Геометрический подход к разделению переменных в механических системах
Автор: Харламов М.П., Савушкин А.Ю.
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 13, 2010 года.
Бесплатный доступ
Представлены аналитические результаты, полученные с помощью систем сим- вольных вычислений в задаче о движении твердого тела в двойном силовом поле. Интегрируемый по Лиувиллю случай найден А.Г. Рейманом и М.А. Семеновым- Тян-Шанским при условиях типа Ковалевской. Рассматриваются геометрические основания для нахождения разделения переменных. Введены две системы плос- ких криволинейных координат, в которых проекции интегральных многообразий критических подсистем выпрямляются. Вывод уравнений в разделенных пере- менных получен для двух критических подсистем в программе Mathematica 7.
Интегрируемая система, динамика твердого тела, двойное сило- вое поле, разделение переменных
Короткий адрес: https://sciup.org/14968651
IDR: 14968651 | УДК: 531.38
Geometrical approach to the separation of variables in mechanical systems
The article presents the analytical results received with the help of computer aided symbolic calculations in the problem of motion of the rigid body in two constant fields. The Liouville integrability of this system under certain condition of the Kowalevski type was established by A.G.Reyman and M.A. Semenov-Tian-Shansky. We consider the geometrical basis for obtaining a separation of variables. Two systems of local planar coordinates are introduced in which the projections of integral manifolds of the critical subsystems become rectangular. The separated equations are obtained for two subsystems with the help of Mathematica 7.
Список литературы Геометрический подход к разделению переменных в механических системах
- Аппельрот, Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы [Текст]/Г. Г. Ап-пельрот//Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. -М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940. -С. 61-156.
- Богоявленский, О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле [Текст]/О. И. Богоявленский//Докл. АН СССР. -1984. -Т. 275, ¢ 6. -С. 1359-1363.
- Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики [Текст]/О. И. Богоявленский//Изв. АН СССР. Сер. мат. -1984. -Т. 48, ¢ 5. -С. 883-938.
- Борисов, А. В. Динамика твердого тела [Текст]/А. В. Борисов, И. С. Мамаев. -М.; Ижевск: Изд-во RCD, 2001. -384 с.
- Борисов, А. В. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос [Текст]/А. В. Борисов, И. С. Мамаев. -М.; Ижевск: Изд-во RCD, 2005. -575 с.
- Борисов, А. В. Современные методы теории интегрируемых систем [Текст]/А. В. Борисов, И. С. Мамаев. -М.; Ижевск: Изд-во ИКИ, 2003. -296 с.
- Рейман, А. Г. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход [Текст]/А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский. -М.; Ижевск: Изд-во ИКИ, 2003. -352 с.
- Рейман, А. Г. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений [Текст]/А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский//Функцион. анализ и его приложения. -1988. -Т. 22, ¢ 2. -С. 87-88.
- Сретенский, Л. Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата [Текст]/Л. Н. Сретенский//Докл. АН СССР. -Т. 149, ¢ 2. -1963. -С. 292-294.
- Татаринов, Я. В. К исследованию фазовой топологии компактных конфигураций с симметриями [Текст]/Я. В. Татаринов//Вестн. МГУ. Сер. мат. мех. -1973. -Т. 5. -С. 70-77.
- Харламов, М. П. Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота [Текст]/М. П. Харламов//Механика твердого тела -2005. -¢ 35. -С. 38-48.
- Харламов, М. П. Критические подсистемы гиростата Ковалевской в двух постоянных полях [Текст]/М. П. Харламов//Нелинейная динамика. -2007. -Т. 3, ¢ 3. -С. 331-348.
- Харламов, М. П. Области существования критических движений обобщенного волч-ка Ковалевской и бифуркационные диаграммы [Текст]/М. П. Харламов//Механика твердого тела. -2006. -¢ 36. -С. 13-22.
- Харламов, М. П. Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле [Текст]/М. П. Харламов//Механика твердого тела. -2007. -¢ 37. -С. 85-96.
- Харламов, М. П. К исследованию областей возможности движения в механических системах [Текст]/М. П. Харламов//Докл. АН СССР. -1982. -Т. 267, ¢ 3. -С. 571-573.
- Харламов, М. П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле [Текст]/М. П. Харламов//Механика твердого тела. -2004. -¢ 34. -С. 47-58.
- Харламов, М. П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных [Текст]/М. П. Харламов//Нелинейная динамика. -2006. -Т. 2, ¢ 4. -С. 453-472.
- Харламов, М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле [Текст]/М. П. Харламов//Механика твердого тела. -2002. -¢ 32. -С. 32-38.
- Харламов, М. П. Особые периодические решения обобщенного случая Делоне [Текст]/М. П. Харламов//Механика твердого тела. -2006. -¢ 36. -С. 23-33.
- Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции. I. Методы и приложения к классическим системам [Текст]/М. П. Харламов//Нелинейная динамика. -(В печати.)
- Харламов, М. П. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской [Текст]/М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин//Докл. РАН. -2005. -Т. 401, ¢ 3. -С. 321-323.
- Цыганов, А. В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных [Текст]/А. В. Цыганов. -М.; Ижевск: Изд-во RCD, 2005. -384 с.
- Якоби, К. Лекции по динамике [Текст]/К. Якоби. -М.; Л.: ОНТИ, 1936. -272 с.
- Bobenko, A. I. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions [Text]/A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky//Commun. Math. Phys. -1989. -V. 122. -¢ 2. -P. 321-354.
- Bogoyavlensky, O. I. Euler equations on finite-dimension Lie algebras arising in physical problems [Text]/O. I. Bogoyavlensky//Commun. Math. Phys. -1984. -V. 95. -P. 307-315.
- Gavrilov, L. N. On the geometry of Gorjatchev-Tchaplygin top [Text]/L. N. Gavrilov//C.R. Acad. Bulg. Sci. -1987. -V. 40. -P. 33-36.
- Kharlamov, M. P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields [Text]/M. P. Kharlamov//Regular and Chaotic Dynamics. -2005. -V. 10. -¢ 4. -P. 381-398.
- Kharlamov, M. P. Explicit integration of one problem of motion of the generalized Kowalevski top [Text]/M. P. Kharlamov, A. Y. Savushkin//Mechanics Research Communications. -2005. -¢ 32. -P. 547-552.
- Komarov, I. V. A generalization of the Kovalevskaya top [Text]/I. V. Komarov//Phys. Letters. -1987. -V. 123, ¢ 1. -P. 14-15.
- Kowalevski, S. Sur le probleme de la rotation dun corps solide autour dun point fixe [Text]/S. Kowalevski//Acta Mathematica. -1889. -V. 2. -P. 177-232.
- Reyman, A. G. Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations [Text]/A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky//Lett. Math. Phys. -1987. -V. 14. -¢ 1. -P. 55-61.
- Yehia, H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies [Text]/H. Yehia//Mech. Res. Commun. -1986. -V. 13, ¢ 3. -P. 169-172.
- Yehia, H. On certain integrable motions of a rigid body acted upon by gravity and magnetic fields [Text]/H. Yehia//Int. J. of Non-Linear Mech. -2001. -V. 36, ¢ 7. -P. 1173-1175.
