Голографическая дуальность и интегрируемость

AdS/CFT дуальность устанавливает эквивалентность теории в балке с гравитацией и суперсимметричной калибровочной теории Янга-Миллса на границе [1], [2]. Существует ли некий голографический аналог дуальности для dS вселенной? Эта задача оказалась весьма сложной и до сих пор общепринятое решение отсутствует. Например, известно, что попытка наивно использовать голографический принцип и принцип дополнительности для космологического горизонта событий, приводит к серьезным противоречиям и парадоксальным выводам [3]. Кроме того в [4] доказана теорема no-go, из которой следует, что полный набор симметрий геометрии де Ситтера не совместим с конечной энтропией области ограниченной горизонтом событий. Отсюда обычно делается вывод, о том что время жизни вселенной в dS фазе не должно превосходить время возврата Пуанкаре для этой области [5].

Попытка решить проблему предпринята в [6]. Известен факт метастабильности всех вакуу-мов с положительной плотностью в ландшафте, что вкупе с инфляцией приводит к заселению инфлюирующего вакуума пузырями заполненными более низкоэнергетичными вакуумами. Это происходит благодаря квантовому туннелированию, в амплитуду которого наибольший вклад дают инстантоны [7], [8]. В свою очередь, инстантоны обладают симметрией двумерной конформной группы (изоморфной SO(3,1)), что и позволило авторам [6] предположить следующее: весь ландшафт закодирован в Q (двумерная конформная группа — бесконечномерна). Так возникает нетривиальная реализация dS/CFT соответствия. Оказывается, эта конструкция может допустить дальнейшее развитие, основную идею которого мы представим в следующем разделе.

1. dS/CFT и интегрируемые иерархии

Мы используем два важных свойства. Во-первых, двумерная конформная группа тесно связана с интегрируемыми иерархиями, допускающим и представление нулевой кривизны. Например, используя калибровочные потенциалы из SL(2,R), можно построить нелинейное уравнение Шрёдингера (NLS), уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) и синус-Гордон, а также уравнения Дэви-Стюартсона (DS) и Кадомцева-Петвиашвили (КР) (см. например [9], [10]), в то время как из SL(3,R) выводится уравнение Буссинеска [11].

Более конкретно: используя представление нулевой кривизны (ПНК), можно построить тензор энергии-импульса конформной двумерной теории поля и наоборот — стартуя с бесшпурового тензора энергии-импульса можно сформулировать представление нулевой кривизны. ПНК играет роль пары Лакса и все известные нелинейные интегрируемые уравнения (включая немногочисленные известные примеры в (1 + 2)) могут быть записаны в форме таких представлений. Таким образом, оказывается, что существует нетривиальная формулировка двумерной конформной теории в виде системы интегрируемых иерархий записанных в форме представления нулевой кривизны. Это обстоятельство может рассматриваться, как забавный математический артефакт, но в действительности такая формулировка позволяет увидеть не очевидные, в рамках обычного подхода, связи.

Во-вторых, в процитированных выше работах показано, что представления нулевой кривизны можно получить из самодуального уравнения Янга-Миллса (СУЯМ). В частности, КП (и DS) можно получить из СУЯМ с группой SL(2,R) в пространстве с размерностью (3+3). Следует подчеркнуть, что в высших измерениях, задача построения самодуальных согласованных уравнений становится весьма нетривиальной. В четырех измерениях самодуальность определяется через соответствующий символ Леви-Чивиты, однако при D > 4 это очевидно не так. Поиск соответствующего тензора - аналога являлся предметом интенсивных математических исследований. Скажем, в случае размерности (3+3) известны два способа определить самодуальность. Первый:

а” = 2J[““,]F 也， где антисимметричный тензор J呻 определяется соотношением J 呻=〃/g“，а процедура антисимметризации

J[H"Jpb] = l/3(^JH"^Jpb - ^J NpJ"b + ^JH" ^J“ ) .

Второй имеет вид

% = - ( J“^pJ 『 +2J " ^p^ ) Fp 「

Можно показать, что последняя формула следует из условия интегрируемости линейного уравнения

(鉱 + Jj )0" ^ = 0, где 3 — проігзволыіая (функция в некотором представлсіпш калибровочной группы Янга-Миллса. калибровочная ковариантная производная равна。丛=д^ — Лд, и мы работаем в пространстве сигнатуры (3, 3), используя спинор Майораны-Вейля и некоторые специальные для этого случая матричные тождества для 7-матриц которые не будем здесь приводить.

Возвращаясь к нашей задаче, можно ожидать, что если компактифицировать два "лишних времени” ， то получается фактически (1+3) ЯМ. Но разумеется, проблема компактификации в этом случае становится нетривиальной. В традиционном подходе, метод размерной редукции является обобщением теории Калузы-Клейна и означает следующую последовательность действий: вначале строится лагранжиан с размерностью D > 4. Вакуумное решение задается в виде прямого произведения 冗 3,1 х К^_-4, где К^ - 4 — компактное многообразие с локальной размерностью D — 4. На третьем шаге, в виде раз/хжетшя по гармоникам этого мпогообра ： зия. с к () з ( ] )( ] ) ші,ііента-ми зависящими от координат ^3,1 строятся все полевые величины теории, после чего выполняется интегрирование по остальным координатам, что дает (эффективный) (3+1) лагранжиан. В нашем случае, многообразие зависит от двух дополнительных времен и финальный лагранжиан оказывается содержащим ^t^фaнтoмы^^ - поля с отрицательными кинетическими членами, нарушающими унитарность. Это означает, что нам необходим другой вариант метода размерной редукции. Интересный пример такого метода предложен И.А. Филановским в 1983 году [12]. Он рассматривал задачу построения конформно- инвариантной полевой теории в (3+1) путем размерной редукции из теории в (4+2) с группой симметрии SO(4,2), изоморфной конформной группе в (3+1). Для решения проблемы "фантомов" (Филановский называл их "духами” ) автор предложил новый метод размерной редукции. Суть идеи: в пространстве с размерностью D + 2 с коордипатами т^л вводятся новые координаты £°, со = 0, 1 ..., D —1, А и ХА. Поля полагаются независимыми от R, но однородными функциями от переменной А со степенью однородностью п. Наконец, фиксируется величина п. а лагранжиан проектируется на конус R = 0 (можно пока ： зать. что 'эта. прон.едура непротиворечива и не приводит к появлению сингулярных слагаемых). Главный итог заключается в том, что после проведения всех этих процедур, в четырехмерном лагранжиане вместо духов появляются нераспространяющиеся поля, с нулевыми кинетическими членами. Разумеется, это верно только на массовой оболочке: первые квантовые поправки восстанавливают ''бантомн” ， но их вклад существенен лишь на малых расстояниях, например, на планковских, если речь идет о лагранжиане содержащем гравитацию, т.е. в области гипотетической пены Уилера, где нарушение унитарности интерпретируется, как нарушение причинности. В качестве простейшего примера можно рассмотреть уравнения Максвелла в пространстве R32, ^с лагранжианом — (1/4)F ^b F ^ab. Как показано в [12] в результате редукции остается одно векторное поле с максвелловским лагранжианом и два нераспространяющихся скалярных поля.

Таким образом, идея состоит в использовании не просто двумерной конформной теории поля, а теории интегрируемых иерархий для реализации соответствия dS/CFT, причем dS оказывается дуально СУЯМ (без гравитации), но только более высокой размерности, в отличие от AdS/CFT.

Заключение

Первое очевидное затруднение в применении этих идей, заключается в том, что метод размерной редукции Фил айовского уменьшает за шаг размерность на два, причем речь идет о пространственной и временной переменной, а нам необходимо, чтобы это были две временные переменные. Это означает, что описанный метод необходимо модифицировать. В частности, перед введением новых переменных и редукцией на конус следует выполнить виковский поворот по одной из временных переменных. Модифицированный таким образом метод Фил айовского будет описан в отдельной работе. Отметим только, что непосредственное применение метода Фил айовского к са-модуальной модели в (3+3) по видимому приводит к моделям (2+2), что может оказаться интересным в теории интегрируемых иерархий, поскольку позволит установить (возможно) новые связи между (1+2) и (1 + 1) интегрируемыми иерархиями. Этот вопрос также будет изучен в отдельной работе.

Вторая проблема в реализации описанной выше идеи заключается в том, что число интегрируемых иерархий вообще говоря бесконечно, количество же dS вакуумов — наоборот, конечно. Это означает, что описанная кодировка ландшафта интегрируемыми иерархиями теоретически осуществима, если существуют нетривиальные связи, позволяющие унифицировать большую часть интегрируемых моделей. Вопрос об унификации интегрируемых иерархий уже ставился в ряде работ (см. например [13], [14]), где использовался формализм одевающих цепочек дискретных симметрий. В частности, на этом пути удается показать, что уравнения КдФ, мКдФ, гиперболическое и эллиптическое уравнения Каладжеро - Дегаспериса, по сути являются аналогом уравнений Максвелла записанных в различных калибровках [13]. Более того, если строить не высшие, а низшие иерархии КдФ, то в этом списке оказывается и уравнение синус-Гордон. Другим примером является нетривиальная связь между НУШ и уравнением цепочки Тоды, реализуемая через симметрию Шлезингера [14]. Заметим, что НУШ, является первым уравнением в иерархии Абловица-Каупа-Ньюелла-Сегюра (AKNS):

「* 1 + % 学- 2320= 0,

I -，0打 + фхх - 2023 = 0, тогда как вторым уравнением оказывается модифицированное уравнение КдФ:

｛耽2 + ЗхХХ — 63ф3х = 0, ф均 + фххх - 63ффх = 0, а третьим - расщепленное уравнение Лакшманана - Фортескью - Даниела.

｛ ，少飴- Зхххх + 83ф3хх + 232фхх + 63хф + 433хфх - 63³ф² = 0, Тф% - фхххх + 83ффхх + 2ф²3хх + 63фх + 4ф3хфх - 63²ф³ = 0.

Легко убедиться, что все эти уравнения инвариантны относительно преобразования Шлезингера, причем если, скажем в системе НУШ обозначить 23ф 三 ％ то мы получаем два сопряженных линейных нестационарных уравнения Шредингера, которые генерят всю иерархию КП. Можно показать, что вся теория иерархии уравнений КП эквивалентна теории иерархии АКНС, что будет строго показано в отдельной публикации.