Гомотопическая инвариантность возмущений квантовых дифференциальных модулей

В данной работе вводится понятие возмущения квантового дифференциального модуля и устанавливается свойство гомотопической инвариантности возмущений квантовых дифференциальных модулей.

Напомним сначала, что дифференциальным модулем (X, cf) называется модуль X, рассматриваемый вместе с некоторым фиксированным отображением модулей d : X —> -> X, которое называется дифференциалом модуля X и для которого выполнено условие d² — dd = 0. Отображением J : (X, d) —> (У, d ) дифференциальных модулей называется отображение модулей f : X —► У, удовлетворяющее условию df = fd. Гомотопией между отображениями f, д ; (X,d) —> (Y,d) дифференциальных модулей называется отображение модулей h : X —> У, для которого выполнено равенство dh + hd= / — д. При помощи понятия гомотопии между отображениями дифференциальных модулей стандартно определяется понятие гомотопической эквивалентности дифференциальных модулей.

Возмущением дифференциального модуля (X,d) называется отображение модулей t : X -* X, для которого пара (X, d + t) является дифференциальным модулем, т. е. для отображения модулей d+t : X —> X выполнено условие (d + t)² = 0. Легко видеть, что это условие эквивалентно условию dt 4- td = — t²,

Напомним теперь [4], что квантовым дифференциалом модуля X называется семейство отображений модулей {d¹ : X —> X j i е 2, г >  0}, которые для каждого целого числа к > 0 удовлетворяют следующему соотношению:

^d'd^O. (1) i+j=k

Квантовым дифференциальным модулем (X, (Г) называется произвольный модуль X, рассматриваемый вместе с некоторым фиксированным квантовым дифференциалом {d* : X -> X} этого модуля.

Рассмотрим соотношения (1) для малых значений к > 0. При к = 0 соотношение (1) имеет вид d°d° = 0.

Это говорит о том, что пара (X, d °) является дифференциальным модулем. При к = 1 соотношение (1) принимает вид d1d° + d°d1 =0.

Другими словами, отображения d° и d1 являются антикоммутирующими. Из этого следует, что композиция d ld1 : X —> X является эндоморфизмом дифференциального модуля (X,d0).npHk= 2 соотношение (1) записывается в виде d°d2+d2d° = O-d1d1

Это означает, что отображение модулей d² : X —> X является гомотопией между нулевым отображением дифференциальных модулей и отображением дифференциальных модулей d^Yd^T : (X,d°) -> (X,d°). Таким образом, отображение модулей d¹ : X -+ X является дифференциалом с точностью до гомотопии.

Простыми нетривиальными примерами квантовых дифференциальных модулей служат модули, которые снабжены двумя антикоммутирующими дифференциалами. В самом деле, если задан произвольный модуль X с двумя антикоммутирующими дифференциалами d',d" : X —> X, то определен квантовый дифференциальный модуль (X, d¹), где d° = d', d¹ = d" и d^f = 0, г > 2.

Многочисленные примеры квантовых дифференциальных модулей можно получить отправляясь от конструкции дифференциального модуля с фильтрацией. Пусть над произвольным полем задан дифференциальный модуль (X, d) с возрастающей фильтрацией {Xn}, п > 0. Обозначим через Уп подмодуль модуля Хп, для которого Xй = У" ® X71-1 При помощи условия d(X") С X" определим отображение d„ : У" -4 У”~\ £ > 0 как компоненту дифференциала d : У" -> X" = Уп ф ... ф Yn-i ф ... ф У0.

Легко видеть, что семейство отображений {d* = ©*>0^ : X ^ X |г > 0} является квантовым дифференциалом модуля X, поскольку условие d2 = 0 в рассматриваемом случае эквивалентно соотношениям (1).

Морфизмом квантовых дифференциальных модулей f : (X, d*) —> (У, d^f) называется семейство отображений модулей У — {У¹ : X > У |г С Z, i > 0}, удовлетворяющих для каждого целого числа к > 0 следующему соотношению."

Е /v = £ d*p i+j=k       i+j=k

Рассмотрим соотношения (2) для начальных значений к > 0. При к = 0 соотношение (2) имеет вид f°d0 = d°f0, т. е. определено отображение дифференциальных модулей /° : (X,d°) —> (y,d°). При к = 1 соотношение (2) записывается в виде y°d1 — d]y° — d°fl — f1d°. Это означает, что отображение f1 : X -э У служит гомотопией между нулевым отображением и отображением У^1 - d1/0 : C^.d0) -> (y,d°), которое антикоммутирует с дифференциалами. Другими словами, отображение / 0 относительно d1 является с точностью гомотопии отображением дифференциальных модулей.

Композиция морфизмов У — {У*}:X —> У ид = {д*}:У->^ квантовых дифференциальных модулей определяется формулой

^Л'= £ gⁿ/^m:^-^ i>0. n 4*771—i

Непосредственные вычисления показывают, что семейство отображений модулей

9f = {(?/)’} является морфизмом квантовых дифференциальных модулей. Легко также проверяется, что операция композиции морфизмов квантовых дифференциальных модулей ассоциативна- Тождественным морфизмом 1х = {1%} Для квантового дифференциального модуля (X,d‘) служит семейство отображений 1х = {1х ^: ^ ^ -ХЪ где 1х — 0, 1> 0, и 1х ~ тождественное отображение модуля X. Таким образом, класс всех квантовых дифференциальных модулей и их морфизмов образует категорию.

Гомотопией между морфизмами /,g : (X,d’) —> (У, d¹) квантовых дифференциальных модулей называется семейство Л = {ft' : X —> У (г € 2, г > 0} отображений модулей, которые для каждого целого числа к > 0 удовлетворяют следующему соотношению:

J2 ^h⁵ + h^jdⁱ - f^k -д^к (3) г+з=к

Легко видеть, что отношение между морфизмами квантовых дифференциальных модулей, определяемое наличием гомотопии между ними, является отношением эквивалентности. При помощи этого отношения эквивалентности стандартно определяется понятие гомотопической эквивалентности квантовых дифференциальных модулей.

Важнейшими частными случаями понятия гомотопической эквивалентности квантовых дифференциальных модулей являются понятия сильной деформационной ретракции и SDR-ситуации квантовых дифференциальных модулей. Рассмотрим эти понятия более детально, поскольку они потребуются ниже. Пусть заданы произвольные квантовые дифференциальные модули ^X,d’^ и (Y^Y Кроме того, пусть заданы морфизмы квантовых дифференциальных модулей {^} : (X,d^l) ”(У, d‘) : {£*} и задана гомотопия {/г* : (ХЛ¹) -> (УЬ¹)}, для которых выполнены следующие условия:

Е ^ = (^)\ s+t=i

При выполнении дополнительных условий

52 ^=о, 52 K4^j = o, i+j=k            i+j = k

5 h/hd = 0, к > 0 указанная сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей называется SDR-ситуацией квантовых дифференциальных модулей.

Большое количество примеров SDR-ситуаций квантовых дифференциальных модулей можно получить при рассмотрении заданных над полем квантовых дифференциальных модулей и их гомологий относительно начальной компоненты квантового дифференциала. Действительно, пусть (X, d¹) — произвольный заданный над полем квантовый дифференциальный модуль, и пусть Я(Х) = Kerd°/Imd° - гомологический модуль дифференциального модуля (X, d°). Тогда, как показано в работе [1], на гомологическом модуле Н(Х) возникает квантовый дифференциал {d^ : Я(Х) -» Я(Х)}, где d° = 0, и, более того, возникает SDR-ситуация

(ЬП : (X,d‘)^ (Я(Х),^) : ЬЛЛО квантовых дифференциальных модулей. Квантовый дифференциальный модуль (Я(Х),^) называется гомологическим квантовым дифференциальным модулем заданного над полем квантового дифференциального модуля (Х,сГ). Указанная выше SDR-ситуация (bl) : (Х,^)^(Я(Х),4) : {£},(О называется гомологической SDR-ситуацией заданного над полем квантового дифференциального модуля (X, d’).

Определение. Возмущением квантового дифференциального модуля (X, d¹) назовем семейство отображений модулей {t¹ : X —э X | г € А г > 1, t° = 0}, которые для каждого целого числа к >  1 удовлетворяют следующему отношению:

Е dV + Е t*d’ = - ^ ft» (4) i+j=k i+j=k i+j=k

Рассмотрим соотношения (4) для малых значений к > 1. При к — I соотношение (4) принимает вид

dV + tV-o.

Это говорит о том, что отображения d° и f1 являются антикоммутирующими, т. е.

d°t1 — — ^d0 При к = 2 соотношение (4) записывается в виде d°t3 yt2d° = 0- (dV-HV + tt1)2)-

Таким образом, можно считать, что отображение модулей t¹ : X —> X является с точностью до гомотопии возмущением отображения d¹ : X —> X, которое, как было сказано выше, является дифференциалом с точностью до гомотопии.

Простейшие примеры возмущений квантовых дифференциальных модулей возникают в ситуации, когда задан произвольный модуль с двумя антикоммутирующими дифференциалами и, кроме того, задано любое дифференциальное возмущение одного из дифференциалов, которое антикоммутирует с другим дифференциалом. В самом деле, как было указано выше, модуль X с двумя антикоммутирующими дифференциалами d',d" : X —> X определяет квантовый дифференциальный модуль (X,d*), где d^D = d', d¹ = d" и d¹ = 0, i >  2. Если теперь задано дифференциальное возмущение t : X -¥ X дифференциального модуля (X,d^J), т. е. выполнено условие d^t + М¹ = — t², антикоммутирующее с дифференциалом d°, т. е. выполнено условие d4+td° = 0, то определено возмущение {t¹} квантового дифференциального модуля (X, d¹), которое задается формулами

^ = 0,? = <и^=0,>2.

Приведем примеры возмущений квантовых дифференциальных модулей, которые возникают при рассмотрении возмущений дифференциальных модулей с фильтрациями. Пусть над произвольным полем задан дифференциальный модуль с возрастающей фильтрацией {Xn}, d(Xn) С Хп, п > О и пусть задано дифференциальное возмущение дифференциального модуля (X,d), удовлетворяющее условию t(Xn) С X”-1, n > 1. Так же, как и выше, обозначим через Уп подмодуль модуля Хп, для которого Хп = У" $ X"-1. При помощи условия d(Xn) С Хп, как было ранее показано, определяется квантовый дифференциальный модуль (X, d'\ Теперь при помощи условия t(X") С X” 1 определим отображение tln : У" —> Уп-\ i > 1 как компоненту возмущения t:Yn-> Xй"1 = У^^-фУ^е-'-фУ0 Легко видеть, что семейство отображений {С : X -► X | г > 0}, где t° = 0,1 = ф„>0£, i > 1, является возмущением указанного квантового дифференциального модуля (Х,<Г), поскольку условие dt + td = —t2 в рассматриваемом случае эквивалентно соотношениям (4).

Установим теперь основные гомотопические свойства возмущений квантовых дифференциальных модулей. Для этого заметим, что задание некоторого возмущения {<Д квантового дифференциального модуля (X, d1) эквивалентно, как следует из соотношений (4), введению па модуле X нового квантового дифференциала

{P^tT+t^ieZ, i > 0}.

Поведение возмущений квантовых дифференциальных модулей при гомотопических эквивалентностях типа сильных деформационных ретракций описывается в следующем утверждении.

Теорема 1. Пусть задана произвольная сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей Ж} : ^X.d^^Y,^) : ^^ДНД) и, тфо-МС того, пусть задано любое возмущение {У : X —> X} квантового дифференциального модуля (X, d¹). Тогда на квантовом дифференциальном модуле (У, d^l) возникает возмущение ^t^l ; У —^ У}, определяемое формулами

Г = 0,

^ = 52 (^ ^tiA)^И-ж^j4^ik^ж, (5)

l

i> 1-

Более того, возникает сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей №*} : (,Х,<Г + t^Y,» + ?) : «‘},{Щ), которая задается следующими формулами:

^Ж, Г = Г+52 ^“^Ж^ЖЛЬ^Ж¹. г>1,     (6)

l

+?1+ '+>6 + 1=*

П^У = гЛ П^П^^, (^^Ч^^Ь-Ч^^)^¹- г>1,

б°^ГЛ h^h^^ (Ь^¹)^?²)-

.-ОТОТ/ОТ1, »>1         (8)

Если сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей