Герман Грассман и его учение о протяженности

года – Штетинской. Впоследствии он получил звание профессора, заменив своего отца в гимназии (1852).

Грассман был не только математиком оригинальнейшего склада с сильно выраженными философскими интересами, но и физиком, занимавшимся как теоретическими, так и практическими вопросами. В области физики ученому принадлежат работы по акустике и магнитному взаимодействию токов. В "Теории приливов и отливов" впервые изложил основы своего учения о векторах. Общие идеи Грассмана об абстрактных векторных пространствах привели его к открытию важного положения – возможности рассматривать цветовые ощущения как трехмерные векторы. Заметим, что они лежат в основе современного учения о цвете.

Работая в области математики, физики, в частности механики, ученый также уделял внимание филологии и восточным языкам – китайскому и древнеиндийскому. В 1863 г. он сформулировал закон диссимиляции придыхательных звуков в древнегреческом и древнеиндийских языках, который получил название закона Грассмана [1]. Им были установлены законы сложения цветов (1853). Ученый составил полный словарь к гимнам Ригведы – памятнику древнеиндийской литературы (1875).

Научные достижения Грассмана представлены объемным сочинением "Учение о линейной протяженности" ( Lineale Ausdehnungslehre , 1844). Он считал, что в геометрии следует определить "ориентированные величины" любого измерения: векторы, являющиеся разностью двух точек (конца и начала) и представляющие ориентированные величины первой ступени ( erste Stufe). Произведение двух таких векторов должно давать ориентированную величину двух измерений и т.д. Однако в этой книге Грассман не сумел дать четкие математические определения и часто прибегал к философским соображениям. Поэтому современные математики не восприняли изложенных в ней идей, несмотря на богатое содержание книги.

В 1862 г. ученый постарался изложить свою теорию более системно в книге "Учение о протяжении" ( Der Ausdehnungslehre ). В ней рассматривались различные виды произведения векторов (скалярные, векторные и др.), определялось понятие линейной независимости, вводились "экстенсивные величины", которые теперь называются числами Грассмана n -го порядка [2].

Предметом его исследования являлся континуум n неоднородных переменных Х1, x2,..., xn , т.е. пространство Rn . Свое учение Грассман назвал " lineale" - учение о линейной протяженности. Во втором издании он присоединил к нему метрическую величи-7  2,2     2           2                  .

Х1 + X 2 + x 3 + ... + xn для того, чтобы обобщить свойства обычной евклидовой геометрии на пространство Rn . Исследованию подвергались прежде всего линейные образы, т.е. точка, прямая, плоскость и последовательность образов Sо, S1,..., Sn, для кото рых выполнялся принцип двойственности.

Затем Грассман связал с этими ограниченными образами понятие об их величине ( Inhaltsbegriff), отличая от неограниченных определенные ограниченные их куски. Ученый сделал последние объектами геометрических исследований, рассматривая части: прямой, плоскости, трехмерных образов и т.д.

Он не только ввел совершенно новые объекты исследования, но и пользовался своеобразными методами, в основе которых лежали широкие общие идеи, разрабатываемые им с помощью нестандартных алгорит- мов. Положенная в основу теории идея, заключалась в том, что непрерывное многообразие, т.е. протяжение пространства, представляло исходное, основное понятие.

Ученый протестовал против того, что геометрия является только приложением арифметики, и поднял свое "учение о протяженности" до уровня самостоятельной науки, в которую включил теорию измерений [1].

Важной частью "Линейной протяженности" Грассмана является "алгебра точек". В ней рассматриваются точки с их "весами" или точки с числовыми коэффициентами; для них вводятся операции сложения и умножения. Если точки обозначить прописными буквами, а веса, помещенные в них, - строчными, то уравнение aA + bB + cC = dD + eE + fF (1) означает, что общие массы a+b+с и d+e+f равны, две системы имеют центр тяжести в одной точке. Исходя из геометрических соображений, он полагает, что веса могут иметь как положительные, так и отрицательные значения.

Произведение АВ двух точек А и В представляет «линейную величину», равную отрезку определенной длины, направленному из точки А в точку В и лежащему на фиксированной прямой. При этом сумма АВ+CD отрезков, лежащих на параллельных прямых, равных по длине и противоположно направленных, не обращается в нуль.

При рассмотрении трех точек, не лежащих на одной прямой, он изучает четыре случая произведений:

• 1)    трех точек А , В , С ;

• 2)    точки А и отрезка ВС ;

• 3)    точки В и отрезка СА ;

• 4)    двух отрезков АВ и ВС .

Он доказывает, что в каждом из них произведение дает плоскую величину, под которой понимает треугольник ABC с "весом", равным его удвоенной площади. Сам же треугольник ABC можно перемещать в плоскости точек А , В , С .

Если А , В , С коллинеарны, то произведение ABC обращается в нуль, так как треугольник вырождается в прямую АВ , т.е. ось, аналитическое представление которой ABx = 0 .

Уравнение

ABC + DEF = GHI (2) означает, что треугольники АВС, DEF и GHI лежат в одной плоскости. Пусть площади тре- угольников находятся в определенных отношениях. Тогда при проектировании этих треугольников на любую другую плоскость площади проекций их будут находиться в тех же отношениях. Ученый заметил, что площади, как и веса, могут быть положительными или отрицательными.

Затем Грассман, добавив к трем точкам еще одну, вводит тетраэдальные координаты. Пусть

pP — aA + bB + cC + dD,  (3)где          p — a + b + c + d.

Отношения весов выбранных точек a : b : c : d определяют положение центра тяжести точки Р относительно точек А, В, С, D . Для этого он умножает обе части равенства (3) на произведение АВС :

pABCP =

= aABCA + bABCB + cABCC + dABCD.

Если при этом в каких-то слагаемых окажутся совпадающие точки, то такие слагаемые равны нулю. Следовательно, получается равенство pABCP = 0 + 0 + 0 + dABCD, d ABCP откуда — — ^^^y. Аналогичным образом определяются отношения весов:

a  PBCD  b PACD  c PABD p ~ ABCD ’ ~p “ BACD ’ ~p “ CABD ’

Числители и знаменатели в правых частях этих пропорций получаются при помощи круговой замены вершин А , В , С . При этом в числителях, стоящих в правых частях, отсутствует та вершина, вес которой равен соответственно а , b или c .

Затем Грассман берет произвольную точку Q, отличную от Р, такую что qQ — a 'A + b' B + c 'C + d D,    (4)

после чего выражает отрезок PQ через ребра тетраэдра ABCD . Результат он получает, перемножая (3) на (4):

pq^{pQ —}

• —    (aA + bB + cC + dD)(a'A + b' B + c 'C + d 'D) —

• —    aA • a'A + aA • b' B + aA • c 'C + aA • d'D +

• +    bB • a'A + bB • b'B + bB • c 'C + bB • d 'D +

• +    cC • a'A + cC • b'B + cC • c 'C + cC • d 'D ++    dD • a'A + dD • b'B + dD • c 'C + dD • d D.

В соответствии с отмеченным выше слагаемые, имеющие совпадающие точки, обращаются в нуль:

Затем в шести парах ученый изменяет направление противоположных векторов, делая их сонаправленными с шестью другими. После чего группирует эти шестерки. Поэтому вместо суммы, состоящей из шестнадцати слагаемых, в окончательном виде получается шесть:

pq^{pQ —}

• —    (aA + bB + cC + dD)(a'A + b' B + c 'C + d 'D) —

• —    ( ab ' - a'b ) AB + ( ac ' - a'c ) AC + ( ad ' - a'd ) AD + + (bc' + b' c ) BC + ( bd' - b' d ) BD + ( cd ' - c' d ) CD .

Эти произведения Грассман называет " прогрессивными ". Прогрессивное произведение двух отрезков - плоская величина. В n -мерном пространстве можно перемножать не более чем n точек.

Если общее число точек во всех множителях превосходит n , то умножение становится " регрессивным ". Такое произведение является точкой пересечения прямых

Регрессивное произведение плоских величин ABC и DEF есть часть прямой линии, по которой эти плоскости пересекаются. В соответствии с выражением (5), оно имеет числовой коэффициент 2 S_ABC • 2 S_DEF • sin ^ . Регрессивным произведением плоской величины CDE и линейной AВ является точка пересечения прямой и плоскости с весом |A^B • ^{2 S} CDE • ^SW-

Далее Грассман вводит "систему единиц" e1 , e2 ,... , через которые можно выразить все остальные. Это множество исходных единиц er , из которых все остальные получаются сложением, он называет "основной областью", а выражение, составленное из единиц системы a — a1 e1 + a 2 e 2 +..., т.е.

»

X arer r—1

или

X ae, - "протяженной величи- ной". Ученый замечает, что в качестве базиса e1 , e2 ,...en можно выбрать любые n линейно независимых величин. Напомним, что вели- чины называются линейно независимыми, если равенство a1 e1 + a 2 e 2 +... + akek = 0 возможно только при a1 = а2 = ... = ak = 0. Величины называются линейно зависимыми, если в равенстве a1 e1 + a2e2 +... + akek = 0 существует такой набор коэффициентов a1,a2,..., ak , из которых хотя бы один отличен от нуля.

Для введенной операции сложения протяженных величин Грассман устанавливает справедливость четырех законов:

Кроме того, он доказывает, что в n -мерном пространстве существует не более n линейно независимых величин [3].

Далее ученый перешел к произведению систем единиц . Если в системе из n величин выбрать e i единиц, где i = 1, n , то существует n ² попарных произведений [ e , e_x ] , [ e , e ₂ ] ... [ e_n , e_n ] . Он отмечал произведение [ e_r , e_s ] скобками для того, чтобы отличать его от алгебраического произведения. Заметим, что такие скобки сначала позаимствовал Джозайя Гиббс (1839-1903), который заключал скалярные коэффициенты в круглые скобки, а векторные величины в квадратные:

(a + b ) [a + в] = aa + aft + b [a + в].

При перемножении протяженных величин Грассман рассматривал два случая:

1) ^[ e r , ^es ^] = ^{[ e}s , e r ^] ; ²⁾ [ e r , e s ^{]+[ e}s , e r ^] = ⁰, т.е. ^{[ e}r , e s ^] = ^{-[ e}s , e r ^{] и [ e}r , e r ] = 0 .

В первом случае произведение обладает всеми свойствами обычного. Поэтому Грассман назвал его "алгебраическим"; произведение же второго вида - "комбинаторным". Свойства 1 и 2 выполняются для "внутреннего" и "внешнего" произведений. "  Внутреннее произведение " (в случае, когда перемножаются два отрезка) оказалось тождественным скалярному произведению векторов n -мерного пространства. Для данного произведения единиц он полагал

[er, er ] = [es, es ] = ... = 1 [er , es ] = 0, т.е. от произвольных единиц перешел к орто-нормированному базису. Используя свойства внутреннего произведения, ученый ввел понятие ортогональности для любых величин. Две величины, отличные от нуля, внутреннее

произведение которых равно нулю, называются взаимно нормальными [4].

Под "  внешним произведением " двух векторов ученый понимал площадь параллелограмма, построенного на них как на сторонах. Оно имеет смысл только тогда, когда один множитель лежит вне области других, т.е. он не должен являться линейной комбинацией остальных. Произведение трех векторов - число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

Внешние произведения протяженных величин Грассман вычислял по формулам

[ ab ] =

[abc] =

a в1

а 1

в 1

a2

в 2

Y 1    Y 2

« 1

в 1

.

«2 в

^a 2

в 2

.

^[ e l e 2 ^] ,

а3 вз

Y з

^[ e l e 2 e 3 ^] , ... ,

...

^ n

...   e n

...      .

строки определителя составлены из координат соответствующих векторов.

В теории, созданной Грассманом, введено "дополнение внешнего произведения" [ ab ] : им является отрезок, ортогональный к плоскости параллелограмма. Внешнее произведение равно площади этого параллелограмма.

Внутреннее и внешнее произведения в теории Грассмана являются скалярными величинами. Это позволяет ввести "среднее произведение" - линейную комбинацию внутреннего и внешнего произведений с произвольными постоянными коэффициентами Л и ц .

До сих пор речь шла о величинах вида ю

^ a_re_r , которые Грассман называл "протя- r = 1

женными величинами первой ступени". При перемножении таких величии получается "протяженная величина второй ступени" и т.д.

В этом заключалось основное отличие от операций умножения теории кватернионов, разработанной У.Р.Гамильтоном (1805-1865). У последнего результатом умножения двух кватернионов был кватернион, который в частных случаях мог вырождаться в чисто ска-

лярную или чисто векторную величину. Другими словами, теория кватернионов с точки зрения алгебраических структур - ассоциативная алгебра, в которой результат произведения выражается через исходные единицы 1, i , j , k [5]. Учение о линейной протяженности представляет неассоциативную алгебру, в которой произведение является величиной другой природы [6].

Как ученый Герман Гюнтер Грассман при жизни не получил признания, а потому не работал в высшей школе. Лишь в 1867 г. Г.Ганкель (1839–1873) разъяснил идеи Грассмана, а позже Р.Ф.А. Клебш (1833–1872) дал интерпретацию его алгебре. По его предложению Грассман был избран членом-корреспондентом Геттингенской Академии наук (1876).

Заключение

Интерес к векторному исчислению возник в XIX в., главным образом в связи потребностями физики, и в частности механики. Исторически оно формировалось несколькими путями: а) физическим (исследование векторных величин, встречающихся в естествознании); б) алгебраическим (путем расширения понятия операции над векторами); в) геометрическим (исчисление отрезков).

В статье представлены основы геометрического пути развития векторного исчисления. Одним из ученых, занимавшимся этим исследованием, являлся немецкий математик Герман Гюнтер Грассман. Он дал первое систематическое построение учения о многомерном евклидовом пространстве; ввел неопределяемые понятия, каждой точке придал вес. Грассман рассматривал операции сложения и умножения для двух и трех точек с их весами, добавив к ним в дальнейшем произвольную четвертую. Он ввел различные виды произведений протяженных величин, базис и стал оперировать с протяженными величинами евклидова n-мерного пространства.