Градиентная модель нестационарной термоупругости для составного стержня

За последнее десятилетие термоэлектрические устройства на основе микро-электромеханических систем (МЭМС) [1–3] привлекли к себе значительное внимание в связи с достижениями в технологии микрообработки. Моделирование поведения состав-

(О 2026 Нестеров С. А.

ных стержневых микроразмерных конструкций имеет большое практическое значение для проектирования термоэлектрических устройств. Однако согласно экспериментальным данным в микроразмерных структурах проявляются тепловые и механические масштабные эффекты. Суть масштабных эффектов — зависимость термонапряженного состояния от особенностей микроструктуры и размеров тела [4–6]. Данные эффекты невозможно описать моделями классической термомеханики, у которых определяющие соотношения не содержат каких-либо масштабных параметров. Необходим уточненный термомеханический анализ составных конструкций на основе теории, учитывающей как тепловые, так и механические масштабные эффекты.

Рассмотрим обзор имеющейся на сегодня литературы, посвященный исследованию термонапряженного состояния микроразмерных тел. Для учета масштабных эффектов в настоящий момент применяют либо методы молекулярной динамики [7], либо модели обобщенной механики сплошных сред [8–32]. Наиболее распространенной моделью обобщенной термомеханики выступает градиентная термоупругость. Градиентная термоупругость, впервые предложенная в работе [8] в 1975 г., может рассматриваться как развитие идей градиентной теории упругости Тупина — Миндлина, примененных к термоупругим задачам. В этой модели плотность свободной энергии зависит как от деформации, так и от ее градиентов с множителями (градиентными параметрами). Такая градиентная модель подходит для учета механических масштабных эффектов.

Дальнейшее развитие термомеханики связано с построением обобщенных теорий, которые называются второй градиентной термоупругостью [9–14]. В этих теориях в основные уравнения для тензора напряжений и вектора теплового потока входят как градиенты деформации, так и градиенты температуры более высокого порядка. Мотивы введения эффектов градиента температуры в термомеханику вытекают из членов более высокого порядка в кинетической теории газа [15]. Как известно, напряжения более высокого порядка в градиентной теории Тупина — Миндлина иногда называют гипернапряжениями. По аналогии с гипернапряжениями Форестом в [9, 10] разработана термомеханическая теория, в которой постулировано существование обобщенных сил, называемых «гипертемпературой» или «гиперэнтропией». В этой теории плотность внутренней энергии по сравнению с классической теорией содержит квадраты энтропии и ее градиента. Данная теория в [12, 13] используется для исследования термомеханического поведения микронеоднородных композитов.

Большой вклад в развитие обобщенной термомеханики неоднородных структур внесли также работы научной школы Лурье [16–19]. Так в [18] на основе вариационного подхода дана математическая постановка для связанной стационарной термоупругости и сформулирована контактная граничная задача для рассмотрения неоднородных материалов. Сформулированы контактные граничные задачи для моделирования неоднородных материалов и построено решение для слоистой структуры. Показано, что учет дополнительного параметра связности градиентных полей деформаций и температур предсказывает появление быстро изменяющихся температурных полей и значительную локализацию тепловых потоков в окрестности фазового контакта в неоднородных материалах. В [19] рассматривается нестационарная проблема градиентной термоупругости, построенная с привлечением градиентных моделей теории упругости, в которых дополнительные модули упругости представляются в виде свертки тензоров четвертого ранга. Показано, что рассматриваемая модель сводится к системе градиентных волновых уравнений относительно температуры и объемных и сдвиговых потенциалов соответствующих волн с контактными условиями на межфазных границах, выраженными через классические и когезионные поля температуры и перемещений.

Дифференциальные уравнения градиентной термоупругости содержат масштабные параметры как множители при старшей производной. В случае малых значений масштабных параметров удобно получить приближенное асимптотическое решение таких задач, используя, например, метод Вишика — Люстерника [20]. Ранее метод Вишика-Люстерника был апробирован для решения динамических и статических задач классической теории упругости в [21], градиентной теории упругости однородных тел [22]. Исследованию задач градиентной механики для слоистых тел на основе метода Вишика-Люстерника посвящено небольшое количество работ [23–25]. Так, в [25] получены уравнения равновесия и граничные условия для составного цилиндра. После нахождения радиального распределения температуры решение для радиальных перемещений представлено в виде суммы решений задачи в классической постановке и дополнительных погранслойных слагаемых. Проведен сравнительный анализ термонапряженного состояния тел, рассчитанный в рамках классической постановки и градиентной постановки.

Кроме градиентной термоупругости для описания масштабных эффектов широко применяются и другие неклассические теории, например, нелокальная термоупругость и моментная теория упругости. В [26] получена нелокальная модель теплопроводности для наноразмерных объектов. Данная методика основана на учете вторых производных температуры в определяющем уравнении теплового потока высшего порядка. Общая двумерная краевая задача теплопроводности решается методом конечных элементов. Исследовано влияние теплового масштабного параметра на статическое распределение температуры слоя и цилиндра. В [27] модель нелокальной термоупругости с одним временем тепловой релаксации используется для рассмотрения поведения колебаний нанобалки Эйлера — Бернулли. Теплопроводность нанобалки предполагается зависящей от температуры. Вычислены распределения колебаний температуры, осевого смещения и изгибающего момента нанобалки. Исследовано влияние толщины и коэффициента теплопроводности, а также нелокального параметра. В [28] на основе теории термоупругости Лорда и Шульмана сформулированы уравнения термоупругости с нелокальной теплопроводностью. Данная модель применяется для изучения переходных реакций термоупругого стержня конечной длины при воздействии движущегося источника тепла. Для получения аналитических решений для полевых переменных используется метод преобразования Лапласа. Обратное преобразование Лапласа осуществлено численно на основе алгоритма Закиана. Особое внимание уделено изучению влияния теплового нелокального параметра на распределения полевых переменных и скорость движущегося источника тепла. В [29] нелокальная модель применяется для исследования переходного термовязкоупругого отклика наноструктурных материалов. Исследуется влияние нелокальности на переходный отклик в вязкоупругой пластине конечной толщины при внезапном тепловом ударе. Результаты показали, что нелокальная модель предсказывает более высокую скорость распространения тепла. Кроме того, нелокальный анализ предсказывает более высокие пиковые значения термических напряжений. В [30] исследовано влияние нелинейности фон Кармана на значения частоты, термоупругого затухания и добротности МЭМС/НЭМС резонаторов балок Тимошенко на основе модифицированной теории моментных напряжений. В [31] представлена математическая модель гибких физически нелинейных микрооболочек, учитывающая связь температурных и деформационных полей. Геометрическая нелинейность вводится с помощью теории оболочек фон Кармана, а оболочки предполагаются неглубокими. Используется гипотеза Кирхгофа — Лява, а cвязь полей регулируется вариационным принципом Био. Полученные уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью как метода конечных разностей второго порядка, так и метода Фаэдо — Галеркина. В ста- тье [32] исследованы связанные краевые задачи термоупругости многослойной ортотропной термоупругой оболочки.

В последнее время в прогнозировании термомеханического поведения микро- и наноструктур появились новые численные методы, такие как машинное обучение на основе искусственных нейронных сетей [33–36]. Нейросети представляют собой математические модели, которые могут быть воплощены как программные или аппаратные системы. С точки зрения реализации нейросети представляют собой систему простых процессоров, искусственных нейронов, взаимодействующих и соединенных между собой. Отличительной особенностью нейросетей является их способность к обучению, в отличие от традиционных алгоритмов, которые подразумевают программирование. Успешное обучение позволяет сети давать верные результаты на основе данных, которые не входили в обучающую выборку, а также справляться с неполными и шумными данными, даже если они частично искажены.

Для точных термомеханических расчетов микроразмерных тел необходимо знать значения масштабных параметров. В настоящий момент предложены как теоретические, так и экспериментальные методы нахождения масштабных параметров [37–42]. Так, испытания микроразмерных балок на изгиб часто позиционируются, как один из основных экспериментальных методов определения масштабных параметров [37, 38]. В [42] масштабные параметры были определены теоретически на основе известных параметров потенциалов межатомного взаимодействия.

Ранее предложенные подходы для исследования термонапряженного состояния мик-роразмерных тел обладают некоторыми недостатками. Так, применение методов молекулярной динамики [7] приводит к большим вычислительным затратам. В то же время градиентные модели, предложенные в [8], содержат большое число дополнительных по сравнению с классической теорией параметров. В настоящий момент невозможно одновременно определить такое число параметров. Кроме того, ранее рассмотренные задачи касались либо однородных тел, либо композитов с микроструктурной неоднородностью. Для исследования последних применялась теория с гипертемпературными эффектами [9–13]. Такая теория очень сложна для инженерных расчетов. В [23–25] предложены упрощенные инженерные модели термоупругости для составных микроразмерных тел с механическим масштабным параметром. Однако в этих работах уравнение теплопроводности рассматривалось в классической постановке. Это приводило к большим расхождениям расчетов и экспериментальных данных, так как не учитывались тепловые масштабные эффекты. Кроме того, ограничивались только статическим состоянием. Для более адекватных термомеханических расчетов микроразмерных тел достаточно знать значения двух масштабных параметров — механического и теплового и рассматривать нестационарную постановку. Это и предлагается сделать в данной работе.

Целями данной работы являются: постановка задачи нестационарной термоупругости для составного микростержня с учетом влияния не только механического, но и теплового градиентного параметров; получение численно-аналитического и асимптотического решения поставленной задачи; исследование влияния масштабных параметров на нестационарное распределение температуры и смещений; определение границы применимости асимптотического подхода.

Вкладом этой работы является исследование комбинированного влияния теплового и механического градиентных параметров в условиях нестационарной термоупругости составного микростержня, что ранее не учитывалось в статических постановках. Определение границы асимптотического подхода позволит более точно моделировать поведение реальных микроразмерных конструкций, что критически важно для проектирования термоэлектрических устройств.

• 2.    Определяющие соотношения нестационарной градиентной термоупругости

Рассмотрим термоупругое микроразмерное тело, занимающее объем V и находящееся под действием нестационарной тепловой нагрузки. Ограничимся несвязанной моделью термоупругости.

Тогда для задачи теплопроводности введем выражения для обобщенной плотности внутренней энергии u и полной энтропии η по формулам [11, 13]:

U v = 2 k ij№,j + 2 a ijki 0 ,ik j   n = c . 6 + C ij 6 ,ij ,

Выражение для обобщенной плотности свободной энергии w имеет вид [13]:

w =

2 c ijkl ^ ij ^ kl + 2 A ijklmn ^£ ij,k ^ lm,n   2 ^Y ij ^6£ ij    2 G ijkl ⁶ ,kl ^£ ij ^,

Здесь введены обозначения компонентов тензоров: k ij и α ij kl — теплопроводности второго и четвертого порядка соответственно; c _ε , C ij — удельной теплоемкости нулевого и второго порядка соответственно; c _ij_kl и A _ij _klmn — упругих модулей четвертого и шестого порядка соответственно; γ ij и G ijkl — коэффициента температурных напряжений второго и четвертого порядка соответственно.

Введем обозначения для определяющих соотношений в виде компонент следующих тензоров:

q i = JU- = k ij 6 ,j — плотности теплового потока;

^ ik = dU V = a ijki O ,ji — градиента теплового потока;

Q i = q i ~ ^ik,k = k ij ^ j — ( a ijki O ,ji ) ,k — плотности полного теплового потока;

T ij = dw = C ijkl ^£ kl - Y ij 6 - G ijkl 6 ,kl — напряжений Коши;

• m ijk = d jk = A ijklmn ^£ lm,n — моментных напряжений;

  ^ ij = ^T ij

  
  

^m ijk,k — c ijkl ^ kl ( A ijklmn ^ lmn ) ,k ^Y ij ^{6 G} ijkl ⁶ ,kl полных напряжений.

Для упрощения расчетов введем два масштабных параметра — тепловой l T и механический l M . Примем, что материальные константы высокого порядка пропорциональны классическим, где коэффициентами пропорциональности являются введенные масштабные параметры. Тогда соотношения между термомеханическими характеристиками классической термоупругости и модулями более высокого порядка примут вид:

^a ijkl —   ^l T ^ lk k ij ,    G ijkl —   ^l T ^ kl ^Y ij ,    A ijklmn —   ^l M ^ nm c ijkl

C ij = ^{— c} e ^l M ^ ij ,

где δ _lk — символ Кронекера.

Исходя из соотношений (3), выражения для полного теплового потока, полной энтропии и полных напряжений соответственно примут вид

Q i = k ij ⁶ ,j ^l T ( k ij ⁶ ,j\mm ’ ⁿ = C^{6 l} M ( c ^ ⁶ ) ,mm , ^a ij = ^c ijkl ^£ kl — ^l M ( c ijkl ^ kl ) ,mm ^{— Y} ij ⁶ + ^l T ( ^Y ij ⁶ \ mm •

• 3.    Постановка задачи для составного стержня

Рассмотрим задачу нестационарной градиентной термоупругости для составного микростержня длины L (xo — точка сопряжения), закрепленный торец которого x = 0 поддерживается при заданной температуре, а на свободном торце x = L действует тепловой поток q o ф ( t ) .

Тогда с учетом одномерности и изотропии материала имеем:

u 1 = u ( x,t ) ,    u ₂ = U 3 = 0 ,   Q = Q ( x,t ) ,   Q 1 = Q ( x,t ) ,   а 11 = a ( x,t ) .

В случае I m = I t = l получим выражения для ненулевых компонент:

Мп = -Л^. тш = -1^, „ = Е Л - f     - y (1 - ? £>, dx2                dx2          \      dx2) dx \      dx2 J

Q - ■ ( 1 M ) dx, ’ -( 1 - £) «

Здесь E — модуль Юнга.

В случае малости параметра связанности механическое поле практически не влияет на тепловое поле. Поэтому задачу градиентной термоупругости можно разделить на:

• а)    задачу градиентной теплопроводности

  dQ ^{( i )}    dn

  ∂x ^- ∂t

  dQ (1)

  Q ⁽¹⁾ (0 ,t ) = 0 ,   — (0 ,t )=0 ,

  ∂x

  
  

  ( i )

  
  

  = 0 , i = 1 , 2 ,

  
  
  
  

  Q ⁽¹⁾ ( x g , t ) = Q ⁽²⁾ ( x g ,t ) , M ii ^{) ( x} o ,t ) = M ii) ( x o ,t ) ,

  Q ' ‘W )=

  
  

  Q ⁽²⁾ ( L,t ) = q o ф ( t ) ,   Мп ( L, t ) = 0 ,

  de ⁽1 ,     , de ⁽² ,

  dx ^{( x 0 ,t )}= dx ^{( x 0 ,t )} ,

  Q ⁽¹⁾ ( x o ,t ) = Q ⁽²⁾ ( x o ,t ) ,

  
  

  ( x, 0) = 0 ,    i = 1 , 2;

  
  
  
  
  
  
  
  

• б)    задачу градиентной теории упругости

da(i)

= 0 , i = 1 , 2 , ∂x

u ⁽¹⁾ (0 ,t ) = 0 ,    ^ (0 ,t ) = 0 , a ⁽²⁾ ( L,t )=0 , m 1²⁾ i ( L,t ) = 0 ,

u ⁽¹⁾ ( x o ,t ) = u ⁽²⁾ ( x o ,t ) ,   ^du— ( x o ,t ) = ^du— ( x o ,t ) ,

∂x         ∂x

a ⁽¹⁾ ( x o ,t ) = a ⁽²⁾ ( x o ,t ) ,  m^x o ,t ) = тЩ ( x o ,t ) ,

u ^{( i )} ( x, 0)=0 ,   i = 1 , 2 .                                   (12)

Следует учесть, что для обеспечения единственности решения уравнений (5), (9) были заданы дополнительные граничные условия и условия сопряжения. В качестве дополнительных граничных условий согласно [25] приняты условия для градиентов температуры и смещения, а также градиента теплового потока М 11 и моментного напряжения тщ.

Обезразмерим задачи (5)–(8), (9)–(12) согласно

x z = L’	x o z o = —’ а L	l	U ( i ) =	u ( i )	W ( i ) = ■
		= L’		L,
m ( i )	( i ) m = E o L’  M	( i ) = ^ 11 q o L’	т =	k o t c o L 2 ’	ф ( т ) =
E (	« = Ei)  г« E o ’	)        c ( i ) c o ’	p k ( i )	p ( i ) po :	Y k ( i ) =

формулам:

ko^(i)     O(i) = - qoL ’            Eo ’

Q’ k“ ) = V•

Y ( i ) -----’ i = 1 ’ 2 .

Y o

Здесь E o , p o , k o , c o , Y o — некоторые характерные значения термомеханических характеристик.

Обезразмеренная постановка задачи (5)–(8) в терминах температуры примет вид

1 - а ²

-i ) d ² W ^{( i )} dz²

-

dW(i)\ k' ~— =0’ i = 1’ 2’ ∂τ

W ⁽¹⁾ (0 , т ) = 0 , k ⁽²⁾ ( 1

-

dW(1)     ч о   d2W(2)

—~--- (0’ т) = 0’     я 2 (1’ T) = 0’ dzdz

2 d2 \ dW(2).

^а az?} — ⁽¹ ’^т ) = ^{ф ( т} ’ ’

W ⁽¹⁾ ( z o ,T ) = W ⁽²⁾ ( z o ,T ) , ^{k (1)} ^W ) ⁽ z o ’^т )

dW ⁽¹⁾ ∂z

= k ⁽²⁾

dW ⁽²⁾

⁽ z o ^,T ) = dz ⁽ z o ’^т ) ’

d ² W ⁽²⁾ dz²

k ⁽¹⁾ (1

-

2 d2 \ dW(1) ,     .        / аё?} — (zoT) =k V

-

а ²

^{( z} o ^,т ) , д ² \ dw ⁽²⁾,    .

dz²) dz ^{( z o ,T ) ,}

d ² W ^{( i )}

W ^{( i )} ( z’ 0) =          ( z’ 0) = 0 ’ i = 1 ’ 2 .

dz ²

Обезразмеренная постановка задачи (9)–(12) в терминах смещений примет вид

2 d ²

<¹ - „ dz ²

E ( i ) д ² U ^{( i )}

dz ²

-

dW ^{( i )}\

Y ^{( i )}    — = ⁰ ’ i = 1 , ² ,

∂z

_m             dU ⁽¹⁾              d ² U ⁽²⁾

U(1)(0’т)=0’   -7  (0’т)=0’     . 2 (1’т)=0’ dz               dz2

(1 - „2 £) E<2) dU^ dz2

U ⁽¹⁾ ( z o ,t ) = U ⁽²⁾ ( z o ,t ) ,

(1 ,т ) - Y ⁽²⁾ W ⁽²⁾ (1 ,т )j =0 ,

(1)(2)

^dU- ( z o ,T ) =       ( z o ,T ) ,

∂z∂z

р(1) d ² U ⁽¹⁾

E

= С ¹

-

а ²

-

dz ²

—u dz2 / \

2 д ^{2 а} dz ²

( z o ^,T )

р (2) ^d 2 ^{U (2)}

= E

dz ²

⁽ z o ^,T ) ,

E (1) dU ⁽¹⁾

∂z

E (2) dU ⁽²⁾

∂z

( z o ,T ) - Y ⁽¹⁾ W ⁽¹⁾ ( z o ,T )^

■ (z o ,T ) - Y ⁽²⁾ W ⁽²⁾ ( z o , т )j ,

U ^{( i )} ( z, 0) = 0 , i = 1 , 2 .

• 4.    Решение задачи

Получим численно-аналитические и асимптотические решения задач (13)–(16) и (17)–(20).

Для сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям применим к функциям, входящим в (13)–(15) и (17)–(19) с учетом однородных начальных условий (16), (20), преобразование Лапласа по формуле:

∞

F ( z,p ) = j

F ( z,t ) e ^pT dr,

где p — параметр преобразования Лапласа.

Тогда задача теплопроводности в трансформантах будет иметь вид:

(1 - a2 Lgr )LdW(i) =0, i = 1, 2 ...,(22)

-~'-'/чЧ                      d^W ( )                            -~'-'/чЧ

W (1)(0,p) = 0, —— (0,p)=0,  LgrW (1)(1,p) = 0, dz ~(2)

^{k (2)} ( 1 - a ² L gr ) ^dWWz   (1 ,p ) = ф ( р ),

W(1)(zo,p) = W(2)(zo,p),   dW   (zo,p) = dW   (zo ,p), dzdz

k(1) LgrW(1\zo,p) = k^LW W(2)(zo,p),(24)

k(1) (1 - a2Lgr) dW— (zo,p) = k(2) (1 - a2Lgr) dW— (zo,p). dzdz

Здесь L ci = - dz 2 + p - — оператор, отвечающий классической постановке; L gr = ^d^ — оператор, отвечающий за градиентные эффекты.

Корни характеристических уравнений, соответствующих (22) имеют вид:

(i)-+ cL—-+

1) ^A 1 , 2 = ±y ^p k ( i ) ;     ^{2) A} 3 , 4 = ± a

Поэтому решение (22) можно представить в виде:

nn

W(1) (z,p) = ^ CrYr (z,p),  W(2)(z,p) = ^ Cr+nYr+n(z,p),  n = 4,(25)

r=1

где Y1(z,p) = eA1)z, Y2(z,p) = eA2)z, Y3(z) = Y7(z) = eA3>z, Y4(z) = Y8(z) = eA4 )z, (2Y

Y 5 ( z,p ) = e ^Ai ^z , Y 6 ( z,p ) = e ^A2 ^z .

Константы C1,...,C§, входящие в выражения (25), находятся в системе Maple при подстановке в граничные условия (23) и условий сопряжения (24).

Для малых значений параметра α можно получить асимптотическое решение задачи (22)–(24), используя метод Вишика — Люстерника, аналогично как в [22, 23].

Для этого введем растягивающие переменные: £ 1 = a , £ 2 = z _az 0 , £ 3 = za 1 • ПреДставим трансформанту температуры каждого стержня в виде суммы решения задачи в классической постановке W^ ( z,p ) , i = 1 , 2 ,..., и двух погранслойных слагаемых:

W ⁽¹⁾ ( z,p ) = W^ ( z,p ) + Щ( £ ! ) + П ₂ ( £ ₂ ) , W ⁽²⁾ ( z,p ) = W^ ( z,p ) + П з (£ 2 ) + П 4 (£ з ),

Погранслойные функции должны удовлетворять уравнениям:

(1 — L gr )П _Г = 0 , r = 1 ,..., 4 .

Кроме того, функции П 1 ( £ 1 ) и П 4 ( £ 3 ) должны быстро затухать по мере удаления от торцов z = 0 и z = 1 соответственно, а функции П 2 ( £ 2 ) и П з (£ 2 ) — от точки сопряжения стержней. Исходя (27) и физического смысла, погранслойные функции имеют вид:

П 1 ( z,a ) = B 1 e ^- ^ ¹ , П ₂ ( z,a ) = B ₂ e ^ ² , П з ( z,a ) = В з е ^- ^ ² , П ₄ ( z,a )= B ₄ e ^ ³ .

Константы B i ,..., B 4 определяются последовательно. Константа B i находятся из неклассического граничного условия dWWz ¹) (0 ,p ) = 0 , B4 — из условия fe ⁽²⁾ (1 — a ² L gr ) dWWz ²) (1 ,p ) = ф ( р ) , B 2 и B 3 — из условий сопряжения (15) и имеют довольно громоздкий вид.

После нахождения поля температур в трансформантах W ^{( i )} ( z,p ) , i = 1 , 2 ,..., перейдем к нахождению поля трансформант смещений из решения задачи градиентной теории упругости с фиктивными силами

R« (z,p) = (1 — a2LM) ^ dWi), G (z,p) = (1 — a2LM) ^ W(i) E dz в виде

(1 — a ² LM) L M U ^{( i )} = R ^{( i )} ( z,p ) ,   i = 1 , 2 ,

U ⁽¹⁾ (0 ,p ) = 0 , ddz (0 ,p ) = 0 ,   L M U ⁽²⁾ (1 ,p ) = 0 ,

(1 — a2LM) dUz— (1,p) = GG(2)(1,p), U (1)(zo,P) = U (2)(zo,P), dU— (zo,P) = dU— (z0,P), dzdz

~            f (2)~

L M U ⁽²⁾ ( z o ,p ) = ee^ L M U ⁽²⁾ ( z o ,p ) ,

( 1 ^{— a} 2 ^L M ) dUz- ^{( z} 0 ,p ) ^— GG ^{(1) ( z} o ^,p ⁾

= ЕЕщ ^(1 — a ² L M ) dU— ( z o ,p ) — GG ⁽²⁾ ( z o ,p )j .

Здесь LM = LM =

Для решения неоднородных дифференциальных уравнений (28) применим метод вариации произвольных постоянных, представив трансформанты смещений в виде:

nn

U(1) (z, p) = £ Sr (z, p)yr (z),   U(2) (z, p) = £ Sr+n (z,p)yr+n (z) , n = 4, r=1

где У 1 ( z ) = У 5 ( z ) = 1 , У 2 ( z ) = У 6 ( z ) = z , У 3 ( z ) = У 7 ( z ) = e z , У 4 ( z ) = У 8 ( z ) = e ^a — решения однородных уравнений (28).

Производные S _r ( z,p ) находят путем решения системы алгебраических уравнений

n

У S '_r ( z^y rm ( z ) = Ri ( z,p ) 6 n - i ,m , m = 0 , ...,n - 1 .              (32)

r =1

Интегрируя найденные S r_r ( z,p) с учетом граничных условий (29) и условий сопряжения (30), получим функции S _r ( z,p ) и общее решение уравнений (28).

После нахождения трансформант температуры и смещения для нахождения оригиналов функций необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Однако из-за сложности структуры трансформант для нахождения оригиналов можно использовать только численные методы [43, 44]. В работе нахождения оригиналов в произвольной точке z осуществляется на основе обобщенного метода Дурбина [43]. Этот метод обладает высокой точностью для короткого временного интервала.

• 5.    Результаты вычислений

Рассмотрим результаты вычисления термонапряженного состояния составного стержня с учетом масштабных эффектов. В расчетах полагалось:

z ₀ = 0 . 5 , k 1 = 1 , k ₂ = 0 . 35 , c i = c ₂ = 1 ,

E i = 0 . 4 , E 2 = 1 , Y i = Y 2 = 0 . 1 , ф ( т ) = H ( t ) .

Здесь H ( t ) — функция Хэвисайда.

Выяснено, что учет масштабного параметра приводит к: 1) увеличению температуры на малых временах; 2) уменьшению смещений; 3) более плавному распределению температуры и смещения в окрестности точки сопряжения; 4) погрешность асимптотических формул (26) не превышает 1% при а <  0 . 06 .

На рис. 1, 2 изображены результаты вычислений, где сплошная линия — классическое решение (а = 0) , точки — градиентное решение при а = 0 . 2 .

Рис. 1 показывает зависимость от времени τ безразмерных функций: а) температуры W ; б) смещения U составного стержня в точке z = 0 . 8 .

Рис. 1. Зависимость от времени: а) температуры; б) смещения составного стержня в точке z = 0 . 8 .

На рис. 2 представлено распределение по координате z безразмерных функций: а) температуры; б) смещения в момент времени τ = 0 . 64 .

a)                                                  б)

Рис. 2. Распределение по z : а) температуры;

б) смещения составного стержня в момент времени τ = 0 . 64 .

• 6.    Заключение

Представлена новая модель градиентной термоупругости в квазистатической постановке. Данная модель учитывает совместное влияние теплового и механического масштабных параметров для составного тела. В этой постановке уравнения теплопроводности и равновесия имеют более высокий порядок по сравнению с классической теорией.

В случае слабой связанности задача термоупругости сведена к последовательному решению более простых задач — теплопроводности и теории упругости. Построены численно-аналитическое и асимптотическое решения задач. Численно-аналитические решения задач основаны на применении интегрального преобразования Лапласа, аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений и модифицированного метода Дурбина. Для нахождения асимптотического решения применена модификация метода Ви-шика — Люстерника. Исследована точность асимптотических формул путем сравнения с численно-аналитическим решением. Выяснено, что погрешность асимптотических формул не превышает 1% при а ^ 0 . 06 .

Представлены результаты вычислений температуры и смещений. Обнаружены следующие эффекты, связанные с учетом масштабных параметров: 1) уменьшение смещений и их более плавное изменение в окрестности точки сопряжения; 2) увеличение температуры для малых времен и более плавное изменение температуры в окрестности точки сопряжения. Второй эффект описан впервые.

Полученные результаты позволят более адекватно моделировать поведение микро-размерных составных термонапряженных конструкций, в том числе микробалки и микроцилиндра. Данное обстоятельство имеет большое значение для проектирования термоэлектрических устройств.

Выявлены следующие ограничения модели: 1) слабая связанность тепловых и механических полей; 2) одномерность задачи; 3) масштабный параметр должен являться малым параметром. Однако преимуществом подхода является учет двух параметров — теплового и механического в нестационарной постановке.