Гиперупругие и формально определенные модели тканей предстательной железы с фиброзными изменениями

RUSSIAN JOURNAL OF BIOMECHANICS

Моделирование механического поведения органных систем имеет особое значение для клинических приложений. Оно необходимо для имитации хирургических манипуляций, тканевой инженерии, конечноэлементной симуляции тканей и т.д.

Одним из органов, для которого было проведено мало механических испытаний, является предстательная железа (ПЖ). Тем не менее она представляет собой важную часть мужской репродуктивной системы, а упругие свойства железы являются предиктором патологических, в том числе фиброзных изменений [1; 2]. Поскольку изменения жесткости ПЖ могут указывать

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International

License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

на аномальный патологический процесс, параметры, связанные с эластичностью ткани, служат эффективными биомаркерами для дифференциации нормальных тканей, подверженных воспалению или старению. За одним исключением (исследование мик-ромеханической гиперупругой модели Арруда - Бойс [3]) нет сведений о параметрах гиперупругих свойств простаты ни человека, ни животных. Возможно, это связано с тем, что большинство данных об упругих характеристиках ПЖ исследователи получали благодаря направлению, которое активно развивается в последнее время, но не содержит информации о гиперупругих параметрах - эластографии сдвиговых волн SWE [4].

Но только модуль Юнга не может описать весь диапазон упругих свойств мягкой биологической ткани, в отличие от твердой [5], хотя является фундаментальным показателем упругости материалов и относительно доступен для измерения. Линейная упругость часто используется для приближенной характеристики биологических тканей, однако теория нелинейной упругости, использующая гиперупругие модели, точно описывает отклик ткани, особенно при больших деформациях.

По результатам испытаний периуретральных тканей предстательной железы с фиброзными изменениями авторы [6] декларировали значение тангенциального модуля Юнга в диапазоне от 9 до 2390 кПа (медиана 502 кПа), что значительно выше литературных данных, представленных в подробном обзоре [7] и полученных другими методами (в основном с помощью SWE) , даже для раковых и тем более нормальных тканей простаты. Также относительно высокие значения упругого модуля при одноосном растяжении ПЖ встречаются в работе [3] (820 кПа) и [8] (660 кПа в поперечном направлении и 1540 кПа - в продольном). Других данных по одноосному растяжению тканей предстательной железы в литературе, насколько нам известно, нет.

Цель работы заключается в изучении гиперупругих свойств предстательной железы человека с фиброзом на основании известных данных механических испытаний на растяжение, также необходимо сравнить и ранжировать рассмотренные модели.

Материалы и методы

Экспериментальные данные

Данные для расчетов G-е были получены из работы Ma J. et al. (2012) [6]. Образцы периуретральной ткани ПЖ, взятые от 28 мужчин, перенесших радикальную простатэктомию, после получения немедленно обрабатывались для механических и гистологических исследований. Среднее содержание коллагена было избыточным по сравнению с нормой и составляло 59 % ± 9 % против 66 % ± 10 % в срезах ткани, взятых параллельно, по сравнению со срезами, взятыми перпендикулярно уретре. Несмотря на некоторые локальные различия в механических свойствах на растяжение, а также в содержании железистой ткани и коллагена, периуретраль-ные ткани были в значительной степени однородны.

Процедура оцифровки

Результаты одноосных механических испытаний на растяжение со скоростью 0,01 1/c были равномерно оцифрованы с помощью свободно распространяемого приложения PlotDigitizer . Поскольку в исходных данных наблюдался выраженный гистерезис, причиной которого являлась неупругость (помимо чисто упругой деформации, имеется составляющая, которая полностью исчезает при снятии напряжений, но с некоторым запаздыванием), оцифровывали ту часть петли, которая соответствовала стадии нагрузки образца.

Моделирование

После оцифровки расчеты производились в системе компьютерной математики Mathcad 15.0 ( MathSoft , США) с помощью разработанного функционала [9]. Для расчета параметров аппроксимирующих моделей использовали функции подгонки linfit и genfit , для оценки качества соответствия экспериментальных точек с аппроксимирующими кривыми - функцию корреляции corr . Идентификация параметров моделей в виде материальных констант (модели неогуковская, Муни-Ривлина, полиномиальная, Йео, а также формально определенные линейная, билинейная и трилинейная) выполнялась с помощью встроенной функции linfit , реализующей линейный метод наименьших квадратов без задания начального приближения. Для остальных моделей, нелинейных по параметрам (Огдена, Веронда– Вестманн, Фанга, Арруда - Бойс, Гента, экспоненциальная), использовалась функция genfit (алгоритм Ле-венберга - Марквардта), требующая начальных значений. С целью минимизации риска сходимости к локальному минимуму для каждой такой модели была реализована многостартовая процедура: генерировалось N =11 наборов начальных приближений в физически допустимых диапазонах с помощью генератора случайных чисел. Итоговым считался тот набор, который обеспечивал наименьшую сумму квадратов отклонений среди всех запусков. Данный подход позволяет считать, что полученные различия в показателях точности обусловлены именно свойствами моделей, а не локальными минимумами целевой функции.

Математические модели

В качестве гиперупругих моделей рассматривали модели: феноменологические неогуковскую, 2-параметрическую Муни - Ривлина, Огдена, полиномиальную 2-го порядка, Йео, Веронда - Вестманн, Фанга, а также микромеханические Арруда - Бойс и Гента, зарекомендовавшие себя как одни из самых точных в механике больших деформаций [10; 11]. Для сравнения обсуждали также формально определенные алгебраические       модели      –      экспоненциальную

c(s) = a • (exp(b •£) -1), линейную o(e) = E£ , а также кусочно-линейные (би-:  с(е) = Е^ •£ + Е2 • (е-е^р)  и трилинейную: o(s) = Е1 •£ + Е2 • (£-£кр 1)-0(£-£кр 1) + + Е3 • (е-е^2)^(е-е 2). Здесь - 0 ступенчатая функция Хэвисайда. Под формально определенными моделями понимали модели, основанные на внешнем сходстве экспериментальной кривой с графическим изображением той или иной алгебраической функции.

Ранжирование моделей по точности моделирования

Соответствие модельных и данных механических испытаний оценивали с помощью показателей описательной статистики, которые ранжировали в Microsoft Excel с помощью функции РАНГ. Рейтинг моделей затем определяли по сумме рангов, соответствующих от- дельным показателям.

Результаты и их обсуждение

В качестве выходных данных были рассчитаны:

– материальные параметры моделей (табл. 1);

– показатели отклонений модельных значений напряжений от экспериментальных данных (точность аппроксимации) (табл. 2);

– упругие характеристики – начальные, минимальные, средние и максимальные значения модуля Юнга (табл. 3), а также коэффициенты их вариации.

В рамках рассмотренных моделей получены графические зависимости σ -λ (рис. 1) и E -λ (рис. 2, 3).

Параметры,   точность   и   устойчивостьдеформационных моделей

Численные значения параметров деформационных моделей представлены в табл. 1. В целом результаты

Таблица 1

Параметры деформационных моделей, кПа

Модель	Параметр
	μ, C , C 1 , a , E , E 1 , все кПа	α , J m , b , все б/р; E 2 , кПа	C 10 , C 1 , E 3 , кПа	C 01 , C 2 , кПа	C 20 , C 3 , кПа	C 02 , кПа	C 11 , кПа
Неогуковская μ	60,46	-	-	-	-	-	-
Муни – Ривлина C 10 , C 01	-	-	407,07	-417,19	-	-	-
Огдена μ, α	10,5	9,74	-	-	-	-	-
Полиномиальная C 10 , C 01 , C 20 , C 02 , C 11	-	-	-343,78	355,6	-601,61	2930	-1220
Йео C 1 , C 2 , C 3	-	-	3,36	392,72	-729,78	-	-
Веронда – Вестманн C 1 , C 2 , C 3	-	-	8,6	-12,46	108,41	-	-
Фанга C , β	69,48	4,52	-	-	-	-	-
Арруда – Бойс C 1 , β	2,09	-3,18	-	-	-	-	-
Гента μ, J m	79,8	0,37	-	-	-	-	-
Экспоненциальная a , b	21,16	6,59	-	-	-	-	-
Линейная E	306,93	-	-	-	-	-	-
Билинейная E 1 , E 2	0,096	844,278	-	-	-	-	-
Трилинейная E 1 , E 2 , E 3	0,096	462,869	844,278	-	-	-	-

* Примечание: использованы общепринятые обозначения параметров.

Таблица 2

Показатели соответствия модельных и экспериментальных данных

Модель	Показатель				Рейтинг по показателям					Общий рейтинг 1 – σ(λ)
	SD , кПа	Δ, кПа	δ	R	SD	Δ	δ	R	сумма
Неогуковская	13,73381	20,5038	0,21122	0,96087	12	12	12	12	48	12
Муни – Ривлина	2,4761	7,07807	0,07292	0,99699	4	4	4	4	16	4
Огдена	5,0935	10,10935	0,10414	0,98905	7	7	7	7	28	7
Полиномиальная	0,30865	0,63418	0,00653	0,99995	1	1	1	1	4	1
Йео	0,44742	1,01817	0,01049	0,9999	2	2	2	2	8	2
Веронда – Вестманн	0,68675	1,77759	0,01831	0,99977	3	3	3	3	12	3
Фанга	6,0972	11,30492	0,11646	0,9846	8	8	8	8	32	8
Арруда – Бойс	10,50722	17,04677	0,17561	0,98215	10	10	10	9	39	10
Гента	7,10316	11,4127	0,11757	0,98215	9	9	9	9	36	9
Экспоненциальная	4,91906	9,83189	0,10128	0,98984	6	5	5	6	22	6
Линейная	11,75073	18,09823	0,18644	0,97516	11	11	11	11	44	11
Трилинейная	4,47553	9,83189	0,10128	0,99259	5	5	5	5	20	5
Билинейная	17,93514	31,09732	0,32035	0,95242	13	13	13	13	52	13

Примечание: SD – стандартное отклонение, Δ – максимальная абсолютная погрешность, δ – приведенная погрешность, R – коэффициент корреляции. Цветом выделены наименьшие и наибольшие значения в столбцах.

расчетов показали, что изменения в модельных зависимостях σ-λ (λ = ε + 1 – безразмерный коэффициент деформации) коррелируют с исходными экспериментальными данными, а коэффициент корреляции R варьируется от 0,95242 до 0,99995 (табл. 2).

Наиболее подходящими для описания механического поведения тканей простаты являются: среди гиперупругих моделей полиномиальная (приведенная погрешность δ = 0,65 %), Йео (δ = 1,05 %) и Веронда – Вестманн (δ = 1,83 %), среди формально определенных – экспоненциальная (δ = 10,12 %).

Меньше всего отвечали опытным данным модели: билинейная (δ = 32,03 %), неогуковская (δ = 21,12 %) и линейная (δ = 18,64 %), что соответствует данным рис. 1. Отметим, что кусочно-линейные зависимости продемонстрировали напряжения по величине ниже экспериментальных значений.

Относительно неогуковской модели: действительно, в большинстве случаев она плохо соответствует экспериментальным данным, поэтому при моделировании биологических тканей, особенно для характеристики тканей органов человека, предпочтительны более точные модели.

Неогуковская – параметрическая гиперупругая модель, в которой используется постоянный модуль сдвига. Определяющее соотношение для этой модели (здесь и далее для несжимаемых материалов, каковыми считаются мягкие биологические ткани):

W = ц ( 1 1 - 3), (1) где W – плотность энергии деформации, откуда путем несложных вычислений можно получить зависимость «напряжение – деформация» для одноосного растяжения:

n = 2ц(Х2 - -).(2)

Действительно инварианты тензора деформаций Коши – Грина для одноосного рас-тяжения несжимаемого материала:

, 21

I = X² + -, /₂ = — + 2 X , /₃ = 1,

1          X   2 X23

при этом, как известно, о = 2(X2

X d ) W  1 d W,

—)(---+)

λ  ∂ I λ ∂ I

Поскольку

∂ W ∂ W

— = Ц,=

∂ I ∂ I

после подстановки (5) в (4) получаем формулу (2).

Модель была представлена Рональдом Ривлиным в 1948 г. [12]. Как известно, основа гиперупругих моделей – это функция плотности энергии деформации, которая обеспечивает прямую связь между внутренней энергией материала и его деформацией. Эта функция позволяет прогнозировать поведение напряжения и деформации при различных условиях нагрузки. Параметры гиперупругих моделей обычно определяются на основе экспериментальных данных и анализа кривых, что позволяет модели соответствовать наблюдаемому поведению материала [13].

Для гиперупругой полиномиальной модели определяющее уравнение, основанное на инвариантах тензора деформаций, имеет вид:

n

W = ^ C j (1 1 - 3) ‘ - ( 1 2 - 3) j ,          (6)

i = 0, j = 0

а уравнение «напряжение – деформация»:

ст = 2(1 -1^{- 2} )[ С ₁₀ + С ,1^{- 1} + 2 С ₀ (1 ² + 21^{- 1} - 3) +

+21^{- 1} С _о2(21 + 1^{- 2} - 3) + 3С j(1-1-1^{- 1} +1^{- 2} )] =

= 2 С ₁₀ ( 1- -у ) + 2 С 01 (1 - -у ) + 4 С ₂ „ ( 1 ³ - 3 1 + 1 + λλ

3  2           131

+Т —г) + 4 С ₀₂(21-3 —г +  —-) + 6 С Д1 ² -

2       3          02                  2       3       511

λλλλλ

• -1 -1 +—г +зу) ■(7)

12   13

Она оказалась наилучшей среди всех рассмотренных деформационных моделей по всем показателям (табл. 2), что согласуется и подтверждает высокую оценку аппроксимации полиномами, сделанную в [14] на основании строгой теории.

Аналогичной точки зрения придерживаются авторы [15], которые утверждали, что для биологических тканей модели с полиномиальными или экспоненциальными формулами лучше других соответствуют экспериментальным данным. Совместно с C. Wex. et al. [10] и P. Martins et al. [16] они отмечали, что на эффективность модели при подгонке к экспериментальным данным значительное влияние оказывает не только выбор модели, но и количество параметров. Этот факт действительно имел место при анализе гиперупругих свойств придатков кожи (волос человека) с помощью 2-, 3-, 5- и 9-параметрических моделей Муни - Ривлина [17]. Определяющее соотношение для наиболее популярной и простой 2-параметрической модели Муни -Ривлина:

W = С ю( 1 1 - 3) + С оД 1 2 - 3),           (8)

а уравнение «напряжение - деформация» при одноосном растяжении:

• ст 2 p = 2 С _ш( 1- Зу) + 2 С 01 (1 - Зу ).        (9)

λλ

Однако полной ясности в вопросе, какую гиперупругую модель использовать в моделировании, пока нет. Такого же мнения авторы Hong He et al. (2021) [18], которые отмечали, что хотя гиперупругие модели изучаются уже почти 80 лет, выбор той, которая точно описывает механический отклик биологических тканей, по-прежнему является проблемой. Также считают Кучумов А.Г. и соавт. [19], в детальном исследовании молочной железы констатировавшие, что в литературе предложено большое количество гиперупругих моделей для имитации поведения мягких биотканей, однако по-прежнему отсутствует универсальная математическая модель, способная точно воспроизвести механические свойства тканей при различных условиях.

Несколько худшие показатели, чем полиномиальная, продемонстрировали 3-параметрические гиперупругие модели Йео и Веронда - Вестманн, определяемые соотношениями:

n w = £ с,( 11 - 3), i=1

W = С[ec2<11 -3) -1] + С3(I2 -3).(11)

соответственно и, с другой стороны, описываемые зависимостями «напряжение - деформация»

1, 2

ст = 2( 1- -)[ С 1 + 2 С ₂( 1² + - - 3) +

λλ

А 2

+3С3(12 + - - 3)2];(12)

λ ст = 2ССе2(12+21-1 -3)(1-1-2) + 2С3(1-1-3) . (13)

Модель Йео (10), (12) является редуцированной формой полиномиальной модели (6), (7) и зависит только от первого инварианта деформации I1 [20]. Модель Веронда - Вестманн (11), (13) относится к классу моделей, основанных на инвариантах и содержащих экспоненциальную функцию [21]. Формула (13) следует из формулы (11) с учетом (3) и (4) и поскольку dW = С1С2 еС2 11 -3), dW = С3,      (14)

∂I∂I следует отметить, что усредненные показатели аппроксимации результатов испытаний гиперупругими моделями составили: SD = 5,162 кПа, Л = 8,987 кПа, 5 = 9,25 %, R = 0,988 (средний рейтинг 6,22), формально определенными - SD = 9,770 кПа, Л = 17,214 кПа, 5 = 17,73 %, R = 0,978 (средний рейтинг 8,75), то есть качество подгонки формально определенными моделями экспериментальных данных несколько ниже. Заметим, что самые низкие показатели подгонки продемонстрировали среди гиперупругих моделей модели неогуковская, Арруда - Бойс и Гента. Именно эти модели заметно снизили общий рейтинг гиперупругих моделей среди всех рассмотренных деформационных моделей.

Кривая 2-параметрической феноменологической модели Муни - Ривлина от 1 = 1,00 до 1 = -C₀₁ / C₁₀ = 1,02, рассчитанной без физических ограничений, испытывает изгиб в сторону снижения напряжения, что говорит о механической неустойчивости модели при малых деформациях и не соответствует деформационному поведению реальных биологических тканей [22]. Действительно в модели Муни - Ривлина начальный модуль Юнга E 0 = 6 (C 01 + C 10 ) = -60,72 кПа < 0, то есть критерий устойчивости Хилла - Друкера E = до / де >0 [23; 24], накладывающий ограничение на материальные константы моделей, во всем интервале деформаций модели не выполняется. Это ограничивает применение данной модели ПЖ во всем интервале деформаций, рассчитанной без физических рестрикций.

Остановимся также на необходимости явного указания области применимости модели Гента для анализа деформационных свойств ПЖ. В ее основе лежит идея, что отдельные сегменты в полимерной или эластинколлагеновой матрице не могут растягиваться беско-

ОО опытные данные

неогуковская Муни-Ривлина

Огдена полиномиальная

• - - Йео

• -    - Веронда-Вестманн

— Фанга

— Арруда-Бойс

— Гента

-- экспоненциальная

-- линейная

-- билинейная

--трилинейная

Рис. 1. Экспериментальные данные и модельные кривые ПЖ

неогуковская Муни-Ривлина Огдена полиномиальная

• •    -- Йео

— Веронда-Вестманн

— Фанга

— Арруда-Бойс

— Гента

--экспоненциальная

--линейная

--билинейная

--трилинейная

Рис. 2. Поведение упругих модулей моделей ПЖ нечно. В феноменологическом виде это реализуется через специальный потенциал энергии деформации. Ключевая специфика модели: функция плотности энергии деформации имеет особенность (то есть резко меняет крутизну кривой «напряжение - деформация»), когда первый инвариант левого тензора деформации Коши -Грина достигает предельного значения. В модели Гента «запирает» растяжение в 11 = Jm + 3 параметр Jm [25]. То есть при одноосном растяжении с параметром Jm = 0,37 (табл. 1) сингулярность напряжений возникает при ~ 40 % деформации.

Упругие модули и физическая реалистичность деформационного поведения

Представляет интерес поведение упругих модулей, предсказываемое моделями. Из рис. 2 (общий график) и рис. 3 (отдельные графики моделей) следует, что оно крайне вариабельно. Наименьший коэффициент вариации CV (не считая, естественно, линейной модели, для которой CV = 0) у модели Арруда - Бойс (0,39) и неогуковской (0,43), наибольший (2,23) - у микромеханиче-ской модели Гента.

Кроме того, в норме упругие модули мягких биологических тканей положительны и удовлетворяют критерию устойчивости Хилла - Друкера E >  0, а также ин-крементальны (монотонно возрастают с деформацией dE / д^ > 0). В этом случае график л(Г) вогнут по форме и имеет характерный для тканей J -вид.

Этот феномен обусловлен эластин-коллагеновым механизмом деформаций в биотканях, когда относительно жесткие, изначально волнистые волокна коллагена, растянувшись, «включаются» в процесс деформации, начиная с некоторого критического значения ^кр, а до этого момента «работает» только относительно податливый эластиновый матрикс [26].

б

EOG(t)

в

^E pol ^(t)

д

EVW ( t)

е

з

и

E EXP (t)

E (t)

tr 400

1.1

1.2

1.3

м рис. 3. упругие модули моделей пж: а – неогуковской, б – муни – ривлина, в – огдена, г – полиномиальной, д – йео, е – веронда – вестманн, ж – фанга, з – арруда – бойс, и – гента, к – экспоненциальной, л – линейной, м – трилинейной, н – билинейной. По оси абсцисс – коэффициент растяжения λ, ординат – упругие модули моделей E, кПа

Таблица 3

Рейтинг моделей по физически ожидаемому поведению модуля упругости

Модель	Рейтинг 2 – E (λ)	Модель	Рейтинг 2 – E (λ)
Неогуковская	4	а рруда – б ойс	4
м уни – р ивлина	5	Гента	1
Огдена	1	Экспоненциальная	1
Полиномиальная	4	Линейная	3
Йео	4	Трилинейная	2
в еронда – в естманн	4	Билинейная	2
Фанга	1	-	-

Как видно из рис. 2 и 3, описанным характеристикам удовлетворяют не все модели. Монотонно возрастают только кривые зависимостей E(λ), соответствующие гиперупругим моделям: Огдена, Фанга, Гента, а также одной из формально определенной – экспоненциальной модели.

Другие модельные кривые либо уходят в отрицательную область (неогуковская), либо имеют точки перегиба и участки с разными направлениями изменения – модели полиномиальная, Йео и Веронда – Вестманн. Модули упругости кусочно-линейных моделей (би- и трилинейной) возрастают при деформации, но ступенчато. Модуль упругости линейной модели, конечно, постоянен по величине.

В соответствии с рассмотренными критериями по степени близости упругих модулей моделей к реальному поведению биологических тканей деформационные модели получили соответствующий по данному признаку ранг (табл. 3).

Подводя итог данному разделу, можно сказать, что рейтинг 2 рассмотренных моделей изменился по сравнению с рейтингом 1: физически ожидаемое поведение модуля упругости предстательной железы описывают гиперупругие модели: Огдена, Фанга и Гента и формально определенная экспоненциальная. В связи с этим возникает вопрос: какие модели считать наиболее пред-

Таблица 4

Характерные значения упругих модулей ПЖ

Модель Упругие модули, кПа E0 Emin Emax Emean Неогуковская 362,786 238,168 362,786 290,527 муни – ривлина -60,762 -60,726 650,248 381,359 Огдена 153,475 153,475 856,983 392,459 Полиномиальная 70,908 29,589 583,693 355,616 Йео 20,153 20,153 596,539 353,011 веронда – вестманн 7,256 1,445 559,609 361,951 Фанга 208,429 203,548 966,63 396,836 арруда – бойс 311,51 290,079 416,727 323,287 Гента 239,387 230,369 1116 396,727 Экспоненциальная 139,49 139,49 843,702 391,443 Линейная 306,926 306,926 306,926 306,926 Билинейная 0,096 0,096 844,278 391,395 Трилинейная 0,096 0,096 844,278 391,438 почтительными для практического применения – те, которые лучше аппроксимируют экспериментальные данные, или те, которые дают физически более ожидаемое поведение модуля упругости. Авторы считают, что этот аспект нужно рассматривать как метод выбора в зависимости от задачи, решаемой биомеханиками в каждом конкретном случае.

Также были вычислены и сведены в таблицу характерные значения упругих модулей моделей (табл. 4) – начальное, минимальное, максимальное и среднее.

Максимальные значения упругих модулей E max в таблице одного порядка с определенными в [6], где в 9 срезах ткани простаты, взятые параллельно, и в 9 срезах, взятые перпендикулярно уретре, средний касательный модуль составил (450 ± 77) кПа и (560 ± 180) кПа соответственно. Наибольшие отличия от этих литературных значений наблюдались у гиперупругих моделей Фанга и Гента. Усредненный средний упругий модуль моделей Emean мало зависел от их типа и составлял < Emean > = (364,07 ± 36,54) кПа ( M ± SD ).

Заключение

• 1.    Рассчитаны параметры гиперупругих феноменологических и микромеханических, а также формально определенных моделей предстательной железы с фиброзными изменениями, что согласуется с современными исследованиями в этой области [27–30].

• 2.    Выполнен сравнительный анализ большого набора аппроксимирующих зависимостей на одном массиве экспериментальных данных, ранжируя их по способности воспроизводить экспериментальные данные. С точки зрения способности аналитически характеризовать механическое поведение биологических тканей предстательной железы рекомендованы феноме-

• нологические модели полиномиальная, Йео и Веронда – Вестманн.

• 3.    Из-за потери механической устойчивости не рекомендуется применять 2-параметрическую модель Муни – Ривлина, рассчитанную без физических ограничений E = ∂σ/∂ε > 0, в недеформированном состоянии и при небольших деформациях. При анализе одноосного растяжения с помощью модели Гента с параметром Jm = 0,37 сингулярность напряжений возникает при ~ 40 % деформации.

• 4.    Типичный для биотканей характер зависимостей модулей упругости биологических тканей от деформации демонстрируют модели: феноменологические Огдена, Фанга, микромеханические Гента и формально определенная экспоненциальная модель.

• 5.    Предложена возможность 2-вариантного ранжирования деформационных моделей по точности аппроксимации и близости поведения упругих модулей к таковому у реальных биологических тканей ( J -виду).

• 6.    Полученные в работе результаты по анализу качества аппроксимации оцифрованной одноосной зависимости с помощью ряда гиперупругих моделей после проверки физической допустимости параметров, согласованности мер напряжений, устойчивости моделей и валидации на независимых режимах деформирования могут быть использованы в практических целях при создании физических моделей и конечноэлементном моделировании биологических тканей ПЖ.