н x ²ⁿ ( 1 ^{— a} )   „

  I ( a , a , b ) = ( 1 — a + a a ) • 2 n + a ( b — a )—----- = 2 n .

  Следовательно, в силу условия (5) I ( a , a , b ) = 2 n < ( 1 + у ) 2 п , или у >  0.

  Итак, у >  0 для 0 <  a < —— .

  1 — a

  
  

  б) Пусть 1 — a + a a <  0, то есть a > —— .

  1 — a

  Так как 1 — a + a b >  0, то аналогично случаю а) получаем

  
  

  —

  
  

  a + a Re ^ o ( e^{1 6} )| =

  
  

  — ( 1 — a + a a ) , 3 <  6 <  2 п — 3 , 1 — a + a b , — 3 <  6 <  3 .

  
  

  Поэтому

  
  

  2 n—3                   3

  I ( a , a , b ) = — j ( 1 — a + a a ) d 6 + j ( 1 — a + a b ) d 6 =

  3                   —3

  ( 1 — a + a a + 1 — a + a b ) • 2 3 — 2 n ( 1 — a + a a ) =

  2 п

  =---- ( 2 — 2 a + 2 a a + 2 a b — a — 2 a ab — b ) .

  b — a^V

  
  

  То есть

  
  

  2 n

  I ( a , a , b ) = ----( 2 — 2 a + 2 a a + 2 a b — a — 2 a ab — b ) .

  
  

  I ( a , a , b )

  По условию (5) I ( a , a , b ) <  (1 + у )2 п , то есть у > ~^L — 1 или 2 n

  
  

  Y >

  
  

  2 — 2 a + 2 a a + 2 a b — a — 2 a ab — b

  .

  
  

  b — a

  
  

  После преобразований окончательно получаем:

  2 ( 1 — b )( 1 — a + a a )

  
  

  b — a

  
  

  1 при a >---- .

  1 — a

  
  

  2) Пусть теперь a <  0, тогда также получим 2 случая:

  в) 1 — a + a b <  0, то есть —— <  a <  0.

  1 — b

  Так как всегда 1 — a + a b <  1 — a + a a (в силу условия a <  1 <  b , то для всех 6

  
  

  1^1—

  
  

  a + a Re ф ₀ ( e^{1 6} )| = 1 — a + a Re ф ₀ ( e^{1 6} ) .

  
  

  Точно так же, как в случае а), I ( a , a , b ) = 2 п , то есть у >  0для—!— <  a <  0.

  1 — b

  
  

Математика

г) 1 - а + а Ь <  0, то есть а < —— • 1 - Ь

В этом случае

(1 - а + аRe^0 (e0)(=

1 - а + аа, б < 0 < 2п - б

,

-(1 - а + аЬ), -б < 0 < б и интеграл

2 ^-б                   б

I (а, а, Ь )= J (1 - а + аа) d0 + J (1 - а + аЬ) d0 =----(-2 + 2а - 2аЬ + а - 2аа + 2ааЬ + Ь) • б                 -б                Ь - а

Аналогично случаю б), по условию (5) I(а,а,Ь)< (1 + у)2п, то есть после преобразований получаем:

—2 (1 — а) (1 — а + аЬ)

Ь - a

1 при а <--- .

1 - Ь

Объединив все случаи а), б), в) и г), получили требуемый результат (3). Теорема 1 доказана.

2. Частные случаи

Рассмотрим частные случаи теоремы 1.

Пусть Ь ^+^ и а = в. Тогда класс функций S* (а, Ь) преобразуется в общепринятом обозначении в класс S* (в) звездообразных функций порядка в , удовлетворяющих условию f' (z)

Re z ^f >  в , 0 <  в <  1, z g E , f ( z )

и из теоремы 1 вытекает

Следствие 1 . Если f ( z ) g S * ( в ) , то интеграл Бернацкого Ф ( z ) является почти выпуклой функцией порядка y, где Y определяется из соотношения :

Y = 1

-2а(1 - в),а < 0, 0,0 < а < 1/(1 - в),

2 [а(1 - в)-1] ,а > 1/(1 - в).

Результат точный. Экстремальная функция имеет вид f ( z ) = z / ( 1 - z ) ^{2 ( 1 в} )

•

Отметим, что следствие 1 совпадает с теоремой 2 из [4], доказанной другим методом. Точность результата обоснована в [4].

Пусть у = 1, тогда K ( 1 ) = K - класс почти выпуклых функций. Найдем область значений параметр а , при которых оператор (1) переводит класс функций S * ( а,Ь ) в класс почти выпуклых функций.

а) Пусть а <  1/ ( 1 - Ь ) . Тогда в силу (3) из условия - 2 ( 1 - а )( 1 - а + а Ь ) / ( Ь - а ) < 1 получаем, что

Ь - 3 а - 2 а ^   ---~----г.

2(Ь -1)(1 - а)

б) Если же а >  1/ ( 1 - а ) , то из условия 2 ( 1 - а + а а )( 1 - Ь ) / ( Ь - а ) < 1 получаем, что

3Ь - а - 2 а <             ?.

2(1 - а)(Ь -1)

Объединив результаты а) и б), получаем

Следствие 2. Пусть

3 a - b - 2  _<  <  3 b - a - 2

2 ( 1 - a )( b - 1 ) "°" 2 ( 1 - a )( b - 1 ) '

Тогда оператор (1) отображает класс S * ( a,b ) в класс K почти выпуклых функций .

Рассмотрим еще один граничный случай у = 0.

Известно, что класс K (0) совпадает с классом Sо выпуклых функций. Поскольку при a < —— и a > —-— показатель почти выпуклости у > 0 в силу условия a < 1 < b, то из (3) полу-1 - b1

1^1

чаем, что у = 0 только при условии, что ---< a <

1 - b1

1^1 Следствие 3 . Если ---< a <--- ,

1 - b      1 - a

то оператор (1) преобразует функции f (z)еS* (a,b) в выпуклые функции.

Заметим, что следствие 3 распространяет условие выпуклости интеграла Бернацкого из [9] на более широкий класс функций f (z). В случае, когда a £ —!—;—!— , 1 - b 1 - a точные радиусы выпукло-

сти интеграла Бернацкого при условии, что f ( z ) е S * ( a,b ) , найдены в [14].

Пусть в (8) a = 0, b ^+w . Тогда S * ( 0, +w ) = S * . Поэтому из следствия 2 получаем

Следствие 4 [13]. Пусть  f ( z ) е S *   и - 1/2 < a < 3/2 . Тогда интеграл Бернацкого

z

Ф(z) = j[f (t)/(t)]a dtе K.