Гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая системы твердых тел, прикрепленных к балке Тимошенко

В статье [1] была представлена обобщенная математическая модель системы взаимосвязанных твердых тел, упруго прикрепленных к балке Эйлера — Бернулли, в виде гибридной системы дифференциальных уравнений (ГСДУ), где под ГСДУ следует понимать систему дифференциальных уравнений, состоящую как из обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных. Обобщенная математическая модель представляет собой ГСДУ, заданной структуры, и описывает динамику различных систем взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных упругими связями к балке Эйлера — Бернулли. Для обобщенной математической модели были разработаны теоретические основы исследования свободных колебаний. В частности, разработан аналитико-численный метод построения частотного уравнения, основанный на рассмотрении краевой задачи для соответствующей ГСДУ [2]. В [3] была исследована краевая задач для ГСДУ более общего вида. В работе [4] на основании вариационного принципа Гамильтона — Остроградского для механической системы, состоящей из балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом с двумя степенями свободы, получена математическая модель в виде ГСДУ, на основе которой в [5] произведено построение частотного уравнения. Отметим, в данном случае ГСДУ, уравнения в частных производных отличаются от уравнений в частных производных, входящих в обобщенную математическую модель , для случая балки Эйлера — Бернулли [1].

В статье в соответствии с результатами из [1; 2; 4; 5] предлагается и исследуется обобщенная математическая модель системы взаимосвязанных твердых тел, упруго прикрепленной к балке Тимошенко в виде ГСДУ.

1 Обобщенная математическая модель

Обобщенная математическая модель для взаимосвязанных систем твердых тел, прикрепленных с помощью пружин к балке Тимошенко, в виде ГСДУ, имеет вид:

' AZ + Bz + C(Dz - u) = 0, d4u(x,t) _    d3в(x,t) _ , a4u(x,t)     , d3в(x,t)

EI 4 EI 3      p1    2 ",,2 + p1     ",,2 + dx           dx         dx d t        dxd t

+ pF ^d u ⁽ x t ) =^L q_t ^{( d}‘^Tz^(t ) ^{- u ( x} , t ж ^x - ai ), a t

EI 5³ и ⁽ x , t ) - EI a²p ⁽ x , t ) - pi 5³ и ^{( x,}t ) + pi a²p ⁽x , t ) +         _x , t ) = o,

I       a x ³             a x ²            a x a t ²            a t ²

где x — переменная, описывающая координатную ось, совпадающую с покоящейся балкой, aj, j = 1, n  — точки закрепления пружин, qj, j = 1, n — жесткость j -й пружины, t — переменная, описывающая время, z(t) — n -мерная вектор-функция, описывающая смещение прикрепленных тел; u(x, t) — скалярная функция; u — m -мерная вектор-функция с компонентами u(a1,t),u(a2,),...,u(am,t); A,B — заданные, постоянные n x n -матрицы; C — заданная, постоянная n x m матрица; D — заданная, постоянная m x n матрица; dl — n -мерный вектор, составленный из строк матрицы D, (.)T — операция транспонирования, в(x, t) — функция, описывающая угол сдвига, E — модуль Юнга, F — площадь поперечного сечения балки, G — модуль сдвига балки, х — параметр, характеризующий поперечное сечение балки, I — момент инерции поперечного смещения балки, p — плотность материала балки.

Отметим, что для любой расчетной схемы (в рамках некоторых допущений) произвольной системы взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных к балке Тимошенко, ГСДУ, построенная на основании вариационного принципа Гамильтона — Остроградского, может быть представлена в виде (1).

На функции u ( x , t ) и в ( x , t ) наложены некоторые граничные условия, соответствующие условиям закрепления на концах балки:

Г 1 ( u (0, t ), в (0, t )) = 0,       Г 2 ( u ( l , t ), в ( l , t )) = 0.               (2)

Решение ГСДУ (1) понимается в обобщенном смысле [6], поэтому введем понятие обобщенного решения ГСДУ, удовлетворяющей условиям (2).

Рассмотрим множество финитных вектор-функций:

T

K = { ( Z Q, u % ( - , • ), в ( • , • ) ) : z() g C : , [ 0, T ] , u (v) g C „ , „ ,р , в (, . ) g C „ , „ , P } , (3) где P = { ( x , t ) g R ²:0 <  x <  l , 0 <  t <  T } — прямоугольник. Назовем основными вектор-функции из множества (3).

Определение 1. Скалярные функции z (•) g C n [ o_T ] , u ( • , • ) g C _{42 p} и

P ( - , • ) g C _{32 P} назовем обобщенным решением краевой задачи для ГСДУ

(1), если функции краевой задачи

T

(. = ( • ), Й ; , • ), в ( • , • ) )

u(x,t) и в(x,t) удовлетворяет граничным условиям и для любой основной вектор-функции g K справедливо

t 1

Д Az + Bz + C (Dz - u)] z(t) dt + t0

t 1 1"

+n EI t 0 ⁰ -

d ⁴ u ( x , t )

EI d ³ P ( X , t ) 5 x ³

p l

d ⁴ u ( x , t ) d x ²dt t

+pi dte»

d x S t²

5 u ( x , t )   m i , t .    , we/ x

+ p F —w—E q ⁽ d^{z ( t} ) ^{- u (} x , t ^{)) 5 (} x ^- a^

S t         = i

i/( x , t ) dxdt +

t i i

+И EI t 0 ⁰ _

d ³ u ( x , t )

_ш d² P ( x , t )       - u ( x , t)

El-----z--pl------z+ dx2          dxdt2

+ p l №1 d t ²

+ _Z GF P ( x , t )

P dxdt = 0.

Представив функции z ( t ), u ( x , t ), P (x , t ), как z ( t ) = Z sin to t , u ( x , t ) = V ( x )sin to t , P (x , t ) = B ( x )sin to t , из системы (1) получим алгебраическо-дифференциальную систему уравнений (5) относительно амплитудных параметров системы Z , V ( x ), B ( x ):

'(-to2A + B + CD) Z - CV = 0, d4V(x) - d3B(x)  pto2 d2V(x) - pto2 dB(x) - pFto2 V( )

dx ⁴ dx ³ E dx ² E   dx El

m

= Eq-(d"Z - V(x))5(x - a,), i =1

d³V ( x ) - d ² B ( x ) . dx ³ dx ²

p to ² dV ( x ) p to² "E dx T

B ( x ) + ^ IpB ( x ) = 0,

_                                                                    (5)

где V — m -мерный вектор с компонентами V ( a 1 ), V ( a ₂ ), ^ , V ( a m ).

Граничные условия аналогичные (2) для функции V(x) и B(x) пере пишутся в виде:

/ 1 ( V (0), B (0)) = 0,       у 2 ( V ( i ), B ( i )) = 0.

Определение 2 . Обобщенным решением краевой задачи системы (5)(6) будем считать вектор Z и функции V ( x ) , B ( x ), если они удовлетворяют (5)-(6) и для любых допустимых компонентов основной вектор-функции й(x , t ), Р (x , t ) , при любом t е [ 0, T ] справедлива система:

Г Г d ⁴ V ( x ) _ d ³ B ( x ) р ю ² d V ( x ) _ р ю ² dB ( x ) _ pF ю ² dx ⁴ dx ³ E dx ² E dx EI и \ ^m

< £qi(dT Z _ V(x))5(x _a^ Iu(x,t)dx = U, i=1

Р Ю ² „Z X ^_ E B ^{( x} ) ⁺

[Г dV(x) _ d2B(x) + рю2 dV(x) 0 ( dx3      dx2

x GF _z J „ ------B ( x ) / % ( x , t ) dx = U.

EI )

Теорема 1. Если вектор Z , функции V ( x ) и B ( x ) удовлетворяют (5)-

(6), то для них справедливо:

m

V ( x ) = £ G , ( x _ a ) q , (dZ _ V ( a,)), l = 1

сис-

m

B ( x ) = £ B , ( x _ a , ) q ( d Z _ V ( a , )), l = 1

где функции G,(x),B,(x), (i = 1,2,...,m) — это обобщенные решения темы d4G,(x) d3B,(x) рю2 d2G,(x) рю2 dB ,(x) pFю2

---------------\---;--1--------- dx4      dx3 E dx2     E dx EI d3G (x) d2B (x) рю2 dG (x) рю2       %GF

------+ ---_ - B , (x) + - dx3      dx2     E dx E         EI

G , ( x ) = 5 ( x )

B , (x ) = U

с краевыми условиями

/ i ( G , ( _ a , ), B , ( _ a , )) = U,

у ₂( G , ( l _ a , ), B , ( l _ a , )) = U.

(1U)

Доказательство. Если функции V ( x ) и B ( x ) удовлетворяют системе

(8), тогда выполнение краевых условий (6) для функций V ( x ), B , ( x ), ( , = 1,2,..., m ) следует из краевых условий (1U), вследствие линейности выражений из (8) и краевых условий (1U).

Если вектор Z, функции V(x) и B(x) удовлетворяют (5), тогда они удовлетворяют (7), для любых допустимых компонент основной вектор-функции u%(x, t), в(x, t). Также из первого выражения системы (7) следу- ет i-Г d*V(x) _ d3B(x) + рю2 d2V(x) _ рю2 dB(x)

^р^ ^ю V ( x ) u ( x , t ) dx = EI    —

- ( dx ⁴       dx ³      E dx ² E dx

m

= £ q , ( d^lTZ _ V ( a , )) u ( a , , t ).

I = 1

Используя (8), функции V ( x ) и B ( x ) можно представить как:

m

V ( x ) = f £ G , ( x _ ^ ) q , ( d^,TZ _ V( ^ ))) 5 ( ^ _ a , ) d ^                  (12)

U , = 1

и im

B ( х ) = |£ B ( х - < ) q,(d Z — V( ® ) 8 ( ^ — a i ) d ^ .           (13)

0 i = 1

В справедливости (8) можно убедиться с помощью подстановки (12) и (13) в левую часть (19) и во второе выражение системы (15).

Подставив (12) и (13) в левую часть (11), меняя порядок интегрирования и используя (9), получим

d ⁴ V ( х ) d ³ B ( x ) p ro ² d²V ( x ) p ro ² dB ( x ) pF ro²

dx ⁴

l. l. ( m

—

—

dx

E   dx ²     E dx EI

V ( x ) u ( x , t ) dx =

d ⁴ G i ( x — § ) — d ³ B i ( x — § ) + p ro ² d ² G i ( x — § )

о о v i = 1 V

dx ⁴

—

dx ³

E     dx ²

—

p ro ² dB_t ( x — §)

E dx

—

—

pF^-G, (x — §) |q (d‘TZ — V08(5 — a,)u(x,t)dx dd = EI i. i i--

= 1 E j q i ( d^iTZ — V ( ^ ) й(x , t ) 5 ( x — £ ) § ( § — a i ) dx d ^ ) =

0 i = 1 0

imm

= JE q.(d‘^TZ — V ( £ )) ^, t ) 5 ( ^ — a i ) d ^ = E q i ( d^iTZ — V ( a i )) U ( a i , t ),

0 i=1

что равно правой части (11).

Аналогичной подставкой во второе выражение из (7) показывается выполнение равенства. Теорема доказана.

• 2    Частотное уравнение

Определим условия, при которых существует решение алгебраическо-дифференциальной системы уравнений (5) с краевыми условиями (6).

Исключим из системы (9) переменные B i ( х ). Для этого продифференцируем второе уравнение из (9) и отнимем от него первое уравнение системы (9). Полученное соотношение:

dBi(х) = — pro2 G (х) — 5(х) dx     xG Л ’ xGF подставим в первое уравнение системы (9). В результате получим d4 Gi(x) J pro2 + pro2 ^ d 2Gi(x) J p 2ro4 — pFro2 ^ G (x) = dx4 V XG E J dx2 V XGE EI J Л

=f1—^roE) 5( x)—d!^x.

V x GFE J      x GF dx x²

Заметим решение уравнения (14) понимается в обобщенном смысле.

Если Gi(х) некоторое обобщенное решение уравнения (14), то при любой функции ф(х) из некоторого класса основных функций [6] должно вы- полняться тождество:

J

d ⁴ G,( x )

dx ⁴

p ® ²   p ® ² 1 d ² G i ( x )

X G   E J dx ²

2,4      г,2А        \

p®  pF® |

—— ^—       I ^G i^{( x} ) ф ^{( x} ) ^dx =

X GE   EI ) J

=1 1

—

p ® ² К/ x 1 d²5 ( x ) —--- d( x )---

X GFE J      x GF dx ²

ф ( x ) dx.

Используя правило дифференцирования обобщенных функций, представим последнее выражение в виде:

J

d ⁴ G i ( x )

dx ⁴

р ю ²

X G

p ® ² 1 d ² G i ( x )

E J dx ²

—

2 X

®^ I ф(0) XGFE J

—

1 d ²ф (0) X GF dx ²

p ® pF ®

--—I G ^{( x} ) ф ^{( x} ) dx =

X GE   EI J

^{J J}           (15)

Таким образом, в дальнейшем будем понимать для обобщенного решения уравнения (14) выполнение тождества (15).

Теорема 2. Обобщенное решение уравнения (14) определяется выражением:

G i ( x ) = 1

—

p ® ² ।

XGFE ^

¹ d² G ( x )

G, (x)---z—, i     xGF dx x

где функции G i ( x ), ( i - 1,2, нения

. . .

, m ) являются обобщенным решением урав-

d ⁴ G i ( x ) dx ⁴

(             2 k

+ p® + p®

k XG   e J

d² G i ( x ) + dx ²

⁴ p ² ® ⁴ pF ® ^{2 4}

4 XGE—ei j

G i ( x ) = 3 ( x ).   (17)

Доказательство. Подставив (16) в левую часть выражения (15), после преобразований получим