Геометрия спорадических групп

В 1981 г. произошло выдающееся событие в математике: было объявлено о завершении классификации простых конечных групп. Классификационная теорема утверждает, что произвольная простая конечная группа изоморфна некоторой группе из построенного списка, содержащего 1) циклические группы простого порядка, 2) знакопеременные группы Un, n > 5, 3) группы типа Ли, 4) спорадические группы. Группы типа Ли образуют самый обширный класс простых конечных групп. Большая часть – это конечные аналоги классических простых групп Ли. Классификационная проблема простых конечных групп представляет собой целую новую математическую область, находящуюся в процессе бурного развития. В течение 25 лет большой коллектив математиков активно работал над решением этой проблемы. Утверждение о решении классификационной теоремы следует понимать в том смысле, что построенный список простых конечных групп признан полным. Нельзя полностью исключить некоторые упущения. Но они, даже если обнаружатся, не повлекут за собой коренной перестройки классификационного здания, ко- торое устроено так, что допускает привнесение некоторых новых деталей. Американский математик Даниэл Горенстейн, активный участник классификационного процесса, опубликовал две книги, посвященные итогам классификационной проблемы. Одна из них – "Конечные простые группы. Введение в их классификацию" – переведена на русский язык [1].

Первые значительные результаты в решении классификационной проблемы простых конечных групп принадлежат Ричарду Брауэру. В работах конца 40-х – начала 50-х гг. XX столетия он предложил ключ к решению проблемы – исследовать централизаторы инволюций. Брауэр показал, что, с одной стороны, существует лишь конечное число простых групп с заданным централизатором инволюций. С другой стороны, если централизатор некоторой инволюции в простой группе G изоморфен общей линейной группе L ( q ) над конечным полем порядка q ( q нечетно), то либо эта группа изоморфна трехмерной проективной специальной линейной группе, либо q = 3 и она изоморфна группе Матье M 11 .

Из работ, опубликованных в 50-х гг. и способствующих решению классификационной проблемы, относится статья Клода Ше-валле "О некоторых простых группах" [2]. В этой работе указан общий способ построения простых групп (бесконечных простых групп Ли и конечных простых групп типа Ли) как групп автоморфизмов алгебр Ли. Конструкция Шевалле выполняется над произвольным полем P , в том числе над конечным полем. Для понимания некоторых результатов Ше-валле обратимся к предыстории. Понятие простой группы Ли ввел в 1885 г. Софус Ли. Эли Картан различал (1894) четыре класса простых групп Ли и называл серии большими классами A_n , B_n , C_n , D_n где n – ранг группы. Группы класса A локально изоморфны группам CSL комплексных унимодуляр-ных матриц; группы классов B и D – соответственно CO и CO – группам комплексных матриц, сохраняющих квадратичную форму; группы класса C_n – группам CSy симплектических комплексных матриц, сохраняющих кососимметрическую билинейную форму. Киллинг показал, что кроме этих комплексных простых групп есть еще особые простые группы размерностей 14, 52, 78, 133 и 248, которые Картан позднее назвал классами G , F , E , E , E . Картан доказал, что иных простых комплексных групп Ли, отличных от перечисленных классов, нет.

Число вещественных простых групп Ли больше, чем комплексных. Картан (1914) нашел все вещественные простые группы Ли четырех больших классов и построил их классификацию.

Простые группы Ли четырех больших классов допускают геометрическую интерпретацию в виде фундаментальных групп проективных, неевклидовых и симплектиче-ских пространств.

Каждая простая группа Ли над полем вещественных или комплексных чисел однозначно определяет соответствующую ей простую алгебру Ли над тем же полем. Картан сопоставил элементу x группы преобразование алгебры Ли, индуцированное внутренними автоморфизмами axa-1 группы. Корни группы изображаются корневыми векторами в подалгебре Картана алгебры Ли. Корни алгебры имеют целочисленные разложения по простым корням. Простые корни алгебры Ли можно изобразить в виде связных графов. Вершины этих графов соответствуют простым корням алгебры, две вершины соединяются одной, двумя, тремя чертами или вообще не соединяются в зависимости от того, какова величина угла между корнями алгебры: 1500,1350, 1200 или 900.

Линейные, симплектические, ортогональные и унитарные группы над конечными полями, рассматривал К.Жордан в "Трактате о подстановках" [3]. Линейную группу над конечным полем, по сути, рассматривал ещё Галуа. Л.Диксон (1901) детально изучил эти группы в книге "Линейные группы с представлением в теории полей Галуа" как группы подстановок элементов из полей Галуа. К.Шевалле (1955) предложил следующий метод построения простых групп. Пусть задано конечное поле порядка, равного степени простого числа. Выберем в поле базис Шевалле. Построим множество A всех линейных комбинаций базисных элементов с коэффициентами из поля простого порядка. Так как все структурные константы алгебры A целочисленны, то можно определить в A умножение. Это умножение превращает алгебру A в алгебру Ли над конечным полем. Матрица линейного преобразования алгебры Ли в базисе Шевалле имеет в качестве элементов многочлены с целыми коэффициентами. Если эти коэффициенты взяты по модулю p , то элементы матрицы представляют собой элементы поля Галуа порядка pⁿ = q . Группа Шевалле F_nG типа G порождается автоморфизмами алгебры, заданными матрицами описанного вида. На этом пути получаются конечные группы Шевалле – конечные аналоги групп четырех больших классов и особых групп.

Для конечных простых групп типа Ли построены геометрические интерпретации в виде групп преобразований конечных неевклидовых геометрий.

Кроме конечных простых групп, принадлежащих перечисленным сериям, найдено 26 спорадических (изолированных) групп. Термин "спорадическая группа" укрепился в лексиконе математиков с 60-х г. XX столетия. Первоначально он был введен Бернсайдом. Первыми из спорадических групп были построены пять так называемых групп Матье. Основное свойство групп Матье, благодаря которому они стали знаменитыми, заключает- ся в их высокой (высочайшей) транзитивности. Термин "транзитивная" ввел Коши (1845) для групп подстановок. Однако термином "группа" Коши не пользовался. Группу образуют подстановки переменных, которые не изменяют значения функции. Группа G подстановок, действующая на множестве M = {1,2,...,n} , транзитивна, если для каждой пары элементов i, j е M группа содержит подстановку, преобразующую i в j . Группа G называется t -кратно транзитивной, если для любых двух наборов по t элементов, в группе найдется подстановка, преобразующая один набор в другой. Для каждого натурального t существует знакопеременная и симметрическая t - кратная группа. Эти случаи -тривиальные. До Матье его соотечественники Лагранж и Эрмит построили, соответственно, дважды и трижды транзитивные группы, отличные от тривиальных. В статьях [4, 5, 6] (1860, 1861, 1873) Эмиль Матье построил: 3кратно транзитивную группу M на 22 символах, 4-кратно транзитивные группы Мх j, М23, соответственно, на 11 и 23 символах, 5-кратные группы M , M , соответственно, на 12 и 24 символах. Эрнст Витт в 1938 г. [7] показал, что группы Матье можно интерпретировать как группы автоморфизмов систем Штейнера, комбинаторных конфигураций специального вида на 11, 12, 22, 23, 24 элементах. Система Штейнера S(m, k, l), m > k > l задается на множестве из m элементов и состоит из семейства таких k -подмножеств, что каждое l -подмножество входит в одно и только одно k -подмножество.

Систему S (11,5,4) можно построить как одноточечное расширение инверсной плоскости FC₂ над полем F ₃. Инверсная плоскость F₃C ₂ содержит 10 точек и 30 циклов, обладающих следующими свойствами:

• 1.    Каждый цикл содержит 4 точки.

• 2.    Каждая точка инцидентна 12 циклам.

• 3.    Через любые три точки проходит единственный цикл.

• 4.    Для любых двух точек P и P цикла c существует хотя бы один цикл c , c ^ c , проходящий через P , P .

• 5.    Существуют 4 точки, не принадлежащие одному циклу (4 неконцикулярные точки).

Добавим к плоскости F C точку так, чтобы она принадлежала каждому циклу из этой плоскости. Полученные "расширенные циклы" назовем блоками системы S (11,5,4) .

Заметим, что инверсную плоскость F C также можно получить одноточечным расширением конечной структуры, образующей аффинную плоскость F₃A₂ над полем F . Плоскость F A содержит 9 точек и 12 прямых, на каждой прямой лежит 3 точки, через каждые 2 точки проходит прямая.

Аналогично дополняя точкой систему S (11,5,4) , строим систему S (12,6,5) . Аналогично строится из системы S (22,6,3) система S (23,7,4) , из последней - система S (24,8,5) . В свою очередь систему S (22,6,3) можно построить из конечной проективной плоскости F P над полем F , содержащей 21 точку и 21 прямую, по 5 точек на прямой таких, что через каждые 2 точки проходит единственная прямая. В.В.Афанасьев подверг (1984) специальному исследованию геометрию систем Штейнера. В.В.Афанасьев изучал [8, 9] выполнимость различных конфигураций в системах Штейнера S (22,6,3) , S (23,7,4) , S (24,8,5) . Система S (22,6,3) содержит 22 точки и 77 блоков по 6 точек в каждом блоке. Блок однозначно определяется заданием любых трёх его точек. Любые два блока либо пересекаются в 2 точках, либо не пересекаются. Для системы S (22,6,3) В.В.Афанасьев доказал справедливость теоремы Микеля и теоремы о связках - основных конфигурационных теорем конформной геометрии. Любая инволюция системы S (22,6,3) однозначно определяется блоком неподвижных точек и парой соответствующих точек. Система S (23,7,4) содержит 23 точки и 253 блока по 7 точек в каждом блоке. Любая пара блоков пересекается или в одной точке (касается), или в трех различных точках. Для системы S (23,7,4) выполняется обобщение теоремы Микеля: шесть точек касания четырех попарно касающихся блоков принадлежат одному блоку.

Образами симметрии в системе S (23,7,4) являются 7 неподвижных точек и 29 инвариантных блоков.

Система S(24,8,5) состоит из 24 точек и 759 блоков по 8 точек в каждом блоке. Блок определяется заданием пяти любых его точек. Два блока либо пересекаются в 4 или в 2 точках, либо не пересекаются. Для других непе-ресекающихся блоков существует единственный блок, не пересекающий данные. Для двух блоков, пересекающихся в двух точках, не существует блоков, пересекающих каждый блок в четырех точках, отличных от точек пересечения, и блоков, не пересекающих их. Для пересекающихся в четырех точках блоков существует единственный блок, пересекающий каждый из данных блоков в 4 точках, отличных от их пересечения. Внутренняя структура системы S(24,8,5) относительно произвольной точки является системой S(23,7,4) . В системе S(24,8,5) В.В.Афанасьевым найдено 7 обобщений теоремы Микеля и теоремы о связках. Любая инволюция в S(24,8,5) определяется блоком неподвижных точек и парой соответствующих точек. Образами симметрии в системе являются 8 неподвижных точек и 71 блок.

С момента построения Матье групп M , M , M , M , M новых спорадических групп не было построено в течение почти 100 лет. После знаменитой статьи Шевалле начались поиски новых простых групп во многих направлениях. Были построены новые простые группы типа Ли, а также другие спорадические группы. К настоящему времени известны 26 спорадических групп.

Уже при построении простых групп типа Ли геометрические соображения играли важную роль. При дальнейшем исследовании простые группы типа Ли получили многочисленные геометрические интерпретации. В 50х гг. Титс предложил [10] общую идею построения геометрий инцидентностей, связанных с простыми и полупростыми группами Ли и обобщающих понятие проективной геометрии. В последующие годы он интенсивно развивал свои идеи. С каждой геометрией инцидентностей Титс сопоставлял диаграмму-граф. Язык диаграмм Титс усовершенствовал и систематизировал в своей работе 1974 г. Позднее Ф.Бьюкенаут [11] так охарактеризовал эти работы Титса: "Титс дал геометрическую интерпретацию всех простых групп Ли. Каждая из его геометрий характеризуется определенной диаграммой. В этом – одна из наиболее очаровательных особенностей этой теории. Эти хорошие и простые изображения с огромным потенциалом информации могут хорошо про- явиться как части универсального языка. Титсом создан настоящий геометрический рай".

Ф.Бьюкенаут, развивая идеи Титса комбинаторно-геометрической характеризации простых конечных групп, ввел диаграммы, характеризующие спорадические группы. Ему удалось построить геометрические интерпретации большей части спорадических групп.