Геометрия пространств Карно - Каратеодори, квазиконформный анализ и геометрическая теория меры

Хорошо известно, что в основании широкого круга проблем геометрической теории меры лежит теорема Радемахера о дифференцируемости липшицевых отображений. Отображение / : R" —» >т, удовлетворяющее условию

1/М - /(у) <  С\х - у|

для всех точек ж, у Е R", где постоянная С не зависит от выбора точек ж, у Е R", называется липшицевым. Как видно из определения, липшицевы отображения позволяют контролировать геометрию образа геометрией прообраза.

В 1919 году Радемахер исследовал дифференциальные свойства липшицевых отображений. Напомним, что линейное отображение L : R" —> >^т называется дифференциалом отображения / : Rⁿ —» >^т в точке ж, если

[/(ж + у) — /(ж)] — L(y) = о(|у|) при v —> 0.

Теорема 1 [37]. Всякое липшнцево отображение / : Rⁿ —» +" дифференцируемо почти всюду.

Несколькими годами позже В. Степанов установил дифференцируемость отображений, удовлетворяющих более слабому сравнительно с (1) условию: для отображения / : Rn —» >т вместо условия (1) он рассмотрел

ажлы

У^т |ж — 'у\

почти всюду.

Теорема 2 [40]. Всякое липшицево отображение / : R" —» >^т, удовлетворяющее условию (2), дифференцируемо почти всюду.

Теорема 1 служит основой для решения ряда задач геометрической теории меры (см., например, [18, 19]). Теоремы 1 и 2 широко применяются в смежных разделах анализа и его приложениях. Отметим, что дифференцируемость квазиконформных отображений получается непосредственно из теоремы Степанова, так как всякое квазиконформное отображение удовлетворяет условию (2) (см., например, [И]).

Условие (1) легко обобщается на случай отображений метрических пространств: отображение / : (М, d) —> (М, d) метрических пространств называется липшицевым, если

d(f(x),f(y)) < Cd(x,y)                            (3)

для всех точек х,у Е М. Наименьшая постоянная С в этом неравенстве называется постоянной Липшица и обозначается символом Lip/.

Поскольку римановы многообразия локально евклидовы, то очевидно липшицевы отображения римановых многообразий дифференцируемы почти всюду.

Проблему дифференцируемости липшицевых отображений в неримановых метриках впервые исследовал П. Панею [35] при изучении дифференциальных свойств квазиконформных отображений групп Карно.

Напомним, что группой Карно [35] или стратифицированной однородной группой [17] называется связная односвязная нильпотентная группа Ли G, алгебра Ли V которой разлагается в прямую сумму Vi ф • • • ф Vm векторных пространств таких, что dimVt > 2, [Ki, 14] = 14 + 1 для 1 < k < т — 1 и [Vi,Vm] = {0}. Пусть векторные поля Хц,... ,Х1П1 образуют базис пространства Vi. Поскольку они порождают V, для каждого 1 < i < т можно выбрать базис Xij, 1 ^ / ^ щ = dim 12, в V, образованный коммутаторами полей Хц, С Vi порядка i — 1. Отождествим элементы g Е G с т элементами ж Е R^, N = 52 ПЕ ж = (ж^), 1 ^ ^ ^ m, 1 ^7 ^ ПЕ посредством экс-г = 1

поненциального отображения ехр(^2ж^Х^) = д. Растяжения 5t, определяемые как фж = (,tlXij)i^i^m,i^j^rn, суть автоморфизмы G для любого t > 0. Мера Лебега dy т на R^ — биинвариантная мера Хаара на G, и d^tx^ = tvdx, где ^ = 52 z dim 12 — г=1

однородная размерность группы G. Мера Лебега \Е\ измеримого множества Е С G равна J dx.

Е

Евклидово пространство R" со стандартной структурой служит примером абелевой группы: векторные поля ^-, г = 1,... , п, не имеют нетривиальных коммутационных соотношений и образуют базис соответствующей алгебры Ли. Примером неабелевой группы Карно является группа Гейзенберга В". Ее алгебра Ли имеет размерность 2n + 1, а центр одномерен. Если Ху,..., Х_п, Г/,... ,Y_n,T — базис алгебры Гейзенберга, то нетривиальными коммутационными соотношениями будут лишь pCi,Y^ = — 4Т, г = 1,... , п, все остальные скобки равны нулю.

Однородная норма на группе G является непрерывной функцией р : G —> [0, оо) класса С°° на G \ {0}, обладающей свойствами:

• (а)    р(ж) = р(ж^-1) и р(^(ж)) = ^(ж);

• (Ь)    р(ж) = 0 тогда и только тогда, когда ж = 0;

• (с)    существует постоянная с > 0 такая, что р(жхж₂) С с(р(жх) + р(ж₂)) для всех Жх,ж₂ Е G.

Естественно, что однородная норма определяется неоднозначно, однако любые две однородные нормы эквивалентны между собой: если щ и р₂ — Две однородные нормы, то существуют постоянные щ и с₂ такие, что 0 < щ < рх(ж)/р₂(ж) < с₂< оо для любого ж Е G, отличного от 0. Далее на группе Карно мы фиксируем такую однородную норму р, что р(Х^(0))¹ равняется длине вектора Х^(0) относительно скалярного произведения в касательном пространстве к единице группы, 1 < г <  т, 1 <  j < гц. Однородная норма определяет однородную метрику г: для любых двух точек ж, у Е G полагаем р(ж, у) = p(y"^). Относительно этой метрики стандартным образом задаются сферы 5(ж,1), шары В(жД) и топология, которая оказывается эквивалентной евклидовой. Нормируем меру Лебега таким образом, чтобы мера шара В(0,1) равнялась риманову объему шара ехр^-1(В(0,1)). Тогда В(0, г) = yr^v, где 7 = В(0,1)|.

Набор Xi, Х₂,..., Х„ базисных векторов пространства Ух (здесь и далее полагаем, что Hi = п и Хи = Xi, где г = 1,... ,п) удовлетворяет условию гипоэллиптичности Хёрмандера [23]. Расстоянием Карно — Kapameodopu d^x,y) между двумя точками ж, у Е G называется нижняя грань длин всех горизонтальных кривых с концевыми точками ж, у, где длина измеряется римановой метрикой, а горизонтальная кривая есть абсолютно непрерывный кусочно-гладкий путь, касательный вектор которого принадлежит Ух. Можно показать, что d^x,y) всегда является конечной левоинвариантной метрикой, причем расстояния с?(ж, у) и р(ж, у) эквивалентны: существуют постоянные С3 и С4 такие, что 0 < eg ^ d^x, у)/ р^х, у) ^ С4 < оо для любого ж, у Е G, ж ^ у.

П. Панею получил обобщение теоремы Радемахера на группы Карно в следующей форме.

Теорема 3 [35]. Всякое липшицево отображение / : U —» G открытого множества U группы Карно G в группу Карно G Р-дифференцируемо почти всюду. Соответствующий Р-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Xi^ н Xif^ Е K/(_S)(N) базисных векторов горизонтального подрасслоения, i = 1,... ,п.

Здесь Р-дифференциал £ : G —>• G интерпретируется как гомоморфизм групп Карно такой, что

• 1)    ЬфхрНф С expHi,

• 2)    £(фж) = 5_tL^ для всех ж Е G и 1 > 0,

• 3)    ф-1 (/(ж)"¹/(жфж)) сходится равномерно к £(ж) при 1 —> 0 на всякой компактной части области определения отображения /.

В работе [35] сформулировано также обобщение теоремы Степанова на группы Карно, однако этот результат оставлен там без подробного доказательства. При внимательном анализе оказалось, что известные в евклидовом пространстве аргументы в случае групп Карно не работают. Основная причина состоит в том, что в евклидовом пространстве всякое липшицево отображение измеримого множества может быть продолжено до липшицева отображения всего евклидова пространства (теорема Киршба-ума), а на группах Карно такой теоремы нет (кроме случая, когда область значений — евклидово пространство). Поэтому дифференцируемость липшицевых отображений, определенных на измеримом множестве одной группы Карно со значениями в другой группе Карно, должна устанавливаться как самостоятельный результат. Заметим, что его доказательство, полученное в [8, 41], требует значительно более тонких рассуждений по сравнению с доказательством теоремы 3.

Теорема 4 [8, 41]. Всякое липшицево отображение / : Е —» G измеримого множества Е группы Карно G в группу Карно G Р-дифференцируемо почти всюду. Соответствующий Р-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Хг^ н- Xif^ Е ЦШд)) базисных векторов горизонтального подрасслоения ЕЦд), i = 1,... , n.

Обобщение теоремы Степанова на группы Карно — это прямое следствие теоремы 4.

Теорема 5 [8, 41]. Всякое отображение / : Е —» G измеримого множества Е группы Карно G в группу Карно G, удовлетворяющее условию ту— dU^J^

< оо для почти всех ж Е G,

Р-дифференцируемо почти всюду. Соответствующий Р-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением X^g) н Xif^ Е Vi(/(g)) базисных векторов горизонтального подрасслоения Vi(g), г = 1,... , п, где при определении производной вдоль векторного поля используется аппроксимативный предел [41].

Теорема 4 лежит также в основании геометрической теории меры на группах Карно: с ее помощью доказываются теоремы о замене переменной в интеграле Лебега [8, 41] и формулы площади [28, 38, 41], а также исследуются спрямляемые множества [38], и другие вопросы.

Специально отметим работу Дж. Нигера [16], в которой развита концепция дифференцирования для вещественнозначных липшицевых функций, определенных на метрических пространствах, удовлетворяющих некоторым условиям на их геометрию. К сожалению, пока не существует столь общей концепции дифференцирования для липшицевых отображений метрических пространств при условии, что область значений отлична от евклидова пространства.

Цель сообщения — показать, следуя работе [4], как концепция дифференцируемости распространяется на липшицевы отображения пространств Карно — Каратеодори, а затем применить ее к некоторым задачам анализа.

§ 1. Пространства Карно — Каратеодори

Пространство Карно — Каратеодори (сс-пространство) М характеризуется [20] как риманово многообразие класса С°°, в касательном расслоении ТМ которого выделено горизонтальное подрасслоение КМ С ТМ, удовлетворяющее следующим алгебраическим условиям на коммутаторы гладких векторных полей {Xi,... ,Х„}, образующих локальный базис в КМ, n = dim КМ: векторные поля {Xi,... , Х„} вместе со всеми своими коммутаторами до порядка fc £ N включительно порождают в ТМ(д) подпространство Kk₊iM(g) D KfcM(g) (полагаем KiM(g) = KM(g)), размерность которого не зависит от выбора точки д. При этом предполагается, что Kk₀M(g) = TM(g) для некоторого к₀, где к₀ — минимальное целое число, удовлетворяющее этому свойству. Если к₀ = 0, то KM(g) = ТМ(д) для всех д Е М, и, следовательно, мы имеем риманово многообразие.

Определим векторные поля Х^ г = 1,...,К, образующие базис TgU в каждой точке д Е U С М, следующим образом: на первом шаге к векторным полям Хх,..., Х^шЯц образующим некоторый локальный базис Кх, добавляем векторные поля -Ха;тЯ1+1, • • • , -АДтЯ2 так, чтобы поля Xi,... , ХДт я2 образовывали базис Н2; на (/с — 1)-ом шаге к полям Х1т... , .Ydimfffc , добавляем векторные поля -А^тЯк^+ь ..., xdimHk так, чтобы поля Xi,... , ХщтЯк образовывали базис Н^. В результате за Си шагов мы получим искомый набор векторных полей Х^ г = 1,... ,N. Каждому векторному полю Xi сопоставим натуральное число degXj = min{j | Xi Е Hj). называемое в дальнейшем (формальной) степенью поля Xi. Очевидно deg Xi ^ г.

Кусочно-гладкая кривая 7 : [а, 6] —> М называется горизонтальной, если ДД Е ъ

/ДМДД))). Ее длина измеряется римановым тензором на М: /(7) = /ЦДДЦс?!. Хоро шо известна теорема Рашевского — Чоу, см., например, [20], в соответствии с которой любые две точки и, и связной окрестности U С М можно соединить кусочно-гладкой горизонтальной кривой 7 конечной длины /(7).

сс-Расстояние Карно — Каратеодори d(x, у) между точками ж, у Е М определяется как точная нижняя грань длин горизонтальных кривых, соединяющих точки х,у, и является неримановым, если Ну — собственное подрасслоение.

Доказательство дифференцируемости липшицевых отображений в категории сс-пространств основывается на следующих фактах субримановой геометрии. Известно (см., например, [13]), что отображение

N

0_д ■ (х₁,... ,x_N) -Д ехр^^ж» Х_г)од, 0ДО) = 0ДО,...,О) = д, г=1

N = diniH),0, является гладким диффеоморфизмом некоторого евклидова шара Ве(0,ед), где ед — достаточно малое положительное число, в некоторую окрестность О(д) точки д. Набор чисел {жД, г = 1,... ,7V, где (жх,... ,ждД = О^и Е Ве(0,ед), называется координатами 1-го рода точки и = expl ^2 ^iXi 1 о д.

4 = 1      '

Определим в О(д) группу растялсений X_t = 0_goS_to0_g¹, где однопараметрическое семейство отображений 5_t, t > 0, в координатах 1-го рода действует как

5_t : (жх,... , xn) —> (t^degХ1Ж1,... , t^{deg Xn}xn)•

Рассмотрим на множестве О(д) набор векторных полей {е^асеА,ХД = {ХД, г =

Справедлив следующий результат, установленный в [20, 31]. Мы даем другое доказательство этого свойства, которое ближе к методам работ [23, 34].

Лемма 1 [31]. Векторные поля (Д_£-1 )*Х- , г = 1,... , N, сходятся равномерно на О(д) при £ —» 0 к некоторым гладким векторным полям Х_г; при этом набор векторных полей {ХД, г = 1,... , N, образует базис векторных полей нильпотентной градуированной алгебры Ли некоторой локальной группы Карно в О(д), причем Х_г(д) = Х_г(д), г = 1,... , N. Последнее равенство переносит на касательное пространство Т_дМ структуру нильпотентной алгебры Ли.

Символом expsX(u) мы обозначаем интегральную линию векторного поля X с началом в точке u Е О(д). Напомним [10], что групповая операция в локальной группе Карно, упомянутой в лемме 1, для элементов

N                       N a = ехр^^а^Х^у) Е О(д), b = ехр(^ ^iXi^(g) G О(д), г=1

определяется следующим образом:

a •b = ехр

N

( У? A^i) г=1

N

° exp^a^X^ (g), i=l где наборы чисел оц и Д — столь малы, что правая часть последнего равенства принадлежит O^gY

Определение 1. Метрическое пространство ((9(g), ф.) с расстоянием Карно — Каратеодори d_c, определяемого посредством набора векторных полей {9СД, называется нильпотентным касательным конусом Громова пространства Карно — Каратеодори ((9(g), d) в точке д.

Таким образом, касательный в смысле Громова конус сс-пространства в точке д Е М моделируется локальной группой Карно ((9(g), ф). Удобно рассматривать окрестность (9(g) точки д как метрическое подпространство (О(д), d), так и окрестность единицы некоторой группы Карно.

В силу леммы 1 нильпотентный касательный конус имеет структуру локальной группы Карно. Концепция нильпотентного касательного конуса принадлежит Громову [20]. В случае римановых пространств линейная структура в касательном конусе определяется через координаты первого рода. Заметим, что такой подход к определению касательной структуры в римановой геометрии обычно не используется. Причина здесь состоит в том, что метрики в римановом пространстве и в нормальной системе координат квазиизометричны, причем коэффициент квазиизометричности тем ближе к единице, чем меньше окрестность рассматриваемой точки. Этот факт обычно выражают словами, что метрическая структура риманова многообразия локально евклидова. В случае пространств Карно — Каратеодори метрики пространств (О(д), d) и (О(д), d_c) уже не сравнимы [32]. Это означает, что даже при исследовании локальных проблем необходимо изобретать новые методы.

Локальное поведение метрик описано в следующем утверждении.

Теорема 6 [4]. Рассмотрим в О(д) векторные поля

N                  N

УЕ = ^агЕйе8х'Хг и У£ = ^а^^Х^ i=i                        »=i где 0 < Е ф Со, оц G [— 1,1] — постоянные коэффициенты, Eq — достаточно малое число. Тогда найдутся константы Ki, Ci, не зависящие от выбора точки g Е (9(g) и коэффициентов оц, такие, что max{d(exp 14(g),ехрТ4(д)),ф(ехр 14(g),ехрКДд))} < C'ie1+K1.

Ниже вводится основное для данной работы определение «касательной» сходимости.

Определение 2. Рассмотрим семейство метрических пространств ((9(g), -) при малых е > 0. Пусть последовательность чисел Ei —> 0 при i —> оо. Будем говорить, что последовательность {ж^ Е B^g, EiR^i^ сходится к точке х Е B_c(g,R), где В_с — шар в метрике d_c радиуса R, если фДАхд^^ж) —> 0 при е —> 0.

Доказательство формулируемой ниже теоремы о дифференцируемости базируется на следующем свойстве, представляющем независимый интерес.

Теорема 7 [4]. Последовательность кривых и^к) Е B^g, 1), к Е [0,1], где

NN

^фк) = ехр^^а^фпЕф^^Х.^ о ■ ■ ■ о ехр(^ а^^кЕ,^ х^ Х^ (g) Е Вфд,1ф 1=11 = 1

lim а1 • = ар j для р = 1,...,Z, j = 1,... , N, сходится при lim Ei = 0 к кривой г—уоо             1г—юо v^ ^ ВДд, 1), к Е [0,1], где

NN

и(к) = ехр^^2 KdcsAjaz,l^l) 0 • • • 0 exp(^Z KdCs Yjai.l^l) (у)’ к е [О’ Ч-1=11=1

Пусть Е — измеримое множество в М. Отображение / : (S, с?) —> (М, d) удовлетворяет условию Липшица, если для всех точек х,у Е Е выполняется соотношение (3).

Отображение / : (Е, с?) —> (М, d) называется Р-дифференцируемым в точке д Е Е, если существует гомоморфизм L : (O_g,d_c) —> фЭрдудф такой, что

• 1)    сЩе) — гомоморфизм горизонтальных подпространств, т. е. сЩе) : Ну -Д Ну,

• 2)    L^Stw) = Ф1фиф для всех w Е ^O_g,d_c) и достаточно малых t > 0,

• 3)    c/(/(w),L(w)) = o(cZ(g,w)) при О^ Э w -Д д.

Отметим, что касательный конус группы Карно — это сама группа Карно. Поэтому, если М и М — группы Карно, то определенный здесь дифференциал совпадает с Р-дифференциалом Панею.

Следующий результат обобщает известную теорему Радемахера о дифференцируемости липшицевых функций.

Теорема 8 [4]. Пусть Е С М — измеримое множество, и пусть / : Е —1 М — лппшпцево отображение из Е в М. Тогда / Р-дифференцируемо почти всюду на Е и дифференциал единствен. Соответствующий Р-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Хфд^ -Д ХД^ Е НД;Цд^ базисных векторов горизонтального подрасслоения Нуфф, г = 1,... , п.

В качестве следствия мы получаем обобщение теоремы Степанова.

Теорема 9 [4]. Пусть Е С М — измеримое множество, и пусть / : Е —1 М — отображение из Е в М такое, что х^д, ХЕЕ d^x,g)

для почти всех g Е Е. Тогда отображение / Р-дифференцируемо и. в. на Е и Р-дифференциал единствен. Соответствующий Р-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Xi^ Н- Xij\g^ Е Н1Д^д^ базисных векторов горизонтального подрасслоения ^i(g), г = 1,... , п, где при определении производной вдоль векторного поля используется аппроксимативный предел [41].

• § 2.    Отображения классов Соболева пространств Карно — Каратеодори

Символом В(ж,г) обозначается шар в сс-метрике d\ Вфс,тф = {у Е М : d^x,y) < г}. Стандартным образом относительно сс-метрики определяются хаусдорфовы мера и размерность на М. В работе [31] подсчитано, что хаусдорфова размерность г/ сс-пространства М выражается формулой ко

17 = ^^ fc(dim Я'^М(ж) — dim Л"^_1М(ж)), где положено КОМ(Ж) = {0} и поэтому dim^W^) = 0. В силу условия, наложенного на коммутаторы векторных полей, написанная сумма не зависит от выбора точки ж.

Стандартная мера • | на римановом многообразии М регулярна, в следующем смысле: сс-шар В (ж, г) как открытое множество в М удовлетворяет следующему соотношению cyrv < В(ж,г) < с^К                            (4)

для достаточно малых г, где щ и с₂ — постоянные, не зависящие от выбора точки ж на некотором фиксированном компактном множестве F С М.

Обозначим символом H^v p-мерную меру Хаусдорфа относительно сс-метрики d. Из (4) вытекает, что на любом компактном подмножестве в М мера H^v пропорциональна мере Лебега.

Напомним, что локально суммируемая функция gi : Q —> JR называется обобщенной производной функции / : Q —> R вдоль векторного поля Х^ если

У д^сГИЧ^ = - I fX^dK^^ fi для любой тестовой функции -ф Е (^(П), где X* — дифференциальный оператор, формально сопряженный к оператору Х^. Последнее означает следующее: если в N некоторой системе координат векторное поле Х^ = ^ aij^~^ то г=1

Л а .    .

Xi^^-g^.W’Y i=i J

Заметим, что в случае групп Карно X* = Х^ Вектор Vcf^x) = (у1(ж),... ,у_п(ж)) Е ВМ(ж) называется обобщенным градиентом функции /. Полагаем еще X^f = д^.

Определение классов Соболева. Пусть Q — область в сс-пространстве (М, dy Функция / : Q —> R принадлежит пространству Соболева VK_q¹_1oc(Q), q ^ 1, если / Е £g,ioc(^) и существует обобщенная производная / : Q —> R вдоль векторного поля Х^ i = 1,... ,п, принадлежащая L_gii_0C(Q).

Пусть (X, г) — произвольное метрическое пространство. Мы говорим, что отображение отображение f : Q —> X принадлесисит классу Соболева И^о^Н; X), если выполняются следующие условия:

• (А)    Для любого z ЕХ функция

Шг : Q Э ж Н Д/(ж),г)

принадлежит классу Иу1ос(П).

• (В)    Семейство функций (Vi[/]_z)_zGx имеет мажоранту, принадлежащую классу £g,ioc(^), т. е. существует функция g Е L_gii_0C(Q), не зависящая от z такая, что УУУДж) <  g^ для почти всех ж Е Q.

• 2.1.    Поточечные оценки. Приводимый ниже результат — очевидное обобщение рассуждений работы [2]. Для локально интегрируемой функции и произвольного шара В в сс-пространстве М рассмотрим среднее значение /в = J / dx функции / на шаре в

В случае М = R" приведенное выше определение отображения класса Соболева совпадает с определением Ю. Г. Решетняка [12]. В работе автора [41] из этого определения выведены многочисленные свойства отображений классов Соболева на группах Карно. Приведем обобщения некоторых из этих свойств на случай сс-пространств.

В. Если / Е L|(M), q Е [1,оо), то справедлива следующая оценка для потенциала Рисса [24, 26, 27]:

«w-M

2В для почти всех точек ж Е В, где постоянная С выбирается по компактному множеству F, которому принадлежат центры выбираемых шаров, и некоторой величине г0, ограничивающей радиусы рассматриваемых шаров (здесь и далее кВ для шара В = В(х, 1) есть шар В(х, kt)). Для точек х,у Е F определим шар В наименьшего радиуса с центром в точке а такой, что ж, у Е Ви d^x^a) = d(y,a). Применяя неравенство (5), получаем

/(ж) - /(У) < 1/(ж) - /в + |/(у) - /в dB^z) = С(Д + д).

d^x^Y 1          J d)y,z)v 1

2В                    2В

Оценим первый из интегралов в правой части, второй оценивается аналогично. Очевидно, что 2В С Bi = В(жД), где б = Зс/(ж,у). Отсюда имеем

d^x,z)v 1

р£/(Д|

d^x, z)v-A

Предложение 1. Если функция / Е H^^JM), q Е [1, оо], то для любого компактного множества F С М существуют постоянная Сз и множество S С F нулевой меры такие, что для всех точек х,у Е F \ S справедливо неравенство

№-fM\ ^ СзА^у^Мза^^сШ^ + M_3d^         (6)

• 2.2.    Формальный дифференциал отображений классов Соболева. Из поточечной оценки (6) вытекает важное для отображений классов Соболева свойство.

Предложение 2. Пусть отображение / : М —> X принадлежит классу Соболева W_q (М; X), q ^ 1, а О С М — компактная область. Тогда для любого е > 0 существует измеримое множество А С О такое, что О \ Л < е и сужение (р\д удовлетворяет условию Липшица.

• < Фиксируем е > 0 и компактную область Q а) О такую, что О С Q. Для любой функции / Е W_q (М), q > 1, из предложения 1 вытекает существование множества S С О нулевой меры и неотрицательной функции g Е L_q(O) таких, что выполняется следующее поточечное неравенство:

1/М - /(у) < фх,уЛЛ(Л + Цу))

для всех точек х,у Е O\S. Заметим, что в качестве Л можно взять произведение максимальной функции от Vcf\ на некоторую постоянную, зависящую от Q (предполагается, что Vcf\ продолжена нулем на дополнении к Q). (Напомним, что с метрикой d окрестность О является метрическим пространством однородного типа, поэтому максимальная функция является ограниченным оператором в L_q(OY q > 1, см., например, [39].)

Если q = 1, то приведенная поточечная оценка верна также для / Е ИЦМ) при условии, что неотрицательная функция g удовлетворяет условию {ж Е О : у (ж) > к^\ < Ск^-1 для всякого к > 0.

Фиксируем г Е X и рассмотрим функцию [/Цж) = r^,f^Y Заметим, что поскольку область Q ограничена, то [у]₂ Е W¹)^), так как

Ц£[/]₂|(ж) < д^ почти всюду в Q, а у Е L_q^Y

Поэтому, подставляя в /(ж) — /(у) ^ р(ж, у)(т/’(ж) + Цу)) функцию [/]2 вместо /, получаем неравенство

[/Цж) - [/Цу)< с?(ж,у)(Му(ж) А-Мд^                (7)

для всех точек ж,у Е О \ S_z, где S_z — некоторое множество нулевой меры. Правая часть в (7) не зависит от z. Более того, по известным свойствам максимальной функции у принадлежит L_q(O) при у > 1 и {ж Е О : у(ж) > Ц\ < Ск^-1 при у = 1 для всякого к > 0.

Рассмотрим произвольное счетное всюду плотное множество Z С /(О) и положим

S= (J S_z.

zEZ

Тогда S = 0. Пусть 4 = {ж Е О : д(ж) X Ц где к подбирается настолько большим, чтобы О \ А < е. Тогда г(^,/(ж)) — г(г,/(у)) < 2kd(x,y) для любых точек ж, у Е А и z Е Z. Выбирая произвольную последовательность точек zy —> /(ж), получаем неравенство

Д/(Ц/(у)) < 2kd(x,y)

для всех точек х,у Е А. Таким образом, сужение /|д удовлетворяет условию Липшица. >

Если X = М — сс-пространство, то по теореме 8 ограничение /|д дифференцируемо почти всюду на А. Следовательно, в почти всех точках ж Е А определено соответствие АД ж) —> АД (ж), где в выражении АД (ж) = ^/(ехр1Афж))Ц₀ предел понимается в аппроксимативном смысле [41]. Таким образом, для почти всех ж Е А соответствие АДж) —>Xif (ж) порождает гомоморфизм алгебр Ли касательных конусов, который будем называть формальным дифференциалом.

Таким образом, из предложения 2 и теоремы 8 получен следующий неожиданный результат.

Теорема 10. Пусть М, М — сс-пространства, а / : М —»■ М — отображение класса ИД1ос(М; М), q ^ 1. Тогда для почти всех ж Е М отображение Xi(x) -Д Xif(x) порождает гомоморфизм алгебр Ли касательных конусов.

Замечание 1. В следующем пункте будет доказана абсолютная непрерывность отображений классов Соболева при q > 1, так что при q > 1 можно считать, что производная Xif (ж) в формулировке теоремы понимается в обычном римановом смысле.

• 2.3.    АСЬ-Свойство. Отображение / : [—а, а] —» X в метрическое пространство (X, г) называется абсолютно непрерывным, если для любого е > 0 существует б > 0 такое, что для любой совокупность взаимно непересекающихся интервалов (ащД) Е [—а, а], г Е N, удовлетворяющих условию

^фг - <Ц < б, имеем ^r^f ^af), f <{3^ < £. г г

Пусть X — какое-нибудь горизонтальное векторное поле, определенное на открытом множестве О сс-пространства М. Таким образом, А(ж) ^ 0 и А(ж) Е /ДМД) для любого ж Е О. Будем предполагать, что замыкание О компактно в М и О содержит подмногообразие S коразмерности 1, трансверсальное векторному полю X, т. е. вектор А (ж) не является касательным к S в каждой точке ж Е S. Пусть еще отображение р : (s,i) Н exptA(s) является диффеоморфизмом S х (—а, а) на О.

Предложение 3. Пусть f : М —> X — отображение класса ИЦЦМ; X), q > 1. Тогда для почти всех s Е S относительно поверхностной меры на S отображение f абсолютно непрерывно на слое exptX^sf t Е (—а, а).

• < Фиксируем в /(М) С X некоторое счетное всюду плотное множество Z. Возьмем произвольную компактную область Q С М такую, что О С Q. Для любого z Е Z функция [/]₂ : Q Э ж Н r^f^x^z) принадлежит классу И^ДП) и существует функция g Е 2ЦП), не зависящая от z такая, что АД/Цж) < у(ж) для почти всех ж Е Q (полагаем далее, что у(ж) = 0 вне множества Q). Следовательно, для функции [/]₂ справедлива поточечная оценка (6):

[/Ця) - [/Цу) < dVx,y^VMgVx^ +Mg^f (8)

где ж, у Е О \Т — произвольные точки, множество X нулевой меры не зависит от z. Заметим, что с метрикой d окрестность О является метрическим пространством однородного типа, поэтому максимальная функция является ограниченным оператором в L_q(O), q > 1, см., например, [39]. Поэтому Mg Е Lq^OY Применяя теорему Фубини, получаем, что для почти всех s Е S функция д Е L_q(O) на слое 7 = exptX(s), t Е ( — а, а), который пересекается с множеством Z по множеству нулевой меры. На каждом таком слое из поточечной оценки (8) вытекает, что функция [/]₂ имеет обобщенную производную на слое у [2; теорема 3] и поэтому абсолютно непрерывна на у. Следовательно, на любом интервале (а, /3) слоя у имеем

Wz^-UUzH < / Mg^exptX^dt.

Таким образом, приращение функции [/]₂|₇ вдоль слоя у контролируется интегралом от функции Мд, не зависящим от выбора z. Следовательно, возможен предельный переход по z, а так как совокупность точек z плотна в / (М), последнее неравенство справедливо для любой точки z Е / (М). Полагая z = /(а), получим

г(/(«),/(/!)) < у Mg^exptX^dt.

[а,/3]

Отсюда непосредственно проверяется абсолютная непрерывность отображения / на слое у. Таким образом, доказана абсолютная непрерывность отображения / на почти всех слоях у векторного поля X. >

• 2.4.    P-Дифференцируемость отображений классов Соболева.

Теорема 11. Пусть М, М — сс-пространства, а / : М —»■ М — отображение класса Соболева ИП^ДРТМ). и < q. Тогда / Р-дифференцируемо почти всюду в М и соответствующий ему гомоморфизм алгебр Ли совпадает с формальным дифференциалом теоремы 10.

• <    Из поточечной оценки (5) по стандартной схеме получаем модуль непрерывности функции дз Е ТИ^ДМ), q > v;

\р^ - ГЫ\ < Cd^^V q

5(ж,2г)

для любых точек ж, у Е В(ж,г), В(ж, 2г) С М, г Д г₀, где постоянная С зависит от постоянной из (5), точки ж, оценки для радиусов г₀ и показателя q. Полагая в неравенстве (9) р^ = [/]/(_ж)(у) = Ф/(ж),/(у)), получаем

(Ю)

для любых у Е В(ж,г), В(ж,2г) С М, где g — из определения отображения класса Соболева. Отсюда вытекает

— ф/(ж),/(у))

—   1 г \

< с I Нт —————    g^q^ dz I

^о|В(ж,2г)| J        J

В(x,2r)

Так как правая часть конечна почти всюду в М (по теореме Лебега о дифференцируемости, см., например, [9]), то

— ф/ффДуП фж,у)

< ОС

почти всюду в М.

Таким образом, / удовлетворяет условию теоремы 9. Поэтому, / Р-дифференцируемо почти всюду на М, причем соответствующий Р-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением X^g) Н Xif^ Е Ki(f(y)) базисных векторов горизонтального подрасслоения Л'₁(у),г = 1,... , п, где при определении производной вдоль векторного поля используется аппроксимативный предел. Поскольку по теореме 10 то же самое отображение порождает формальный дифференциал алгебр Ли касательных конусов, то, следовательно, они совпадают. >

Непрерывное отображение / : М —1 М называется квазимонотонным, если существует постоянная К > 1 такая, что колебание отображения / на любом шаре В(ж,г) С М контролируется колебанием / на граничной сфере 5(ж,г), т. е.

diam(f (В(ж, г))) < К diam(/(S(ж, г)))

для всех 0 < г < г0(ж).

Теорема 12. Всякое непрерывное квазимонотонное отображение / : М —1 М класса Соболева H^^JM; М) Р-дифференцируемо почти всюду в М и соответствующий ему гомоморфизм алгебр Ли совпадает с формальным дифференциалом теоремы 10.

• <    Теорема 12 доказывается по схеме доказательства аналогичного результата из [41]. ▻

• 2.5.    Л/^-Свойство Лузина. Напомним, что мера Хаусдорфа множества Л С X определяется как предел Р“(Л) = lira 7/j (Л), где

К {A) =ya inf{^(diamBj“ : Л С J^}, j совокупность Ej С X, j Е N, образует покрытие множества А такое, что diamS^ < б, а — неотрицательное число, уа — нормирующий множитель.

Пусть даны два сс-пространства М и М, причем хаусдорфова размерность г/ первого из них не больше хаусдорфовой размерности второго и< z>. Отображение / : Q —1 М, Q С М, обладает ^-свойством Лузина, если образ f(E) любого множества Е С М нулевой меры имеет нулевую Т/^-меру Хаусдорфа в М.

Теорема 13. Всякое непрерывное квазимонотонное отображение / : М —> М класса Соболева VEj_loc(M; М) (и непрерывное отображение / : М —> М класса Соболева РЕ^ДМ; М), q > U обладает АГ-свойством Лузина. В частности, образ измеримого множества является 'H^v-измеримым множеством в ДЕу

• < Сформулированная теорема доказывается по схеме соответствующего результата из [41; теорема 7.1]. Покажем схему рассуждений при q Е (щ оо). Достаточно доказать утверждение теоремы для множества Е нулевой меры из компактно вложенной области Q С М. Пусть U С fl — открытое множество, содержащее Е. Известно, что существует совокупность шаров В Др г У) С U такая, что

• (1)    U С Ji ВДрт^- (2)    ВДр^т^ С U и ДУ^ХедчУг^Д^ ^ ^’ гДе число Л/" не зависит от выбора открытого множества U, совокупности шаров и точки ж Е U.

Этому условию удовлетворяет совокупность шаров из разложения типа Уитни области U на шары см., например, [6]. Применим оценку (10) для оценки колебания отображения / на шаре В Др г У:

Д1ат(/(В(ж^гД))) < С^ВДр п)]¹ И      g^q^dz\ ,

5($i ,21'i)

где постоянная Ci не зависит от выбора шара. Для выбранной совокупности шаров {В(ж4,Гг)} получаем

H^f^ < KJ^< ^ 7/^/(^(ж., ^)) < £(diam(/№i,ri)))r г                                           г

У g^q^dz\

В^ХбДгД

• < С1(^\вДргУу^       / g^q^^d^

• ^{1                   1} ВДчДтД

^СДи^И gqWz\ , и где постоянная С^ не зависит от выбора множества U. Так как мера множества U может быть выбрана сколь угодно малой, то ДЕ) имеет Т/^-меру нуль, и образ измеримого множества Т/^-измерим вМ. >

Следствие 1. Пусть / : М —> М — непрерывное открытое отображение класса Соболева ИД^ДМ; М). Тогда / обладает W-свойством Лузина: НАДЕ) = 0, если \Е\ = 0, Е С М. В частности, образ измеримого множества H^v-измерим в М.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если / : Q —> R", Q С Ж”, — гомеоморфизм (квазимонотонное отображение) класса Соболева W^_loc(Q; R"), то утверждение следствия 1 (теоремы 13) другим способом доказано в [36] ([30]).

Замечание 3. Теорема 13 очевидным образом обобщается на случай отображений / : М —> X со значениями в произвольном метрическом пространстве X аналогично тому, как это сделано в [41], когда М — это группа Карно.

• § 3.    Элементы геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори

• 3.1.    В этом разделе мы покажем как результаты геометрической теории меры, установленные в случае групп Карно в [8, 41], можно обобщить на сс-пространства.

Мы рассматриваем здесь сс-пространства М, М такие, что хаусдорфова размерность и первого из них не превосходит хаусдорфовой размерности z> второго.

Можно доказать, следуя [41], что для липшицева отображения / : Е —> М, где Е С М — измеримое множество, для почти всех ж Е Е существует предел lim t^o+

^НЕПВ^,^

-h^evab^^

у Е B)x,t) > = Jj^x),

(И)

который служит локальной характеристикой искажения мер и играет роль якобиана.

Напомним, что функцией кратности (или индикатрисой Банаха) N(y,f,A) отображения f, А С Е, называется величина card(/-1(y) П А) = #{ж Е /-1(у) П А}.

Теорема 14. Предположим, что Еу,... ,Е^ С М — измеримые множества, Е = Uj=i Ej, а отображение / : Е —> М, Е С М, v < и, таково, что ограничение /^ липшицево для любого j и якобиан J, (ж) интегрируем на Е. Тогда функция кратности N (у, f,E) измерима на М и

Е

Jf

С помощью теоремы 8 можно установить как характеристика (И) связана с V- дифференциалом.

Предложение 4. Предположим, что Е С М — измеримое отображение, а / : Е —> М — липшицево отображение. Тогда для почти всех ж Е Е существует предел lim t^o+

l{4E6B^,t))

у E В(ж,^ > = Jf^

^Р/(В(ж,1))

^^(ж, 1)

= | det Df^xW

• 3.2.    Будем говорить, что формула площади справедлива для отображения / : Е —> М, Е С М — измеримое множество и и < v, если выполняются следующие три условия для произвольной измеримой функции и : Е —> R и любого измеримого множества А С Е:

• 1)    Функции А Э ж Н u^x)J^x) и М Е у Н- ^2 ^м(^ж) измеримы.

iEf-4y)nA

• 2)    Если функция и неотрицательна, то

J и)х) Jj)х) d34.^v )х) = J            и(ж) dH^p)y).                 (12)

^JA                    xU-ЧуВА

• 3)    Если одна из функций

А Э х Н фх^З^х^ и М Е у Н- УУ и(ж)

интегрируема, то вторая также интегрируема и справедлива формула (12).

Из теоремы 14 стандартным образом, см., например, [41], получаем следующую формулу площади.

Теорема 15. Предположим, что Ei,... ,Е^ С М — измеримые множества, Е = Uj=i Ej, отображение / : Е —> М, и < п, таково, что ограничение /|^. липппщево для каждого j. Тогда справедлива формула площади (12).

Из формулы вытекают многие следствия, которые в случае групп Карно установлены в [41]. Мы сформулируем здесь два из них.

Теорема 16. Предположим, что непрерывное отображение / : Q —> М, Q С М — открытое множество, и < v, удовлетворяет одному из следующих условий'.

• (1)    / принадлежит классу Соболева W_g¹_loc(Q;M), и < ср

• (2)    / квазимонотонно и принадлежит классу Соболева ИфУ^П; М);

• (3)    / принадлежит классу Соболева W_g¹_loc(Q;M), q ^ 1, и обладает JV-свойством Лузина.

Тогда справедлива формула площади (12).

В теореме 16 формула площади приведена для отображений классов Соболева, обладающих ЛУ-свойством Лузина, см., теорему 13. Во всех остальных случаях она верна в следующей форме.

Теорема 17. Предположим, что дано отображение / : Q —> М, Q С М — открытое множество, и < v, класса Соболева W_g¹_loc(Q;M), 1 < q < v. Тогда существует множество нулевой меры S С И такое, что для любого измеримого множества Л С И справедлива следующая формула площади:

[ u^ JДх^ d'H.¹’^ = [            и(ж) d'H^y),

А                      ~ _$e/-!(y)n(A\s)

где и — произвольная неотрицательная измеримая функция такая, что произведение u^Jj^ интегрируемо.

• § 4. Квазиконформные отображения пространств Карно — Каратеодори

Современная теория квазиконформных отображений в евклидовом пространстве представляет собой естественное развитие двумерной теории и имеет многочисленные связи со смежными разделами анализа (см., например, [11]).

Квазиконформные отображения на неримановых пространствах впервые рассматривались Мостовым [33] при исследовании проблемы классификации метрических пространств постоянной отрицательной кривизны. В доказательстве теоремы о жесткости Мостов использовал квазиконформные преобразования идеальной границы некоторого симметрического пространства. М. Громов показал, что геометрия такой идеальной границы моделируется нильпотентной группой с метрикой Карно — Кара-теодори, не являющейся римановой. Эти пионерские работы стимулировали интерес к изучению квазиконформных отображений на группах Карно [35] и более общих пространствах Карно — Каратеодори [29]. При этом отметим, что нильпотентные группы и многообразия, порождаемые векторными полями, удовлетворяющими условию Хёрмандера [23], с неримановыми метриками, изучались ранее при исследовании ряда вопросов теории субэллиптических уравнений, см., например, [14, 15, 34] и др. Теория пространств Карно — Каратеодори применяется в задачах, связанных с неголономной механикой и других физических задачах, см., например, монографию [32], в которой приведена подробная библиография по этому вопросу. Исследование теории квазиконформных отображений на группах Карно стимулировалось также связью этих отображений с некоторыми функциональными классами (в частности, пространствами Соболева и ВМО^ [1, 2, 7, 42, 43].

Систематическое развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно началось с группы Гейзенберга [25], на примере которой видно, что наличие нетривиальных коммутационных соотношений требует развития дополнительного (по сравнению с классической ситуацией) аналитического аппарата, который давал бы возможность работать с квазиконформными отображениями на группах Карно с той же эффективностью, что и в R". Одной из первых задач, в частности, была задача об эквивалентности различных определений квазиконформности. С этой целью были введены адекватные ситуации понятия математического анализа. В 1989 году П. Панею ввел понятие дифференцируемости на группах Карно (Р-дифференциал) [35]. Используя концепцию дифференцирования Панею, Кораньи и Рейманн [25] систематизировали аналитические методы исследования квазиконформных отображений на группах Гейзенберга, предполагая более сильное по сравнению с евклидовым пространством условие: Р-дифференцируемость почти всюду.

Аналитический аппарат, позволяющий развить теорию квазиконформных отображений на группах Карно при наиболее слабых (аналитических) предположениях развит в серии работ 90-х годов [2, 3, 5, 8, 41, 42].

Развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно привело к переосмыслению классических методов и доказательств. Это явилось одним из стимулов к появлению концепции теории квазиконформных отображений и связанной с ней теорией различных функциональных классов (Соболева, ВМО) на метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения (пространства однородного типа) или более сильному условию регулярности (мера ц метрического пространства X называется Q-регулярной, если для любого шара В(ж,г) С X верно //(В(ж,г)) ~ гД, см., например, [6, 22, 43].

Для гомеоморфизма / : М —> N двух сс-пространств (МД) и (ИД) введем вели чины

ЬДж,г)= шах Д/(ж),/(у)), //(ж,г) = min Я(/(ж), / (у)), Я/(ж, г) = ^^^ , <цж,у)=г <цж,у) = г ^y^Ж,Г)

И ПОЛОЖИМ

НДж) = lira НДх,гУ 1'^+0

Отображение / называется квазиконформным, если величина Я/ (ж) ограничена в М. Число Hj = ||Яу (ж) Д^ (М) || называется коэффициентом квазиконформности отображения /.

сс-Пространство — метрическая структура, на которой из метрического определения квазиконформности можно получить эквивалентное ему аналитическое. В евклидовом пространстве R", п ^ 2, метрическое определение эквивалентно тому, что / Е Нд _1ос и Р/(ж)|^п< К'\ det Р/(ж)|, где Df^ — формальная матрица Якоби, определенная почти всюду. В [2] аналог аналитического определения квазиконформности выведен на группах Карно. Покажем, что рассуждения работы [2] можно обобщить на сс-пространства.

Из приведенного определения квазиконформности стандартным образом выводится, что отображение / удовлетворяет условиям теоремы Степанова. Отсюда и из теоремы 9 выводим

Предложение 5. Всякое квазиконформное отображение f : М —» N Р-дифферен-цируемо почти всюду.

Стандартным образом [29] проверяется, что обратное отображение также квазиконформно, и, следовательно, также дифференцируемо почти всюду. Заметим, что не может быть такого, чтобы Т/^-мера Хаусдорфа образа точек дифференцируемости равнялась нулю. Поэтому существует точка ж такая, что отображение / Р-дифференцируемо в точке ж, а обратное отображение /^-1 Р-дифференцируемо в точке /(ж). Следовательно, дифференциал Df(x) является изоморфизмом групп касательных конусов, и поэтому размерности Хаусдорфа пространств М и N совпадают. Таким образом, получаем

Предложение 6. Если отображение f : М —» N квазиконформно, то размерности по Хаусдорфу пространств М и N совпадают.

Предложения 5 и 6 другим способом доказаны в [29].

Справедлив следующий результат, доказательство которого может быть получено с использованием схем из работ [2, 5, 42].

Теорема 18. Для гомеоморфизма f : М —» N сс-пространств следующие утверждения эквивалентны:

• (1)    гомеоморфизм / квазиконформен;

• (2)    обратный гомеоморфизм /^-1 : N —> М квазиконформен;

• (3)    гомеоморфизм f : М —» N принадлежит классу ACL и для и. в. ж Е М формальный горизонтальный дифференциал Df(x) удовлетворяет либо условию

тах{||Р/О(ж) : ЦСЦ = 1,^ Е KJ < Ктт{||1)/(Ш(ж) : ЦСЦ = U Е KJ, (13) либо условию

||Р/Г(ж) ^К^МПДхД(14)

• (4)    оператор f* : L^(N) —>ЬДМ), /*(и) = / о и, ограничен;

• (5)    оператор Д : L),(N) —> £*(М), /*(и) = / о и, является изоморфизм;

• (6)    для любого сферического конденсатора Р С N

сарДГЧО^ <^сарДР);(15)

• (7)    для любого сферического конденсатора D С М

сар^Ш-ОЖ ТС'сарДР);(16)

• (8)    гомеоморфизм / : М —> N принадлежит классу И^^М) и для и. в. ж Е М формальный горизонтальный дифференциал Df удовлетворяет либо условию (13), либо условию (14).

При этом значения Ну Hj i. Ц/* Ц^ и наименьшие величины K^v, К', К" выражаются друг через друга.

В условиях (15) и (16) конденсатор D есть связное открытое множество в G, дополнение к которому имеет две компоненты связности: F_o иГ_ьа его емкость cap_p(D) относительно пространства Wp равна величине inf|| V/:/ | L_p(D)||^P, где нижняя грань берется по всем непрерывным функциям / Е И⁷^^!)), равным единице (нулю) на компоненте F^ ^F^ конденсатора D.

Из теоремы 6 и способа ее доказательства вытекает несколько утверждений.

Следствие 2. Если отображение f : М —» N сс-пространств квазиконформно, то fe^_loc(^)-

• <    Если отображение f : М —» N сс-пространств квазиконформно, то по теореме 18 / Е ACL и для п. в. ж Е М формальный горизонтальный дифференциал Df(x) удовлетворяет условию ЦП/Ц^ж) < K^V\J_V^\. Если U ^ М — компактная область, то по теореме 16 о замене переменной имеем

У WDf^^d^^H Kv j Jv^dHv^ 4'HVf

Следствие 3. Если отображение f : М —» N сс-пространств квазиконформно, то J_v^ ф 0 почти всюду в М.

• <    По теореме 18 и следствию 2 как /, так и /^-1 принадлежат классу И⁷^, . Поэтому (следствие 1) оба отображения / и /^-1 обладают ЛЛсвойством Лузина. По теореме о замене переменной для любого измеримого множества Е С М справедлива формула

j J^xW^ = ЫЕ)\.

Е

Следовательно, для множества Е = {ж Е М : ^(ж) = 0} имеем /(5) = 0. Так как /^-1 также обладает Л/"-свойством Лузина, то Е = f^-1^f^EY имеет меру, равную нулю. >