Голоморфные вырожденные группы операторов в квазибанаховых пространствах

Пусть U - банахово пространство, обозначим L е L (U ) банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на U и действующих в U . Отображение V • е C ( R; L (U )) назовем группой операторов, если

V^SV‘ = V^s + +

при всех t, s е R . Обычно группу операторов отождествляют с ее графиком { v t : t е R } . Группу

{vt: t е r} назовем голоморфной, если она аналитична во всей комплексной плоскости С , при чем (1) выполняется при всех t, s е С . Наконец, голоморфная группа {vt: t е R} называется вы- рожденной, если ее единица V0 является проектором в U .

Впервые голоморфные вырожденные группы операторов появились в [1] как разрешающие группы линейных уравнений соболевского типа (термин ввел в обиход Р.Е. Шоуолтер [2])

Lu = Mu                                 (2)

с (L, p)-ограниченным оператором M . Первая монография, посвященная голоморфным вырож- денным группам и полугруппам, а также вырожденным сильно непрерывным полугруппам вышла в свет в 2003 году [3]. К настоящему времени голоморфные вырожденные группы нашли применение в теории динамических измерений [4], в теории оптимального управления [5], при изучении дихотомий уравнений вида (2) [6, 7], а также при изучении вырожденных операторнодифференциальных уравнений высокого порядка [8]. Кроме того, теория вырожденных групп и полугрупп операторов была перенесена в пространства Фреше [9].

Уравнения вида (2) впервые начал изучать А. Пуанкаре, однако систематическое их изучение началось в середине прошлого века после основополагающих работ С.Л. Соболева (см. прекрас-

Келлер А.В., Голоморфные вырожденные группы операторов Аль-Делфи Дж.К. в квазибанаховых пространствах ный исторический обзор в [10]). Ныне уравнения соболевского типа - активно изучаемая область неклассических уравнений математической физики, и число монографий, посвященных им полностью [11] либо частично [12, гл. 6], растет лавинообразно.

Как известно [13, п. 3.11], квазибанаховы пространства ненормируемы, но метризуемы. Расхожим примером квазибанаховых пространств служат пространства последовательностей I q , q е (0,1). В работе [14] построены квазибанаховы пространства I т , q е (0,1) , т е R , 1 0 = I _q , которые названы квазисоболевыми . Именно этими пространствами мы воспользуемся для иллюстраций абстрактных результатов.

Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за плодотворные дискуссии и интерес, проявленный к данной работе, профессору Е.Ю. Панову за строгую, но конструктивную критику и доценту М.А. Сагадеевой за добросовестную правку рукописи.

• 1 . Относительно p-ограниченные операторы

Линеал U над полем R назовем квазинормированным, если на нем задана функция и |1 • 11: U ^ R со следующими свойствами:

• (i)    U |и || >  0 при всех и е U , причем _и|| и || = 0 точно тогда, когда и = 0 , где 0 - нуль линеала U ;

• (ii)    U || а и || =| а | u|| u || при всех и е U , V a e R ;

• (iii)    _и||и + v || <  C ( _и||и || + и ||v |I) при всех и , v е U , где константа C >  1.

Функция U || • || со свойствами (i)-(iii) называется квазинормой . В частном случае, когда C = 1, квазинорма U 11 • Ц называется нормой, а линеал U с нормой U 11 • || - нормированным. Ква-зинормированный линеал ( U , и |1 • 1|) метризуем [13, лемма 3.10.1], поэтому мы располагаем понятием фундаментальной последовательности {u k } с U : U^k - u j|^ 0 при k , l ^^ . Определим квазибанахово пространство как полный квазинормированный линеал.

Пример 1. Пусть { A _k } с R ₊ - монотонная последовательность такая, что lim A _k =+^ , а k ^^

q е R+. Положим m ℓq

( q

< +^ > .

и = { U k } с R : £ 1 A k ² | U k I I

к=1V         7

Линеал Im при всех т е R , q е R+ с квазинормой элемента и = {uk }е Iт m q

( “ ( т

II и || = У\А1\и_к\

V k=1V

q

q

является квазибанаховым пространством (при q е [1, +~ ) - банаховым). Заметим, что если q е (0,1), то в (iii) константа C = 2^{/ q} . Пространства I т названы в [14] квазисоболевыми .

Пусть (U, U11 • 11) и (F, F |1 • 11) - квазибанаховы пространства, линейный оператор L :U ^ F с областью определения domL = U назовем непрерывным, если lim Luk = L(lim uk) для любой k -^^         k -^^

сходящейся в U последовательности { u_k } с U . Заметим, что в данном случае линейный оператор L :U ^ F непрерывен точно тогда, когда он ограничен (т.е. отображает ограниченные множества в ограниченные). Обозначим через L (U ; F ) линеал (над полем R ) линейных ограниченных операторов - квазибанахово пространство с квазинормой

L ( U ; F )|| L || = SUP f\\^Lu\\ .

• II    и | 1= 1

Математика

Пусть операторы L , M е L (U ; F ). Следуя [1; 3, п. 2.1], введем в рассмотрение L -резольвентное множество      p ( M ) = { p е C : ( p L - M ) ^{- 1} е L ( F ; U ) }      и L -спектр

O L ( M ) = C \ p ( M ) оператора M . Рассуждая аналогично замечанию 2.1.2 [3], нетрудно показать, что множество p^L ( M ) всегда открыто, поэтому L -спектр o^L ( M ) оператора M всегда замкнут. Кроме того, если p ^L ( M ) Ф 0, то L -резольвента ( p L - M ) ^{- 1} оператора M голоморфна на p ^L ( M ) [3, теорема 2.1.1]. Назовем оператор M ( L, о )- ограниченным , если

Я а е R+ Vpе C (| p| > a) ^ (pе p (M )) .

Итак, пусть оператор M (L,о )-ограничен. Выберем контур у= {pе С :|p = r > а} и постро- им операторы

P =   J R ( M ) d p   и Q =   j X ( M ) d p ,

2 n i                 П

γγ где интегралы понимаются в смысле Римана. Заметим, что в силу голоморфности правой RLL (M) = (pL - M)-1 L и левой Lp (M) = L(pL - M)-1 L -резольвент оператора M, операторы P и Q не зависят от радиуса r контура у• Рассуждая аналогично доказательству [3, лемма 4.1.1], нетрудно показать, что операторы P е L (U) (=L (U; U)) и Q е L (F) - проекторы. Положим U0 = ker P, U1 = imP, F0 = ker Q, F1 = imQ ; и через Lk (Mk ) обозначим сужение оператора L(M) на Uk , k = 0,1.

Теорема 1 (теорема о расщеплении). Пусть операторы L , M е L (U ; F ), причем оператор M ( L, о )- ограничен. Тогда

• (i)    операторы L k , M k е L (U^k ; F^k ), k = 0,1;

• (ii)    существуют операторы L - ¹ е L ( F ¹; U 1 ) и M ₀ ^{- 1} е L ( F ⁰; U ⁰).

Идея доказательства теоремы излагалась на весьма представительном форуме [15]. Положим H = M 0 ¹ L ₀, S = L - ¹ M 1 . Очевидно, операторы H е L (U ⁰) и S е L (U 1 ).

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда при всех p е C : p >  а имеет место ∞∞

( p L - M ) ^{- 1} = - £ p^kH^kM о ¹ ( I - Q ) + £ p ^{- k}S^{k - 1} L - ¹ Q .

k = 1                           k = 0

Назовем точку ^ устранимой особой точкой L -резольвенты оператора M , если H = О ; полюсом порядка p , если Н^р ^ О , а H^{p + 1} = О ; существенно особой точкой , если H^k Ф О при всех k е N . Удобно устранимую особую точку считать полюсом порядка нуль. Назовем ( L, о )-ограниченный оператор M ( L , р )- ограниченным , р е {0} и N , если точка ^ - полюс порядка р L -резольвенты оператора M .

Вектор фе U назовем M - присоединенным вектором оператора L , если существует вектор уе U такой, что L y = M ф . Упорядоченное множество

{ ф k ^{: k е {0} и} N , ^L Ф k + 1 = ^M Ф k , Ф о ^{е ker L} } = { ф k ^{: k е {0} и} N } назовем цепочкой M - присоединенных векторов оператора L . Цепочка векторов может быть бесконечной, однако она обязательно конечна, если существует вектор ф _г е { ф _k : k е {0} и N } такой, что M ф _r ё im L . Мощность конечной цепочки назовем ее длиной. Напомним еще, что оператор L е L (U ; F ) называется фредгольмовым , если dim ker L = codimimL <^ .

Теорема 2. Пусть операторы L е L (U ; F ) фредгольмов . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• (i)    оператор M ( L , p )- ограничен , p е {0} и N;

• (ii)    длина любой цепочки M - присоединенных векторов оператора L не превышает p и существует по крайней мере одна цепочка длины p.

• 2. Разрешающие группы операторов

Доказательство теоремы 2 в общем случае довольно сложно (см. [3, гл. 4]), однако в частном случае p = 0 (т.е. оператор L не имеет M -присоединенных векторов) очень просто [7].

Пример 2. Введем в рассмотрение квазиоператор Лапласа с помощью формулы Л u = { A k u k }, u е I mm . Как нетрудно показать [16], оператор Л : I mm ^{+ 2} ^ I mm -топлинейный изоморфизм при всех m е R , q е R ₊ . Обратный оператор Л^{- 1} u = { A k u } назовем квазиоператором Грина .

Далее, построим операторы L = A-Л и M = аЛ , ае R . Покажем, что при всех ае R \{0} оператор M ( L ,0 )-ограничен. Если At { A k }, то утверждение тривиально. Если же A = A k при некоторых k е N (их обязательно конечное множество в виду монотонной сходимости A k ^ + ^то ), то утверждение следует из теоремы 2.

Пусть U и F - квазибанаховы пространства, операторы L , M е L (U ; F ). Рассмотрим линейное уравнение соболевского типа

Lu i = Mu .                                          (3)

Вектор-функцию u е C” (R; U) назовем решением уравнения (3), если она удовлетворяет ему. Решение u = u(t) уравнения (3) назовем решением задачи Коши u (0) = u о                                                (4)

для уравнения (3) (коротко, задачи (3), (4)), если оно вдобавок удовлетворяет условию Коши (4) при некотором u ₀ е U . Заметим, что вообще говоря, задача (3), (4) неразрешима при любых u ₀ е U , и для уравнений вида (3) приходится ставить другие задачи, например, с условием Шоуолтера-Сидорова L ( u (0) - u ₀ ) = 0 [4, 17].

Определение 1. Множество pc U называется фазовым пространством уравнения (3), если (i) при любом u ₀ ер существует единственное решение задачи (3), (4);

• (ii)    любое решение u = u ( t ) уравнения (3) лежит в р как траектория (то есть u ( t ) е р при всех t е R ).

Теорема 3. Пусть оператор M ( L , p )- ограничен , p е {0} и N . Тогда фазовым пространством уравнения (3) служит подпространство U ¹.

Приведем набросок доказательства . В силу теоремы 1 уравнение (3) эквивалентно системе из двух уравнений

Hi⁰ = u ⁰, u ¹ = Su 1 ,                                        (5)

где u0 = u0(t) е U0 и u1 = u 1(t) е U1 при всех t е R . Дифференцируя первое уравнение по t и применяя оператор H слева, последовательно получим p+1                   p

0 = H p ^{+ 1} d—^u ⁰( t ) = H^p—u ⁰( t ) = _ = Hu ⁰( t ) = u ⁰( t ). dt^{p + 1}               dt^p

Значит, все решения уравнения (3) лежат в U ¹ как траектории. Однозначная разрешимость задачи u 1 (0) = u 0 для второго уравнения (5) при любых u 0 е U ¹ очевидна в виду ограниченности оператора S е L (U 1 ) .

Пусть далее {v* : t е R } - вырожденная голоморфная группа операторов, а V ⁰ - ее единица.

Введем в рассмотрение образ im V * = im V ⁰ и ядро ker V * = ker V ⁰ этой группы. Назовем группу { v t : t е R } разрешающей группой уравнения (3), если, во-первых, вектор-функция u ( t ) = V*u ₀

является решением уравнения (3) при любом u ₀ е U , а во-вторых, образ im V • совпадает с фазовым пространством уравнения (3).