Гладкие решения некоторых линейных функционально-дифференциальных уравнений

При исследовании математическими методами процессов, происходящих в различных областях науки и техники, во многих случаях в качестве математических моделей таких процессов используются функционально-дифференциальные уравнения. Наиболее исследованными являются линейные функционально-дифференциальные уравнения (ЛФДУ) [1–3]. При изучении решений начальной задачи для таких уравнений широкое распространение получил метод последовательного интегрирования (метод шагов), при котором на начальном множестве, равном запаздыванию, тем или иным способом задается начальная функция. В этом случае решение ЛФДУ сводится к решению последовательности задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений без отклоне-

ния аргумента. И если полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения удовлетворяют условиям существования единственного решения начальной задачи (например, теореме Пикара), то и решение исследуемого ЛФДУ будет единственным. С другой стороны известно, что, как правило, в точках стыковки решений, т.е. в точках, кратных запаздыванию, решение имеет разрывную производную.

Показано, что если для ЛФДУ запаздывающего типа гладкость решения в последующих точках стыковки возрастает, то для ЛФДУ нейтрального типа разрыв производных сохраняется во всех следующих точках стыковки решений. Это свойство нарушения гладкости решений в точках, кратных запаздыванию, является специфической особенностью ЛФДУ.

В связи с этим достаточно важной является задача изучения класса начальных функций, которые порождают решения исследуе- мого ЛФДУ, обладающего в точках, кратных запаздыванию, необходимой гладкостью. В свою очередь это позволит корректировать начальную функцию, которая для конкретной прикладной задачи выбирается исходя из априорной информации или находится экспериментальным путем и не является достаточно точной, так, чтобы решение в точках стыковки имело необходимую гладкость.

С этой целью в данной работе применяется метод полиномиальных квазирешений [4– 6], который был разработан для исследования начальной задачи с начальной точкой для ЛФДУ различных типов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим начальную задачу с начальной функцией для следующего линейного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа:

j>(t) = a (t)y (t - 1) + b(t)y (t / q) + f (t), q > 1, t e [0, м);(1)

У(t) = g(t), t e [-1,0],            (2)

где

g(t) e C' [-1,0], a(t) = a0 + ^t, b (t) = b0 + b1t,              (3)

F f (t) =z fntn.

n = 0

Сформулируем задачу о гладких решениях: определить условия существования и способы нахождения начальной функции g ( t ) , t e [ - 1,0] , такой, что порождаемое ею решение начальной задачи (1)–(4) обладает в точках, кратных запаздыванию, необходимой гладкостью.

Покажем, что эта задача может быть решена на основе метода полиномиальных квазирешений.

N

x(t) = ^xntn,   t e R.

n = 0

NNN

x( t) = g nxntn-1, x (t -1) = g xn (t -1)n = g xnt, n=0                           n=0

N

x(t / q) = X xntn,(7)

n=0 q где x. = xn + g Cn+x.+i, n = 1.Л I. xN = xn . (8) i=1

Здесь C, = ( - 1) ^q C^q_p, C q =---- p!

p ’ ^{p p} q !( p - q )! биномиальные коэффициенты.

При подстановке полиномов (6) и (7) в уравнение (5) возникает некорректность в смысле размерности полиномов. Так, производная x ( t ) имеет размерность N - 1 , слагаемые a ( t ) x ( t - 1) и b ( t ) x ( t / q ) имеют размерность N + 1 , а f ( t ) - размерность F .

С другой стороны, для того чтобы последний коэффициент x_N в (6) определялся последним коэффициентом f_F в (4), необходимо, чтобы в формуле (6) N = F + 1. В этом случае в (1) слагаемые a ( t ) x ( t - 1) и b ( t ) x ( t / q ) будут полиномами степени F + 2 .

Полагая в (4) N = F + 1 , определим функцию f ( t ) виде

_             N + 1

f ( t ) = f ( t ) +Д ( t ) = g f n t n ,       (9)

n = 0

где f_n = f_n n = 0, N - 1, а невязка A ⁽ t ) = f_Nt^N + ^fN + 1 tN ^{+ 1} , f_N и f_N + 1 ^{- неиз} вестные коэффициенты.

С учетом введенных обозначений рассмотрим начальную задачу

x ( t ) = a ( t ) x ( t - 1) + b ( t ) x ( t / q ) + f ( t ), q >  1, x (0) = x ₀.             (10)

Определение 1 . Задачу (10) будем называть согласованной по размерности полиномов относительно задачи (5).

Подставляя (6) и (7) в (5), методом неопределенных коэффициентов получаем

^ 1 = a 0 x o + b o x 0 + f , 1 x nx„ = V ( ax„ 1 i + b n 1 i ) + f 1 , 2 - n - N ;

n              i n-1- i i n—1— i' nn-1’’ i=0

0 = V ( ax_n 1 i + bx— ) + f 1 , n = N + 1, N + 2.

Zo

( 11 ) Отметим следующее

Замечание 1. Поскольку степень полинома x ( t ) равна F + 1 , это позволяет выбрать степень полинома f ( t ) в (4) в зависимости от желаемой степени полинома x ( t ) , добавляя к f ( t ) соответствующее число нулевых членов.

Определение 2. Если существует полином степени N = F + 1

N

x ( t ) = ^ x_ntⁿ, t e R,         (12)

n = 0

тождественно удовлетворяющий начальной задаче (10) , то этот полином будем называть полиномиальным квазирешением (ПК-решением) задачи (5).

Теорема, устанавливающая условия существовании ПК-решений начальной задачи (5), приведена в [6].

• 3.    Гладкие решения ЛФДУ

Вернемся к начальной задаче (1)–(2), которую перепишем в виде y (t) = a (t)y (t — 1) + b(t)y (t / q) + f (t), q > 1, t e [0, ^);

y(t) = xN(t), t e [—1,0], где

N xN (t) = £ xNtn(15)

n = 0

– полиномиальное квазирешение степени N начальной задачи с начальной точкой (5).

Теорема 1. Пусть для начальной задачи (13)–(14) начальная функция представляет собой полиномиальное квазирешение x^N ( t ) начальной задачи (5).

Тогда решение задачи (13)–(14) на отрезке [0, T ], T >  1 , порождаемое этой начальной функцией, имеет в точках стыковки решений непрерывные производные не ниже порядка N .

Доказательство. На первом шаге для t e [0,1] с учетом начального условия (14) получаем y (t) = a (t) Xn (t — 1) + b (t) Xn (t / q) + f (t), q > 1, t e[0,1].            (16)

Поскольку согласно (3), (4), (6) и (7) правая часть уравнения представляет собой полином степени N + 1 , данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя это уравнение, находим решение в виде полинома

N + 2

y ( t ) = E y n t n .            (17)

n = 0

Для нахождения коэффициентов yn подставим (3), (4), (6) и (7) для xn = xN в (16). Собирая слагаемые при одинаковых степенях t, приходим к рекуррентной формуле y1 = a 0XN + b0 xN + f), nyn = У (axN, t + b, n—1—i) + fn ,, 2 - n - N + 2. X n          V i n — 1—i i n—1—i s n — — 1’ i=0

Из сравнения формул (11) и (17) следует, что yk = xN, k = 1л.

Так как из (15) и (17) вытекает, что при t = 0

N   ( x^N (0)) ^{( n )}            y (0) ^{( n )}

xn           I и yn1

n!

из (19) следует, что в точке t = 0 стыковки начальной функции x^N ( t ) и порождаемого решения y ( t ) имеет место равенство производных

y⁽ⁿ ) (0) = ( x^N (0)) ^{( n} ) , n = 1, N .

Для исследуемого ЛФДУ запаздывающего типа (1) это означает, что в последующих точках стыковки решений t = 1,2,... гарантировано существование N непрерывных производных у порождаемого решения y ( t ) . □

• 4.    Численный эксперимент

Рассмотрим начальную задачу с начальной точкой для функционально-дифференциального уравнения

X(t ) = (1 + 1 / 2) x ( t — 1) + (1 + 1 ) x ( t / 2),

x (0) = 1, t e R.            (20)

Определим ПК-решение в виде полинома x N ( t ) = i>y . n = 0

Тогда, согласно определению 1, запишем начальную задачу, согласованную по размерности полиномов.

x ( t ) = (1 + 1 / 2) x ( t - 1) + (1 + 1 ) x ( t / 2) +

+ f_Nt^N + f N ₊ 1 t^{N + 1} , x (0) = 1.

В этом уравнении с учетом замечания 1 и формулы (9)

f ( t ) = L f.t’ , f. = 0, n = 0, N - 1, n = 0

a f_N и f_{N +} i — неизвестные коэффициенты, которые определяют невязку в виде

Д ( t ) = f_Nt N + f_{N +} 1 t^{N + 1} .

Приведем результаты вычислений ПК-решений задачи (20) и соответствующих им невязок начальной задачи, полученные в [6], для N = 4,5,6.

x ⁴( t ) = 1 + 1.3400 t + 1.0213 t ² + 0.4600 t ³ + 0.1187 t ⁴, Д ₄( t ) = - 0.2356 1 ⁴ - 0.0669 1 5 .

x ⁵ ( t ) = 1 + 1.3513 t + 1.0149 1 ² + 0.4321 t ³ + 0.1598 t ⁴+ + 0.0400 1 ⁵,

Д 5 ( t ) = - 0.0311 t ⁵ - 0.0213 t ⁶.

x ⁶( t ) = 1 + 1.3508 1 + 1.0189 1 ² + 04310 1 ³ +

+ 0.1598 t ⁴ + 0.0400 1 ⁵,

Д ₆( t ) = - 0.0148 t ⁶ - 0.0023 t ⁷.

Исследуем теперь начальную задачу с начальной функцией для уравнения (20), которую запишем в виде

y ( t ) = (1 + 1 / 2) y ( t - 1) + (1 + 1 ) y ( t /2), t e [0, « ) y ( t ) = x ⁴( t ), t e [ - 1,0],

(21) где x ⁴ ( t ) – ПК-решение 4-й степени.

Подставляя в (20)

x ⁴( t - 1) = 1 + 1.3400( t - 1) + 1.0213( t - 1) 2 +

+ 0.4600( t -1)3 + 0.1187(t -1)4, x4(t /2) = 1 +1.3400(t / 2) +1.0213(t / 2)2 +

+ 0.4600( t /2)³ + 0.1187( t /2) 4

и проводя преобразования относительно переменной t, приходим к уравнению y (t) = 1.3400 + 2.04261 +1.380012 +

' + 0.4748 1 ³ + 0.1762 1 ⁴ + 0.0668 1 ⁵.

Поскольку x (0) = 1, интегрируя, получаем y (t) = 1 +1.34001 +1.021312 + 0.460013 +

+ 0.1187 1 ⁴ + 0.0352 1 ⁵ + 0.0111 t ⁶.

Сравнивая ПК-решение x ( t ) , определенное для t e [ - 1,0] с решением y ( t ) , определенном для t e [0,1] , приходим к выводу, что при t = 0 в точке стыковки начальной функции и порождаемого решения имеет место равенство производных, т.е.

d(x4(t))n _ dyn (t) dtn = dtn для n = 1,4.

Следовательно, в последующих точках стыковки решений t = 1,2,... гарантировано существование N непрерывных производных у порождаемого решения y ( t ) .